第二十五章一元二次方程题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章一元二次方程题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册（17题型） 题型1：识别一元二次方程 典型例题 例1．下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固练习 练1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 练2. 下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. x﹣1=0 B. x2+5=0 C. x3+x=3 D. ax2+bx+c=0 题型2：由一元二次方程的概念求参数的值与取值范围 例2.是一元二次方程，则m=___________． 练1．若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3 练2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 题型3：一元二次方程的一般形式 例3.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 练1．把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 练2．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 ． 题型4：由一元二次方程的解求值 例4.若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 巩固练习 练1．若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，则k的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 练2．已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　 ． 题型5：由一元二次方程的根求另一方程的根 例5.关于的方程的解是，（、为常数），则方程的解是_____． 巩固练习 练1.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 练2.已知一元二次方程有一个根为，则另一根为________． 题型6：用直接开平方法解一元二次方程 典型例题 例6．解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 巩固练习 1. 方程x2＝1的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2 2．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　． 3.解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 题型7：配方法解一元二次方程 典型例题 例7．用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 巩固练习 1．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（　　） A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9 2.填空_______=______ 3.解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法） 题型8：公式法解一元二次方程 典型例题 例8．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 巩固练习 1．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　） A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60 2.用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 3.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0． 题型9：因式分解法解一元二次方程 典型例题 例9．用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 巩固练习 1.方程x2＝4x的解是（　　） A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0 2．一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1 3.用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2． 题型10：用指定方法解一元二次方程 典型例题 例10．按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 巩固练习 1.要求解方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法） 2.解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 题型11：用适当的方法解一元二次方程 典型例题 例11．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0． 巩固练习 1．用下列哪种方法解方程2（x﹣1）2＝8最合适（　　） A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法 2.用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 3.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 题型12：传播问题 典型例题 例1．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 巩固练习 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（    ） A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36 C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36 3．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，全班有多少名学生？ 题型13：增长率问题 典型例题 例13．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元 (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元？请说明理由． 巩固练习 1.某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（　　） A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20 2.某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是 　 　． 3.某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台． (1)求该商店11，12两个月的月均增长率； (2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价． 题型14：面积问题 典型例题 例14．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？    巩固练习 1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 2．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 3．如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 题型15：动态几何问题 典型例题 例15．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．    (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 巩固练习 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 2．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 题型16：销售问题 典型例题 例16．汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆． (1)当售价为万元辆时，求平均每周的销售利润． (2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为万元，每辆汽车的售价定为多少合适？ 巩固练习 1．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 2.某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　 　元． 3．世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元． 题型17：数字问题 典型例题 例17．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数. 巩固练习 1．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2 2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是__________． 3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章一元二次方程题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册（17题型） 题型1：识别一元二次方程 典型例题 例1．下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 巩固练习 练1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 练2. 下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. x﹣1=0 B. x2+5=0 C. x3+x=3 D. ax2+bx+c=0 【答案】B 题型2：由一元二次方程的概念求参数的值与取值范围 例2.是一元二次方程，则m=___________． 【答案】4 练1．若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3 【答案】C． 练2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 【答案】C． 题型3：一元二次方程的一般形式 例3.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 巩固练习 练1．把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 【答案】C 练2．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 ． 【答案】﹣5． 题型4：由一元二次方程的解求值 例4.若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 【答案】 巩固练习 练1．若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，则k的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【答案】D． 练2．已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　 ． 【答案】﹣4． 题型5：由一元二次方程的根求另一方程的根 例5.关于的方程的解是，（、为常数），则方程的解是_____． 【答案】 巩固练习 练1.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 【答案】 练2.已知一元二次方程有一个根为，则另一根为________． 【答案】4 题型6：用直接开平方法解一元二次方程 典型例题 例6．解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 【答案】解：（x﹣2）20， （x﹣2）2， （x﹣2）2， x﹣2＝±， 所以x1，x2． 巩固练习 1. 方程x2＝1的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2 【答案】C． 2．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　． 【答案】2． 3.解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 【答案】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2， ∴2（x+1）＝±3（x﹣2）， ∴x1＝8，x2． 题型7：配方法解一元二次方程 典型例题 例7．用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 【答案】解：4x2﹣8x﹣7＝0， 4x2﹣8x＝7， x2﹣2x， 配方得x2﹣2x+121， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x＝1±， ∴x1＝1，x2＝1． 巩固练习 1．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（　　） A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9 【答案】A． 2.填空_______=______ 【答案】          3.解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法） 【答案】解：∵2x2﹣5x＝﹣1， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2， 则x±， ∴x． 题型8：公式法解一元二次方程 典型例题 例8．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【答案】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0， ∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0， ∴x， ∴x1，x2． 巩固练习 1．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　） A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60 【答案】D． 2.用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 【答案】D． 3.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0． 【答案】解：方程2x2﹣7x+6＝0， 这里a＝2，b＝﹣7，c＝6， ∵Δ＝49﹣48＝1＞0， ∴x， 则x1＝2，x2＝1.5． 题型9：因式分解法解一元二次方程 典型例题 例9．用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【答案】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3）， ∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（2﹣3x）＝0， ∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0， 解得x1＝3，x2． 巩固练习 1.方程x2＝4x的解是（　　） A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0 【答案】C 2．一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1 【答案】C． 3.用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2． 【答案】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0， 分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0， 可得4﹣x＝0或3x+2＝0， 解得：x1＝4，x2． 题型10：用指定方法解一元二次方程 典型例题 例10．按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 【答案】解：（1）（x+1）2＝144， 则x+1＝12或x+1＝﹣12， 解得：x1＝﹣13，x2＝11； （2）移项，得：x2﹣8x＝9， 配方，得x2﹣8x+16＝25， 则（x﹣4）2＝25， 即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5， 解得：x1＝9，x2＝﹣1； （3）a＝2，b＝7，c＝3， △＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0． 则x， 则x1＝﹣3，x2； （4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0， 因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0， 即（x﹣2）（2x﹣6）＝0， 则x﹣2＝0或2x﹣6＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． 巩固练习 1.要求解方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法） 【答案】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0， 由此得，x﹣2＝0，x+1＝0， 所以，x1＝2，x2＝﹣1； （2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0， 即（x﹣2）2＝1， 所以，x﹣2＝±1， 所以，x1＝3，x2＝1； （3）a＝1，b＝5，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24， x， x1，x2； （4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x）， 所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5， 解得x1＝3，x2＝1． 2.解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 【答案】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0， ∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0， 则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0， 解得x1，x2． 题型11：用适当的方法解一元二次方程 典型例题 例11．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0． 【答案】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0， 将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0， 即x+4＝0，x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1． （2）x2﹣2x﹣15＝0， 将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0， 则x+3＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝5． 巩固练习 1．用下列哪种方法解方程2（x﹣1）2＝8最合适（　　） A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法 【答案】B． 2.用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 【答案】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0， x， 所以x1，x2； （2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． （x+1）（x+1﹣3）＝0， x+1＝0或x+1﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝2． 3.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2） 整理得， ， 或， ，． 题型12：传播问题 典型例题 例1．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6；(2)(3)8 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 巩固练习 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B． 2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（    ） A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36 C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36 【答案】B 3．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，全班有多少名学生？ 【答案】解：设全班有x名学生，根据题意得： x（x﹣1）＝1640， 解得x＝﹣40（舍去）或x＝41， 答：全班有41名学生． 题型13：增长率问题 典型例题 例13．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元 (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元？请说明理由． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x， ，（舍） 答：4、5两月平均每月降价的百分率是． （2）否，理由如下： ∵（元） ， ∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元． 巩固练习 1.某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（　　） A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20 【答案】C． 2.某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是 　 　． 【答案】10%． 3.某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台． (1)求该商店11，12两个月的月均增长率； (2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价． 【答案】(1)(2)2750元 【详解】（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为，则该商店去年11月份售出台，12月份售出台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该商店11，12两个月的月均增长率为； （2）设每台冰箱的售价为元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每台冰箱的售价为2750元． 题型14：面积问题 典型例题 例14．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？    【答案】鸡舍的边长、分别是9米，10米． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米，的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，， 即，， 答：鸡舍的边长、分别是9米，10米． 巩固练习 1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 【答案】x(x+12)=864 3．如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 【答案】解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形， 根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216， 整理得：x2﹣15+14＝0， 即（x﹣1）（x﹣14）＝0， 解得：x1＝1，x2＝14， 当x＝14时，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：人行通道的宽度是1米． 题型15：动态几何问题 典型例题 例15．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．    (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或； (2)4秒或6秒． 【详解】（1）解：过点P作于E， 设x秒后，点P和点Q的距离是． ， ∴， ； ∴经过或，P、Q两点之间的距离是； （2）解：连接．设经过后△PBQ的面积为． ①当时，， ∴，即， 解得； ②当时，， 则， 解得（舍去）； ③时，， 则， 解得（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为． 巩固练习 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 【答案】A 2．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 【答案】1或4##4或1 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 【答案】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得： ×2t（6﹣t）=××6×8， 解得：t=2或4． 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一． （2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得： （6﹣x）2+（2x）2=36， 解得：x=0（舍去）或x=． 答：秒时，P、Q相距6厘米． 题型16：销售问题 典型例题 例16．汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆． (1)当售价为万元辆时，求平均每周的销售利润． (2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为万元，每辆汽车的售价定为多少合适？ 【答案】(1)平均每周的销售利润是万元 (2)每辆汽车的售价定为万元更合适 【详解】（1）解：∵当售价为万元辆时，平均每周销量为：（辆， ∴平均每周利润为：（万元）， 答：平均每周的销售利润是万元； （2）解：设每辆汽车的售价是万元， ． 化简，得， ， 解得：，， 由于希望增大销量，定价万元售价更合适， 答：每辆汽车的售价定为万元更合适． 巩固练习 1．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【答案】D． 2.某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　 　元． 【答案】50． 3．世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元． 【答案】解：设每张书签应降价x元，则每张的销售利润为（0.5﹣x）元，平均每天可售出（500+×200）张， 根据题意得：（0.5﹣x）（500+×200）＝270， 整理得：100x2﹣25x+1＝0， 解得：x1＝0.2，x1＝0.05． 答：每张书签应降价0.2元或0.05元． 题型17：数字问题 典型例题 例17．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数. 【答案】24或15 【详解】试题分析：首先设个位数字为x，则十位数字为（6-x），由题意得等量关系：两个数字的积=这个两位数的，根据等量关系列出方程，再解即可． 试题解析：设个位上的数为x，则十位数字为(6-x)，由题意得： x(6-1)=[10(6-x)+x]， 解得：x1=4，x2=5， 十位数字为：6-4=2，或6-5=1 这个两位数是：15或24 巩固练习 1．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2 【答案】B． 2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是__________． 【答案】25或36 3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数． 【答案】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）． ∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27， 解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）． ∴x2﹣9＝7， ∴10（x2﹣9）+x＝74． 答：原两位数为74． 学科网（北京）股份有限公司 $