第14讲 投影（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第14讲 投影 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平行投影（重点） 题型2 中心投影 题型3 正投影 题型4 视点、视角和盲区（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 投影、投影线、投影面、中心投影、投影中心、平行投影、正投影、物高影长比例、视点、视角、盲区 1. 理解投影的基本概念，明确投影线、投影面、投影物体三要素，能对生活中的常见投影现象进行基础分类。 2. 掌握中心投影的定义与形成原理，熟悉线段、平面图形在中心投影下的三类投影规律；能通过作图确定点光源位置，绘制物体影子，分析人靠近或远离路灯时的影子长度变化规律。 3. 掌握平行投影的定义与核心特征，理解线段、平面图形的平行投影规律；熟练运用 “同一时刻物体高度与影长成正比” 解决实际测量问题，了解一天中影子的朝向与长度变化规律。 4. 理解正投影的概念与投影特征，明确正投影与平行投影的从属关系。 5. 理解视点、视角与盲区的概念，能结合几何原理解释生活中的盲区现象，完成简单的盲区范围分析与作图。 学习重点：1. 中心投影的性质，点光源的定位方法与影子长度的变化规律 2. 平行投影的核心特征，物高与影长成正比的实际计算应用 3. 中心投影与平行投影的概念区分与性质对比 学习难点：1. 结合相似三角形原理，解决两类投影的长度计算与实际应用问题 2. 中心投影中光源定位、影子绘制的作图逻辑与多物体投影分析 3. 盲区场景的几何建模与实际问题的推理分析 4. 不同投影类型的综合区分与复杂场景判断 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01投影基础概念 基础定义 光线照射物体，物体在平面形成的影子叫投影;照射物体的光线叫投影线;承载投影的平面叫投影面。 知识点02中心投影 1.定义:由同一点光源发出的光线形成的投影叫中心投影，点光源称为投影中心，灯光、路灯形成的影子属于中心投影 2.线段的中心投影三种情况 （1）线段平行于投影面:投影是放大的线段，原线段与投影线段平行，对应三角形相似; （2）@线段不平行于投影面、两端点不在同一条投影线上:投影仍为线段，长度随线段与投影面夹角改变; （3）线段两端点在同一条投影线上:投影是一个点。 3平面图形平行于投影面的规律 平面图形与投影面平行时，它的中心投影和原图形相似，可实现图形放大，幻灯机、投影仪利用此原理工作。 4.找点光源、画影子方法 连接两个物体顶端与影子顶端并延长，交点即为点光源;连接光源与物体顶端延长交地面，交点到物体底部的线段就是影子。 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】本题考查了中心投影的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据相同高度的物体，距离灯光越远，则影子越长解答即可． 【详解】解：由图可知，三个身高相同的小朋友站在路灯下，丙离路灯最远，则丙的影子最长． 故答案为：丙． 知识点03平行投影 1.定义:平行光线形成的投影为平行投影，太阳光、探照灯光线形成的投影属于平行投影，日晷利用太阳光平行投影观测时间。 2.线段的平行投影三种情况 （1）线段平行于投影面:投影线段与原线段等长; （2）线段不平行于投影面、也不平行于投影线:投影为线段，长度和原线段不一定相等;3线段两端点在同一条投影线上:投影是一个点。 （3）平面图形平行于投影面的规律平面图形平行于投影面时，平行投影和原图形形状、大小完全相同。 长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据同一时刻，平行光线照射下，物体高度与影子长度的比值相等，列出比例式求出水杉高度． 【详解】解：设该水杉的高为米， ∵同一时刻物体高度与影子长度的比值相等， ∴， 解得：， 即该水杉的高为35米， 故选：A． 比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 【答案】甲 【分析】本题考查了平行投影，根据从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，即可求解，熟练掌握平行投影的特征是解题的关键． 【详解】解：根据平行投影的规律，可知从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∵比赛是在下午进行的，先参加比赛，再参加比赛， ∴甲照片是参加时照的，乙照片是参加时照的， 故答案为：甲． 题型1 平行投影 【例1】小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行， ∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行， ∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到， 当矩形纸片与光线平行放置时还可投影得到线段， 等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质，因此不可能是等腰梯形． 【例2】阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【分析】本题主要考查平行投影的概念，解题关键是熟练掌握平行投影与中心投影的概念区别，根据平行投影的定义进行判断即可，平行投影是指由平行光线所形成的投影． 【详解】解：阳光发出的光线可以看成是平行光线，像这样的平行光线所形成的投影叫做平行投影，阳光照射下体育馆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 【技巧归纳】 平行投影光线互相平行，太阳光下的影子属于平行投影。平行线段的平行投影仍平行或重合，矩形的投影可为平行四边形、矩形、正方形或线段。 易错点：易忽略平行投影的平行性特征，误判为梯形等对边不平行的图形；混淆平行投影与中心投影的光源与投影规律。 【变式1-1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 【变式1-2】甲、乙两个垂直于地面的建筑物高度相同，同一时刻，同一地点，甲、乙两建筑物在太阳光下的影子长度（    ） A．一样长 B．甲比乙长 C．乙比甲长 D．无法确定 【答案】A 【分析】在同一时刻、同一地点，相同高度的物体，影长相等，再根据甲、乙建筑物高度相同，即可解答． 【详解】解：甲、乙两个垂直于地面的建筑物高度相同， ∴同一时刻，同一地点，甲、乙两建筑物在太阳光下的影子一样长． 【变式1-3】某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【变式1-4】小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 【答案】 【分析】本题考查平行投影的性质，核心是同一时刻、同一地点，太阳光下物体的高度与影长的比值为定值(由相似三角形对应边成比例推导而来)． 【详解】解：厘米米，小红的身高为米； 设小红的影长为米， ∴， 解得； 故答案为：． 【变式1-5】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意可得，再求出其相似比，最后利用相似三角形面积比与相似比的关系求出面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与相似比是， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 故答案为：． 题型2 中心投影 【例3】下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【答案】C 【分析】本题需区分中心投影与平行投影的概念，中心投影由点光源发出的光线形成，平行投影由平行光线形成，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 【例4】如图，设点为投影中心，长度为2的线段平行于它在面内的投影．已知点到直线的距离为3，直线与距离为5，则的长_____． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影的性质，掌握中心投影的性质是解题关键． 根据中心投影的性质，可知线段与其投影的比等于投影中心到线段和的距离之比，列比例求解即可． 【详解】解：记点O到直线的距离为，点O到直线的距离为， 则由题意，得，， 由中心投影的性质，可知，即， ∴， 故答案为： ． 【技巧归纳】 中心投影由点光源发出光线形成，路灯、放映投影均属此类，太阳光下投影为平行投影.平行于投影面的线段，可利用相似三角形性质，对应高之比等于线段长度比求解. 易错点：易混淆两类投影的光源类型；相似三角形对应高的距离易对应错误，导致比例式列写失误. 【变式2-1】如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 【变式2-2】如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出y随x的变化规律是解决问题的关键．根据中心投影的性质得出小颖在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象． 【详解】解：∵小路的正中间有一路灯，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系为：y随x的增大而减小， ∴用图象刻画出来应为B． 故选：B． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用中心投影，过点P作于点E交于点M，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 【变式2-4】下面四幅图中，能表示两棵树在同一盏路灯下的是 ．（填对应选项） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握中心投影的定义． 根据中心投影的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线不会交于一点，不符合中心投影的特征，故A选项错误； B、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线交于一点，符合中心投影的特征，故B选项正确； C、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线是平行的，符合平行投影的特征，不是中心投影，故C选项错误； D、图中树高与影子成反比，故D选项错误． 故选：B． 【变式2-5】如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【分析】根据证明，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 【变式2-6】如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】(1)见解析 (2)中心投影 (3)见解析 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 【详解】（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 题型3 正投影 【例5】当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影的性质，掌握当物体的面平行于投影面时，正投影与该面形状、大小相同是解题的关键． 当正方体的一个面平行于投影面时，其正投影即为该面本身，因此投影面积为该正方形的面积． 【详解】解：∵正方体的某个面平行于投影面， ∴该面的正投影为边长为的正方形， ∴投影面积． 故选：B． 【例6】如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 【答案】 线段BD 线段AD 点D 【分析】本题考查正投影的概念，掌握根据投影线方向和线段的位置，确定线段的正投影形状是解题的关键． 根据正投影的定义，分析线段在垂直向下投影线下的投影形状． 【详解】解：线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：和的正投影都是，所以线段的正投影是点． 故答案为：线段、线段、点 ． 【技巧归纳】 正投影的投影线垂直于投影面.当平面图形平行于投影面时，正投影与原图形全等，面积相等；线段端点的投影连线即为线段的正投影，垂直线段的正投影为点. 易错点：易误将立体全面积当作投影面积；垂直于投影面的线段易错判为线段投影，需紧扣垂直投影的定义判断. 【变式3-1】光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正投影的形状判断，掌握根据立体图形的形状和投影方向，分析正投影的形状是解题的关键． 分别分析每个立体图形在光线由上到下照射时的正投影形状，找出正投影不是圆形的图形． 【详解】解：A、球的正投影是圆形，不符合题意； B、圆柱的正投影是圆形，不符合题意； C、圆锥的正投影是圆形，不符合题意； D、正方体的正投影是正方形，不是圆形，不符合题意． 故选：D． 【变式3-2】如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，理解正投影的定义是解题的关键． 根据“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”判断即可． 【详解】解：如图： 当平面图形垂直于投影面时，其正投影是线段； 故选：C． 【变式3-3】如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 【变式3-4】如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 【变式3-5】操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定于性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质进行推理证明； （1）根据题意，写出答案即可； （2）利用同角的余角相等证明即可证明与相似，再列出比例式即可； （3）作，证明与全等，再利用射影定理求出线段长即可． 【详解】（1）解：根据投影的定义可知线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，． （2）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：作， ∵点O是对角线、的交点，， ∴    ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为15，，， 由射影定理可知，，即， ，由勾股定理，得：， 则，， 所以 故答案为：． 题型4 视点、视角和盲区 【例7】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【答案】B 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区． 【例8】如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 【技巧归纳】 视点即观测点，视角是由视点向物体两端引出的两条视线所夹的角，盲区为视线无法覆盖的区域.抬高观测点可扩大可视范围，相应减少盲区. 易错点：易错判视角的顶点位置，误以物体端点为角的顶点；易混淆盲区变化规律，错认为升高观测点会增大盲区. 【变式4-1】直角坐标系内，身高为1.5米的小强面向y轴站在x轴上的点A(－10,0)处，他的前方5米处有一堵墙，已知墙高2米，则站立的小强观察y(y＞0)轴时，盲区(视力达不到的地方)范围是________． 【答案】0＜y≤2.5 【分析】根据题意作图，过D作DF⊥OC于F，交BE于H，利用tan∠BDH＝BH∶DH= CF∶DF，进行求解，即可求出OC的长. 【详解】过D作DF⊥OC于F，交BE于H，OF＝1.5，BH＝0.5， 三角形DBH中，tan∠BDH＝BH∶DH＝0.5∶5， 因此三角形CDF中，CF＝DF·tan∠BDH＝1， 因此，OC＝OF＋CF＝1＋1.5＝2.5.因此盲区的范围在0＜y≤2.5. 【点睛】此题主要考查中心投影的应用，解题的关键是熟知中心投影的特点及三角函数的应用. 【变式4-2】如图表示一个正五棱柱形状的建筑物，如图是它的俯视图，小明站在地面上观察该建筑物，当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有________个． 【答案】 【分析】根据正五棱柱形状的建筑物，它的俯视图，可知当只能看到建筑物的一个侧面时，正好是以正五边形其中一条边的正三角形，即可得出符合要求的活动区域． 【详解】根据正五棱柱形状的建筑物，它的俯视图，可知， 当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域是以每一条正五边形的边长为以其中一条边的正三角形， ∴当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有 5个，是以每一条边构成的等边三角形． 故答案为5． 【点睛】此题主要考查了视点、视角与盲区，根据题意得出当只能看到建筑物的一个侧面时的盲区是以正五边形其中一条边的正三角形是解决问题的关键． 【变式4-3】如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 1．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 2．图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投影的概念，理解投影的定义，数形结合分析是关键． 根据立体图形的特点，投影的定义，数形结合分析即可． 【详解】解：圆锥体的投影是， 故选：C ． 3．如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，圆的周长，掌握相似的性质是关键． 根据题意相似的性质得到，即可求解． 【详解】解：桌面距地面，若灯泡距地面， ∴灯泡距离桌面， 设桌面阴影的半径为， ∴， 解得，， ∴地面上的阴影部分的面积为， 故选：A ． 4．如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，据此即可判断求解，掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 【详解】解：∵就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∴影子的图按时间先后顺序进行排列为④②①③， 故选：． 5．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据题意可知与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ∵， ∴， ∴与的位似比为， ∴， 解得． 故选：D． 6．某小组学生同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，由这些数据可计算出旗杆的高度为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查平行投影． 根据同一时刻的阳光光线平行，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，，    则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则， 故答案为：． 7．仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时必能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的是_____投影．（填写“中心”或“平行”） 【答案】平行 【分析】本题重点考查平行投影和中心投影，掌握相关定义是解决本题的关键． 【详解】解：太阳光属于平行光线，在太阳光照射下，物体形成的投影是平行投影； 而中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，与太阳光的光线特征不符． 故答案为：平行 ． 8．电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了____________． 【答案】增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等 【分析】从减小盲区角度可理解后一排总比前一排高，从满足有相同的视角可理解每一横排呈圆弧形． 【详解】电影院的座位排列时，后一排总比前一排高是为了增加视野，后面的观众看清屏幕，每一横排呈圆弧形是利用圆周角相等，保证同一排上的人看屏幕的视角相等． 故答案为增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等． 【点睛】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区． 9．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_________． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 10．为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为______． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影的应用，解题的关键明确在同一时刻物高和影长成正比，经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【详解】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米． 则有， 解得 树高是（米． 故答案为米． 11．树甲在阳光下的影子如图所示.    (1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）； (2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明． 【答案】(1)表示树丙的影子，表示树乙的影子 (2)见解析 【分析】本题考查了平行投影： （1）根据太阳光是平行光，则根据平行投影的特点作，进而可求解； （2）延长、相交于，根据平行投影的特点，即可求解； 熟练平行投影的特点是解题的关键． 【详解】（1）根据太阳光是平行光，则根据平行投影的特点作，如图：   表示树丙的影子，表示树乙的影子． （2）延长、相交于，根据平行投影的特点， 如图所示时，此时树乙的影子落在树甲的影子里，树甲的高度为． 12．周末晚上，小刚带弟弟去逛夜市，活泼好动的弟弟总是走在前面，中山路路口街边高挂一盏球形街灯（可视为点光源），灯下有个路牌，弟弟和小刚一前一后经过这个路牌，在街灯下路牌和弟弟的影子的方位和长短如图所示． (1)请标出街灯的位置，并画出小刚的影子对应的线段． (2)身高的弟弟与街灯的水平距离为，此时他的影长为，求灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查作图应用与设计作图，中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用路牌和弟弟的影子，延长交于点，点即为所求，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：点为街灯的位置，线段为小刚的影子； （2）如图所示，过点作于点 依题意：，， ， 即 解得 街灯的高度是． 13．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，． (1)BD的长为______． (2)如图2，当时． ①求的度数；（参考数据：，，，） ②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 【答案】(1)250cm (2)①35°；② 【分析】（1）根据题意可得，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得，代入数据求解即可； （2）①过点作，根据，可得，根据，，即可求解； ②根据题意可知，则，根据求得，根据勾股定理可得，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得 ∴cm （2）①如图，过点作 cm， cm， ②如图，连接，过点作， 根据题意可知 伞能遮雨的面积为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 投影 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平行投影 题型2 中心投影 题型3 正投影 题型4 视点、视角和盲区 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 投影、投影线、投影面、中心投影、投影中心、平行投影、正投影、物高影长比例、视点、视角、盲区 1. 理解投影的基本概念，明确投影线、投影面、投影物体三要素，能对生活中的常见投影现象进行基础分类。 2. 掌握中心投影的定义与形成原理，熟悉线段、平面图形在中心投影下的三类投影规律；能通过作图确定点光源位置，绘制物体影子，分析人靠近或远离路灯时的影子长度变化规律。 3. 掌握平行投影的定义与核心特征，理解线段、平面图形的平行投影规律；熟练运用 “同一时刻物体高度与影长成正比” 解决实际测量问题，了解一天中影子的朝向与长度变化规律。 4. 理解正投影的概念与投影特征，明确正投影与平行投影的从属关系。 5. 理解视点、视角与盲区的概念，能结合几何原理解释生活中的盲区现象，完成简单的盲区范围分析与作图。 学习重点：1. 中心投影的性质，点光源的定位方法与影子长度的变化规律 2. 平行投影的核心特征，物高与影长成正比的实际计算应用 3. 中心投影与平行投影的概念区分与性质对比 学习难点：1. 结合相似三角形原理，解决两类投影的长度计算与实际应用问题 2. 中心投影中光源定位、影子绘制的作图逻辑与多物体投影分析 3. 盲区场景的几何建模与实际问题的推理分析 4. 不同投影类型的综合区分与复杂场景判断 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01投影基础概念 基础定义 光线照射物体，物体在平面形成的影子叫投影;照射物体的光线叫投影线;承载投影的平面叫投影面。 知识点02中心投影 1.定义:由同一点光源发出的光线形成的投影叫中心投影，点光源称为投影中心，灯光、路灯形成的影子属于中心投影 2.线段的中心投影三种情况 （1）线段平行于投影面:投影是放大的线段，原线段与投影线段平行，对应三角形相似; （2）@线段不平行于投影面、两端点不在同一条投影线上:投影仍为线段，长度随线段与投影面夹角改变; （3）线段两端点在同一条投影线上:投影是一个点。 3平面图形平行于投影面的规律 平面图形与投影面平行时，它的中心投影和原图形相似，可实现图形放大，幻灯机、投影仪利用此原理工作。 4.找点光源、画影子方法 连接两个物体顶端与影子顶端并延长，交点即为点光源;连接光源与物体顶端延长交地面，交点到物体底部的线段就是影子。 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 知识点03平行投影 1.定义:平行光线形成的投影为平行投影，太阳光、探照灯光线形成的投影属于平行投影，日晷利用太阳光平行投影观测时间。 2.线段的平行投影三种情况 （1）线段平行于投影面:投影线段与原线段等长; （2）线段不平行于投影面、也不平行于投影线:投影为线段，长度和原线段不一定相等;3线段两端点在同一条投影线上:投影是一个点。 （3）平面图形平行于投影面的规律平面图形平行于投影面时，平行投影和原图形形状、大小完全相同。 长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 题型1 平行投影 【例1】小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【例2】阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【技巧归纳】 平行投影光线互相平行，太阳光下的影子属于平行投影。平行线段的平行投影仍平行或重合，矩形的投影可为平行四边形、矩形、正方形或线段。 易错点：易忽略平行投影的平行性特征，误判为梯形等对边不平行的图形；混淆平行投影与中心投影的光源与投影规律。 【变式1-1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】甲、乙两个垂直于地面的建筑物高度相同，同一时刻，同一地点，甲、乙两建筑物在太阳光下的影子长度（    ） A．一样长 B．甲比乙长 C．乙比甲长 D．无法确定 【变式1-3】某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【变式1-4】小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 【变式1-5】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________ ． 题型2 中心投影 【例3】下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【例4】如图，设点为投影中心，长度为2的线段平行于它在面内的投影．已知点到直线的距离为3，直线与距离为5，则的长_____． 【技巧归纳】 中心投影由点光源发出光线形成，路灯、放映投影均属此类，太阳光下投影为平行投影.平行于投影面的线段，可利用相似三角形性质，对应高之比等于线段长度比求解. 易错点：易混淆两类投影的光源类型；相似三角形对应高的距离易对应错误，导致比例式列写失误. 【变式2-1】如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【变式2-4】下面四幅图中，能表示两棵树在同一盏路灯下的是 ．（填对应选项） A． B． C． D． 【变式2-5】如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【变式2-6】如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 题型3 正投影 【例5】当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 【技巧归纳】 正投影的投影线垂直于投影面.当平面图形平行于投影面时，正投影与原图形全等，面积相等；线段端点的投影连线即为线段的正投影，垂直线段的正投影为点. 易错点：易误将立体全面积当作投影面积；垂直于投影面的线段易错判为线段投影，需紧扣垂直投影的定义判断. 【变式3-1】光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【变式3-3】如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【变式3-5】操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 题型4 视点、视角和盲区 【例7】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【例8】如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 视点即观测点，视角是由视点向物体两端引出的两条视线所夹的角，盲区为视线无法覆盖的区域.抬高观测点可扩大可视范围，相应减少盲区. 易错点：易错判视角的顶点位置，误以物体端点为角的顶点；易混淆盲区变化规律，错认为升高观测点会增大盲区. 【变式4-1】直角坐标系内，身高为1.5米的小强面向y轴站在x轴上的点A(－10,0)处，他的前方5米处有一堵墙，已知墙高2米，则站立的小强观察y(y＞0)轴时，盲区(视力达不到的地方)范围是________． 【变式4-2】如图表示一个正五棱柱形状的建筑物，如图是它的俯视图，小明站在地面上观察该建筑物，当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有________个． 【变式4-3】如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 1．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 2．图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 3．如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 5．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．某小组学生同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，由这些数据可计算出旗杆的高度为_______ ． 7．仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时必能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的是_____投影．（填写“中心”或“平行”） 8．电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了____________． 9．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_________． 10．为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为______． 11．树甲在阳光下的影子如图所示.    (1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）； (2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明． 12．周末晚上，小刚带弟弟去逛夜市，活泼好动的弟弟总是走在前面，中山路路口街边高挂一盏球形街灯（可视为点光源），灯下有个路牌，弟弟和小刚一前一后经过这个路牌，在街灯下路牌和弟弟的影子的方位和长短如图所示． (1)请标出街灯的位置，并画出小刚的影子对应的线段． (2)身高的弟弟与街灯的水平距离为，此时他的影长为，求灯的高度． 13．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，． (1)BD的长为______． (2)如图2，当时． ①求的度数；（参考数据：，，，） ②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $