第一章《特殊的平行四边形》单元复习课 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定及从属关系，通过“知识网格”以问题引导和结构化呈现建立知识网络，厘清从平行四边形到特殊图形的逻辑脉络。 其亮点是以“文创设计大赛”为主线整合实例，如菱形书签尺寸测算、正方形旋转判定等，培养逻辑推理和数学建模能力，分层设计典例与作业，助力学生巩固知识，教师提升复习针对性。

新版北师大数学九年级上册数学 第一章 特殊的平行四边形 单元回顾与思考 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.精准掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定定理,厘清三者的从属关系与逻辑关联； 2.熟练运用特殊平行四边形的边角、对角线性质,完成边长、周长、面积的规范计算； 3.能严谨运用判定定理,完成矩形、菱形、正方形的几何证明. 1.提升几何图形直观分析能力、逻辑推理与规范证明能力； 2.培养图形转化、动态问题拆解的综合解题能力； 3.能将实际问题抽象为几何模型，强化数学建模与应用能力 1.落实逻辑推理、直观想象的数学核心素养； 2.体会“特殊与一般”的辩证数学思想,建立结构化的几何知识体系； 3.感受几何图形的实际应用价值，提升数学应用意识 目录 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 知识网格 1.说说平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，它们各有哪些性质？ 2.菱形、矩形、正方形的对称性对你发现它们的其他性质有怎样的帮助？ 3.画图说明判定一个四边形是菱形、矩形、正方形的条件 4.回顾特殊平行四边形的研究过程，你是怎样发现它们的性质和判定条件的？与同伴进行交流 5.在证明特殊平行四边形的性质定理和判定定理的过程中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流 6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流 知识网格 典例精选 本节课以班级参加校园文创设计大赛为完整主线,进行习题的复习 板块一:文创产品基础尺寸测算——基础性质与计算类 题目来源:教材P26第1题、第4题整合改编 1.我们设计的菱形书签,两条对角线的长分别为4cm和8cm;同时设计的菱形文创徽章,边长为13cm,其中一条对角线BD长10cm.请完成以下计算： （1）求菱形书签的边长； （2）求菱形徽章的另一条对角线AC的长度； （3）分别计算两款菱形文创产品的面积 解: (1)∵菱形的对角线互相垂直且平分 ∴两条对角线的一半分别为2cm和4cm 由勾股定理得,边长a=cm 答：菱形书签的边长为cm. 考查知识点：菱形的性质（对角线互相垂直且平分）、勾股定理、菱形面积公式 典例精选 1.我们设计的菱形书签,两条对角线的长分别为4cm和8cm;同时设计的菱形文创徽章,边长为13cm,其中一条对角线BD长10cm.请完成以下计算： （2）求菱形徽章的另一条对角线AC的长度； （3）分别计算两款菱形文创产品的面积 （2）∵菱形对角线互相垂直平分 ∴已知对角线BD的一半为5cm 设另一条对角线AC的一半为xcm，由勾股定理得：，解得x=12cm ∴对角线AC的长度为12×2=24cm 答:菱形徽章的另一条对角线长24cm. （3）菱形面积=对角线乘积的一半 书签面积：​×4×8=16cm² 徽章面积： ​×10×24=120cm² 答：书签面积为16cm²,徽章面积为120cm². 1.菱形的核心解题抓手是“对角线互相垂直平分”,所有边长、对角线计算，都可转化为直角三角形,用勾股定理解决； 2.牢记菱形面积的两种计算方式：底×高、对角线乘积的一半,已知对角线时优先用后者. 典例精选 题目来源：教材P27第10题改编 2.我们设计的正方形文创明信片,对角线的长度为,请你求出这款明信片的周长和面积,方便确定印刷尺寸. 考查知识点：正方形的性质、勾股定理、正方形边长与对角线的数量关系 解:设正方形的边长为a ∵正方形的对角线与两条邻边构成等腰直角三角形 由勾股定理得:即 解得 ∴正方形的周长C=4a= 正方形的面积S= 答:明信片的周长为 1.正方形对角线与边长的固定比例为​:1，可直接用于快速计算； 2.正方形面积可直接用“对角线乘积的一半”计算,与菱形面积公式通用,本题中可直接得出S= 简化计算； 典例精选 板块二:文创产品合规判定——特殊平行四边形的判定类 题目来源:教材P26第2题、P27第7题整合改编 3.(1)我们设计的四边形金属相框,对角线AC与BD交于点O,且OA=OB=OC=OD=AB,请判定这个相框是不是正方形,说明理由； (2)我们设计的菱形装饰画,绕它的对角线交点旋转90°后,所得图形与原图形完全重合,请问这个菱形装饰画是不是正方形？为什么？ (3)我们设计的四边形展板,绕它的对角线交点旋转90°后,所得图形与原图形完全重合,请问这个展板是不是正方形？为什么？ 考查知识点：正方形的判定、特殊平行四边形的对角线性质、旋转的性质 典例精选 解: (1)这个四边形是正方形,理由如下：∵OA=OB=OC=OD, ∴四边形ABCD是矩形 ∵OA=OB=​​AB， ∴ 由勾股定理逆定理得∠AOB=90°， ∴对角线互相垂直的矩形是正方形,因此这个相框是正方形. (2)这个菱形是正方形,理由如下： ∵菱形绕对角线交点旋转90°后与原图重合 ∴菱形的两条对角线长度相等 ∴对角线相等的菱形是正方形,因此这个装饰画是正方形. (3)这个四边形是正方形,理由如下： ∵四边形绕对角线交点旋转90°后与原图重合 ∴四边形的对角线互相垂直、平分且相等 ∴对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,因此这个展板是正方形. 正方形的判定: 1.先证是平行四边形,再证同时具备矩形和菱形的核心特征； 2.旋转重合的本质是图形的对称性,旋转90°重合说明图形邻边相等、内角为90° 3.对角线判定高频结论:对角线互相平分→平行四边形;+相等→矩形;+垂直→菱形;+相等且垂直→正方形. 典例精选 题目来源:教材P27第8题、第11题、第13题整合改编 考查知识点:菱形、正方形的判定,平行四边形的判定,角平分线的性质 4.我们在设计文创产品的边框时,需要完成以下证明,确保设计的图形符合要求： （1）如图,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E,交AC于点F,求证:四边形AEDF是菱形； （1）证明： ∵DE∥AC,DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠FAD ∵DF∥AB， ∴∠EAD=∠ADF ∴∠FAD=∠ADF， ∴AF=DF ∴平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 典例精选 （2）如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D 作AC的平行线,两条线交于点P,求证:四边形CODP是菱形； （2）证明： ∵CP∥BD,DP∥AC ∴四边形CODP是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD,且OC=AC,OD= ​BD ∴OC=OD ∴平行四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 典例精选 （3）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的角平分线,DE⊥BC,DF⊥AC，垂足分别为E、F,求证:四边形CEDF是正方形. （3）证明： ∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90° ∴∠DFC=∠DEC=∠ACB=90° ∴四边形CEDF是矩形 ∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC ∴DF=DE ∴矩形CEDF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形） 1.特殊平行四边形判定的通用思路：先证平行四边形,再证特殊条件 2.高频解题技巧：角平分线+平行线，必出等腰三角形,是证邻边相等的核心方法 3.矩形、菱形的对角线性质,是转化边角等量关系的关键,需熟练运用 巩固拓展 板块三:文创产品创意优化——综合证明与几何探究类 题目来源：教材P27第5题、第9题整合改编 5.（1）我们设计的四边形装饰牌,两条对角线互相垂直且相等,请证明：以这个四边形的四边中点为顶点,可画出一个正方形； （1）证明:设四边形ABCD中,AC⊥BD且 AC=BD,E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA 的中点,连接 EF、FG、GH、HE. 根据三角形中位线定理：EF∥AC,EF=​AC；GH∥AC,GH=​AC ∴EF∥GH且EF=GH， ∴四边形EFGH是平行四边形同理，EH∥BD，EH=​BD ∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形 EFGH 是矩形 ∵AC=BD，∴EF=EH， ∴矩形EFGH是正方形即：以四边中点为顶点可画出一个正方形 巩固拓展 （2）我们设计的三角形文创挂件,△ABC的两条高分别为BE、CF,点M为BC 的中点,求证：ME=MF （2）证明： ∵BE、CF是△ABC的高， ∴∠BEC=∠BFC=90° ∴△BEC和△BFC都是以BC为斜边的直角三角形∵点M为BC的中点 ∴ME= ​​BC，MF= ​​BC ∴ME=MF 1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形；对角线相等→中点四边形是菱形；对角线垂直→中点四边形是矩形；对角线垂直且相等→中点四边形是正方形； 2.看到“直角+中点”，优先考虑直角三角形斜边中线定理，无需额外证明全等，简化解题步骤. 巩固拓展 板块四：文创产品动态展示——动态几何与实际应用类 题目来源：教材P28第14题改编 6.我们设计的矩形动态展示框,AB=20cm,动点P从点A开始沿AB边以4cm/s 的速度运动,动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动.点P和点Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为ts,请问当t为多少时,四边形APQD是矩形？ 考查知识点：矩形的判定、动态几何问题、一元一次方程的应用 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD，∠A=90° ∴当AP=DQ时，四边形APQD是平行四边形 巩固拓展 又∵∠A=90° ∴平行四边形APQD是矩形 由题意得：AP=4tcm，CQ=tcm ∵CD=AB=20cm， ∴DQ=CD-CQ=(20-t)cm 令AP=DQ,即4t=20-t 解得：t=4 经检验，t=4在动点的运动取值范围（0≤t≤5）内,符合要求. 答：当t=4s时,四边形APQD是矩形. 1.动态几何问题的核心解题方法:化动为静,用含时间t的代数式表示线段长度,转化为静态几何问题； 2.动态问题中矩形的判定,优先利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”,先证对边相等得到平行四边形,再结合直角判定； 3.解题后需检验t的取值是否在动点的运动范围内,避免出现不符合实际的解. 思想方法 1.特殊与一般：一般平行四边形,到特殊的矩形、菱形,再到最特殊的正方形,层层递进.特殊图形具备一般图形的所有性质,同时拥有专属性质；判定时也遵循从一般到特殊的路径,先证平行四边形再,证矩形/菱形,最终证正方形. 2.转化与化归思想:将特殊平行四边形的问题,转化为直角三角形、等腰三角形的问题解决. 3.数形结合思想:将几何图形的性质,与边长、角度、面积的计算深度结合,通过图形性质推导数量关系,通过数量关系判定图形形状,实现形与数的相互转化. 4.对称思想:矩形、菱形、正方形均为轴对称图形,菱形和正方形还是中心对称图形,利用对称性可快速解决折叠、旋转类几何变换问题,是本章的重要解题思想. 当堂检测 1.我们在设计折叠文创贺卡时,遇到了以下几何问题,请你解决： （1）如图,四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上一点,且EC=AC,求∠DAE 的度数；(第6题) （1）解：∵四边形ABCD是正方形∴∠DAC=∠ACB=45°（正方形对角线平分内角） ∵AC=EC， ∴∠E=∠CAE ∵∠ACB 是△ACE 的外角，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE ∴∠CAE=22.5° ∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=45°-22.5°=22.5°答：∠DAE的度数为22.5°. 当堂检测 （2）如图，把一张矩形贺卡沿对角线折叠，请问重合部分是什么图形？请说明理由；(第15题) （2）解：重合部分是等腰三角形，理由如下： 设矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点C´处，BC´与AD交于点E. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD由折叠的性质得：∠CBD=∠C´BD ∴∠ADB=∠C´BD， ∴EB=ED ∴△BED 是等腰三角形,即重合部分是等腰三角形. 当堂检测 （3）如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,顶点A落在BC边上的点A´处，展开后得到四边形ABA´E,请问这个四边形是正方形吗？为什么？(第19题第①问) （3）解：这个四边形是正方形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABA´=90° 由折叠的性质得：∠BA´E=∠A=90°，AB=A´B ∴四边形ABA´E的三个角都是直角， ∴四边形ABA´E是矩形 又∵AB=A´B， ∴矩形ABA´E是正方形 反思总结 1.请你梳理矩形、菱形、正方形的性质和判定定理,用思维导图厘清三者的从属关系,说说它们的核心联系与区别. 2.在解决特殊平行四边形的证明题时,你最常用的解题思路是什么？遇到了哪些高频易错点？你会用什么方法规避这些错误？ 3.结合本章的学习,说说你对“特殊与一般”数学思想的理解，你还能在初中数学的哪些知识模块中找到这个思想的应用？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第27,28页 第12,16题 二、素养类作业 课本第29页 第19题(2)(3)问 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $