2.2求解一元二次方程 导学案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“求解一元二次方程”，涵盖配方法（二次项系数为1与不为1）、公式法、因式分解法。通过“温故知新”环节回顾定义、一般形式等旧知，逐步衔接新知，搭建从基础到进阶的学习支架。 资料以自主探究为主线，结合课前自测与错题分析，分层递进呈现解法逻辑。助力学生理解转化思想，培养抽象能力、推理意识与应用意识，提升数学思维与问题解决能力。

2.2求解一元二次方程 （课时1） 1.回顾一元二次方程的相关基础知识及“两边夹”思想，结合新课内容，探究配方法解二次项系数为1的一元二次方程的相关知识。 2.阅读课本P36—P37内容，自主探究配方法解二次项系数为1的一元二次方程的相关知识，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.只含有一个未知数x的 方程，并且都可以化成 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 2.我们把 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 二次项： ，一次项： ；常数项： ；二次项系数： ；一次项系数： . 3.用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数x的取值范围内排除一部分取值； ②再次进行排除，取值范围确定在 之间； ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选； ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 知新——课本研习梳理 1.解一元二次方程的思路是将方程转化为 (n≥0)的形式.它的一边是一个 ，另一边是一个常数.当n≥0时，两边同时开平方，转化为 ，便可求出原一元二次方程的根. 2.通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 . 基础过关·课前自测 1.用配方法解方程时,配方后正确的是( ) A. B. C. D. 2.用配方法解方程，下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 3.方程配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 4.把方程化成的形式，则的值是_____. 5.解方程：. （课时2） 1.回顾一元二次方程的基础知识及配方法解二次项系数为1的一元二次方程的相关知识，结合新课内容，探究配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。 2.阅读课本P37—P38内容，自主探究配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.只含有一个未知数x的 方程，并且都可以化成 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 2.我们把 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 二次项： ，一次项： ；常数项： ；二次项系数： ；一次项系数： . 3.解一元二次方程的思路是将方程转化为 (n≥0)的形式.它的一边是一个 ，另一边是一个常数.当n≥0时，两边同时开平方，转化为 ，便可求出原一元二次方程的根. 4.通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 . 知新——课本研习梳理 1.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把方程化为一般形式； ②把方程的常数项通过移项移到方程的右边； ③方程两边同时除以二次项系数a； ④方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ⑤此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解； ⑥定解． 2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么就有： p的取值范围 方程根的情况 p>0 两个不相等实数根 p=0 两个相等实数根 p<0 无实数根 基础过关·课前自测 1.用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上的数为( ) A.4 B.9 C.25 D.36 2.用配方法解方程，则方程可变形为( ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程时，可配方为，其中______. 4.小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，① ，② ，③ ，④ ，⑤   ⑥ (1)小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； (2)请你写出此题正确的解题过程. 5.下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：移项，得，………………………………………………第一步 二次项系数化为1，得，………………………………………第二步 配方，得，……………………………………………………第三步 由此可得，……………………………………………………第四步 所以.…………………………………………第五步 ①小明的解答过程，从第___________步开始出现错误； ②请写出正确的解答过程. （课时3） 1.回顾配方法解一元二次方程的相关知识，结合新课内容，探究公式法解一元二次方程的相关内容。 2.阅读课本P39—P42内容，自主探究公式法解一元二次方程的相关内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.解一元二次方程的思路是将方程转化为 (n≥0)的形式.它的一边是一个 ，另一边是一个常数.当n≥0时，两边同时开平方，转化为 ，便可求出原一元二次方程的根. 2.通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 . 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把方程化为 ； ②把方程的常数项通过移项移到方程的右边； ③方程两边同时除以二次项系数a； ④方程两边同时加上 ； ⑤此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解； ⑥定解． 4.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么就有： p的取值范围 方程根的情况 p>0 两个不相等实数根 . p=0 两个相等实数根 . p<0 无实数根 知新——课本研习梳理 1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是： . 这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为 . 2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac>0时，方程有 的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有 的实数根； 当b2-4ac<时，方程 实数根. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况可由b2-4ac来判定.把 叫作一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示. 基础过关·课前自测 1.关于x的一元二次方程的根是( ) A. B. C. D. 2.关于一元二次方程的根的情况,下列结论正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 3.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.利用公式法解一元二次方程，可得两根为a，b，若，则a的值为( ) A. B. C. D. 5.用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______. 6.若关于x的一元二次方程无实数根,则实数k的取值范围是____________. （课时4） 1.回顾配方法、公式法解一元二次方程的相关知识，结合新课内容，探究因式分解法解一元二次方程的相关内容。 2.阅读课本P42—P44内容，自主探究因式分解法解一元二次方程的相关内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 . 2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么就有： p的取值范围 方程根的情况 p>0 两个不相等实数根 . p=0 两个相等实数根 . p<0 无实数根 3.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是： . 这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为 . 4.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac>0时，方程有 的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有 的实数根； 当b2-4ac<时，方程 实数根. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况可由b2-4ac来判定.把b2-4ac叫作一元二次方程的根的 ，通常用希腊字母“ ”来表示. 知新——课本研习梳理 1.当一元二次方程的一边是0，而另一边能够分解成 时，我们就可以用因式分解的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为 . 2.几种常见的用因式分解法求解的方程： （1）形如x2+bx=0的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0，则x=0或x+b=0，即x1=0，x2=-b. （2）形如x2-a2=0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0，则x+a=0或x-a=0，即x1=-a，x2=a. （3）形如x2±2ax+a2=0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)2=0，则①x+a=0，即x1=x2=-a.②x-a=0，即x1=x2=a. （4）形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，将其左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0，所以x+a=0或x+b=0，即x1=-a，x2=-b. 基础过关·课前自测 1.一元二次方程的根为( ) A. B. C.， D.， 2.一元二次方程的解为( ) A., B., C. D. 3.用因式分解法解方程，下列分解正确的是( ) A. B. C. D. 4.方程的解为_____. 5.用因式分解法解方程：. 课时1 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.整式 ax2+bx+c=0 2.ax2+bx+c=0 ax2 bx c a b 3.两个连续整数 知新——课本研习梳理 1.(x+m)2=n 完全平方式 一元一次方程 2.配方法 基础过关·课前自测 1.答案：B 解析：, 移项,得, 方程两边同时加4,得,即. 故选：B. 2.答案：A 解析： ， 故选：A. 3.答案：B 解析：， ， ， 故选：B. 4.答案：5 解析：方程整理得：， 配方得：， 即， ，， 则. 故答案为：5. 5.答案：， 解析：  . . . .   或. ∴， 课时2 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.整式 ax2+bx+c=0 2.ax2+bx+c=0 ax2 bx c a b 3.(x+m)2=n 完全平方式 一元一次方程 4.配方法 基础过关·课前自测 1.答案：B 解析：，方程两边同时除以2，得， 方程两边同时加上9，得，即.故选B. 2.答案：D 解析：， ， ， ， 故选D. 3.答案：-6 解析：，，. 可配方为，.故答案为-6. 4.答案：(1)小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2. (2)，. 解析：(1)小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2. (2)， ， ， ， ， ，. 5.答案：见解析 解析：①三 ②， ， ， ， ， ， . 课时3 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.(x+m)2=n 完全平方式 一元一次方程 2.配方法 3.一般形式 一次项系数一半的平方 4. 知新——课本研习梳理 1. 公式法 2.两个不相等 两个相等 没有 b2-4ac ∆ 基础过关·课前自测 1.答案：A 解析：，方程的根是，故选A. 2.答案：A 解析：, , 方程有两个不相等的实数根, 3.答案：B 解析：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：.故选：B. 4.答案：A 解析：，，，， ，. 一元二次方程的两根为a，b，，的值为.故选A. 5.答案： 解析：设一元二次方程为，则， 与对比，得，，， 该一元二次方程为.故答案为. 6.答案： 解析：关于x的一元二次方程无实数根, ,解得. 课时4 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.配方法 2. 3. 公式法 4.两个不相等 两个相等 没有 判别式 ∆ 知新——课本研习梳理 1.两个一次因式的乘积 因式分解法 基础过关·课前自测 1.答案：C 解析：，，或，解得，. 2.答案：B 解析：, , 则, 或, 解得,, 故选：B. 3.答案：A 解析：∵方程可分解为， 其中，， ∴找出两个数满足和为5、积为6，即2和3， ∴分解为. 故选A. 4.答案：， 解析：， 或， 解得：， 故答案为：，. 5.答案：， 解析：∵， ∴， ∴或， 解得，. 学科网（北京）股份有限公司 $