精品解析：河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025－2026学年高二下学期期末考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域求得集合 ，由此求得. 【详解】对于集合，则，解得，即． 因为，所以． 2. 若函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 3. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合了狄利克雷函数的定义和基本不等式求最值. 【详解】①当时，．因为，所以． 因为，所以不符合题意． ②当时，．因为， 所以．因为，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是． 4. 某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（ ） A. 432种 B. 144种 C. 96种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】应用捆绑法解决相邻问题，应用间接法解决不相邻计算求解. 【详解】将2个体育类作品捆绑，共种排法，其他作品任意排列，共有种不同的展示方法． 将2个体育类作品捆绑，有种排法，将绘画类与演讲类作品捆绑，有种排法，其他作品任意排列，此时共有种不同展示方法， 所以体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有（种）． 5. 在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. B. 256 C. 960 D. 3840 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二项式系数之和求出 ，然后求展开式的通项公式，确定展开式的常数项. 【详解】因为的展开式中，二项式系数之和为64， 所以，解得， 所以， 展开式的通项为. 令，得， 所以展开式的常数项为． 6. 函数，若对任意，（），都有成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数 的取值范围是． 7. 若曲线在 处的切线也是曲线的切线，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用 表示 并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在 处的切线方程为，即， 设曲线在 处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以 的最大值为. 8. 已知双曲线：，椭圆：，若 ， 分别是，上的动点， 为坐标原点，若，则点 到直线的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分情况讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，直接求出点 到直线的距离；当斜率存在时，设出直线方程，联立方程组，利用向量垂直的性质得到直线方程中参数的关系，再根据点到直线的距离公式求解. 【详解】因为，所以． 当直线轴时，，， 则， 故点 到直线 的距离是； 如图， 当直线不垂直于 轴时，设直线的方程为， 则直线的方程为． 联立，解得， 所以．同理可得． 设点 到直线 的距离是． 因为，， 所以， 所以． 综上，点 到直线 的距离是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知变量 ，之间的经验回归方程是，且变量 ，之间的一组相关数据如下表所示，经验回归直线过点，当时，的预测值为0.6，则下列说法正确的是（ ） 6 8 12 6 3 2 提示：相关系数，． A. B. 变量 ，之间成负相关关系 C. 数据的残差平方和较大 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由，得；由，得，因此，A错误； 对于B，当时，的预测值为，则，解得， 经验回归方程为，因此变量之间成负相关关系，B正确； 对于CD，， ， ， 因此，，接近于1，数据的残差平方和很小，C错误，D正确. 10. 一袋中装有10个小球，小球表面印有长城、九寨沟、张家界三种图案，其数量分别为4，3，3，小球除表面的图案不同外，其余均相同．每次从中随机摸出1个小球，连续摸球两次．设事件为“第一次摸到印有长城图案的小球”，事件为“第二次摸到印有张家界图案的小球”，则下列结论正确的有（ ） A. 若摸出后放回，则第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是 B. 若摸出后不放回，则 C. 若摸出后不放回，则 D. 若摸出后不放回，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，因为摸出后放回，所以每次摸出球的概率不变；对于选项B，根据条件概率求解；对于选项C，利用概率的乘法公式求解；对于选项D，利用全概率公式求解. 【详解】对于A，若摸出后放回，每次只摸一个球，则每次摸出球的概率不变，故第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是，故A正确； 对于B，若摸出后不放回，则，故B正确； 对于C，若摸出后不放回，则，故C错误； 对于D，若摸出后不放回，设事件为“第一次摸到印有张家界图案的小球”，则， 所以，故由全概率公式得，故D正确． 11. 已知函数（），其中是在处的导数值，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则是奇函数且在上单调递增 B. 若函数在定义域上无极值点，则 C. 若 ，则函数的图象的对称中心是 D. 若 ，有三个不相等的实数根，则当取得最大值时， 等于16 【答案】BCD 【解析】 【分析】A. 代入得，虽在上单调递增，但不满足奇函数定义； B. 求导得导函数为二次式，无极值点等价于导函数无变号零点，即两根相等，可解得 的值； C. 代入 得的表达式，求二阶导可得拐点横坐标，验证对称性得对称中心； D. 三次方程三根时由韦达定理及根与系数关系，用表达并配方求最大值，代回得对应. 【详解】由题意，得，所以，所以． 对于A，若，则，所以在上单调递增，但它是非奇非偶函数，故A错误． 对于B，由得． 因为函数在定义域上无极值点，所以无变号零点． 令，得．当时，，此时无变号零点； 当时，有变号零点，不符合题意，舍去．所以，故B正确． 对于C，当 时，． 因为，所以，所以． 令，则．令，得 ， 所以，所以函数的图象的对称中心是，故C正确． 对于D，由C项分析知，． 当和时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减． 因为， 所以要使得有三个解，则， 且是方程的根． 为了简化研究，由对称性，只研究的情况． 因为， 所以， 且， 故，即． 所以． 所以，当时，取得最大值， 此时， 所以，则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以， 所以． 13. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判定其单调性，然后利用单调性比较大小. 【详解】构造函数，其中，则． 因为，所以，则函数在上单调递增． 因为，所以． 因为， 所以． 14. 盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸 次，每次摸出1个小球，记这 次摸出的小球中最大编号为，若要求成立，则当 最小时________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定随机变量的所有可能取值，利用概率公式得到的分布列，进而求出的表达式，解不等式得到最小的正整数，最后根据期望的线性性质计算. 【详解】因为， 所以． 令，则在时单调递减． 因为，所以． 又，所以 的最小值是5． 所以当 取最小值5时，． 所以当 取最小值时，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，计划到北京旅游，对选择乘飞机和坐高铁进行了问卷调查，得到了如下的列联表． 乘飞机 坐高铁 男队员 5 女队员 10 （1）补全列联表； （2）根据小概率值 的独立性检验，分析喜爱乘飞机和坐高铁是否与性别有关． 附：临界值表供参考． 0.15 0.010 0.005 2.072 6.635 7.879 【答案】（1） 乘飞机 坐高铁 合计 男队员 20 5 25 女队员 10 15 25 合计 30 20 50 （2）认为喜爱乘飞机和坐高铁与性别有关.【解析】 【分析】（1）根据总人数和性别比例补全列联表； （2）写出零假设，代入卡方公式计算观测值，与临界值比较，若大于临界值则拒绝零假设，认为出行方式与性别有关． 【小问1详解】 因为社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，所以男队员与女队员各有25名． 结合题表可知，该社区花鼓队中，选择乘飞机的男队员有20人，选择坐高铁的女队员有15人． 所以补充完整的列联表如下： 乘飞机 坐高铁 合计 男队员 20 5 25 女队员 10 15 25 合计 30 20 50 【小问2详解】零假设为：喜爱乘飞机和坐高铁与性别无关． ． 因为， 所以根据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立， 故认为喜爱乘飞机和坐高铁与性别有关． 16. 已知数列的前 项和为,,且． （1）若是，的等比中项，求正整数 的值； （2）若，求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出时的已知表达式，再写出 时的对应表达式，两式作差推导数列的递推关系；令 代入原式求的关系，结合递推关系确定数列的通项公式，根据等比中项性质有，代入通项公式求解 即可； （2）先写出的表达式，在用错位相减法求前 项和即可. 【小问1详解】 因为数列中，．所以， 所以， 所以，即，所以， 所以 ．因为是，的等比中项， 所以，所以，解得． 【小问2详解】 由（1）知，所以． 因为，所以， 所以，① 所以．② ①②得 ， 所以． 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求 的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 【答案】（1） （2） 的分布列为 0 1 2 数学期望为 （3） 的分布列为 0 1 2 3 方差为 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于 的方程并求解； （2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数， 服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望； （3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率， 服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差. 【小问1详解】 依题意，得 ，解得 ． 【小问2详解】 依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以 的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 所以，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以． 18. 已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． （1）求抛物线的方程． （2）若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线 的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． （3）过焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点, 为坐标原点，直线 ， 与直线分别相交于 ，两点，求的最小值． 【答案】（1） （2）设，则的重心． 由于直线 的斜率， 则，所以， 故 的重心在直线上运动． （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题设距离关系推导准线方程，进而求出得到抛物线方程. （2）设出的坐标，根据直线 斜率为得到两点纵坐标的关系；再结合重心坐标公式，用的坐标表示重心坐标，消去参数得到重心横纵坐标的关系，判断是否为定直线. （3）设过焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，得到坐标的关系；分别求出直线与交点的坐标，用弦长公式写出的表达式，再求最小值. 【小问1详解】 因为抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线的距离少， 所以抛物线的准线为直线． 由抛物线的定义知，所以， 所以抛物线的方程是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知焦点．不妨设点 在 轴上方． ①当直线的斜率不存在时，，则 ． 联立方程组，解得，所以． 同理，由，得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，消去 并整理， 得，则， 所以 ．而直线 的方程是， 联立方程组，解得，所以． 因为，所以，同理，． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立．所以． 因为，故的最小值是． 19. 已知函数（）． （1）若在 处取得极值，求 的值； （2）求函数的最值； （3）设，若，，恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数无最值；当 时，函数的最大值为，无最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用求得 ，并进行检验. （2）对 进行分类讨论，根据的单调性确定的最值. （3）将问题转化为，结合导数分别求得的最大值和的最小值，由此列不等式求得 的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，其中． 因为函数在 处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，所以． 【小问2详解】 由（1）知 ． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当 时，令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为，无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当 时，函数的最大值为，无最小值． 【小问3详解】 因为， 恒成立， 所以． 由（2）知，只有当 时，． 因为，其中， 所以． 令，其中，则， 所以函数在区间上单调递增． 因为 ， 所以由零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，即，即． 令，其中，则， 所以函数在上单调递增． 因为，所以 ． 由，可得，则，所以． 又当时，，即； 当时，，即． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为， 所以实数 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高二下学期期末考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 3. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（ ） A. 432种 B. 144种 C. 96种 D. 48种 5. 在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. B. 256 C. 960 D. 3840 6. 函数，若对任意，（），都有成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线在 处的切线也是曲线的切线，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：，椭圆：，若 ， 分别是，上的动点， 为坐标原点，若，则点 到直线的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知变量 ，之间的经验回归方程是，且变量 ，之间的一组相关数据如下表所示，经验回归直线过点，当时，的预测值为0.6，则下列说法正确的是（ ） 6 8 12 6 3 2 提示：相关系数，． A. B. 变量 ，之间成负相关关系 C. 数据的残差平方和较大 D. 10. 一袋中装有10个小球，小球表面印有长城、九寨沟、张家界三种图案，其数量分别为4，3，3，小球除表面的图案不同外，其余均相同．每次从中随机摸出1个小球，连续摸球两次．设事件为“第一次摸到印有长城图案的小球”，事件为“第二次摸到印有张家界图案的小球”，则下列结论正确的有（ ） A. 若摸出后放回，则第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是 B. 若摸出后不放回，则 C. 若摸出后不放回，则 D. 若摸出后不放回，则 11. 已知函数（），其中是在处的导数值，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则是奇函数且在上单调递增 B. 若函数在定义域上无极值点，则 C. 若 ，则函数的图象的对称中心是 D. 若 ，有三个不相等的实数根，则当取得最大值时， 等于16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，，则________． 13. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 14. 盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸 次，每次摸出1个小球，记这 次摸出的小球中最大编号为，若要求成立，则当 最小时________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，计划到北京旅游，对选择乘飞机和坐高铁进行了问卷调查，得到了如下的列联表． 乘飞机 坐高铁 男队员 5 女队员 10 （1）补全列联表； （2）根据小概率值 的独立性检验，分析喜爱乘飞机和坐高铁是否与性别有关． 附：临界值表供参考． 0.15 0.010 0.005 2.072 6.635 7.879 16. 已知数列的前 项和为,,且． （1）若是，的等比中项，求正整数 的值； （2）若，求数列的前 项和． 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求 的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18. 已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． （1）求抛物线的方程． （2）若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线 的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． （3）过焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点, 为坐标原点，直线 ， 与直线分别相交于 ，两点，求的最小值． 19. 已知函数（）． （1）若在 处取得极值，求 的值； （2）求函数的最值； （3）设，若，，恒成立，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $