精品解析：江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2025-2026学年八年级第二学期数学期末学情调研

2025~2026学年度第二学期期末学情调研 八年级数学试卷 （测试时间：120分钟 分值：150分 书写分：5分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列代数式： 属于分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 3. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了24次，则出现反面朝上的频数、频率分别是（ ） A. 24， B. 24， C. 26， D. 26， 5. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 若把分式 中的x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大9倍 D. 不确定 7. 若是方程 的两个根，则 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 8. 某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A. 我爱中国 B. 美丽中国 C. 我爱美丽 D. 中国美丽 9. 已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或15 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 11. 若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，E是上一点，，P是上一动点，连接，取的中点 F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上） 13. 写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______． 14. 因式分解：______． 15. 计算：5 + =______． 16. 若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为_____． 17. 新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 18. 若关于x的分式方程有增根，则a应满足条件______． 19. 规定一种新的定义：a★b＝－a2，若a＝3，b＝49，则(a★b)★b＝_________． 20. 如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则与的数量关系是_______． 三、解答题（本大题共8题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应的文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 2026年春假期间，宿迁各景区迎来了一波客流小高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的宿迁旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A项王故里；B三台山国家森林公园；C宿迁博物馆；D骆马湖公园；E洋河酒厂文化旅游区；F其他．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． （1）本次调查的样本容量为_____并请你将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，景点D所对应的圆心角的度数为_____； （3）若八年级数学兴趣小组所在学校共有1200名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“项王故里”与“宿迁博物馆”的学生总人数． 24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，， 求平行四边形的面积． 25. 仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） （1）如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． （2）如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 26. 第二十二届中国（深圳）国际文化产业博览交易会定于2026年5月21日至25日在深圳国际会展中心举办．某文创商家为展会准备、两款“深圳城市地标”纪念徽章．已知每件款徽章比每件款徽章贵10元，用2000元购买的款徽章与用1600元购买的款徽章数量相同． （1）求每件款徽章与每件款徽章的售价分别是多少元？ （2）若某公司计划花费不超过2800元，购置、两种徽章共60件，作为员工奖品发放，则最多可以购买款徽章多少件？ 27. 已知正方形，，点是边上的一个动点（不与，重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，点在上运动的过程中，线段、与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现； （3）如图3，连接，则的最小值是______（直接写出答案）． 28. 配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式 变形为的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 例如：①分解因式：； 解：原式； ②求代数式 的最小值． 解：原式 ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）比较：与的大小； （3）已知实数a，b满足n为自然数，求n的最小值． （4）如图，在中，，，为斜边的中点，于点，为中点，连接DF．当，时，的值是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末学情调研 八年级数学试卷 （测试时间：120分钟 分值：150分 书写分：5分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列代数式： 属于分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义逐个判断，即分式的定义为：若是整式，且中含有字母，，则是分式．需注意是常数，不是字母． 【详解】解：∵的分母含有字母，∴是分式； ∵的分母是常数，∴是整式，不是分式； ∵中是常数，分母为常数，∴是整式，不是分式； ∵的分母含有字母，∴是分式, 因此符合条件的分式共个． 2. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，准确区分必然事件、随机事件、不可能事件是解题的关键．根据事件发生的可能性，“手可摘星辰”是不符合客观现实的，属于不可能事件． 【详解】解：：“黄河入海流”是必然事件； ：“大漠孤烟直”是随机事件； ：“手可摘星辰”是不可能事件； ：“红豆生南国”是随机事件． 故选：． 3. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定所有等可能结果总数和所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从4部不同的名著中任选1部，共有种等可能的结果，其中恰好选中《周髀算经》的结果只有种， ∴根据概率公式可得，恰好选中《周髀算经》的概率为． 4. 在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了24次，则出现反面朝上的频数、频率分别是（ ） A. 24， B. 24， C. 26， D. 26， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率、频数的概念及频率的求法：频率频数数据总数；直接利用频数与频率的定义分析得出答案即可． 【详解】解：∵在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了24次， ∴出现反面朝上的频数、频率分别是：，． 故选：C． 5. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项． 【详解】解：∵选项A：==，含完全平方因数4，不符合题意； 选项B：被开方数含分母，不符合题意； 选项C：被开方数7是质数，无完全平方因数且无分母，符合题意； 选项D：=被开方数含分母，不符合题意； 故选C． 6. 若把分式 中的x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大9倍 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】将扩大后的x,y代入原分式，利用分式基本性质化简后，与原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：∵ x,y都扩大到原来的3倍，即变为和， ∴将其代入原分式可得 与原分式对比，可知分式的值扩大3倍． 7. 若是方程 的两个根，则 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 8. 某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A. 我爱中国 B. 美丽中国 C. 我爱美丽 D. 中国美丽 【答案】A 【解析】 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：， ， ， ∵8对应明文“我”， 对应明文“爱”， 对应明文“中”， 对应明文“国”， ∴组合后明文可为“我爱中国”． 9. 已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或15 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 11. 若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小． 【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且， ∴，（）． ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 12. 如图，在矩形中，，E是上一点，，P是上一动点，连接，取的中点 F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】在上取一点M，使得，连接，并根据中位线的性质得出，再说明当取最小时，即最小，当时，最短，然后说明四边形是矩形，可得，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：在上取一点M，使得，连接，如图所示， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 当最小时，即最小，当时，最短， ∵四边形是矩形， ∴． 当时，四边形是矩形， ∴此时． 在中，， ∴， ∴当线段取得最小值时，线段的长度是5． 二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上） 13. 写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得， 使在实数范围内有意义的整数可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 15. 计算：5 + =______． 【答案】 【解析】 【分析】先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 16. 若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 故答案为：4 17. 新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设新能源汽车的年平均增长率为，从2024年底到2026年底共经过2年，结合已知的2026年底预计保有量即可列出方程． 【详解】解：设新能源汽车的年平均增长率为，则2025年底全国新能源汽车保有量为万辆，2026年底全国新能源汽车保有量为万辆， 根据题意可列方程为． 18. 若关于x的分式方程有增根，则a应满足条件______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，求解整式方程的解，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴． 19. 规定一种新的定义：a★b＝－a2，若a＝3，b＝49，则(a★b)★b＝_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中给到的新运算，先计算a★b然后直接代入数据计算(a★b)★b即可. 【详解】因为a★b＝－a2， = 所以 (a★b)★b = =7-4=3 故答案为：3． 【点睛】本题考查定义新运算，解题关键在于熟练掌握运算法则. 20. 如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则与的数量关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】补全折叠前的矩形，设，，由折叠可得，，结合即可得出结论． 【详解】解：补全折叠前的矩形， 设，， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴，即， ∴． 三、解答题（本大题共8题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应的文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 方程两边同乘得，， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 23. 2026年春假期间，宿迁各景区迎来了一波客流小高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的宿迁旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A项王故里；B三台山国家森林公园；C宿迁博物馆；D骆马湖公园；E洋河酒厂文化旅游区；F其他．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． （1）本次调查的样本容量为_____并请你将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，景点D所对应的圆心角的度数为_____； （3）若八年级数学兴趣小组所在学校共有1200名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“项王故里”与“宿迁博物馆”的学生总人数． 【答案】（1）；条形统计图补充如下： （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）用A组人数除以A组占比，即可求得样本容量，再求得C组人数，把条形统计图补充完整即可； （2）计算景点D的占比，再乘以即可解答； （3）利用样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：样本容量为； C组人数为（人） 【小问2详解】 解：景点D所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校最喜爱“项王故里”与“宿迁博物馆”的学生总人数为人． 24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，， 求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形 ， ， 的平分线交于点， ， ， 同理可得， ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． （2）作于，根据，先求出即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于， 四边形是菱形， ，， ，， ，， 在中，， ， ， 菱形的面积为， ， 解得， 平行四边形的面积为． 25. 仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） （1）如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． （2）如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①连接平行四边形的对角线、交于点，连接延长交于点，点F即为所求中点； ②连接延长交于点，点H即为所求，满足； （2）连接正方形的对角线、交于点O，连接交于点P，连接并延长交于M，点M即为所求，满足． 【小问1详解】 解：①如图，点即为所求； ②如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 证明：四边形是正方形， 垂直平分、、， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 26. 第二十二届中国（深圳）国际文化产业博览交易会定于2026年5月21日至25日在深圳国际会展中心举办．某文创商家为展会准备、两款“深圳城市地标”纪念徽章．已知每件款徽章比每件款徽章贵10元，用2000元购买的款徽章与用1600元购买的款徽章数量相同． （1）求每件款徽章与每件款徽章的售价分别是多少元？ （2）若某公司计划花费不超过2800元，购置、两种徽章共60件，作为员工奖品发放，则最多可以购买款徽章多少件？ 【答案】（1）每件款徽章的售价为50元，每件款徽章的售价为40元 （2）最多可以购买款徽章40件 【解析】 【分析】（1）设每件款徽章的售价为元，则每件款徽章的售价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设可以购买款徽章件，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件款徽章的售价为元，则每件款徽章的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意； （元）， 答：每件款徽章的售价为50元，每件款徽章的售价为40元． 【小问2详解】 解：设可以购买款徽章件，由题意得： 解得：， 答：最多可以购买款徽章40件． 27. 已知正方形，，点是边上的一个动点（不与，重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，点在上运动的过程中，线段、与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现； （3）如图3，连接，则的最小值是______（直接写出答案）． 【答案】（1） （2）， 证明：如图，延长至，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 将绕点顺时针旋转至， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质证明，即可解决问题； （2）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，可得结论； （3）证明，可得点在的外角角平分线上运动，作点关于的对称点，连接，点，点，点三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 将绕点顺时针旋转至， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上取点，使，连接，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在的外角角平分线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接， ，， 点，点，点三点共线时，有最小值为的长， ， 有最小值为． 28. 配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式 变形为的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 例如：①分解因式：； 解：原式； ②求代数式 的最小值． 解：原式 ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）比较：与的大小； （3）已知实数a，b满足n为自然数，求n的最小值． （4）如图，在中，，，为斜边的中点，于点，为中点，连接DF．当，时，的值是_____． 【答案】（1） （2） （3）12 （4）1 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）作差，利用配方法求出大于0，求解即可； （3）联立，配方求得，利用，求得求解即可； （4）根据题意，，，分别在，中，利用勾股定理，表示出，然后配方求解即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， 所以． 【小问3详解】 ，即，即， 即， 或， 当时，解得（舍）； 当时，解得， 又， ， ， ，即， 又n为自然数， n的最小值为12． 【小问4详解】 在中，，，为斜边的中点， ， 又为中点，， ，，， 又于点， ， 在中，，即， 又在中，，，即， ， ，即，即， 或， 解得或（舍） 的值是1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $