精品解析：天津市弘毅中学2025-2026学年第二学期第二次过程性诊断高二数学试卷

天津市弘毅中学2025—2026学年度第二学期第二次过程性诊断 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，则. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的解集，然后根据和或的包含关系以及充分性和必要性的概念即可求解. 【详解】由，解得或， 又因为或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】为奇函数，，解得， 时，， ，符合题意， ． 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点和单调性判断即可. 【详解】令，因为， 所以当时有：，方程无实数解， 当时有：，解得（舍去）或， 所以函数有一个零点，即函数图象与轴负半轴有交点，故A、D选项错误； 当时，函数，因为与在上单调递减， 所以当在上单调递减， 故B选项正确，C选项错误. 6. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 由正态分布的对称性得，故B正确. 7. 某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（ ） A. 1% B. 1.45% C. 2.45% D. 5% 【答案】C 【解析】 【详解】记事件为零件为废品，事件为甲机器生产的产品，事件为乙机器生产的产品． 则． 8. 某班从包括甲乙在内的名学生中，选择人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙两人至多一人参加的对立事件为甲乙都参加，利用事件的对立面求方法数即可. 【详解】根据题意，名学生中，选择人参加植树活动共有种方法， 而甲乙都参加的情况有种方法， 则甲乙两人至多一人参加的方法数有种. 故选：C. 9. 已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析函数的特征，结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】当时，时，， 此时存在使得成立； 当时，当时，开口向上，对称轴为， 若，即时，函数在上单调递增， 若，此时函数在上单调递增， 要使存在使得成立， 则，解得，则； 若，此时函数在上单调递减， 要使存在使得成立， 则，解得，则； 若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时存在使得成立. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 函数的定义域是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 11. 已知变量与的一组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 3 5 7 9 11 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则______，当时，的预测值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 17 【解析】 【分析】根据回归直线经过样本中心点，代值计算即可. 【详解】由题可知：， 所以，当时，的预测值为. 故答案为：2；17 12. 的展开式中的系数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则，， 则的展开式中的系数是. 13. 从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个数排成一个不单调的数列，有________种排法． 【答案】 【解析】 【分析】采用排除法，先计算从6个数中任取4个数的全排列总数，再减去单调递增、单调递减的数列个数，即可得到不单调的数列排法数. 【详解】1、计算总排列数：从6个互不相同的数中任取4个进行排列， 总排法为排列数 2、计算单调数列的个数： 由于选出的4个数互不相同，对任意一组选出的4个数，严格单调递增的排列唯一，严格单调递减的排列也唯一， 从6个数中选取4个数的组合数为：， 因此单调递增数列共15种，单调递减数列共15种， 合计单调数列有种 计算不单调数列的排法： 不单调数列的排法数=总排列数单调数列排法数， 即. 14. 为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________． 【答案】 ①. ； ②. 58 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为； 至少抽到1张“获奖卡”的概率为， 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则， 所以． 故答案为：； 15. 已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，利用导数几何意义写出过的切线方程，进而有有三个不同值，即与有三个不同交点，导数研究的极值，即可求参数范围. 【详解】由，设切点为，则切线斜率为， 所以，过的切线方程为， 综上，，即， 所以有三个不同值使方程成立， 即与有三个不同交点，而， 故、上，递减，上，递增； 所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点， 综上，的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知曲线在坐标原点处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）求在上的最值. 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）直接根据切点在曲线上及导数的几何意义可得； （2）直接对函数求导，并求函数的极值，并列表判断可得. 【小问1详解】 因为切点为原点，则 ，得. 又 ，斜率 ，得 . 因此 ，. 【小问2详解】 由（1）得 ，，令  得  或 ． 计算得 ，，，，比较得最大值为 ，最小值为 . 因此函数在上的最大值为，最小值为 . 17. 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 （1）请将列联表补充完整； （2）根据小概率值的独立性检验，分析喜欢阅读电子书是否与年龄有关. 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析 （2）有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关 【解析】 【分析】（1）根据题意即可完成列联表； （2）根据列联表计算出的值，结合独立性检验的思想即可求解. 【小问1详解】 根据题意，可得如下的的列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 6 24 30 喜欢阅读纸质书 12 18 30 总计 18 42 60 【小问2详解】零假设：喜欢阅读电子书相互独立，即喜欢阅读电子书无关联. 由的列联表可得： ， 所以推断零假设不成立，即认为喜欢阅读电子书与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过，所以有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关. 18. 已知函数，，集合． （1）求． （2）讨论函数在A上的单调性； （3）若命题“，”是假命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得，然后由补集定义可得答案； （2）由题可得，然后结合，讨论解集可得单调性； （3）由题可得""为真命题，分离参数后构造函数求导分析单调性得到最值可得. 【小问1详解】 ， 则； 【小问2详解】 ，时，. 当时，在上单调递增； 当时，， 则此时在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 由题可得""为真命题，即. ，则. 令，，， ， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 从而. 19. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）甲应该采用“五局三胜制”． 【解析】 【分析】（1）根据乘法公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出； （3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论. 【小问1详解】 若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以． 【小问2详解】 易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 所以的数学期望为：． 【小问3详解】 采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 【答案】（1） （2）在上单调递增. （3）证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【小问1详解】 因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： 【小问2详解】 因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市弘毅中学2025—2026学年度第二学期第二次过程性诊断 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 7. 某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（ ） A. 1% B. 1.45% C. 2.45% D. 5% 8. 某班从包括甲乙在内的名学生中，选择人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 函数的定义域是________ 11. 已知变量与的一组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 3 5 7 9 11 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则______，当时，的预测值为______． 12. 的展开式中的系数是_________. 13. 从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个数排成一个不单调的数列，有________种排法． 14. 为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________． 15. 已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知曲线在坐标原点处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）求在上的最值. 17. 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 （1）请将列联表补充完整； （2）根据小概率值的独立性检验，分析喜欢阅读电子书是否与年龄有关. 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知函数，，集合． （1）求． （2）讨论函数在A上的单调性； （3）若命题“，”是假命题，求实数a的取值范围． 19. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $