2.2 求解一元二次方程（课时1） 教案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦直接开平方法及配方法解一元二次方程，通过回顾平方根与完全平方公式搭建学习支架，以梯子滑动问题近似解设疑导入，衔接旧知与新知，引导学生探究精确解法。 特色在于以问题链驱动探究，通过“x²+12x-15=0”认知冲突引导配方，填空练习让学生自主发现常数项与一次项系数关系，体现数学思维的推理意识与数学眼光的创新意识，帮助学生理解转化思想，为教师提供清晰教学流程。

2.2求解一元二次方程(课时1) 一、核心素养目标 1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程； 2.理解配方法的基本思路； 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 二、教学重点及难点 重点：掌握直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 难点：理解配方时配上一次项系数一半的平方这一变形原理. 三、教学过程 【知识回顾】 填空：1.如果x2=a，则x叫作a的 . 2.如果x2=a(a≥0)，则x . 3.如果x2=16，则x= . 4.完全平方公式：a2+2ab+b2=_______；a2–2ab+b2=_______. 设计意图：回顾平方根定义与开平方运算、完全平方公式，为直接开平方法和配方变形铺垫必备基础. 【新知导入】 在之前的梯子滑动问题中，梯子底端滑动的距离x满足方程x2+12x-15=0.我们已经求出了x的近似值：1.1<x<1.2 教师提出：你能设法求出它的精确值吗？ 设计意图：用之前只估算出近似解的旧问题设疑，激发求知欲，引出寻找精确解法的需求，自然导入配方法学习. 【探究新知】 尝试解下面这些特殊的一元二次方程. (1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0. 选取三个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答. 作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤. 解：(1)根据平方根的意义，得x1=2，x2=-2. (2)根据平方根的意义，得x1=x2=0. (3)移项，得x2=-1.∵负数没有平方根，∴原方程无解. 通过解具体方程，归纳直接开平方法的相关知识，学生做笔记. 一般的，对于可化为x2=n的方程： n的取值范围 方程根的情况 n>0 两个不相等实数根x1=，x2= n=0 两个相等实数根x1=x2=0 n<0 无实根 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 设计意图：借助简单方程实操演练，依托平方根意义引出直接开平方法，分类归纳n不同取值下根的三种情况，夯实基础. 教师提出：你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ (1)x2=5；(2)2x2+3=5；(3)(x+6)2+72=102；(4)x2+2x+1=5. 选取四个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答. 作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤. 解：(1)∵()2=5， ∴根据平方根的意义，得 (2)2x2+3=5，移项，得2x2=2， x2=1，x1=1，x2=-1. (3)移项，得(x+6)2=51. 两边开平方，得x+6=， 即x+6=或x+6=. 所以x1=，x2= (4)x2+2x+1=5，配方得(x+1)2=5，开方得， 或 于是，原方程的两个根为 通过解具体的一元二次方程，你知道解一个一元二次方程的实质吗？ 学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点. 实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程. 设计意图：层层递进设置不同形式方程，拓展直接开平方法适用题型，引出降次转化思想，为后续配方法搭建认知桥梁. 问题：你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成x2=n的形式吗？ 教师提醒：x2+12x-15=0，它的左边既不是单独的平方式，也不能直接化成平方式. 教师引导学生进行计算，规范解题步骤. x2+12x-15=0 移项，得x2+12x=15 两边都加62，得x2+12x+62=15+62 即(x+6)2=51 两边开平方，得. 教师提醒：是负数，不符合原问题的要求. 通过以上探究，归纳解一元二次方程的基本思路，学生做笔记. 解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式.它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数 设计意图：让学生感知直接开平方法无法求解该方程，形成认知冲突后，教师一步步示范配方变形过程，推导出(x+m)2=n(n≥0)的通用形式，最后带领学生总结转化解题思路，渗透配方转化思想. 填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+_____=(x+6)2 x2-4x+_____=(x-___)2 x2+8x+_____=(x+___)2 教师提出：观察上面等式的的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢？ 学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.学生做笔记. 二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方. 设计意图：借助填空练习直观感知凑完全平方式的填数规律，再通过小组合作观察对比、自主探究常数项与一次项系数的数量关系，教师梳理总结核心结论，让学生自主理解配方关键要点，为后续解方程配方打下基础，落实自主探究的学习方式. 例题练习：解方程：x2+8x-9=0. 解:可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9. 两边都加上一次项系数8的一半的平方，得x2+8x+42=9+42， 即(x+4)2=25. 两边开平方，得x+4=±5， 即x+4=5，或x+4=-5. 所以x1=1，x2=-9. 通过以上学习、探究，归纳总结配方法的相关知识，学生做笔记. 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 配方法解方程的基本思路： 把一元二次方程化为(x+m)2=n的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解． 设计意图：以典型例题完整示范配方法解方程的完整流程，运用前面总结的配方规律实操演算，清晰展示移项、配方、开平方、求解每一步操作，随后顺势给出配方法定义与降次转化的核心思路，巩固新知并构建完整的解题方法体系. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.直接开平方法； 2.配方法； 3.用配方法求解一元二次方程的基本思路 六、板书设计 配方法解一元二次方程 学科网（北京）股份有限公司 $