精品解析：重庆万州区2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷

2025~2026学年度（下）教学质量监测 八年级数学试题卷（A卷） （全卷共三道大题，满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将每小题的答案直接涂在答题卡中对应的位置上． 1. 点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 把分式中、的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 缩小为原来的 3. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 25 4. 将某小组立定跳远数据（单位：）绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（ ） A. 230 B. 203 C. 187 D. 9 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 6. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程无解，且一次函数不过第四象限，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 矩形中，是边一点，是边的中点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数的图象向上平移4个单位后得到的函数图象的解析式为________． 12. 2026年，中国科学院武汉病毒研究所王延轶团队在国际权威期刊《PNAS》上发文：基孔肯雅病毒颗粒的直径约为0.00000007米（70纳米），病毒通过激活宿主细胞的SMARCA4蛋白，上调膜蛋白TMEM47进而诱导细胞质膜重塑，形成直径约50-70纳米的球状复制结构，为病毒RNA复制提供了关键场所．用科学记数法将数据0.00000007表示为________． 13. 学校组甲、乙、丙、丁四名运动员参加运动会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表所示．根据表中数据，你认为应该推选运动员________去参赛，更有把握取得优异成绩． 甲 乙 丙 丁 平均成绩 14. 星期天，小明和小丽相约从学校沿同一条路出发去万州科技馆参观，小丽出发10分钟后小明才出发，结果小丽到了科技馆后等了一会儿小明才到．两人之间的距离（米）与他们步行的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，结合图象可知，小丽到了科技馆等了小明________分钟． 15. 如图，正方形和正方形，，，连接，取的中点，连接，则的长为________． 16. 一个各位数字均不为0的四位正整数，如果千位与百位数字相同，十位与个位数字相同，则我们称这个四位数为“重叠数”．将“重叠数”的千位、十位上的数字交换，百位、个位上的数字也交换，得到一个新四位数，规定．例如，，则．若是最大的“重叠数”，是最小的“重叠数”则________；两个“重叠数”，，其中，．若能被9整除，且，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题共9个小题，17、18每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 按要求完成各题： （1）计算： （2）解方程： 18. 四边形中，，过点作于，且． （1）请用没有刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点； （2）在（1）的作图下，若，求证：四边形为正方形． 解答过程如下，请补充完整： ，， ，， ， ∴ ① ， 在和中，， ， ∴ ③ ， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴ ④ ． ∴四边形为正方形． 19. 学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组等多个研究小组．调查组分别从学校七、八年级各随机抽取20名学生，调查他们一个月的课外劳动时间（单位：，数据四舍五入后取整），对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的课外劳动时间的值为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 七八年级抽取的学生课外劳动时间的平均数、众数、中位数 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 八年级 7.5 8 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）表中________，________；并补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在“劳动创造美好生活”主题的系列活动中表现较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）小宇同学参加了学校举办的“劳动创造美好生活”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达、形象风度的得分分别是86分，90分，85分，若依次按，，的比例确定成绩，求小宇的演讲最终成绩． 20. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 21. 如图1，在平行四边形中，，，，动点从点出发，沿折线运动，设的运动路程为，运动时间为（），的面积为（）． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若函数与函数有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 22. 如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求矩形的周长． 23. 为保障全校物理电学实验课有效开展，学校计划新购进两款不同型号的滑动变阻器．采购时发现甲种滑动变阻器单价是乙种滑动变阻器单价的2倍，用1400元购买的甲种滑动变阻器的数量比用350元购买的乙种滑动变阻器的数量多2个． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元？ （2）该校计划购买甲、乙两种滑动变阻器共30个，甲、乙两种滑动变阻器均需购买，且乙种滑动变阻器的个数不超过甲种滑动变阻器的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数在第二象限相交于点，直线：与反比例函数在第二象限相交于点． （1）求点的坐标； （2）如图2，若点是线段上一动点，当的面积为6时，求点的坐标； （3）如图3，若点是线段上一动点，连接，当时，求点的坐标． 25. 菱形中，对角线、相交于，延长至，使得，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，取的中点，，连接，请你猜想线段与有何数量关系，并证明； （3）如图3，若是射线上一点，连接，将线段绕着逆时针方向旋转得到线段．当，时，请你直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度（下）教学质量监测 八年级数学试题卷（A卷） （全卷共三道大题，满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将每小题的答案直接涂在答题卡中对应的位置上． 1. 点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点坐标为，横坐标，纵坐标，符合第一象限点的符号特征， ∴该点在第一象限. 2. 把分式中、的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 缩小为原来的 【答案】D 【解析】 【分析】将x，y扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：∵原分式为， ∴将，都扩大为原来的3倍后，新的分子为，新的分母为 ∴新分式为，即新分式的值是原分式值的， ∴分式的值缩小为原来的． 3. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，，， ∴． 4. 将某小组立定跳远数据（单位：）绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（ ） A. 230 B. 203 C. 187 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】解：由箱线图可知上四分位数为230． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误正确，不符合题意． B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误正确，不符合题意． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误正确，不符合题意． D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意， 故选：D． 6. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点、的坐标代入一次函数中，即可得到一次函数解析式；利用一次函数图象上点的坐标和一次函数与一元一次方程的关系进行分析判断． 【详解】解：将点、的坐标代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数的解析式为：， 将点，代入得，解得， ∴， 由图象得：方程的解为． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知等式变形得到的值，再对所求分式变形，结合完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，将代入等式不成立， ∴ ∴等式两边同除以，得 ， 整理得 ， ∴． 8. 若关于的方程无解，且一次函数不过第四象限，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据分式方程无解求出所有可能值，再根据一次函数的性质得到的取值范围，筛选出符合所有条件的即可． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 整理得，； ① 整式方程无解：此时系数，得； ② 整式方程的解为增根：分式方程的增根满足，即， 将代入，得，解得； 因此分式方程无解时，的可能值为或； ∵一次函数不过第四象限， ∴，解得； ∴． 9. 矩形中，是边一点，是边的中点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，根据矩形和折叠的性质得，，可证明平分，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴． 10. 在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点，先求出平行四边形得面积，再求出的面积，根据反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点， ∵、两点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数的图象向上平移4个单位后得到的函数图象的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”原则进行求解即可． 【详解】解：将函数的图象向上平移个单位，所得函数的解析式为． 12. 2026年，中国科学院武汉病毒研究所王延轶团队在国际权威期刊《PNAS》上发文：基孔肯雅病毒颗粒的直径约为0.00000007米（70纳米），病毒通过激活宿主细胞的SMARCA4蛋白，上调膜蛋白TMEM47进而诱导细胞质膜重塑，形成直径约50-70纳米的球状复制结构，为病毒RNA复制提供了关键场所．用科学记数法将数据0.00000007表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的数用科学记数法表示的形式为，其中，为正整数，即为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：对于数字，第一个不为零的数字为，前面共有个， ． 13. 学校组甲、乙、丙、丁四名运动员参加运动会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表所示．根据表中数据，你认为应该推选运动员________去参赛，更有把握取得优异成绩． 甲 乙 丙 丁 平均成绩 【答案】丙 【解析】 【分析】要选出更有把握取得优异成绩的运动员，需先结合100米项目的特点，根据平均成绩判断整体成绩优劣，再根据方差判断成绩稳定性，100米项目用时越短成绩越好，方差越小成绩越稳定，据此筛选即可得到结果． 【详解】解：在100米项目中，平均成绩越小，代表运动员整体成绩越好． 比较四名运动员的平均成绩，可得，甲、丙的平均成绩小于乙、丁的平均成绩，因此优先考虑甲、丙两人． 方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定． 甲的方差为，丙的方差为，，因此丙的成绩更稳定． 综上，甲、丙的平均成绩相同，但丙的成绩更稳定应推选丙参赛． 14. 星期天，小明和小丽相约从学校沿同一条路出发去万州科技馆参观，小丽出发10分钟后小明才出发，结果小丽到了科技馆后等了一会儿小明才到．两人之间的距离（米）与他们步行的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，结合图象可知，小丽到了科技馆等了小明________分钟． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像求出小丽的速度，根据小丽到万州科技馆花了40分钟求出学校到万州科技馆的距离，再求出小明的速度，得到小明到万州科技馆的时间，即可求出小丽到了科技馆等待小明的时间． 【详解】解：小丽的速度为：（米/分）， 学校到万州科技馆的距离为：（米）， 小明的速度为：（米/分）， 小明到万州科技馆的时间为：（分钟）， 小丽到了科技馆等待小明的时间为：（分钟）． 15. 如图，正方形和正方形，，，连接，取的中点，连接，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质及勾股定理得到，根据正方形的性质得到，可知是直角三角形，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形，，， ∴， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，即是直角三角形， ∴， ∵是中点， ∴． 16. 一个各位数字均不为0的四位正整数，如果千位与百位数字相同，十位与个位数字相同，则我们称这个四位数为“重叠数”．将“重叠数”的千位、十位上的数字交换，百位、个位上的数字也交换，得到一个新四位数，规定．例如，，则．若是最大的“重叠数”，是最小的“重叠数”则________；两个“重叠数”，，其中，．若能被9整除，且，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. 20 ②. 6611 【解析】 【分析】根据“重叠数”定义求出最大重叠数和最小重叠数，再根据的定义计算和，求和即可；先推导出，，根据能被整除，结合，的取值范围得到的可能值，代入已知等式得到的可能值，再根据，的取值范围得到所有满足条件的，找出最大值和最小值作差即可． 【详解】解：由题意可得：最大的“重叠数”，交换后得到， ， 最小的“重叠数”，交换后得到， ， ； ，交换后得到，， 同理可得， 能被整除，且，，，为整数， ， 或，即或， 当时，代入得，即， ∵，均为正整数，且， ∴若，则，即，此时， 若，则，即，此时， 若，则，即，不符合题意； 若，则，故不符合题意； 当时，代入得，即， ∵，均为正整数，且， ∴若，则，即，不符合题意， 若，则，即，不符合题意， 若，则，即，此时； 若，则，即，此时； 若，则，即，此时， 若，则，即，不符合题意； 若，则，故不符合题意； ∴所有符合条件的为，，，，， 其中最大值为，最小值为，差为． 三、解答题：（本大题共9个小题，17、18每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 按要求完成各题： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：方程两边同时乘得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 18. 四边形中，，过点作于，且． （1）请用没有刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点； （2）在（1）的作图下，若，求证：四边形为正方形． 解答过程如下，请补充完整： ，， ，， ， ∴ ① ， 在和中，， ， ∴ ③ ， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴ ④ ． ∴四边形为正方形． 【答案】（1）如图： （2）① ② ③ ④ 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图画图即可； （2）先证明，即可得到四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得到四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形为正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组等多个研究小组．调查组分别从学校七、八年级各随机抽取20名学生，调查他们一个月的课外劳动时间（单位：，数据四舍五入后取整），对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的课外劳动时间的值为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 七八年级抽取的学生课外劳动时间的平均数、众数、中位数 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 八年级 7.5 8 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）表中________，________；并补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在“劳动创造美好生活”主题的系列活动中表现较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）小宇同学参加了学校举办的“劳动创造美好生活”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达、形象风度的得分分别是86分，90分，85分，若依次按，，的比例确定成绩，求小宇的演讲最终成绩． 【答案】（1）， （2）八年级学生在“劳动创造美好生活”主题的系列活动中表现较好，理由：在平均数都是7.5的情况下，八年级学生参加课外劳动时间的中位数、众数均大于七年级课外劳动时间的中位数、众数． （3）87分 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的计算方法分别进行计算即可；用总人数20减去课外劳动时间为5、6、7、9、10小时的人数，求出课外劳动时间为8小时的人数，即可补全条形统计图； （2）分别对比七八年级抽取的学生课外劳动时间的平均数、众数、中位数，即可判断； （3）根据加权平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：样本中，七年级学生课外劳动时间出现次数最多的是，共出现6次，因此众数是7，即； 八年级学生课外劳动时间为的人数为：， 八年级这20名学生的课外劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是7.5，即． 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（分）． 答：小宇的演讲成绩为87分． 20. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ， 不等式组的解集为：， ∵为整数， ，或0， ，， ∴，， ， ∴原式． 21. 如图1，在平行四边形中，，，，动点从点出发，沿折线运动，设的运动路程为，运动时间为（），的面积为（）． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若函数与函数有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）如图： 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交延长线于点，分两种情况：当点在上，和点在上时，根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据题意列表描点画图即可，根据图象写出一条性质即可； （3）根据图象，找到临界位置即可作答． 【小问1详解】 解：①当点在上时，即， 在中，， 根据题意得：，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴． 当点在上时， 即， 如图，过点作交延长线于点， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，与的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 0 2 5 9 6 3 6 图象如图， 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【小问3详解】 解：如图，当函数经过点时，恰好与函数有两个交点，当函数经过点时，与函数没有交点， 将点代入，得，解得， 将点代入，得，解得， ∴的取值范围为． 22. 如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：在平行四边形中，，， 、分别是线段、的中点， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，得出四边形是平行四边形，再证是等边三角形，即可得出结论； （2）根据所对的直角边是斜边的一半得出，设，则，根据勾股定理列方程求出的值，再求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， 设，则． ∵， ，解得（负值舍去）， ，， ∴，， ∴， ． 23. 为保障全校物理电学实验课有效开展，学校计划新购进两款不同型号的滑动变阻器．采购时发现甲种滑动变阻器单价是乙种滑动变阻器单价的2倍，用1400元购买的甲种滑动变阻器的数量比用350元购买的乙种滑动变阻器的数量多2个． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元？ （2）该校计划购买甲、乙两种滑动变阻器共30个，甲、乙两种滑动变阻器均需购买，且乙种滑动变阻器的个数不超过甲种滑动变阻器的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】（1）甲、乙两种滑动变阻器的单价分别是350元，175元 （2）①20种；②当购买甲10个，乙20个时，费用最低，为7000元 【解析】 【分析】（1）设乙的单价为元，则甲的单价为元，根据“用1400元购买的甲种滑动变阻器的数量比用350元购买的乙种滑动变阻器的数量多2个”列方程求解即可； （2）①设甲购买个，则乙购买个，根据“甲、乙两种滑动变阻器均需购买，且乙种滑动变阻器的个数不超过甲种滑动变阻器的2倍”列不等式组求解即可； ②设费用为元，求出关于的函数关系式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设乙的单价为元，则甲的单价为元， 由题可知， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， （元）． 答：甲、乙两种滑动变阻器的单价分别是350元，175元； 【小问2详解】 解：①设甲购买个，则乙购买个， 由题可知， 解得． 是整数， ∴共有20种方案； ②设费用为元，则满足， ∵， ∴随的增大而增大， 故当时，有最小值，为7000． ∴当购买甲10个，乙20个时，费用最低，为7000元． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数在第二象限相交于点，直线：与反比例函数在第二象限相交于点． （1）求点的坐标； （2）如图2，若点是线段上一动点，当的面积为6时，求点的坐标； （3）如图3，若点是线段上一动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先，求得点C的坐标，然后，求得反比例函数的解析式，最后，联立直线与反比例函数的解析式组成方程组，解方程组，再由点D所在的象限即可得出答案； （2）如图2，过点作轴交于点，首先，求得直线的解析式，然后，设，则，再由，的面积为6，代入数据转换为关于a的方程，解方程即可求得a的值，进而可得点P的坐标； （3）如图3，设交轴于，过作轴交轴于，过作交的延长线于，首先，证得是等腰直角三角形，得，再由，得，进而证得，得，可得点M的坐标，然后，可得直线的解析式，最后，联立直线与直线的解析式可得点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线：与反比例函数交于点， ∴，即点， 又∵反比例函数在第二象限内的图象过点， ，即反比例函数的解析式为， 联立：， 解得或， 在第二象限， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过点作轴交于点， 设直线的解析式为：， 把、，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴设，则， ， ∵的面积为6， ， 解得， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图3，设交轴于，过作轴交轴于，过作交的延长线于， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ，， ． ，， 又∵， ， ∴， ∴， ． 设直线的解析式为， 把、，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立：，解得， ． 25. 菱形中，对角线、相交于，延长至，使得，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，取的中点，，连接，请你猜想线段与有何数量关系，并证明； （3）如图3，若是射线上一点，连接，将线段绕着逆时针方向旋转得到线段．当，时，请你直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）方法一：证明：如图2-1，延长至，使得，连接， 是的中点，， 是的中位线， ，， ． ， ． ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 方法二：证明：如图2-2，延长至点使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ， ， ∵四边形是菱形，，， ，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ． （3） 【解析】 【分析】(1)如图1，过A作于K，首先，证得是等边三角形，得的长，然后，再由勾股定理求得的长，最后，代入面积公式求面积即可； (2)方法一：如图2-1，延长至，使得，连接，首先，证得是的中位线，得，，进而得，再由，得，再证得，得，进而得；方法二：如图2-2，延长至点使得，连接，首先，证得，得，，再由，得，然后，证得，可得； (3)首先，证得是等边三角形，得到的长，，，再由勾股定理，得到的长，接着，当点P在的中点上时，由，得，，进而得，，如图3，将线段绕着逆时针方向旋转得到线段，，得在线段上，，当点P与点B重合时，将线段绕着逆时针方向旋转得到线段，交于点H，即，此时，，，过两点作直线，直线交于．在上任意取一点，连接，将绕着逆时针方向旋转得到线段，连接，证得，，得，进而得点在同一条直线上，即点的运动轨迹在直线上，作点C关于直线的对称点，此时，点在的延长线上，连接，，，得，，，当与重合时，取得最大值，此时即为的长．最后，求得的长，进而可得的长． 【小问1详解】 解：如图1，过A作于K， ∵四边形是菱形，对角线、相交于， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形，对角线、相交于，， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 当点P在的中点上时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 如图3，将线段绕着逆时针方向旋转得到线段， ∵， ∴点在线段上，， 当点P与点B重合时，将线段绕着逆时针方向旋转得到线段，交于点H，即，此时，，， 过两点作直线，直线交于． 在上任意取一点，连接，将绕着逆时针方向旋转得到线段，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上，即点的运动轨迹在直线上， ∵， ∴． 又∵，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点C关于直线的对称点，此时，点在的延长线上， 连接，，， ∴，，，当与重合时，取得最大值，此时即为的长． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $