2.4 第1课时 行程(或动点)问题及平均变化率问题（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第二章    一元二次方程

2.4    应用一元二次方程

第1课时    行程(动点)问题及平均变化率问题

【学习目标】

1. 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.

2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题．

学习重点：掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.

学习难点：理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题.

【复习导入】

还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？

如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？

 

 

 

                   

【合作探究】

探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题

(1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？

 

 

 

 

 

 

(2) 如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

 

 

 

 

 

 

典例精析

例1  如图，某海军基地位于A处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标B，在B的正东方向 200 n mile 处有一重要目标C. 小岛D位于AC 的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC的中点. 一艘军舰沿A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0.1海里)？

 

 

 

 

 

练一练

1.如图，在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以 1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以 2 cm/s 的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为 64 cm2？

 

 

 

 

 

 

探究点2：平均变化率问题与一元二次方程

前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x，则去年生产1 吨甲种药品的成本是      元，如果保持这个下降率，那么现在生产1吨甲种药品的成本是     元.

 

例2  前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率.

 

 

 

 

 

注意：下降率不可为负，且不大于1.

例3  某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？

 

 

 

 

 

想一想  你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？

 

练一练 

2. 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是 3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率.

 

 

 

 

 

             

当堂反馈

1.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶2500个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，则可列方程为(　　)

A.1000(1＋x)2＝2500

B.1000(1－x)2＝2500

C.(1－x)2＋1000＝2500

D.x2＋1000＝2500

2.某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下降的百分率是　        　.

3.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为　                    　.

4.随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的200万元增长到今年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.