第17讲 圆与圆的位置关系（思维导图+4知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第17讲 圆与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 判断圆与圆的位置关系 题型02 由圆与圆的位置关系求参数 题型03 公共弦问题 题型04 公切线问题 题型05 圆系方程 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.圆与圆的位置关系 2.公共弦 3.公切线 1. 能根据给定的圆的方程,判断圆与圆的位置关系,提升直观想象的核心素养. 2. 能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题,提升数学运算、数学建模的核心素养. 学习重点：能判断圆与圆的位置关系 学习难点：掌握公共弦、公切线问题的处理思路 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 1、圆与圆相交，有两个公共点； 2、圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； 3、圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 二、圆与圆的位置关系的判定 1、几何法 若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 2、代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 即时即练 1．（24-25高二上·全国·课前预习）分别判断下列两个圆的位置关系： (1)； (2)． 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆：，：，若与外切，则_____________. 3．（24-25高二上·湖南永州·阶段检测）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为___________. 【方法总结】 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 知识点02 圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 即时即练 1．圆与圆的公共弦长为__________． 【方法总结】 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 知识点03 圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 即时即练 1．若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【方法总结】 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆公切线的条数 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 知识点04 圆系方程 1、以为圆心的同心圆圆系方程：； 2、与圆同心圆的圆系方程为； 3、过直线与圆交点的圆系方程为 4、过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 即时即练 1．过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是__． 2．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型01 判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二下·上海浦东新·期末）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（2026高二·全国·专题练习）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 4．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 5．（25-26高二上·广东广州·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 题型02 由圆与圆的位置关系求参数 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型03 公共弦问题 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二上·河南新乡·开学考试）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 题型04 公切线问题 1．（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 6．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为________．（写出一个即可） 【技巧归纳】 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆公切线的条数 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 题型05 圆系方程 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为______. 3．过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程是______________. 4．求经过直线与圆的交点，且面积最小的圆的一般方程． 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 4．（24-25高二上·贵州黔南·阶段检测）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或0 D．或0 6．（25-26高二上·安徽安庆·期中）若圆与圆有唯一公切线，则的值为（   ） A．或25 B． C．25 D．以上均不对 7．（25-26高二上·陕西西安·期中）若圆截直线所得的弦长为，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 8．“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 10．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 11．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 12．（多选题）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知圆：： ，则下列结论正确的是（ ） A．两圆相交 B．公共弦方程为 C．两圆有两条公切线 D．公共弦长为 14．（多选题）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．若点，则直线的方程为 B．四边形面积的最小值为 C．线段的最小值为 D．点始终在以线段为直径的圆上 15．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 16．（25-26高二上·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 17．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 18．（24-25高二上·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是______． 19．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 20．（2025高二上·江苏·专题练习）已知圆：与圆：交于、两点，且四边形的面积为，则______. 21．已知圆方程：，圆相交点A、B． (1)求经过点A、B的直线方程. (2)求的面积. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 圆与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 判断圆与圆的位置关系 题型02 由圆与圆的位置关系求参数 题型03 公共弦问题 题型04 公切线问题 题型05 圆系方程 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.圆与圆的位置关系 2.公共弦 3.公切线 1. 能根据给定的圆的方程,判断圆与圆的位置关系,提升直观想象的核心素养. 2. 能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题,提升数学运算、数学建模的核心素养. 学习重点：能判断圆与圆的位置关系 学习难点：掌握公共弦、公切线问题的处理思路 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 1、圆与圆相交，有两个公共点； 2、圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； 3、圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 二、圆与圆的位置关系的判定 1、几何法 若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 2、代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 即时即练 1．（24-25高二上·全国·课前预习）分别判断下列两个圆的位置关系： (1)； (2)． 【答案】(1)相交 (2)内切 【分析】（1）根据两圆圆心之间的距离与两半径和与差的关系即可确定两圆的位置关系； （2）先将两圆的方程化为标准方程，再根据两圆圆心之间的距离与两半径和与差的关系即可确定两圆的位置关系． 【详解】（1）由方程可知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 因此两圆的圆心距， 又因为，所以，故两个圆相交． （2）将两圆的方程化为标准方程，分别为，， 由此可知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 因此两圆的圆心距， 又因为，所以，所以两圆内切． 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆：，：，若与外切，则_____________. 【答案】 【分析】把圆化为标准式，算出圆心距，再利用两圆外切时圆心距等于半径之和的条件，解方程求出. 【详解】圆：，配方得：，圆心为，半径为 ； 圆：，圆心为，半径为； 两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和， 圆心距为，所以， 解得. 故答案为： 3．（24-25高二上·湖南永州·阶段检测）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【方法总结】 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 知识点02 圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 即时即练 1．圆与圆的公共弦长为__________． 【答案】 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 【方法总结】 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 知识点03 圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 即时即练 1．若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 2．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【方法总结】 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆公切线的条数 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 知识点04 圆系方程 1、以为圆心的同心圆圆系方程：； 2、与圆同心圆的圆系方程为； 3、过直线与圆交点的圆系方程为 4、过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 即时即练 1．过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是__． 【答案】 【分析】先将所求圆的方程设为，再根据所求圆过原点，将代入方程解出，即可得到圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. 2．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 题型01 判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 2．（25-26高二下·上海浦东新·期末）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 3．（2026高二·全国·专题练习）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 4．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，则，根据题意，化简可得，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案. 【详解】设，则， 因为，所以在以为直径的圆上，圆心，半径为，即． 因为， 所以圆与圆相交， 所以点P的个数为2． 故选：C. 5．（25-26高二上·广东广州·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线. 【详解】由题意设， 知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，由， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故选：B 【技巧归纳】 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 题型02 由圆与圆的位置关系求参数 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定两圆的圆心和半径，根据题意可知两圆相交，利用圆心距与半径的关系，可得实数的取值范围. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆有两个公共点，所以两圆相交，所以， 即，所以. 解得，且. 故选：C. 3．已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定两圆的圆心坐标与半径，再分两圆相外切与相内切两种情况讨论. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若圆与圆相外切，则，即，解得或； 若圆与圆相内切，则，即，解得或； 故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 5．已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型03 公共弦问题 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，联立两圆方程消去二次项即得所求方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即两圆相交， 所以直线的方程为，即. 故选：B 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 4．已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得两圆的圆心和半径，利用弦长公式可得公共弦长，再利用面积公式即求. 【详解】根据条件易知，，所以， 圆的半径为2， 圆与圆相交于点，， 的方程为：.即，圆到的距离为： 于是， 因为， 所以四边形的面积为：. 故选：B. 5．（24-25高二上·河南新乡·开学考试）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程. 【详解】 由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小， 所以，，所以直线的方程为， 联立，解得， 以为直径，以中点为圆心的圆方程为， 两圆方程相减可得直线的方程， 故选：D 【技巧归纳】 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 题型04 公切线问题 1．（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 2．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】将两圆方程化成标准方程，分别求出圆心和半径，由此判断两圆的位置关系，从而得到它们的公切线的条数. 【详解】由，得，所以圆心，半径为； 由，得，所以圆心，半径为. 所以. 因为，所以两圆相交. 所以它们有两条公切线. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】B 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆化简得，则，即， 则圆的圆心为，半径， 又圆与圆有且仅有三条公切线，故两圆外切， 则，即，解得. 故选：B. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 5．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 6．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，或填或填） 【分析】先判断两圆位置关系可得公切线条数，再分不同情况进行讨论即可得. 【详解】设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切，    由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一，或填或填） 【技巧归纳】 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆公切线的条数 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 题型05 圆系方程 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设过两圆交点的圆系方程，再将经过的点的坐标代入，求得所求圆的方程即可得圆心． 【详解】设经过两圆与交点的圆的方程为， 因为该圆经过点， 所以，解得， 所以，故圆心坐标为 故选：B. 2．经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为______. 【答案】 【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： ∵所求圆过点 ∴ 解得 所以圆的方程为，化简得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键. 3．过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程是______________. 【答案】 【分析】根据题意，先设经过两圆交点的圆的方程，求出其圆心，利用条件求得的值，回代即得所求圆的方程. 【详解】因为所求的圆过已知两圆的交点，故可表示为：，（*） 即（*），可得其圆心坐标为. 因为圆心在直线上，代入可得，解得. 代入（*），可得， 整理得即为所求圆的方程. 故答案为：. 4．求经过直线与圆的交点，且面积最小的圆的一般方程． 【答案】 【分析】由题意设所求圆的方程为，找出此时圆心坐标，当圆在直线上时，圆的半径最小，可得此时圆的面积最小，将圆心坐标代入直线中可求出，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 此时圆心为， 当圆心在直线上时，圆的半径最小，此时圆的面积最小， 所以，得， 所以所求的圆方程为． 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 2．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两个圆的方程相减，即可得到答案. 【详解】由题意得圆方程可化为， 将圆方程和圆方程相减， 即可得经过两圆交点的直线方程为. 故选：D. 3．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 4．（24-25高二上·贵州黔南·阶段检测）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或0 D．或0 【答案】B 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证即得. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得（公共弦方程不成立，舍去）或， 当时，圆，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为. 故选：B 6．（25-26高二上·安徽安庆·期中）若圆与圆有唯一公切线，则的值为（   ） A．或25 B． C．25 D．以上均不对 【答案】B 【分析】根据已知确定圆的圆心和半径，由公切线条数知两圆内切，再由列方程求参数值. 【详解】由，则，半径， 由，则，半径， 所以，而两圆有唯一公切线，即两圆内切，且， 所以，可得， 若显然不成立， 若， 综上，. 故选：B 7．（25-26高二上·陕西西安·期中）若圆截直线所得的弦长为，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据直线截圆所得弦长的计算公式，求得参数，再根据圆心距与半径之和和半径之差的关系，即可判断两圆的位置关系. 【详解】由圆，得， 所以圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离， 因为圆截直线所得的弦长为，所以， 解得，又，所以； 所以圆的圆心为，半径为； 又圆的方程为：，所以圆心为，半径为. ， 所以两圆外切. 故选：B. 8．“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依题意，圆与圆相切，求出的值即可判断结论. 【详解】圆，圆心为，半径， 到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆，圆心，半径， 圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆与圆相切， 有，或， 当时，化简得，解得或； 当时，化简得，方程无解， 则圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，有或， 所以“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条件. 9．（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 10．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 11．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 12．（多选题）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 13．（多选题）（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知圆：： ，则下列结论正确的是（ ） A．两圆相交 B．公共弦方程为 C．两圆有两条公切线 D．公共弦长为 【答案】ACD 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，比较圆心距与两半径的关系可得两圆相交，有两条公切线，可知AC正确，将两圆方程相减可得公共弦方程为，可知B错误，利用弦长公式计算可得D正确. 【详解】易知圆的圆心是，半径为；圆的圆心是，半径为， 对于选项AC，两圆的圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得公共弦方程为，故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确． 故选：ACD 14．（多选题）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．若点，则直线的方程为 B．四边形面积的最小值为 C．线段的最小值为 D．点始终在以线段为直径的圆上 【答案】ABC 【分析】求出以为直径的圆的方程，和相减，即可得直线的方程，判断A；求出边形面积的表达式，结合几何意义即可求得最小值，判断B；求出直线AB经过的定点，结合几何意义可求得线段的最小值，判断C；根据点和圆的位置关系的判断可判断D. 【详解】对于A，点，连接，则，    故在以为直径的圆上，而, 则以为直径的圆的方程为， 将方程和相减得， 即直线的方程为，A正确； 对于B，由题意知，则的面积为， 而的最小值即为原点O到直线的距离， 故的面积的最小值为，B正确； 对于C，设，则以为直径的圆的方程为， 和相减，即得直线的方程为， 又，故，即， 令，则， 即直线过定点，设为E，则，    当时，最小，最小值为，C正确； 对于D，在四边形中，不一定是直角， 故点不一定在以线段为直径的圆上，D错误， 故选：ABC 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB所过的定点，然后利用几何意义即可求解答案. 15．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 16．（25-26高二上·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可得到不等式组，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 又点与的距离， 因为圆与圆相交， 所以，即，即，解得； 所以的取值范围为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 17．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 18．（24-25高二上·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是______． 【答案】 【分析】由题设圆的方程为：，代入，即可求得方程. 【详解】因点B，C是直线与圆的交点， 则设过B，C的圆的方程为：，代入， 则，则过过点A，B，C的圆的方程是： . 故答案为： 19．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 20．（2025高二上·江苏·专题练习）已知圆：与圆：交于、两点，且四边形的面积为，则______. 【答案】 【分析】设，分析可知点为的中点，由四边形的面积为，可得出的长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的值. 【详解】如下图所示： 圆：即，圆心为，半径为， 由题意可知，，，，所以， 所以，所以， 设，则为的中点， 故四边形的面积为，则， 故，所以， 所以，又因为， 所以，解得. 故答案为： 21．已知圆方程：，圆相交点A、B． (1)求经过点A、B的直线方程. (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答. （2）由（1）的结论，求出点到直线的距离，进而求出弦长，求出三角形面积作答. 【详解】（1）圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，且有，则圆与圆相交，    由消去二次项得， 所以直线的方程为. （2）由（1）知，点到直线：的距离， 于是， 所以的面积. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $