河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷(无答案)

2025－2026学年高二下学期期末考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数，则的值域是（ ） A． B． C． D． 3．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（，），则的最小值是（ ） A． B． C． D． 4．某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（ ） A．432种 B．144种 C．96种 D．48种 5．在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A．-64 B．256 C．960 D．3840 6．函数若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：，椭圆：，若，分别是，上的动点，为坐标原点，若，则点到直线的距离是（ ） A． B． C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知变量，之间的经验回归方程是，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，经验回归直线过点，当时，的预测值为0．6，则下列说法正确的是（ ） 6 8 12 6 3 2 A． B．变量，之间成负相关关系 C．数据的残差平方和较大 D． 提示：相关系数，． 10．一袋中装有10个小球，小球表面印有长城、九寨沟、张家界三种图案，其数量分别为4，3，3，小球除表面的图案不同外，其余均相同．每次从中随机摸出1个小球，连续摸球两次．设事件为“第一次摸到印有长城图案的小球”，事件为“第二次摸到印有张家界图案的小球”，则下列结论正确的有（ ） A．若摸出后放回，则第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是 B．若摸出后不放回，则 C．若摸出后不放回，则 D．若摸出后不放回，则 11．已知函数（），其中是在处的导数值，，则下列结论正确的有（ ） A．若，则是奇函数且在上单调递增 B．若函数在定义域上无极值点，则 C．若，则函数的图象的对称中心是 D．若，有三个不相等的实数根，则当取得最大值时，等于16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从正态分布，，则________． 13．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 14．盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸次，每次摸出1个小球，记这次摸出的小球中最大编号为，若要求成立，则当最小时________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，计划到北京旅游，对选择乘飞机和坐高铁进行了问卷调查，得到了如下的列联表． 乘飞机 坐高铁 男队员 5 女队员 10 （1）补全列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，分析喜爱乘飞机和坐高铁是否与性别有关． 附：临界值表供参考． 0.15 0.010 0.005 2.072 6.635 7.879 16．（15分）已知数列的前项和为，且． （1）若是，的等比中项，求正整数的值； （2）若，求数列的前项和． 17．（15分）2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列及方差． 18．（17分）已知抛物线（）的焦点为，抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少． （1）求抛物线的方程． （2）若，为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． （3）过焦点的直线与抛物线交于，，为坐标原点，直线，与直线：分别相交于，两点，求的最小值． 19．（17分）已知函数（）． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求函数的最值； （3）设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 参考答案 一、1．C 【解析】因为，所以，解得，即． 因为，所以．故选C． 2．A 【解析】令，则． 因为，所以，所以，所以的值域为．故选A． 3．D 【解析】①当时，．因为，所以．因为，所以不符合题意．②当时，．因为，所以．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值是．故选D． 4．B 【解析】将2个体育类作品捆绑，共种排法，其他作品任意排列，共有种不同的展示方法． 将2个体育类作品捆绑，有种排法，将绘画类与演讲类作品捆绑，有种排法，其他作品任意排列，此时共有种不同展示方法，所以体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有（种）．故选B． 5．C 【解析】因为的展开式中，二项式系数之和为64，所以，解得，所以， 所以展开式的通项为． 令，得，所以展开式的常数项为． ．故选C． 6．A 【解析】设．因为对任意，都有成立，所以对任意，都有成立，即对任意，都有成立． 因为所以函数在上单调递减，所以解得，即实数的取值范围是．故选A． 7．C 【解析】由可知其定义域为，所以，所以曲线在处的切线方程为，即． 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为． 因为，所以且，所以，即，得．再将代入，得，即．两边取对数并整理得． 所以．令，则．令，得，则． 因为在上单调递减，所以当时，；当时，． 因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点也是最大值点，因此．所以的最大值为．故选C． 8．B【解析】因为，所以．当直线轴时，，则，故点到直线的距离是； 如图，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，则直线的方程为 ．联立解得所以．同理可得．设点到直线的距离是．因为，所以，所以．综上，点到直线的距离是故选B． 二、9．BD 【解析】由题意，得，解得；，解得．所以，故A错误． 当时，的预测值为，所以解得 所以经验回归方程为，所以变量之间成负相关关系，故B正确． ， ， ， 所以，则，接近于1，数据的残差平方和很小，故C错误，D正确．故选BD． 10．ABD 【解析】对于A，若摸出后放回，每次只摸一个球，则每次摸出球的概率不变，故第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是，故A正确； 对于B，若摸出后不放回，则，故B正确； 对于C，若摸出后不放回，则，故C错误； 对于D，若摸出后不放回，设事件为“第一次摸到印有张家界图案的小球”，则， 所以，故由全概率公式得，故D正确．故选ABD． 11．BCD 【解析】由题意，得，所以，所以． 对于A，若，则，所以在上单调递增，但它是非奇非偶函数，故A错误． 对于B，由得．因为函数在定义域上无极值点，所以无变号零点．令，得．当时，，此时无变号零点；当时，有变号零点，不符合题意，舍去．所以，故B正确． 对于C，当时，．因为，所以，所以．令，则．令，得，所以，所以函数的图象的对称中心是，故C正确． 对于D，由C项分析知，．当和时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减． 因为， 所以要使得有三个解，则，且是方程的根． 为了简化研究，由对称性，只研究的情况． 因为， 所以，且， 故，即． 所以． 所以，当时，取得最大值，此时，所以，则，故D正确．故选BCD． 三、12． 【解析】因为，所以． 13． 【解析】构造函数，其中，则．因为，所以，则函数在上单调递增．因为，所以． 因为，所以． 14． 【解析】因为， 所以． 令，则在时单调递减． 因为，所以． 又，所以的最小值是5． 所以当取最小值5时，． 所以当取最小值时，． 四、15．解：（1）因为社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，所以男队员与女队员各有25名． 结合题表可知，该社区花鼓队中，选择乘飞机的男队员有20人，选择坐高铁的女队员有15人．（2分） 所以补充完整的列联表如下： 乘飞机 坐高铁 合计 男队员 20 5 25 女队员 10 15 25 合计 30 20 50 （2）零假设为：喜爱乘飞机和坐高铁与性别无关． ． 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 故认为喜爱乘飞机和坐高铁与性别有关． 16．解：（1）因为数列中，．所以， 所以， 所以，即，所以， 所以． 因为是，的等比中项，所以，所以，解得． （2）由（1）知，所以． 因为，所以， 所以，① 所以．② ①②得， 所以． 17．解：（1）依题意，得，解得． （2）依题意，成绩在的人有（人）， 成绩在的人有（人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人，则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有（人）， 所以的可能取值为0，1，2，3，且． 所以，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以． 或． 18．（1）解：因为抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少， 所以抛物线的准线为直线． 由抛物线的定义知，所以， 所以抛物线的方程是． （2）证明：设，则的重心． 由于直线的斜率，则， 所以， 所以的重心在直线上运动． （3）解：由（1）知焦点． 不妨设点在轴上方． ①当直线的斜率不存在时，，则． 联立方程组解得所以． 同理，由得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组消去并整理，得，则， 所以． 直线的方程是，联立方程组解得， 所以． 因为，所以，同理，． 所以 ，当且仅当，即时，等号成立．所以． 因为，故的最小值是． 19．解：（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，所以． （2）由（1）知． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为，无最小值． 综上，当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值． （3）因为恒成立，所以． 由（2）知，只有当时，． 因为，其中， 所以． 令，其中，则， 所以函数在区间上单调递增． 因为， 所以由零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，即，即． 令，其中，则， 所以函数在上单调递增． 因为，所以． 由，可得，则，所以． 又当时，，即； 当时，，即． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为， 所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $