2.1 第2课时 一元二次方程的解及其估算（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程的解及其估算”，通过复习导入回顾一元二次方程的特点和一般形式，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从旧知自然过渡到新知探索。 资料以“试一试”表格验证、实际问题探究为核心，让学生经历解的探索过程，培养抽象能力与创新意识。估算环节运用“区间逐步缩小法”，结合表格逐步逼近，发展推理意识和运算能力，习题注重整体思想与实际应用，提升模型意识与应用意识。

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算 【学习目标】 1. 理解方程的解的概念. 2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3. 会估算一元二次方程的解.（难点） 学习重点：经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义. 学习难点：会估算一元二次方程的解. 【复习导入】 问题1：一元二次方程有哪些特点？ 问题2：一元二次方程的一般形式是什么？ 【合作探究】 探究点1：一元二次方程的根 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 例1 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值. 变式：已知a是方程 x2 + 2x－2=0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026的值. 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值. 探究点2：一元二次方程解的估算 问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程(8 - 2x)(5 - 2x) = 18，你能求出这个宽度吗？ (1) x可能小于0吗？说说你的理由． x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由. （2）你能确定 x 的大致范围吗？ （3）填写下表： （4）你知道地毯花边的宽 x (m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流． 尝试·思考 问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 (x + 6)2 + 72 = 102，也就是 x2 + 12x - 15 = 0. (1) 小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是 2 m吗？可能是3 m吗？为什么？ (3) 你能猜出滑动距离x的大致范围吗？ (4) x的整数部分是几？十分位是几？ 思考·交流 小亮求解上述“尝试·思考”问题的过程如下： x 0 0.5 1 1.5 2 x2 + 12x - 15 -15 -8.75 -2 5.25 13 可知 x 取值的大致范围是：1＜x＜1.5. 进一步计算： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x - 15 -15 -8.75 -2 5.25 所以 1.1＜x＜1.2， 因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1． (1) 你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流。 (2) 如果要把 x 的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法。 【归纳总结】 规律方法 上述求解是利用了“区间逐步缩小法”的思想 用“区间逐步缩小法”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值； ②根据题意所列的具体情况再次进行排除； ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选； ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 例2 请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的正数根（精确到 0.1）. 练一练 1.根据题意，列出方程，并估算方程的解： 一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？ 当堂反馈 1.一元二次方程(x＋2)(x－1)＝0的根为(　　) A.x＝－2 B.x＝1 C.x＝－2或1 D.x＝2或－1 2.若关于x的一元二次方程x2－x－m＝0的一个根是x＝1，则m的值是(　　) A.1 B.0 C.－1 D.2 3.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若4a－2b＋c＝0，则它的一个根是(　　) A.－2 B.－ C.－4 D.2 4.[高频易错]若关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋3x＋m2－4＝0有一根为0，则m＝　　. 5.观察下表，确定一元二次方程x2－2x－2＝0的一个近似解的取值范围. x x2－2x－2 2.1 －1.79 2.2 －1.56 2.3 －1.31 2.4 －1.04 2.5 －0.75 2.6 －0.44 2.7 －0.11 2.8 0.24 6.已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为2和3，求b与c的值. 7.[整体思想]已知x＝m是方程x2－2x－1＝0的一个实数根，求2m(m－2)－5的值. 参考答案 【合作探究】 探究点1：一元二次方程的根 试一试：解：3 和 -2. 例1 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，. 变式 解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2. ∴2a2+4a+2026=2(a2+2a)+2026=2×2+2026=2030. 问题1：(1) 不能，因为 x 代表宽度，小于 0 不符合实际. 当 x > 4，不可能，5 - 2x < 0，边长无意义； 当 x > 2.5，不可能，5 - 2x < 0，地毯宽为负. （2）8 - 2x＞0，5 - 2x＞0， 解得 x＜4，x＜2.5，所以 0＜x＜2.5 （3） （4）x = 1 尝试·思考 (1) 不正确. 12 + 12×1 - 15 = -2 (2) 都不可能. 22 + 12×2 - 15 = 13；32 + 12×3 - 15 = 30 (3) x 表示宽度，所以 x 不可能小于 0； 思考·交流 (1) 1. 先通过较大步长确定根所在的大致区间 1< x <1.5； 2. 再在该区间内缩小步长，进一步精确根所在的更小区间 1.1< x <1.2； 3. 重复此过程，逐步逼近方程的精确解，从而确定解的整数部分、十分位等。 (2) 在区间 1.1< x <1.2 内，以 0.01 为步长计算函数值，找到符号变化的区间 (如 1.14< x <1.15)，取区间内更接近零点的值作为近似解，即可精确到百分位(近似为 x≈1.14)。 例2 解：（1）列表. 依次取 x = 0，1，2，3… x 0 1 2 3 … x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 … 由上表可发现，当 2＜x＜3 时，-1＜ x2 - 2x -1 ＜2； （2）继续列表，依次取 x = 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5… x 2.2 2.3 2.4 2.5 … x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04 0.25 … 由表发现，当 2.4＜x＜2.5 时，- 0.04＜x2 - 2x - 1＜0.25； （3）取 x = 2.45，则 x2 - 2x - 1 ≈ 0.1025.∴2.4＜x＜2.45.∴x ≈ 2.4. 【练一练】 1.解：设苗圃的宽为 x m，则长为(x + 2) m ，根据题意，得 x · (x + 2) = 120. 即 x2 + 2x - 120 = 0. 根据题意 x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 由上可知，x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在 0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近): x … 8 9 10 11 … x2 - 2x - 1 … -41 -21 0 23 … 所以 x = 10.因此这苗圃的长是 12 米，宽是 10 米. 当堂反馈 1.C　 2.　B　 3.　A　 4.　2　. 5.解：由表可发现，当2.7＜x＜2.8时，－0.11＜x2－2x－2＜0.24. 故原方程的一个近似解的取值范围为2.7＜x＜2.8. 6. 解：将x＝2和x＝3代入方程， 得解得 7.解：∵x＝m是方程x2－2x－1＝0的一个实数根， ∴m2－2m－1＝0. ∴m2－2m＝1. ∴2m(m－2)－5＝2m2－4m－5＝2(m2－2m)－5＝2×1－5＝－3. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $