河北省博野中学2025-2026学年高二创新班下学期7月期末质量检测数学试题

24级创新班期末质量检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0,5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项司填写清楚 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：高考范国（不含直战与圆、圆锥曲线） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集U={x∈N一1<x≤5}，樂合A={0,2,4},则uA= A.{0,1,3,5} B.(1,3,5} C.{0,1,2 D.(1) 2.在复平面内，复数x对应的点为(1，一3)，则= A.3+i B.1-3i C1+31 D.3-i 3.设e1,是两个不共线的向量，若向量m=一g1十e2与n=e2一2g共线，则= A.-2 B.2 c-2 4,某同学参加校园义卖活动，将自已制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求 其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为 A.1440 B.2160 C.4320 D.5760 5,已知10个样本数据的25%分位数为x0,若分别去掉其中最大的和最小的一个数，记剩下的 8个样本数据的25%分位数为x',则 Ato≤x' B.0<x0' C0≥ D.zo>xo 6.在某市2026年5月份的高二质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已 知参加本次考试的全市学生有10000人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那 么他的数学成绩大约排在全市第 参考数据：XN(d),则P(4一≤X≤u十a)≈0.6826，P(4一2a≤X≤十2a)≈0.9544， P(u-3a≤X≤+3a)0.9974 A.8414名 B.6827名 C.3175名 D.1588名 【高二期末质量检测·数学第1页（共4页）】 26-L-712B 7.某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多d个座位，前5排，中5排， 后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70,95，则此电影放映厅的座 位总数为 A.120 B.210 C.285 D.495 8.已知函数f(x)=Acos(ux十p)(A>0,w>0,0<g<r)的部分图象如 图所示，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图 象，若g(x)在区间(0，m)上恰有两个零点，则m的取值范围是 12 A[语，) B(,] c(停] [ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.通过随机抽样，得到变量x和变量y的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量y和变 量x线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是 A.直线1的斜率是负数 B.变量y与变量x正相关 C.相关系数r<0 D.若去掉图中点A后，剩余数据的相关系数r变大 10.关于2x-启》 的展开式，下列说法正确的是 01234567 A.展开式共8项 B.含x2项的系数为14 C.无常数项 D.所有项的二项式系数之和为1 11.已知函数f(x)=1ogax-1,实数a<b<c<d,满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则 A.ad<<bo B.2a十b的最大值为3-22 C.2c+d的最小值为3+22 D.+8+是+2-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆锥的轴哉面是一个边长为4的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 13.若函数fx)-cos2x十4a(sinx-cosx）-(8a一6)x在[-受，0]上单调递减，则实数a的 取值范围为 14.已知函数f(x)的定义域为R,Hx,y∈R,f(f(x一y))=f(x)一f(y),且f(1)=1,则 器ff0)= 【高二期末质量检测·数学第2页（共4页）】 26-L-712B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2aco5C=bcos C-+ccos B. (1)求角C的大小： (2)若c=√13,3b=4a,求△ABC的面积 16.(本小题满分15分) 在数列(a)中，a-号a1=a有aeN)。 1)证明：侵}是等差数列： (2)设b■aa+1,求数列(b,}的前n项和. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4, M是CD的中点， (1)求证：平面PBML平面PCD: (2②)若点A到平面PBC的距离为2，求平面PBC与平面PBM 夹角的余弦值， 【高二期末质量检测·数学第3页（共4页）】 26-L-712B 18.(本小题满分17分) 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设 强大国内市场”，为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民” 的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的 一种). 方案1：从装有4个红球，3个蓝球(G形状、大小完全相同)的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球 每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）： 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出 3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠： 其余情况无优惠. (1)已知顾客A选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客B恰好消费了500元， (丨)若他选择拍奖方案1，求顾客B所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）： (Ⅱ)试从顾客B所获得的优惠金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理。 19.(本小题满分17分) 已知函数f孔a）=xhx+1-,g()=2nx+是-x (1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程： (2)设h(x)=f(x)十g(x),求h(x)的单调区间： (3)若存在x1,x∈(0，十∞)，使得g(x1)=f(x2),求证：2≤1 【高二期末质量检测·数学第4页（共4页）】 26-L-712B24级创新班期末质量检测·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.B因为全集U={x∈N-1<x5}={0,1,2,3,4,5},集合A={0,2,4},所以CA={1,3,5}.故选B. 2.A由题知之=1一3i,所以i=(1-3)i=3+i.故选A. 3.D由共线向量定理可知存在实数入，使得m=n,即-e1十ke2=入(e2一2e)=e2一2e1,又e1与e2是不共 k三 线向量，所以{1一以·解得 2 故选D. k=入， 21 4.C若甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则有A=6种情况，将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，和剩余 的5个工艺品进行排列，则有A=720种情况.综上，共有6×720=4320种不同的排法.故选C. 5.A设10个样本数据从小到大排列为，2，，…，x,由10×25%=2.5，所以m=,去掉最大和最小各 一个数后剩下的8个样本数据为，，，，因为子×8=2，所以剩下8个数据的25%分位数x= 合（十）又≤，所以（十n)≥即<'放选A 6,D因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),则P(X>108)=2[1-P(88<X≤108)]= 号[1-P40≤X≤十o]≈号×(1-0.6826)=0.1587，而0.1587X10000≈1587，所以该学生的数学 成绩大约排在全市第1588名.故选D. 7.C方法一：设第n(n=1,2,3,…,l5)排的座位数为an,由题意可知，数列{am}(≤15，n∈N)是公差为d 的等差数列，设{an}的前n项和为Sn,则S,S。一S,S15一So成等差数列，所以2(So一S)=S十 (S15-S1),由题意知S=70,S0-S=95,所以2×95=70十S15-(70十95)，解得S5=285.故选C. 方法二：设第n(n=1,2,3,…,15)排的座位数为am,由题意可知，数列{an}(n≤15，n∈N°)是公差为d的 等差数列，设{am}的前n项和为Sn,由题意知S5=70,S0一S=95,所以S=5a1+10d=70,So=10a1十 45d=70+95=165,解得a=12,d=1,所以S5=15a+105d=285.故选C. 8C由图可知，A=j(x)x=2,函数∫(x)的最小正周期T满足平-吾-受=子，可得T=x则w-牙 红=2，则f(x)=2os(2x+9),又因为f(管)=2cos(5+)=2,可得cos(+)=1,因为0<g<x, 则警<9+受<经，所以g+受=2x,可得9=晋，所以fx)=2cos(2x十号）：将x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数g(x)=2cos[2(x-)+晋]=2cos(2x+答)，当x∈(0，m)时，2x十否∈ （各，2m十吾），又gx)在区间(0m)上恰有两个零点，所以受<2m+吾<受，解得经<m<系，即m的 取值范围是(，]，故选C 9.AC由图可知直线l的斜率是负数，所以变量y与变量x负相关，相关系数r<0,故AC正确，B错误；若去 掉图中点A后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值r|变大，又<0，所以相关系数 r变小，故D错误.故选AC 10.AC二项式(2x左)的展开式共有8项，A正确：二项式(2x左)展开式的通项为：I1=C2 （(-1)x学，k=0,1,2,…,7.令14与3张=一2，得=6，则x项的系数为2XC=14,B正确：令14,3张= 2 0,得=兰，为非整数，所以无常数项，C正确：所有项的二项式系数之和为2？=128，D错误故选AC 11.ACD由题意知a<0<bc<d,所以ad<0<bc,故A正确：a<0<b1<c<2<d,由f(a)=f(b),得 oe1-a）=-be1->,所以g1-a)1-b)=0.所以1-a1-b)=1,即a+6=b,所以d+7 =1.同理人+7=1.所以日+名+2+日=2.2a+6=(2a+6)(2+6)）=3+女+2=3 【高二期末质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 26-L-712B (色。+名)<3-2反，当且仅当台-兴，即a=1-号6=1-2时等号成立，但此时不满足a<0<6,放 等号不成立，2+d=(2c十d(日+)=3++登≥3+2厄，当且仅当名-登，即c=1+号，d=1+ √2等号成立，故B错误，C,D正确.故选ACD ab I c2 d 12.8π由题意得，圆锥的底面半径为r=2,母线长为1=4，故圆锥的侧面积为πrl=π×2×4=8x. 13[是，+o∞）由题知f)=-2sn2x叶4a(asx十sn）-8a+6<0在[-受，0]上恒成立，设1=cax+ sinx,t∈[-1,1]，f(z)=-2sim2.x+4a(cosx+sinx)-8a+6=-2P+4at-8a+8=-2(t-2)(t-2a+2), f()<0在[一受，0]上恒成立，等价于-21-2)1-2a+2)≤0，即1一2a+2≤0在1∈[-1,1]时恒成立，所 以2a一21，即a≥号 14.5050因为Hxy∈R,f(f(x-y))=f(x)-f(y),令x=1,y=0,得f(f(1))=f(1)-f(0),又 f(1)=1,所以f(1)=f(1)-f(0),所以f(0)=0,令x=,y=-1(n∈N),得f(f(1))=f(n) f(n-1),即f(n)-f(n-1)=1,所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+ [1)-0)]+0)=,令x=,y=0,得f()=f)=,所以号f(0)=驾i= 100(100+1=5050. 2 15.解：(1)由2 acos C=bcos C+ccos B及正弦定理可得2 sin Acos C=sin Bcos C+sin Ccos B,…2分 所以2 sin Acos C=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,…3分 又AE(0,r),所以sinA>0,所以c0sC-7…5分 又C∈(0，x),所以C=答 6分 (2)由余弦定理c2=a2十-2 abcos C,即13=a2十-ab,…8分 又364如，解得{8：（负值舍去，……产 10分 所以S=合sinC=X4X3-3. 2 13分 16证期因为a=号，所以品太+1，即。=1 …3分 an+an 所以数列{侵}是公差为1的等差数列.…6分 (2)解：因为数列{品}是公老为1的等差数列，-2，所以2=2+(n-1)X1=1+1,…9分 1 1 1 1 所以a,-n十b,=a.at1-(n+1D(m+2)-中+2 …12分 设数列{b,}的前n项和为Tn, 则工=号号+号+点2=号-2产 15分 17.(1)证明：因为M是CD的中点，所以DM=AB=2. 又DM∥AB,所以四边形ABMD是平行四边形，所以BM∥AD. …1分 因为AD⊥CD,所以BM⊥CD. 因为PD⊥平面ABCD,BMC平面ABCD,所以PDLBM.…3分 因为CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD,所以BM⊥平面PCD. 【高二期末质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 26-L-712B 又BMC平面PBM,所以平面PBM⊥平面PCD.… 5分 (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,x轴建立如 图所示空间直角坐标系， 设PD=h,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,h),M (0,2,0), Pi=(2,2,-h),BC=(-2,2,0),Ai=(0,2,0.…6分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,), 1m·PB=2x+2y-hz=0, 则 {m·BC=-2x+2y=0, 令x=1,得y=1-青放m=(11,), 8 分 所以点A到平面PBC的距离为d=A店，m 2 23 m √1+1+ 3 解得h=4,即平面PBC的法向量m=(1,1,1). 11分 设平面PBM的法向量为n=(a,b,c),由P方=(2,2，-4)，PM=(0,2,一4)， n·PB=2a+2b-4c=0, 得 n·PM=2b-4c=0, 令c=1,得a=0,b=2,所以n=(0,2,1),即平面PBM的法向量为n=(0,2,1),…13分 所以cos〈《m,n1=Tm·T元-J3X5 m·n 3 15 5 即平面PBC与平面PBM夹角的余弦值为压】 5 15分 18.解：(1)设事件M表示“第一次摸到红球”，事件N表示“能够享受优惠”，在第一次摸到红球后，抽奖盒中还 剩3个红球和3个蓝球，共6个球，享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况，从6个球中不 放回地摸2个球，总情况有A=6×5=30种， …………2分 摸出两个红球的情况有A=3×2=6种，摸出1红1蓝的情况有CCA道=18种， 所以P(N|Mw=6+184 3051 4分 (2)(1)设顾客B选择抽奖方案1时，顾客B所获得的优惠金额为X元，从装有4个红球，3个蓝球的抽奖 盒中摸一个球，模到红球的概率为号，摸到蓝球的概率为号， …5分 当摸出0个红球时，P(X=0)=(号）广=品， 6分 当摸出1个红球时，P(X=10)=C×号×（号）广-器， 7分 当摸出2个红球时，P(X=200)=G×(号)广×号- 343 8分 当摸出3个红球时，P(X=40)=(号)广-器 9分 所以顾客B所获得的优惠金额的分布列为 X 0 100 200 400 P 27 108 144 64 343 343 343 343 所以选择方案1时，顾客B所获得的优惠金额的期望为 BX)=0X品+100×30+200×装+40×是-520≈190 343 343 343 343 11分 (ⅱ)设顾客B选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为Y元， 当摸出0个红球或1个红球时，PY=0)号+罗-是， 35 12分 当摸出2个红球时，P(Y=250)=CC= 18 35，……… 13分 【高二期末质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 26-L-712B 当摸出3个红球时，P(Y=500)= 14分 所以顾客B所获得的优惠金额的分布列为 Y 0 250 500 P 器 18 4 5 所以E)=0×号+250×爱+500×若-50 35 6500≈186， 16分 所以E(Y)<E(X),所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案1更合理. … 17分 19.(1)解：因为f(x)=xlnx十1一x,f(x)=lnx,……1分 所以f(e)=1,f'(e)=1,……2分 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y-1=x一e,即x一y十1一e=0.…3分 (2②)解：由题知A)=f代+8)=h+2nx一2x+子+1.则h()=hx+兰-之 令g0=lhx叶是-1则90士是+号=+20， 所以(x),即h'(x)在(0，十∞)上单调递增.……5分 又h'(1)=0,所以当0<x<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x>1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 即函数h(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞).…7分 （3)证明：由题知)=2hx+女-g()=是立-1=一少≤0包成立，所以g在0，+0） 22 上单调递减，且g(1)=0, 所以0<x<1时，g(x)>0,当x>1时，g(x)<0.…8分 由f(x)=lnx=0,得x=1,当0<x<1时，f'(x)<0:当x>1时，f(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，且f(1)=0, 所以f(x)≥f(1)=0.…9分 若存在x1,x2∈(0，十∞)，使得g()=f(x2)=m,则m≥0. 当m=0时，x1=x2=1,满足2≤1；… 10分 当m>0时，0<m<1,f(2)=m>0,x2有两种情况，0<x2<1或x2>1. 要证明西≤1，即证明≤分其中子>1， 当x>1时，x)在1，+∞)止单调递增，因此要证明x≤，等价于证明f()≤f( ,…11分 因为)=g,即证明gf(分） 令s()=8)-1(2)=21nx+是-x-1+产0K< 0=2-2-1+1-h2=x=1)2-ln这， 22 12分 令x)=-（x-1)2-ln,(x)=-2x-1D-1=-2x+2z=1 -2(x-)-2 0， 所以t(x)在(0,1)上单调递减，t(x)>t(1)=0,因此s'(x)>0, 所以s(x)在(0,1)上单调递增，所以s(x)<s(1)=0, 即g()<()在区间(0,1)上恒成立，因此)<g(） 14分 又因为ga)=,所以)() 又因为f)在区间1，十∞)止单调递增，所以<子，即方<1，结论成立， 当0<x2<1时，因为0<x1<1,所以0x2<1,所以不等式x1x2≤1显然成立. … 16分 综上可知，m=0时，22=1，当m>0时，xx2<1成立， 所以无论何种情况，2≤1，得证.… …17分 【高二期末质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-712B