1.3 第2课时 矩形的判定（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，系统讲解定义法、三个直角判定定理及对角线判定定理。通过回顾上一课时矩形性质，引导学生逆向探究判定方法，构建性质与判定的知识脉络，为后续正方形学习搭建支架。 其亮点在于融入视频资源辅助探究对角线判定定理，通过“猜想-证明-应用”流程培养学生推理能力。设置矩形与菱形判定对比、高频易错点总结，结合分层例题与习题，帮助学生形成几何直观。教师使用可提升教学效率，学生能深化知识理解与应用能力。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 1.3 第2课时 矩形的判定 第一章 特殊平行四边形 1.3 第2课时 矩形的判定（精讲讲义） 上一课时学习了矩形的性质，本节课逆向学习矩形的三大判定定理。矩形判定是几何证明、大题推理、填空选择题高频考点，常与平行四边形性质、直角三角形性质综合考查，也是后续正方形综合题型的基础，和菱形判定题型结构对应，是本章核心重点。 一、判定方法一：定义法（最基础、必背） 判定内容：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 解题逻辑（两步走）： 1. 先证明该四边形是平行四边形； 2. 再证明其中任意一个内角为90°，即可判定为矩形。 适用场景：题目可证平行四边形，且存在垂直、直角、90°角度条件时优先使用。 二、判定方法二：三个直角判定定理 判定内容：有三个角是直角的四边形是矩形。 核心优势：无需先证平行四边形，直接通过四边形的角度判定。 原理推导：四边形内角和为360°，三个角为90°，第四个角必然为90°，四角均为直角的四边形为矩形。 适用场景：题目给出多个垂直条件、多个直角，无需推导平行关系时使用。 三、判定方法三：对角线判定定理（重难点） 判定内容：对角线相等的平行四边形是矩形。 必备前提：必须先证明是平行四边形，再满足对角线相等，才可判定矩形。 致命易错点：对角线相等的任意四边形不一定是矩形，必须是平行四边形才成立！ 拓展结论：对角线互相平分且相等的四边形，可直接判定为矩形（平分证平行，相等证矩形）。 四、三大判定方法择优总结（做题提速口诀） 1. 有平行、有直角 → 用定义法； 2. 角度多、有三个直角 → 用三角直角判定法； 3. 对角线条件充足、有相等关系 → 用对角线判定法。 五、经典例题精讲（考试标准满分步骤） 例1 定义法证明矩形 已知：四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。求证：平行四边形ABCD是矩形。 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， 又∵ ∠A=90°， ∴ 平行四边形ABCD是矩形。（一个角是直角的平行四边形是矩形） 例2 三角直角判定例题 已知：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。求证：四边形ABCD是矩形。 证明： ∵ ∠A=∠B=∠C=90°，四边形内角和为360°， ∴ ∠D=360°-90°×3=90°， ∴ 四边形ABCD四个角均为直角， ∴ 四边形ABCD是矩形。 例3 对角线判定高频大题 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC=BD。求证：平行四边形ABCD是矩形。 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， 且 AC=BD， ∴ 平行四边形ABCD是矩形。（对角线相等的平行四边形是矩形） 例4 综合拔高例题 已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且OA=OB。求证：四边形ABCD是矩形。 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ $$AC=2OA，BD=2OB$$， 又∵ OA=OB， ∴ AC=BD， ∴ 平行四边形ABCD是矩形。 解题技巧：利用对角线平分性质，由线段相等推对角线整体相等，是考试经典套路。 六、矩形、菱形判定核心对比（防混淆） 1. 菱形：邻边相等 / 对角线垂直（平行四边形基础上）； 2. 矩形：一个直角 / 对角线相等（平行四边形基础上）； 3. 四边相等必为菱形，三角为直角必为矩形。 七、本节高频易错扣分点 1. 易错表述：对角线相等的四边形是矩形（❌ 缺少平行四边形前提）； 2. 大题步骤缺失：未先证平行四边形，直接判定矩形，步骤不完整扣分； 3. 判定定理混用：把菱形垂直对角线条件用到矩形判定中； 4. 忽略四边形内角和，不会推导“三角直角推矩形”的逻辑。 八、同步专项习题（含答案） 1. 在平行四边形ABCD中，添加条件____可判定为矩形。 答案：∠A=90°（或AC=BD，答案不唯一） 2. 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠D=90°，则四边形ABCD是____。 答案：矩形 3. 下列能判定四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线垂直 答案：C 4. 平行四边形对角线长分别为6和6，该四边形是____。 答案：矩形 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理；（重点） 2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 学习目标 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 点击视频 开始播放 （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = DC，AB∥DC. 又∵ BC = BC， AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵ AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC = ∠DCB = ×180° = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 【证一证】已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形. A B C D 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中， ∵ AC = BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. A D C B 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 【归纳总结】 理由 对角线相等的平行四边形是矩形. 【议一议】你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形? 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查? 请说明检查方法的合理性，并与同伴交流. 1.先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. 2. 再用绳子测量对角线是否相等. 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC， OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD A A D C B O 【练一练】 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 2. 如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，DO = BO. 又∵∠1 = ∠2， ∴ AO = BO.∴ AC = BD. ∴ □ABCD 是矩形. 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 11 例2 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求▱ABCD 的面积。 A D C B O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD。 又∵△ABO 是等边三角形， ∴ OA = OB = AB = 4。 ∴ OA = OB = OC = OD = 4。 ∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8。 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 A D C B O ∴▱ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。 ∴∠ABC = 90°(矩形的四个角都是直角)。 ∴BC = = = 。 ∴S▱ABCD = AB·BC = 。 在Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB² + BC² = AC²， 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 想一想 至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ (3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 不是矩形 不是矩形 矩形 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 【证一证】 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 【知识要点】 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 【练一练】3. 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB +∠ABC = 180°. ∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、 ∠ABC 的平分线， A B D C H E F G ∴ 四边形 EFGH 为矩形． 同理可得∠FEH =∠EHG = 90°， ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°. 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 知识点1 由矩形的定义判定矩形 1.如图，有下列3个条件：， ， ，从中选取1个作为补充条件，能使 为矩形的有______（填序号）. ②③ 返回 考试考法 19 2.如图，在中，连接，为线段 的中点，延长 与的延长线交于点，连接， .求证： 四边形 是矩形. 考试考法 20 【证明】 四边形 是平行四边 形， . 点是的中点， . 又 ， . 又 ， 考试考法 21 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形. 返回 考试考法 知识点2 由直角的个数判定矩形 （第3题） 3. 如图，在平面直角坐标系中， ，内一个动点 到这 个角两边的距离之和为5，则图中四边 形 的周长是( ) B A. 5 B. 10 C. 20 D. 无法确定 返回 考试考法 23 4. 如图，在矩形中，为边的中点， 为上一点，于，于，当， 满足 条件_ __________时，四边形 为矩形. （第4题） 返回 考试考法 24 知识点3 由对角线的关系判定矩形 5. 在数学活动课上，同学们要检验一个四边形门框是否为矩 形.可行的测量方案是( ) C A. 测量对角线是否平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量对角线是否相等 返回 考试考法 25 6.如图，在中，对角线，相交于点 ， 于点，于点，且 . （1）求证：四边形 是矩形； 考试考法 26 【证明】， ， . 又， ， . 又 四边形 是平行四边形， . 四边形 是矩形. 考试考法 27 （2）若，求 的度数. 考试考法 28 【解】 四边形是矩形， . 又 ， . , . , 是等边三角形. . 返回 考试考法 （第7题） 7. 如图，在平面直角坐标系 中，,两点的坐标分别为,, 为 线段上一动点，以, 为边构造平行 四边形,则使对角线 的值最小的点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 考试考法 30 （第8题） 8. [2025重庆梁平区期末] 如图，在菱 形中，，是 边上一动点，过点分别作 于 点，于点，连接，则 的最小值为( ) A A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 考试考法 31 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 Lavf57.83.100 $