2.2 第5课时 利用一元二次方程解决面积问题（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“利用一元二次方程解决实际问题”，核心知识点为面积法建立方程模型及解决面积相关问题。课堂导入通过小区通道面积问题复习旧知，引出面积法建模，再以矩形荒地设计花园等合作探究和封面设计、运动问题等典例搭建学习支架，连接方程解法与实际应用。 该资料以真实情境（荒地、封面、修路）为载体，提供多种设计方案和变式训练，引导学生用数学眼光观察问题，通过面积公式建模培养推理意识，用方程求解表达现实世界，提升模型观念和应用能力，助力学生掌握学科特色学习方法。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第5课时 利用一元二次方程解决实际问题 【学习目标】 学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 【复习导入】 问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m， 则由题意列的方程为_____________________. 【合作探究】 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 问题：在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗？ 小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等. 通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m. （1）你认为小明的结果对吗？为什么？ 小亮设计：如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同. （2）你能帮小亮求出图中的x吗？ （3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流. 小颖设计：如右图所示，其中花园是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等. 【典例精析】 例1 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度 (精确到 0.1 cm)？ 分析：这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度之比 : . 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为9 cm²？ 方法点拨： 在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 例3 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 变式题1：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 变式题2：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 变式题3：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路). 当堂反馈 1.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为(　B　) A.x(20＋x)＝64 B.x(20－x)＝64 C.x(40＋x)＝64 D.x(40－x)＝64 2.如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪.要使草坪面积为300m2，则道路宽为多少米？ 书写通关 解：设　 　. 根据题意得　 　. 解得　 　. (x＝　 　不合题意，舍去) 答：　 　. 3.如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用75m长的围栏围成总面积为300m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 4.如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 参考答案 【复习导入】 问题 (30 - 2x)(20 - x) = 6×78 【合作探究】 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 小亮设计： 解：由图片信息得，四个扇形组成一个圆 设扇形半径为 x m，根据题意得： 即 πx2 = 96. 解方程得 x1 = (舍去)，x2= . 答：扇形半径约为 5.5 m. 小颖：解：设小路的宽为 x m，根据题意得： 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4，x2 = 24. 将 x = 24 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为 4 m. 例1： 解：设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为： 设上下边衬的9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 于是可列出方程 整理得16x2-48x+9=0，解方程得（不合题意，舍去）. 故上下边衬的宽度为左右边衬的宽度为 例2 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm² ,根据题意得AP= xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm. 依题意得，整理，得x2-6x+9=0，解得x1= x2=3. 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 例3 方法一：解：设道路的宽为x米，依题意得20×32-32x-20x+x2=540,解得 x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 方法二：解：设道路的宽为x米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得 x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 变式题1：解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得 x1=2，x2=50（不合题意，舍去）.∴x=2. 答：道路的宽为2米. 变式题2：解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得x1=18-≈1.45，x2=18+≈34.55（不合题意，舍去）. 答：道路的宽为 1.45 m. 变式题3：解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得 x1=1，x2=25（不合题意，舍去）.∴x=1. 答：道路的宽为1米. 当堂反馈 1.B　 2. 解：设　道路宽为xm　. 根据题意得　(22－x)(17－x)＝300　. 解得　x1＝37，x2＝2　. (x＝　37　不合题意，舍去) 答：　道路宽为2m　. 3. 解：设AB的长度为xm， 则BC的长度为(75－3x)m. 根据题意得(75－3x)x＝300， 解得x1＝20，x2＝5. 当x＝20时，75－3x＝15＜25，符合题意. 当x＝5时，75－3x＝60＞25，不符合题意，舍去.∴AB＝20m，BC＝15m. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20m，15m. 4.解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得 (20-6x)(30-4x)=400，即6x2-65x+50=0.解得（舍去）.. 答：横向彩条的宽度cm ,竖彩条的宽度cm. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $