1.3 课时2 矩形的判定定件 2026-2027学年北师大版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，通过“说一说”回顾矩形定义与性质，结合“思考问题”类比菱形判定方法引出探究，搭建从旧知到新知的学习支架，系统呈现判定定理的推导与应用。 其亮点在于以问题链驱动探究，“证一证”环节培养推理能力体现数学思维，“做一做”及书架检查实例强化应用意识展现数学语言，帮助学生发展几何直观与创新意识，教师可借助清晰结构提升教学效率。

1.3 课时2 矩形的判定 说一说：矩形的定义和性质？ 性质 边 角 对角线 矩形 对边平行且相等. 对角线相等且互相平分. 四个角都是直角. 定义： 的平行四边形叫做矩形. 有一个角是直角 还记得我们是怎样得到菱形的判定条件的吗？你能用类似的方法发现矩形的判定条件吗？ ┓ 探究一：矩形的判定定理 问题1：由定义进行矩形的判定，应具备什么条件？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 问题2：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形， 它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？ 成立. C B A D 问题3：至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C A B D C A B D C 猜想1：有三个角是直角的四边形是矩形. 证一证 已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°. 求证: 四边形 ABCD 是矩形. 证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°, ∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴四边形 ABCD 是矩形. 猜想1：有三个角是直角的四边形是矩形. 问题4：矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 猜想2：对角线相等的平行四边形是矩形. 证一证 已知：如图，在□ABCD 中，AC,DB是它的两条对线,AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC.又∵BC = CB，AC = DB， ∴△ABC ≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°. ∴∠ABC=∠DCB= 90°. ∴□ABCD 是矩形. 矩形的判定方法： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形． 3.有三个角是直角的四边形是矩形． C B A D 基本思路： ①是平行四边形，并且有一个是直角→矩形 ②是平行四边形，并且两条对角线相等→矩形 ③四边形，有三个角是直角→矩形 1. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E， 使 DE = AD，连接 BE，CE. （1）试判断四边形 ABEC 的形状； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？ 解:（1）∵AD 为 BC 边上的中线，∴BD=CD, 又∵DE=AD,∴对角线AE、BC互相平分， ∴四边形 ABEC 是平行四边形． （2）由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知， 当∠BAC=90°时，四边形ABCD 是矩形 做一做：已知在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm．同学们以小组形式，讨论并解决以下两个问题，写出解题思路： A B C D O 探究二：矩形的判定定理的应用 （1）如何证明平行四边形 ABCD 是矩形？ （2）已知 AB=4cm，如何求出平行四边形的面积？ ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC,OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB， ∴OA = OB = OC = OD ， ∴AC = BD ， ∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∵□ABCD 是矩形, ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得 AB2+BC2 = AC2， ∴BC= 由(1)可知OA=AB=4,∴AC=2OA=8, ∴=4. ∴S□ABCD = AB·BC = 4×4= 16. A B C D O （2）已知 AB=4cm，如何求出平行四边形的面积？ 矩形的判定方法 定义 的平行四边形叫作矩形. 判定定理1 的四边形是矩形. 的平行四边形是矩形. 判定定理2 有三个角是直角 对角线相等 有一个角是直角 1.如图，要使 成为矩形，需要添加的条件是( ) A. B. C. D. C 2.如图，□ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件_________________________(只添加一个即可)，使□ABCD是矩形． AC＝BD (答案不唯一) 3.下列判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ） （6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； （ ） （8）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． （ ） × × √ √ √ × √ √ 4.如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 解：能. 因为在实际生活中，书架的对边是相等的， 即它已经是一个平行四边形，只需成为矩形即可说明垂直. 这时，用绳子测量书架的两条对角线的长是否相等即可说明是否垂直. $