2.2 求解一元二次方程（课时3） 教案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程求根公式与根的判别式，通过复习配方法解2x²-4x-6=0夯实基础，引导学生用配方法推导一般形式ax²+bx+c=0的求根公式，构建从特殊到一般的学习支架。 特色在于以推导过程培养推理意识，例题覆盖判别式大于0、等于0、小于0的情况提升运算能力，根的判别式探究发展抽象能力。如推导中设问“能否直接开平方”引导发现判别式作用，帮助学生深化公式理解，教师教学逻辑清晰，有效突破难点。

2.2求解一元二次方程(课时3) 一、核心素养目标 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式； 2.能熟练应用公式法解一元二次方程； 3.会用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况，并能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围. 二、教学重点及难点 重点：掌握一元二次方程求根公式与根的判别式，熟练运用公式法求解一元二次方程. 难点：理解求根公式的推导过程，灵活运用根的判别式求解含字母系数的取值范围问题. 三、教学过程 【知识回顾】 用配方法解方程：2x2-4x-6=0. 教师选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布答案. 解：方程两边都除以2，得x2-2x-3=0. 移项，得x2-2x=3. 配方，得x2-2x+1=3+1，即(x-1)2=4. 两边开平方，得x-1=±2. ∴x1=3，x2=-1. 设计意图：复习巩固上节课二次项系数不为1的配方法解题步骤，借助板演练习夯实配方运算基础，为接下来推导一般形式一元二次方程的求根公式做好方法铺垫. 【新知导入】 教师阐述：我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0.(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多. 教师提出：你能用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 设计意图：通过总结配方法解题步骤的通用性，顺势提出推导一般一元二次方程求根公式的问题，实现由特殊到一般规律的过渡，激发学生探究新知的兴趣，自然导入本节课公式法的学习. 【探究新知】 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用配方法解此方程. 教师引导学生进行计算. 解：方程两边都除以a，得 教师点拨：这一步是为了使二次项系数化为1. 配方，得 即 移项，得 教师提出：针对上式，你认为能直接开平方吗？ 学生自由发言，活跃课堂.教师对学生的回答进行反馈，引导学生进一步学习公式法. 因为a≠0，所以4a2>0. 当b2-4ac≥0时，是一个非负数，此时两边才可以开平方. 开方，得，即 根据以上探究、学习，归纳总结公式法的相关知识，学生做笔记. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是：. 这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 【注意】用公式法解一元二次方程的前提是： 1.必须是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)； 2.必须满足b2-4ac≥0才能代入公式计算. 设计意图：通过引导学生对一元二次方程一般式进行配方推导，让学生亲历求根公式的形成过程，完成从具体运算到抽象公式的思维升华，摆脱机械解题的固化模式，深度理解公式来源与原理；通过设问能否直接开平方，启发学生自主发现被开方数的取值限制，自然引出公式适用条件，顺势归纳公式法定义与解题前提，夯实本节课核心知识，培养学生代数推理、归纳概括的数学核心素养，有效突破公式推导的教学难点. 【例题练习】 解方程：(1)x2-7x-18=0； (2)4x2+1=4x. 选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答. 作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤. 解：(1)这里a=1，b=-7，c=-18. ∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0， ∴即x1=9，x2=-2. (2)将原方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0. 这里a=4，b=-4，c=1. ∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0， ∴，即x1=x2= 通过例题练习，归纳公式法解一元二次方程的步骤，学生做笔记. 公式法解一元二次方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：∆=b2-4ac的值； 4.判断：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根. 设计意图：通过学生板演、全员实操的方式，让学生熟练运用公式法解方程，兼顾判别式大于0、等于0两种根的情况.教师规范解题步骤，引导学生归纳公式法解题流程，帮助学生固化规范解题思路，深化对求根公式和根的判别式的运用. 教师提出：你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？ 教师引导学生进行分析. ∵a=1，b=-2，c=3，∴b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0. ∵b2-4ac<0，∴无法使用求根公式. x2-2x+3=0，配方，得(x-1)2=-2，由于任何实数的平方都不能是负数，因此这个方程没有实数根. 教师追问：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？ 学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的发言进行反馈，引导学生验证猜想. 当b2-4ac<0时，.没有意义. 所以当b2-4ac<0时，此方程无根. 针对以上探究，归纳用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况的相关知识，学生做笔记. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<时，方程没有实数根. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况可由b2-4ac来判定.把b2-4ac叫作一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示. 设计意图：通过设置无解的特殊方程，引导学生计算判别式、结合平方非负的性质分析方程无实数根的原因，弥补此前只讨论判别式非负的知识空缺.借助小组讨论自主探究判别式小于0时根的情况，完整归纳三种判别结果对应的根的情形，完整构建根的判别式知识体系，让学生全面掌握利用判别式判定根的情况的方法，完善公式法解题逻辑，突破本节课教学难点. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.公式法求解一元二次方程； 2.根的判别式∆与方程的根的关系. 六、板书设计 公式法 学科网（北京）股份有限公司 $