暑假收心卷01（暑假测试）新九年级数学新教材沪科版

**基本信息** 沪科版九年级暑假收心卷，聚焦第21-23章，以光伏治沙、节能冰箱等现实情境设计梯度化试题，融合抽象能力、推理意识与模型观念，适配中考复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|反比例函数性质、三角函数应用|第3题台风断树问题，考察解直角三角形的几何直观| |填空题|4/20|位似变换、网格三角函数|第13题直角三角板与反比例函数结合，体现数学眼光| |解答题|9/90|二次函数最值、几何证明、实际应用|第19题光伏板支架计算（科学情境）、23题动点与二次函数综合（创新应用），符合中考命题趋势|

暑假收心卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：新教材，沪科版九年级上册第21~23章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 2．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 3．如图，一棵垂直于地面的大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的距离是5米，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（     ）米 A． B． C． D． 4．已知点，，在反比例函数的图像上，那么，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A． B． C． D． 6．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（为常数，）运动，其中（单位：）是铅球离初始位置的水平距离，（单位：）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①； ②铅球运动的高度可以是； ③铅球掷出的水平距离为； ④当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（  ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点是双曲线（，）上的一点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，且．当时，的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 9．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过点，当时，；当时，，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2 10．如图的等边中，点，分别在边，上移动，且满足与外心三点共线，将沿直线折叠，与交于点，，连接，，则下列为定值的是（     ） A．与的比值 B．四边形的周长 C．四边形的面积 D．与的角度和 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 11．是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 13．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 14．如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 三．解答题（本题共9小题，共90分） 15．（8分）计算：（1）． （2）． 16．（8分）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 17．（8分）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 18．（8分）如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 19．（10分）我国“光伏治沙”项目，既可利用光伏发电，又能改善沙漠环境．图1为新疆南疆沙漠中铺设的光伏板，如图2为两个完全相同且前后相邻的光伏板，为光伏板侧面长度，、均为光伏板支撑支架，且、都垂直于地面．是光伏板与水平线的倾斜角记为，为光伏板之间的间距，若，，．（参考数据：，，） (1)求支架的高度； (2)当太阳光线与光伏板垂直时，若要求相邻两块光伏板互不遮光遮挡，求板间间距至少多少米？ 20．（10分）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 21．（12分）在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 22．（12分）将一张平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，，点B在第一象限，点C，D在x轴的正半轴上，且，． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点C的坐标为________． (2)若E为x轴的正半轴上一动点，过点E作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点的对应点落在射线上，设． ①如图②，若直线l与边相交于点P，直线l与边相交于点Q，当折叠后纸片重叠部分为四边形且点Q在点B左侧时，与边相交于点R，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 23．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：新教材，沪科版九年级上册第21~23章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 3．如图，一棵垂直于地面的大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的距离是5米，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（     ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原来树的长度是的长．已知的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵在中，，米， ∴． ∴米． 4．已知点，，在反比例函数的图像上，那么，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定反比例函数的图像位置与增减性，再结合各点横坐标的符号判断的正负，最后比较同一象限内的函数值大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大． ∵，，， ∴点在第二象限，点在第四象限． ∴，，，可得且． 又∵，根据函数增减性可得． ∴三者大小关系为． 5．在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意确定a的正负，然后再确定二次函数的开口方向和对称轴即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为， 故只有选项C符合题意． 6．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（为常数，）运动，其中（单位：）是铅球离初始位置的水平距离，（单位：）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①； ②铅球运动的高度可以是； ③铅球掷出的水平距离为； ④当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（  ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用抛出时，求出，得到抛物线解析式，再结合二次函数最值，解方程逐个判断4个结论正误． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得，①正确； 抛物线的关系式为， 当时，， 铅球运动的高度可以是，②正确； 当时，， 解得（舍），， 铅球掷出的水平距离为，③正确； 当时，， 解得，， 它离初始位置的水平距离是或，④错误， 所以正确的有①②③共3个． 7．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点是双曲线（，）上的一点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，且．当时，的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据三角形相似，得，根据，得到，继而求得求解即可; 【详解】解：过点作于点D， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴; 8．某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C，D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设当时，关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ∴，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 9．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过点，当时，；当时，，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据二次函数的增减性和题干给出的取值范围确定二次函数的顶点位置，再设顶点式代入已知条件求解． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴二次函数开口向上，，函数最小值为． 又∵二次函数经过点， ∴顶点坐标为． 设二次函数解析式为． ∵开口向上的二次函数，对称轴左侧随增大而减小，在对称轴左侧， ∴时，的最小值在处取得，最小值为． 把，代入解析式得：， ∴． 10．如图的等边中，点，分别在边，上移动，且满足与外心三点共线，将沿直线折叠，与交于点，，连接，，则下列为定值的是（     ） A．与的比值 B．四边形的周长 C．四边形的面积 D．与的角度和 【答案】D 【分析】多次利用三角形的外心的性质与轴对称图形的性质以及角度的等量代换，转化出，，等数量关系，再对每一项逐步验证即可． 【详解】解：A、如图所示，连接，，，，延长交于点，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，， ∴， ∵点是等边的外心， ∴，，，， ∵沿直线折叠得到， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴； 在和中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴； 同理可证得，平分，， ∴，； ∵在中，， ∴， 又∵，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； 过点作的平行线交的延长线于点， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵点是的外心， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∵与均非定值， ∴不是定值； B、∵四边形的周长，所有线段无法转化到某一固定的线段上， ∴其周长不为定值； C、∵点是等边的外心，沿直线折叠， ∴， 可证，， 此时四边形的面积， ∵非定值， ∴四边形的面积非定值； D、∵，，平分， ∴， ∵， ∴与的角度和为定值． 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 11．是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 【答案】或/或 【分析】利用位似变换的坐标性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，位似中心为原点，点是点在位似变换后的对应点，位似比为， 已知点坐标为，根据以原点为位似中心的位似变换的坐标规律， 有，， 或者，， ∴点的坐标为或． 12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】取格点，连接，结合网格可得，根据勾股定理求出的长，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，在正方形网格中，取格点，连接， 由图可知，， ∴， ∴在中，． 13．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【答案】1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 14．如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，设，，由，可得结合勾股定理可得，易证同理可得，结合可得由三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，设， ， 如图，过点作，垂足为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积有最大值为， 三．解答题（本题共9小题，共90分） 15．（8分）计算：（1）． （2）． 【答案】 2 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ， ． 16．（8分）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，最大，最大面积为． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的应用－面积问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的表达式，设，则，求得的长，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点D作轴于点F，交于点E，令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，最大面积为． 17．（8分）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． (2) 【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 18．（8分）如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ． 四边形为矩形， ， ． ， (2) 【分析】（1）找直角相等，根据平行线找角相等，根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）由勾股定理计算的长，再根据相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，， 在中，， 由（1）得，， ∴，即， 解得：． 19．（10分）我国“光伏治沙”项目，既可利用光伏发电，又能改善沙漠环境．图1为新疆南疆沙漠中铺设的光伏板，如图2为两个完全相同且前后相邻的光伏板，为光伏板侧面长度，、均为光伏板支撑支架，且、都垂直于地面．是光伏板与水平线的倾斜角记为，为光伏板之间的间距，若，，．（参考数据：，，） (1)求支架的高度； (2)当太阳光线与光伏板垂直时，若要求相邻两块光伏板互不遮光遮挡，求板间间距至少多少米？ 【答案】(1) (2)至少为 【分析】（1）易得四边形是矩形，则，解，得出的长，即可求解； （2）过点作的垂线，当垂线正好过点时，满足相邻两块光伏板互不遮光遮挡，解即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：四边形是矩形， ∴． 在中，， ． ． （2）解：如图，过点作的垂线，当垂线正好过点时，满足相邻两块光伏板互不遮光遮挡， 则， 又∵， ． 依题意得：，四边形是矩形， 在中，， ∴． ． 20．（10分）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 21．（12分）在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据即可证明； （2）证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， 在和中 ； （2）证明：由（1）得， ， 又 又（公共角）， 22．（12分）将一张平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，，点B在第一象限，点C，D在x轴的正半轴上，且，． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点C的坐标为________． (2)若E为x轴的正半轴上一动点，过点E作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点的对应点落在射线上，设． ①如图②，若直线l与边相交于点P，直线l与边相交于点Q，当折叠后纸片重叠部分为四边形且点Q在点B左侧时，与边相交于点R，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用平行四边形的性质结合平面直角坐标系即可得出结果； （2）①根据题意利用平行四边形的性质，矩形的性质，折叠的性质及解直角三角形即可得出结果； ②根据题意分情况进行讨论，根据t在不同情况下结合图象并利用等腰直角三角形的性质及二次函数最值问题即可得出最终结果． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∵， ∴． （2）解：①由（1）知，平行四边形中，，，，，且， ∴， 由折叠知，，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， 在中，， 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在A右侧、B左侧）； ②由题意知，此时S需分情况讨论： 如图，当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， 当时，；当时，， 此时； 如图，当时， 由①知，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， ∴最大值在处，；最小值在端点处，， 此时； 如图，当时， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点B代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，此时S为定值1； 如图，当时， ∴，， 由折叠可知，， ∴， 由上述结论可知，是等腰直角三角形， ∴， ∵点Q在直线上， ∴， ∴ ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， ∴最大值在处，；最小值在端点处，， 此时， 综上所述，S的取值范围是． 23．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $