精品解析：江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校2024-2025学年八年级下学期数学期末考试试卷

初二数学试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸的相应位置上） 1. 下列选项中的图形，是中心对称图形的题（ ） A. B. C. D. 2. 某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是（ ） A. 该校300名八年级学生是总体 B. 抽取的50名学生是总体的一个样本 C. 每个八年级学生每周课外阅读时间是个体 D. 样本容量是6 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 9 B. C. D. 3 5. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象关于y轴对称 C. 点和点都在图象上 D. 当时， 7. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 8. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 9. “据天气预报，南京明天的最高气温是摄氏度”这一事件是___________（填随机事件、必然事件或不可能事件）． 10. 若有意义，则的取值范围是________． 11. 小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 391 根据以上数据，可以估计“钉尖着地”的概率为_______．（结果精确到） 12. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为_______． 13. 已知关于x的方程有增根，那么________． 14. 若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______． 15. 在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是______（用“”表示）． 16. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到0.4米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 17. 如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 18. 如图，在矩形中，点O是对角线的中点，的平分线交于点E，交的延长线于点F，点P是的中点，连接，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：请从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数，求此分式的值． 21. 如果方程中只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程．下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：， 解：①将常数项移到方程右边，得： ②方程左右两边同除以二次项系数2，得： ③方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ④方程左边配成完全平方形式，得： ⑤方程左右两边同时开平方，得： ⑥写出方程的解，得：，． 这种解法叫做配方法，它是将一元二次方程先转化为二次项系数为1的方程，通过配方，将方程左边配成完全平方形式，右边为非负数的形式． 请用上述方法解下列方程： （1）． （2）． 22. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； （2）作出与与关于原点成中心对称的； （3）通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________． 23. 为了传承优秀传统文化，我市组织了一次七年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表： 组别 成绩分组 频数 频率 A 35≤x＜38 3 0.03 B 38≤x＜41 a 0.12 C 41≤x＜44 20 0.20 D 44≤x＜47 35 0.35 E 47≤x≤50 30 b 请根据所提供的信息解答下列问题： （1）频率统计表中a＝　 　，b＝　 　； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中D组的圆心角是　 　度； （4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？ 24. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，求的面积． 25. 截至2024年底，全国新能源汽车保有量达3140万辆．为保障新能源汽车出行，某停车场拟购买A，B两种充电桩．已知A种充电桩的单价比B种充电桩的单价多1万元，投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样． （1）求购买每个A种，B种充电桩分别需投资多少万元； （2）若购买A，B两种充电桩共20个，要求购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，问购买多少个A种充电桩时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 26. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： （1）根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； （2）猜想的结果，并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，，，且，求T的值． 27. 平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点交x轴于C点，点在函数、的图象上． （1）分别求函数，的表达式； （2）写出使成立的x的范围是_______； （3）连接，若点P在x轴上，的面积等于的面积，求点P的坐标． 28. 四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． （1）求证：矩形是正方形； （2）若，，求正方形的边长； （3）点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸的相应位置上） 1. 下列选项中的图形，是中心对称图形的题（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是（ ） A. 该校300名八年级学生是总体 B. 抽取的50名学生是总体的一个样本 C. 每个八年级学生每周课外阅读时间是个体 D. 样本容量是6 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．该校300名八年级学生每周课外阅读时间是总体，原说法错误，故本选项不合题意； B．抽取的50名学生每周课外阅读时间是总体的一个样本，原说法错误，故本选项不合题意； C．每个八年级学生每周课外阅读时间是个体，说法正确，故本选项符合题意； D．样本容量是50，原说法错误，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象；总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式满足的条件是解答的关键．根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】解：A．，被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．是最简二次根式，故本选项符合题意； C．，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 9 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，须同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 即，且， ∴． 故选：D． 5. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O顺时针旋转变为， ∴，故B，C，D选项正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意． 故选：A． 6. 点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象关于y轴对称 C. 点和点都在图象上 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性． 【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意； B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意； C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意； D、当时，，选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下： 根据三角形的中位线定理得： ，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 8. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 9. “据天气预报，南京明天的最高气温是摄氏度”这一事件是___________（填随机事件、必然事件或不可能事件）． 【答案】随机事件 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：“据天气预报，南京明天的最高气温是摄氏度”这一事件是随机事件． 故答案为：随机事件． 10. 若有意义，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键． 11. 小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 391 根据以上数据，可以估计“钉尖着地”的概率为_______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率； 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， 所以估计“钉尖着地”的概率为， 故答案为：． 12. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据数轴得，然后利用二次根式的性质得到，再去绝对值，合并即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：7． 13. 已知关于x的方程有增根，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根,得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得， 由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程， ， 解得， 故答案为：． 14. 若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列出关于k的一元一次不等式，解不等式并结合方程有意义的条件即可求得k的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵该分式方程的解是非负数，且， ∴，且， 解得且． 故答案为：且． 15. 在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是______（用“”表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质、比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象位于二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴． 故答案为：． 16. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到0.4米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵500度近视镜片的焦距为0.2米， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴当时，， ∴当时，， 则， ∴小雪的近视眼镜的度数减少了150度． 故答案为：150． 17. 如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质定理与判定定理， 过点F作交于点G，利用全等三角形的判定定理与性质定理证明得到，，再根据平行四边形的性质定理与判定定理证明四边形为平行四边形，得到即可得解．添加平行线构造全等三角形是解答的关键． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴，又， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 18. 如图，在矩形中，点O是对角线的中点，的平分线交于点E，交的延长线于点F，点P是的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点G，连接、，由平分结合矩形的性质可得，根据三角形的中位线定理可得，，同理可得：，，易得，，，于是可证得，则，进而即可求解． 【详解】解：连接，取的中点G，连接、， ∵在矩形中， ，， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O是对角线的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：，而， ∴，， ∴，而为中点，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、解分式方程，熟练掌握二次根式的性质以及分式方程的求解步骤是解答的关键． （1）先根据二次根式的性质和乘法运算法则计算，再加减运算即可求解； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后对计算结果进行检验即可得到方程的解． 【详解】解：（1） ． （2）去分母，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 20. 先化简，再求值：请从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数，求此分式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵a≠0且a≠±2，a≠-1， ∴a=1， 则原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21. 如果方程中只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程．下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：， 解：①将常数项移到方程右边，得： ②方程左右两边同除以二次项系数2，得： ③方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ④方程左边配成完全平方形式，得： ⑤方程左右两边同时开平方，得： ⑥写出方程的解，得：，． 这种解法叫做配方法，它是将一元二次方程先转化为二次项系数为1的方程，通过配方，将方程左边配成完全平方形式，右边为非负数的形式． 请用上述方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的求解过程是解答的关键． （1）仿照例题中的配方法求解过程求解即可； （2）仿照例题中的配方法求解过程求解即可． 【小问1详解】 解： ①将常数项移到方程右边： ②方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ③方程左边配成完全平方形式，得： ④方程左右两边同时开平方，得： ⑤写出方程的解，得：， 【小问2详解】 解： ①将常数项移到方程右边，得： ②方程左右两边同除以二次项系数3，得： ③方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ④方程左边配成完全平方形式，得： ⑤方程左右两边同时开平方，得： ⑥写出方程的解，得：，． 22. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； （2）作出与与关于原点成中心对称的； （3）通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________． 【答案】（1）由题意可得，平移后的图像如图所示， （2）由题意可得，图像如图所示， （3）； 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质直接作图即可得到答案； （2）根据中心对称的性质直接找到对应点即可得到答案； （3）连接，交于一点即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图连接，交于一点即为点P， 即可得到点P的坐标为：； 23. 为了传承优秀传统文化，我市组织了一次七年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表： 组别 成绩分组 频数 频率 A 35≤x＜38 3 0.03 B 38≤x＜41 a 0.12 C 41≤x＜44 20 0.20 D 44≤x＜47 35 0.35 E 47≤x≤50 30 b 请根据所提供的信息解答下列问题： （1）频率统计表中a＝　 　，b＝　 　； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中D组的圆心角是　 　度； （4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？ 【答案】（1）12，0.3；（2）见解析；（3）126；（4）1020人． 【解析】 【分析】（1）根据各组的频数=总数×频率，即可求a.根据各组的频率=频数÷总数，即可求b.（2）由（1）知a＝12，补全的频数分布直方图即可.（3）根据圆心角=360°×频率，即可求解.(4)用总人数×不低于41分的学生的频率，即可求解. 【详解】解：（1）a＝100×0.12＝12， b＝30÷100＝0.3， 故答案为12，0.3. （2）由（1）知a＝12， 补全的频数分布直方图如右图所示. （3）在扇形统计图中D组的圆心角是：360°×0.35＝126°， 故答案为126. （4）1200×（1﹣0.03﹣0.12）＝1020（人）， 答：该次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，正确理解各图表中数据的意义是解题关键. 24. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质证明，因为，则，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作答． （2）根据四边形是平行四边形，则，即，因为平分，所以，结合，运用勾股定理算出，根据面积公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ． ， ． ． ，即． ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． ， 在中，． ∴． 25. 截至2024年底，全国新能源汽车保有量达3140万辆．为保障新能源汽车出行，某停车场拟购买A，B两种充电桩．已知A种充电桩的单价比B种充电桩的单价多1万元，投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样． （1）求购买每个A种，B种充电桩分别需投资多少万元； （2）若购买A，B两种充电桩共20个，要求购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，问购买多少个A种充电桩时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）每个A种充电桩需投资3万元，每个B种充电桩需投资2万元 （2）购买14个A种充电桩时，可使投资总额最少为万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设购买每个A种充电桩需投资x万元，则购买每个B种充电桩需投资万元，根据投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样，列出分式方程，解方程并检验即可； （2）设购买m个A种充电桩，则购买个B种充电桩，设投资总额为w万元，先根据购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后w关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设购买每个A种充电桩需投资x万元，则购买每个B种充电桩需投资万元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：购买每个A种充电桩需投资3万元，购买每个B种充电桩需投资2万元； 【小问2详解】 解：设购买m个A种充电桩，则购买个B种充电桩， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为14， 设投资总额为w万元， 根据题意得：， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最小值，最小值， 答：购买14个A种充电桩时，可使投资总额最少，投资总额最少为万元． 26. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： （1）根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； （2）猜想的结果，并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，，，且，求T的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是； 故答案为： 【小问2详解】 解：猜想：， 证明： ； 【小问3详解】 解：当，时， 27. 平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点交x轴于C点，点在函数、的图象上． （1）分别求函数，的表达式； （2）写出使成立的x的范围是_______； （3）连接，若点P在x轴上，的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，利用数形结合得到成立时的范围即可； （3）先求出的面积为 12 ，设的坐标为的面积为：，求出值即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：∵点在函数的图象上． ， ∴反比例函数解析式为， ∵横坐标为 2 的点在反比例函数的图象上， ， ∵点与点关于点对称， ， ∵一次函数的图象经过点，点， ∴ ，解得：， ． 【小问2详解】 解：如图，由直线解析式为可得， 根据函数图象可知，成立的的范围是． 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴轴， ∴， 设的坐标为， ∴的面积为：， 解得或， ∴ P的坐标为或． 28. 四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． （1）求证：矩形是正方形； （2）若，，求正方形的边长； （3）点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【小问1详解】 证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； 【小问3详解】 解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、角平分线的性质等知识，综合性强，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $