1.3 第1课时 矩形的性质（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边中线定理，通过“给平行四边形加直角条件”导入，引导学生测量课本、桌子等实物的边长、角度和对角线，猜想并证明矩形性质，搭建从平行四边形到矩形的知识支架。 其亮点是以探究活动培养数学眼光，通过实物测量发展几何直观与空间观念，以严谨证明训练数学思维强化推理意识。结合水杯截面、油菜花田等生活情境题，用数学语言表达现实问题提升应用意识，助力学生主动探究，教师高效教学。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 1.3 第1课时 矩形的性质 第一章 特殊平行四边形 1.3 第1课时 矩形的性质（精讲讲义） 矩形是继菱形之后第二种特殊平行四边形，中考必考基础几何题型。本节课重点掌握矩形的专属性质、核心推论、几何计算与简单证明。矩形性质常结合勾股定理、直角三角形性质综合考查，是后续矩形判定、正方形综合题的基础。 一、矩形的定义（基础必背） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 两层核心含义： 1. 矩形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有通用性质； 2. 专属特殊条件：一个内角为90°，由此衍生所有矩形独有性质。 二、矩形的完整性质（必考核心） 1. 边的性质（与平行四边形一致） 对边平行且相等，邻边互相垂直。矩形没有四边相等的性质（区别于菱形）。 2. 角的性质（矩形独有） 矩形的四个角都是直角（90°）。 推论：矩形任意邻边垂直，所有内角相等，是角度最规整的特殊平行四边形。 3. 对角线性质（重难点、高频考点） 矩形的对角线互相平分且相等。 重点区分： ① 平行四边形：对角线只平分、不相等； ② 菱形：对角线垂直、不相等； ③ 矩形：对角线相等、不垂直（正方形除外）。 4. 对称性 矩形是中心对称图形（对角线交点为对称中心）； 矩形是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）。 三、矩形黄金推论（秒杀结论） 重要定理：直角三角形斜边中线定理 内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 推导来源：将直角三角形补成矩形，斜边即为矩形对角线，利用矩形对角线相等且平分可证。 考试用途：求线段长度、证明线段相等、构造等腰三角形，是几何高频秒杀工具。 四、矩形面积公式 $$\boldsymbol{S=\text{长}\times\text{宽}}$$ 矩形无对角线求面积公式（区别菱形），切勿混淆乱用。 五、经典例题精讲（标准考试步骤） 例1 对角线长度计算 已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，求对角线AC的长。 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： $$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$$ 答：对角线AC长为10。 例2 斜边中线定理应用 已知Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=12，求AB边上的中线长。 解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴ 中线长$$=\dfrac12AB=6$$。 例3 矩形角度计算 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，求证：△AOB为等边三角形。 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ $$OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD，AC=BD$$， ∴ OA=OB， 又∵ ∠AOB=60°， ∴ △AOB是等边三角形。 经典模型：矩形对角线夹角为60°或120°，必出等边三角形。 六、本节高频易错点（扣分重点） 1. 混淆图形性质：矩形对角线相等不垂直，菱形对角线垂直不相等； 2. 矩形四条边不相等，邻边长度一般不等； 3. 误用菱形面积公式计算矩形面积； 4. 忘记直角三角形斜边中线定理，导致简单线段计算复杂化； 5. 误判对称轴：矩形只有2条对称轴，不是4条（正方形是4条）。 七、同步专项习题（含答案） 1. 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则对角线长为____。 答案：5 2. 直角三角形斜边为10，则斜边上的中线长为____。 答案：5 3. 下列属于矩形独有性质的是（ ） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线平分 答案：C 4. 矩形对角线相交成60°角，较短边长为5，则对角线长为____。 答案：10 1. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题；（重点、难点） 2. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（重点） 学习目标 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 问题：如果给平行四边形加一个条件“有一个角为直角”，会得到什么特殊图形？ 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ A B C D O 角特殊化 A B C D O 探究点一：矩形的性质 活动：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. 探究点一：矩形的性质 A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 探究点一：矩形的性质 证明：(1) ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC =∠CDA，∠BCD =∠DAB(矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行)。 ∴∠ABC +∠BCD = 180°。 又∵∠ABC = 90°， ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°. 【证一证】已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：(1) ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°. A B C D O 探究点一：矩形的性质 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC (矩形的对边相等)。 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴ AC = DB。 A B C D O 【证一证】已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：(2) AC = BD。 探究点一：矩形的性质 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O， 故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 【知识要点】 探究点一：矩形的性质 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD. ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°. ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. A B C D O 探究点一：矩形的性质 还有其他解法吗？ 例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD， DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. 探究点一：矩形的性质 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C 【练一练】 探究点一：矩形的性质 观察·思考 如图(1)，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 E。将矩形纸片沿 AC 剪开，得到图 (2) 所示的图形，BE 是Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ A 　 B 　 C 　 D 　 E 　 B C E A 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 (1) (2) 证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE， 连接 AD，CD. ∵AE = EC，BE = ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. 【证一证】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC. ∴ BE = BD = AC. E C B A D 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； 解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4. ∴四边形AEDF的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18. 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 (2)求证：EF 垂直平分 AD. 证明：∵ DE＝AE，DF＝AF， ∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 总结 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 【练一练】 2.如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE. 解：连接 EG，DG. 由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，DG＝ BC. ∴ EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 归纳：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线的性质常见模型 【归纳总结】 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 知识点1 矩形的边角性质 （第1题） 1. [2026威海期末] 如图，矩形 为一 个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与 的交点为，当水杯底面 与水平面的 夹角为 时， 的大小为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 19 （第2题） 2. 如图，在矩形中， ， 将矩形绕点 逆时针旋转，得到矩形 ，点的对应点落在 上，且 ，则四边形 的面积为_________ __. 返回 考试考法 20 （第2题） 【点拨】由题意可知， ， ， . 考试考法 21 知识点2 矩形的对角线性质 （第3题） 3. 如图，矩形的两条对角线 ， 交于点，若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 22 （第4题） 4. 明明的家乡有一片矩形“油 菜花田”，政府决定在矩形油菜花田上建 两条如图所示的小路， ，方便游客 观赏（不考虑路宽），已知 ， ，那么两条小路的总长为 _______. 返回 考试考法 23 5.如图，在矩形中，对角线，相交于点 ，且 ， . 考试考法 24 （1）求证： ； 【证明】 四边形 是矩形， ， ，且 . . 又， ， . 考试考法 25 （2）若 ，，求矩形 的面积. 【解】 ， . 考试考法 26 , 都是等边三角形. . 四边形 是矩形， , . . . 返回 考试考法 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 （第6题） 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面 垂直 的墙上，设木棍的中点为，若木棍 端 沿墙下滑，且 沿地面向右滑行.在此滑动过 程中，点到点 的距离( ) B A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 返回 考试考法 28 7.如图，在矩形中，点为的延长线上一点，为 的中点，以点为圆心，长为半径的圆弧过与 的交 点，连接.若，，则 ___. 3 （第7题） 考试考法 29 矩形 性质 性质应用 矩形的对角线____________ 直角三角形斜边上的中线 矩形的四个角____________ 都是直角 相等 等于斜边的一半 __________________ 课堂小结 $