精品解析：重庆市万州区2024-2025学年八年级下学期期末质量监测数学试题卷

2024~2025学年度（下）教学质量监测 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分），在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. x D. 2. 在平面直角坐标中，点A(4，-1)所在的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次，射击成绩的平均数都是8.6环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，添加下列条件仍然不能使成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知y是x的反比例函数，当时，，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形为平行四边形，E为延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论： ①；②；③存在4个整数使得值为整数． 正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分），请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为______． 12. 中医药是中华民族瑰宝，从神农氏尝百草，到战国至秦汉，其理论体系逐渐形成并发展完善，现代更是受到国家的大力发展．已知一中医诊所根据病人情况开具的一副治疗风热感冒的“麻杏石甘汤”，所含四种中药材麻黄、杏仁、石膏、甘草的质量及价格如下表： 药材 麻黄 杏仁 石膏 甘草 单价（元/） 0.07 0.09 0.05 0.12 质量（） 9 9 24 6 则这副“麻杏石甘汤”每克______元． 13. 如图，已知A，B是函数图象上的两点，点A位于点B的左侧，、均垂直于x轴，垂足分别为点C、点D，连接，交于点E，若，且四边形的面积为3，则k的值为______． 14. 已知整数a使得关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则所有满足条件的a的值和是______． 15. 如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为______． 16. 一个四位自然数，若满足，且，则称M为“友好数”．如：，，且，∴4245是“友好数”：又如，，但，∴3768不是“友好数”．那么2757______（填“是”或“不是”）“友好数”．对于“友好数”，记，若是整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差是______． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、18题各8分，其余每小题各10分，共86分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再从0，1，2三个数中选一个合适的数代入化简后的结果中进行求值． 19. 厉行节约，反对浪费．某中学为了解“光盘行动”的落实情况，对七、八年级部分班级某一天的午餐餐厨垃圾人均质量进行调查．从七、八年级中各随机抽取10个班级，对餐厨垃圾人均质量的数据（单位：g）进行收集、整理和分析，餐厨垃圾人均质量用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． 七年级10个班的餐厨垃圾人均质量：18，18，19，20，25，25，25，31，32，47． 八年级10个班的餐厨垃圾人均质量中B等级包含的所有数据为：22，24，24． 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾人均质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 26 25 a 八年级 26 b 24 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中a，b，m的值： （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾人均质量符合A等级的班级个数． 20. 在学习了特殊平行四边形后，数学兴趣小组的同学做了如下探究：四边形是平行四边形，E为对角线延长线上一点，连接．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）在平行四边形外部，用尺规作，交的延长线于点F，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问的作图条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴______， ， ， ， ∴______， ， ∴______， ∴四边形平行四边形． 进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是______． 21. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量关注，带动了机器人行业的销售．某公司推出A、B两款人形机器人，已知1台A款人形机器人和1台B款人形机器人售价共22万元，2台A款人形机器人和3台B款人形机器人售价共56万元． （1）该公司A款人形机器人和B款人形机器人每台售价分别为多少万元？ （2）由于市场竞争激烈，公司决定降价促销，其中A款人形机器人的售价每台降低2a万元，B款人形机器人的售价每台降低5a万元，经销售情况测算，该公司A款人形机器人销售额为480万元的销售量与B款人形机器人销售额为550万元的销售量相同，求出a的值． 22. 如图，正方形的边长为4，M为边的中点，连接．点P从点A出发，沿运动，到点C停止运动．点P在上的运动速度为每秒2个单位长度，在上的运动速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质； （3）若函数，结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似数保留小数点后一位，误差不超过） 23. 如图，在四边形中，，，点是边上一点（不与重合），过点作，交边于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点M是直线上一动点，过点M作轴交直线于点N，当时，求出点M的坐标； （3）如图3，直线与直线垂直于点H，将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，与直线交于点F，在直线l上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知平行四边形中，对角线、相交于点，，， （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，过点C作交于点，交的延长线于点，连结，求证：； （3）如图3，若，点是线段上的动点，点是线段上的动点，满足，当取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度（下）教学质量监测 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分），在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. x D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A和B，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此可得答案． 【详解】解：根据分式的定义可知，四个选项中，只有B选项中的式子是分式， 故选：B． 2. 在平面直角坐标中，点A(4，-1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】∵4>0，-1<0 ∴点A(4，-1)所在的象限是第四象限． 故选D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)． 3. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次，射击成绩的平均数都是8.6环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义即可判断得出答案． 【详解】． 甲的射击成绩最稳定． 故选A． 【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键． 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分子分母需同乘或同除同一个非零整式，分式的值不变．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：，分子分母同乘，若则分母为0，分式无意义，故A错误． 选项B：，左边分子分母同乘，得，与右边相等，故B正确． 选项C：，分子分母分别平方，相当于分子乘、分母乘，若，分式值改变，故C错误． 选项D：，分子分母同减，不符合分式基本性质（需同乘或同除），如，，时，左边为，右边为，显然不等，故D错误． 故选：B． 5. 如图，添加下列条件仍然不能使成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、菱形的定义和判定定理等知识，正确理解菱形的定义与判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，且， 为菱形，故A不符合题意； B．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ， 为菱形，故B不符合题意， C．四边形是平行四边形，且， 为菱形，故C不符合题意； D．四边形是平行四边形，且， 为矩形，但不一定是菱形，故D符合题意． 故选：D． 6. 已知y是x的反比例函数，当时，，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，掌握反比例函数的形式成为解题的关键． 设反比例函数为，然后把、代入求得k的值即可． 【详解】解：设反比例函数为，其中为待定常数， 当时，，代入得：， 解得：， ∴该反比例函的表达式为：． 故选：D． 7. 如图，四边形为平行四边形，E为延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形的性质求出，根据，得出． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：∵，轴，点在直线上， ∴点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 同理得：，，…；按此作法进行下去，则， ∴． 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q，证明四边形是矩形，得出，，证明四边形是正方形，得出，证明，得出，．证明四边形是矩形，得出，，求出，，根据勾股定理求出． 【详解】解：过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q， 则， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论： ①；②；③存在4个整数使得的值为整数． 正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式化简、整数解的存在性问题等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． ①先根据题意求得即可判定①；②设，进而得到、，然后求和即可判断②；需逐一验证三个结论的正确性；③先求出，进而得到，即为整数，据此确定x的可能取值即可判定③． 【详解】解：①由递推式，代入得：，故结论①正确． ②设，由递推式得．初始值．依次计算： ，求和得： ，故结论②错误． ③：由，故．比值需为整数．变形为：，要求为整数，即为的约数（）．解得为整数且分母非零的情况有： ，解得：； ，解得：； ，解得：； 共3个整数解，但题目中结论为“存在4个整数”，故结论③错误． 综上，仅结论①正确． 答案选B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分），请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 红细胞是血液中数量最多一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 中医药是中华民族瑰宝，从神农氏尝百草，到战国至秦汉，其理论体系逐渐形成并发展完善，现代更是受到国家的大力发展．已知一中医诊所根据病人情况开具的一副治疗风热感冒的“麻杏石甘汤”，所含四种中药材麻黄、杏仁、石膏、甘草的质量及价格如下表： 药材 麻黄 杏仁 石膏 甘草 单价（元/） 0.07 0.09 0.05 0.12 质量（） 9 9 24 6 则这副“麻杏石甘汤”每克______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，分别求出每副药材费用，进而求出这副“麻杏石甘汤”的总费用，再除以这副“麻杏石甘汤”的质量即可得到答案． 【详解】解：元/， ∴这副“麻杏石甘汤”每克元， 故答案为：． 13. 如图，已知A，B是函数图象上的两点，点A位于点B的左侧，、均垂直于x轴，垂足分别为点C、点D，连接，交于点E，若，且四边形的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答本题的关键是熟练掌握基础知识． 如图所示，过点A，B，E作轴，轴，轴，垂足分别为为，，，根据反比例函数比例系数的几何意义结合列方程求解即可． 【详解】如图所示，过点A，B，E作轴，轴，轴，垂足分别为，，， ∵点A，B都在函数图象上， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，， 故答案为：． 14. 已知整数a使得关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则所有满足条件的a的值和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解分式方程，分式方程的解，解题关键是掌握解分式方程方法．根据关于x的一次函数的图象不经过第四象限，求得a的取值范围，依据关于x的分式方程有整数解，即可得到整数a的取值，即可得到满足条件的整数a,从而求得满足条件的整数a的值的和． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得：， ∵整数a使得关于x的分式方程有整数解， ∴解分式方程， 得， ， ， ∴， ∴且， ∵当、4，6时，为整数； ∴满足条件的整数a的值的和为． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 连接，交于点，利用菱形的性质和勾股定理求出对角线的长度，利用菱形的等面积法，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ， 由勾股定理得，， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 16. 一个四位自然数，若满足，且，则称M为“友好数”．如：，，且，∴4245是“友好数”：又如，，但，∴3768不是“友好数”．那么2757______（填“是”或“不是”）“友好数”．对于“友好数”，记，若是整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差是______． 【答案】 ①. 是 ②. 6267 【解析】 【分析】本题考查的是新定义的含义，因式分解的应用．先判断四位自然数2757是否满足，且即可；根据友好数定义判断是偶数，是偶数，是偶数，再根据是整数，分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是“友好数”； ∵， ∴是偶数，是偶数， ∵， ∴是连续奇数或连续偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 当最大时，，， ∵， ∴， 又， ∴或， 当时，是整数，当时，不是整数，舍去， 所以，最大数为8469； 当最最小时，，， 此时，，且， 或， 当时，是整数，当时，不存在，舍去， 所以，最小数为2202； 所以，满足条件的M的最大值与最小值的差是， 故答案为：是；6267． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、18题各8分，其余每小题各10分，共86分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，负数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解分式方程等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）运用负数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）先利用等式的基本性质对分式进行去分母，然后再进行求解即可，最后进行检验． 【详解】解：（1） ； （2） ， 经检验，时，， 所以，是原分式方程的解． 18. 先化简，再从0，1，2三个数中选一个合适的数代入化简后的结果中进行求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式． 19. 厉行节约，反对浪费．某中学为了解“光盘行动”的落实情况，对七、八年级部分班级某一天的午餐餐厨垃圾人均质量进行调查．从七、八年级中各随机抽取10个班级，对餐厨垃圾人均质量的数据（单位：g）进行收集、整理和分析，餐厨垃圾人均质量用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． 七年级10个班的餐厨垃圾人均质量：18，18，19，20，25，25，25，31，32，47． 八年级10个班的餐厨垃圾人均质量中B等级包含的所有数据为：22，24，24． 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾人均质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 26 25 a 八年级 26 b 24 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中a，b，m的值： （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾人均质量符合A等级的班级个数． 【答案】（1），， （2）八年级的“光盘行动”落实得更好，理由见解析 （3）12个 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表与扇形统计图的相关知识，中位数以及众数，用样本估计总体等知识，熟练掌握相关基础知识点是解题关键． （1）根据众数的定义求出a的值；首先求出八年级B等级所占的百分比，然后即可求出八年级A等级所占的百分比，进而得到m的值；然后根据中位数的定义即可求出b的值； （2）从平均数，中位数和众数分析判断即可； （3）利用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：七年级10个班的餐厨垃圾人均质量最多的是25， ∴众数； 八年级B等级所占的百分比为， ∴八年级A等级所占的百分比， ∴； ∴八年级A等级的班级数为（个）， ∵一共调查了10个班级， ∴中位数为第5个班级和第6个班级的平均数， ∴八年级10个班的餐厨垃圾人均质量的中位数； 【小问2详解】 解：八年级的“光盘行动”落实得更好，理由如下： ∵七年级和八年级的平均数相同，七年级的中位数和众数都大于八年级， ∴八年级的“光盘行动”落实得更好； 【小问3详解】 解：（个） ∴估计八年级这一天餐厨垃圾人均质量符合A等级的班级个数为12个． 20. 在学习了特殊平行四边形后，数学兴趣小组的同学做了如下探究：四边形是平行四边形，E为对角线延长线上一点，连接．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，交的延长线于点F，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问的作图条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴______， ， ， ， ∴______， ， ∴______， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是______． 【答案】（1）见解析 （2）；；；菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，作与已知角相等的角的尺规作图，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等角的尺规作图方法作图即可； （2）由平行四边形性质结合平行线的性质得到，，则由平角的定义可证明，再证明，得到，则可证明，据此可证明结论；连接，由菱形的性质可得，即，则可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是菱形． 21. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，带动了机器人行业的销售．某公司推出A、B两款人形机器人，已知1台A款人形机器人和1台B款人形机器人售价共22万元，2台A款人形机器人和3台B款人形机器人售价共56万元． （1）该公司A款人形机器人和B款人形机器人每台售价分别为多少万元？ （2）由于市场竞争激烈，公司决定降价促销，其中A款人形机器人的售价每台降低2a万元，B款人形机器人的售价每台降低5a万元，经销售情况测算，该公司A款人形机器人销售额为480万元的销售量与B款人形机器人销售额为550万元的销售量相同，求出a的值． 【答案】（1）该公司A款人形机器人每台售价为10万元，B款人形机器人每台售价为12万元 （2）a的值为0.2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设该公司A款人形机器人每台售价为x万元，B款人形机器人每台售价为y万元，根据“1台A款人形机器人和1台B款人形机器人售价共22万元，2台A款人形机器人和3台B款人形机器人售价共56万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用数量=总价÷单价，结合该公司A款人形机器人销售额为480万元的销售量与B款人形机器人销售额为550万元的销售量相同，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该公司A款人形机器人每台售价为x万元，B款人形机器人每台售价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该公司A款人形机器人每台售价为10万元，B款人形机器人每台售价为12万元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：a的值为0.2． 22. 如图，正方形的边长为4，M为边的中点，连接．点P从点A出发，沿运动，到点C停止运动．点P在上的运动速度为每秒2个单位长度，在上的运动速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质； （3）若函数，结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似数保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1） （2）见解析，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，画一次函数图象，一次函数与不等式之间的关系，一次函数的性质，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）分和，两种情况根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求描点，连续画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数性质即可； （3）求出函数与函数y的交点坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为4，M为边的中点， ∴， ∴， 当时，点P在上运动，则， ∴， ∴； 当时，点P在上运动，则， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 【小问3详解】 解：联立，解得； 联立，解得； ∴由函数图象可得，当时，． 23. 如图，在四边形中，，，点是边上一点（不与重合），过点作，交边于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出四边形是平行四边形，再根垂直的定义和等量代换，得出，即可得出平行四边形内的直角，继而可得出结论； （2）连接，证明，得出对应边相等，假设未知数，根据勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ， 又∵， ∴， ， ∴平行四边形矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，,且， ， ， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长为5． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点M是直线上一动点，过点M作轴交直线于点N，当时，求出点M的坐标； （3）如图3，直线与直线垂直于点H，将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，与直线交于点F，在直线l上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出，，则把代入，得直线的函数表达式为，即可作答． （2）理解题意，设，则，根据，得，再解得或，即可作答． （3）先得出直线平移后的解析式为，，；则，，因为以及角的等量代换，得，因为，，得直线与直线的交点为点，求出直线的解析式为，联立方程，得，同理解得直线的解析式为，联立方程，得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴令时，则， 即； 令时，则， 解得 即； ∵直线与y轴交于点 ∴设直线的函数表达式为， 把代入，得 解得； ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点M是直线上一动点，且直线的函数表达式为 ∴设， ∵过点M作轴交直线于点N，直线的函数表达式为； ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 则或 解得或； 把代入，得； 或把代入，得； ∴点M的坐标为或． 【小问3详解】 解：存在点P，使得，理由如下： ∵将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，且直线的函数表达式为 ∴直线平移后的解析式为， 依题意，令时，则， 即； 令时，则， 解得， 即； ∵ 则， 连接交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线与直线的交点为点， ∵ ∴设直线的解析式为 把代入，得 ∴ ∴直线的解析式为 则， 解得 ∴ ∵直线，且 ∴过点E与直线平行的直线解析式为， 点E关于直线的对称点在上， 则 设 ∵ ∴， ∴解得， 把代入，得， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 把代入，得， ∴ 综上所述：点P的坐标为或 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握次函数的图象及性质，平行线的性质，勾股定理，两直线的交点与方程组的关系，三角形内角和定理，轴对称的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 已知平行四边形中，对角线、相交于点，，， （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，过点C作交于点，交的延长线于点，连结，求证：； （3）如图3，若，点是线段上的动点，点是线段上的动点，满足，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，进而在中，勾股定理求得，即可求解； （2）过点作交于点，证明，进而证明，得出，则，即可得证； （3）延长至，使得，连接交于，过作于点，证明得出，则，当重合时， 取最小值时，，设，则，进而证明是的角平分线，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平行四边形中，对角线、相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交于点， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，延长至，使得，连接交于，过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴当重合时， 取最小值时， 设，则 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴ 在中，， ∴ 解得： 即的值为 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$