3.2 第1课时 利用两角判定三角形相似（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“利用两角判定三角形相似”，通过复习三角形关系变化、相似三角形定义及全等判定方法，以“全等是特殊相似”为支架，引导学生猜想相似判定条件，衔接新旧知识脉络。 资料亮点在于引导学生经历观察、实验、猜想、证明的探究过程，通过动手画图验证定理培养几何直观与创新意识，典例和练习结合平行线、直角三角形等情境发展推理能力，当堂反馈题型多样强化应用意识，助力学生用数学思维解决问题。

第3章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 第1课时 利用两角判定三角形相似 【学习目标】 1.类比三角形的全等判定定理的探究路径，去探索“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，了解此判定定理及定理的证明． 2.会利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，判定两个三角形相似，发展推理能力． 3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力． 学习重点：两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 学习难点：两角分别相等的两个三角形相似的判定定理的证明． 【复习导入】 问题1 这两个三角形有什么关系？ 那这样变化一下呢？ 问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 【合作探究】 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？ 如果有两个角分别相等呢？ [合作探究] 与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β．此时，∠C与∠C′相等吗？三边的比，，相等吗？这样的两个三角形相似吗？ 改变 ∠α，∠β 的大小，再试一试. 归纳总结：两角分别相等的两个三角形相似． 符号语言：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′． [典例精析] 例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC， AB = 7，AD = 5，DE = 10，求BC 的长. [练一练] 1. 如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC. 2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 从点 D 分别做边 AB、AC 的垂线，垂足分别为点 E、F，DF 与 AB 交于点 H. 求证：△DHE∽△ABC． [典例精析] 例2 例2 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC ∽△ADE． 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E是AC上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长. 当堂反馈 1.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(　　) A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定是否相似 2.如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是(　　) A.∠B＝∠D B.∠CAD＝90° C.AD∥BC D.∠BAC＝∠D 3.已知∠1＝∠2，请添加一个条件：　 　，使△ABC∽△ADE. 4.如图，D是△ABC中AC边上的一点. (1)若∠1＝　 　，则△CBD∽△CAB； (2)若∠2＝　　，则△CBD∽△CAB. 5.如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意两对相似三角形：　 　. 6.如图，△ABC的高AD，BE相交于点F.求证：＝. 参考答案 【合作探究】 例1 解：， ， ．两角分别相等的两个三角形相似）． ．． 练一练 1. 证明: ，， ， . . 2. 证明 因为，所以 因为，所以. 从而， 又，所以 因此（两角分别相等的两个三角形相似）. 例2 证明：，，， 。 ， ， （对顶角相等）， 。 。 例3 解：，。又，， 。。。 当堂反馈 1.　C　 2.　A　 3.　∠B＝∠D(答案不唯一) 4.(1)　∠CBA　；(2)　∠A　. 5.　△ADF∽△ECF，△EBA∽△ECF(或△ADF∽△EBA，写出其中两对即可)　. 6.证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AEF＝∠BDF＝90°. 又∵∠AFE＝∠BFD， ∴△AFE∽△BFD.∴＝. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $