2.2 第5课时 利用一元二次方程解决面积问题（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册
第二章 一元二次方程
第5课时 利用一元二次方程解决实际问题
【学习目标】
学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m，
则由题意列的方程为_____________________.
【合作探究】
问题：在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗？
小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等. 通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
（1）你认为小明的结果对吗？为什么？
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小亮设计：如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.
（2）你能帮小亮求出图中的x吗？
（3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流.
小颖设计：如右图所示，其中花园是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等.
【典例精析】
例1 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度 (精确到 0.1 cm)？
分析：这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度之比 : .
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例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为9 cm²？
方法点拨：
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
例3 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
变式题1：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
变式题2：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
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