第15讲 三视图（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第15讲 三视图 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断简单几何体的三视图（重点） 题型2 判断简单组合体的三视图 题型3 判断非实心几何体的三视图 题型4 已知一种或两种视图，判断其他视图 题型5 画简单组合体的三视图 题型6 画简单组合体的三视图 题型7 由三视图还原几何体（重点） 题型8已知三视图求边长 题型9 已知三视图求侧面积或表面积 题型10求小立方块堆砌图形的表面积 题型11已知三视图求体积 题型12求几何体视图的面积 题型13由三视图，判断小立方体的个数 题型14已知三视图求最多或最少的小立方块的个数（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三视图、主视图、俯视图、左视图、长对正高平齐宽相等、可见轮廓线、不可见轮廓线（实线虚线）、直棱柱、圆柱、圆锥、球体、组合体三视图、三视图还原几何体、小立方块计数、几何体侧面积、几何体表面积、几何体体积 1. 理解三视图的基本概念，明确主视图、俯视图、左视图的观察方向与摆放规范，掌握 “长对正、高平齐、宽相等” 的长宽高对应关系，牢记 “可见轮廓线画实线、不可见轮廓线画虚线” 的绘制规则。 2. 掌握直棱柱、圆柱、圆锥、球体等常见几何体的三视图特征，能准确判断简单几何体、简单组合体、非实心镂空几何体的三视图形状。 3. 掌握由三视图还原立体图形的基本方法，能根据一种或两种已知视图推断其余视图，还原出对应的几何体形状。 4. 能解决小立方块堆砌类问题，包括根据俯视图数字判断三视图、确定小立方体的总个数、推算最多与最少的小立方块数量。 5. 能结合三视图中的尺寸数据，计算直棱柱、圆柱等几何体的侧面积、表面积与体积，掌握小立方块堆砌图形的表面积计算方法。 6. 能规范绘制简单组合体的三视图，符合视图摆放位置与线条规范，提升空间想象能力与几何作图素养。 学习重点：1. 三视图的核心规则：长宽高对应关系与实线、虚线的区分标准 2. 常见几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）与简单组合体的三视图判断 3. 由三视图还原几何体的方法，小立方块个数的判断与计数 4. 结合三视图数据计算几何体的侧面积、表面积与体积 学习难点：1. 非实心、带镂空结构的几何体的三视图判断，不可见轮廓线的正确表达 2. 由两种视图推算小立方块的最多、最少个数，空间逻辑推理 3. 复杂组合体的三视图还原与表面积、体积的综合计算 4. 多视角下几何体三视图的变化判断，以及非常规摆放的几何体视图识别 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01三视图 1.长宽高定义 正对物体观察:物体左右水平距离为长，前后水平距离为宽，上下竖直距离为高。 2..三视图构成 将相互垂直的三个平面展开得到三视图:主视图、俯视图、左视图，三者结合完整反映立体形状。 3.三视图长宽高对应关系 主视图、俯视图反映物体的长;主视图、左视图反映物体的高;左视图、俯视图反映物体的宽。 4.三视图摆放规范 先选定主视方向画出主视图;俯视图画在主视图正下方;左视图画在主视图正右方。 5.线条绘制注意事项 看得见的轮廓线画实线，被遮挡、看不见的轮廓线画虚线。 6.各视图对应维度 主视图反映长和高;俯视图反映长和宽;左视图反映宽和高。绘图完成后可擦除辅助线。 《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”．如图放置的“堑堵”的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：如图放置的“堑堵”的左视图是． 如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 【答案】 主 左 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图中左视图、主视图的定义解题即可． 【详解】解：主视图：从正面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 左视图：从左面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 俯视图：从上面观察，有两行，第一行两个小正方形，第二行左边一个小正方形． 故答案为：①主②左． 知识点02直棱柱相关知识点 1.直棱柱定义与特征由多个多边形围成的封闭几何体，满足两点特征: （1）有两个全等、所在平面互相平行的多边形; （2）其余面都是矩形，这类几何体叫做直棱柱。 2.直棱柱各部分名称围成直棱柱的多边形叫做面;相邻面公共边叫棱;多边形顶点叫顶点;互相平行且全等的一对面是底面;其余矩形面是侧面;相邻侧面公共边是侧棱。 3.直棱柱命名规则按底面多边形边数命名，底面为三角形叫直三棱柱、四边形叫直四棱柱、五边形叫直五边形、六边形叫直六棱柱;长方体、正方体都属于直四棱柱。 4.直棱柱三视图绘制注意事项看不见的轮廓线统一画成虚线;左视图矩形宽度由立体图形前后宽度确定。 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从物体的上面看得到的视图进行判断即可． 【详解】解：根据立体图可知该俯视图是： 如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数起，第一列，中下两层各有一个小正方形，第二列上中下各有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：B． 知识点03圆柱、圆锥、球体的三视图 1.圆柱 直立摆放:主视图、左视图为矩形，俯视图为圆;横放摆放:主视图、俯视图为矩形，左视图为圆;注意:物体摆放位置不同，三视图会发生变化。 2.球体 无论从正面、水平面、侧面投影，投影均为圆，主视图、左视图、俯视图全是等大的圆。 如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的左视图是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【详解】解：从左边看一个正方形被分成三部分，两条分线是虚线； 故选：． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握相关性质是解答本题的关键． 下列几何体中，三视图相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是几何体的三视图，熟练掌握常见立体图形的三视图特征是解题的关键．根据三视图的定义，分别从正面、左面、上面观察几何体，逐一辨析各选项三视图的形状，进而选出三视图全部相同的几何体． 【详解】解：选项（圆柱）：正视图、左视图是矩形，俯视图是圆形，三视图不相同， 选项（球体）：从正面、左面、上面观察，三视图全是大小相等的圆，三视图完全一致， 选项（三棱柱）：正视图、左视图、俯视图轮廓形状不一样，三视图不同， 选项（圆锥）：正视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，三视图不相同． 故选：． 知识点04组合立体图形三视图 组合体示例:上部圆锥、下部正方体，圆锥底面直径与正方体棱长相等;主视图、左视图上方为三角形、下方为正方形;俯视图为正方形内部包含一个圆心带点的圆。 如图，用五个相同的小正方体搭成几何体，其主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：用五个相同的小正方体搭成几何体，其主视图为． 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形． 知识点05三视图识图规则 1.线条规范 看得见的轮廓线画实线，被遮挡不可见的轮廓线画虚线。 2.由立体图画三视图基础范围 本章无特殊说明时，研究立体图形仅限直棱柱、圆柱、圆锥、球。 3.根据三视图还原立体图形步骤: 先分别依据主视图、俯视图、左视图想象立体的前面、上面、左侧面;再综合三个视图，推理完整立体形状。 4.常见三视图对应立体图形 主、左、俯视图全为矩形:长方体; 主、左视图等腰三角形，俯视图带圆心圆点的圆:圆锥; 主、左视图矩形，俯视图圆:直立圆柱。 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（     ） A．三棱柱 B．圆锥 C．长方体 D．球 【答案】A 【详解】解：由三视图得，该几何体是三棱柱． 某几何体的三视图都相同，则该几何体是______．（填一个就行） 【答案】正方体（答案不唯一） 【分析】本题考查由三视图判断几何体，球的三视图是三个相等的圆，正方体的三视图是三个相等的正方形． 【详解】解：三视图都相同的几何体是正方体或球体， 故答案为：正方体（答案不唯一）． 知识点06由三视图判断立体图形 1．主视图、左视图为矩形，俯视图为正六边形：立体图形是直六棱柱。 2．主视图、俯视图为三角形，左视图为圆：立体图形是圆锥。 3．主视图、左视图为矩形，俯视图为圆形：立体图形是圆柱。 如图是由相同的小正方体搭成的物体的主视图和俯视图，则组成这个物体的小正方体的个数不可能是（   ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了三视图，掌握三视图的有关知识是解题的关键，即俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图决定组合几何体的层数．由主视图得此几何体有2层．俯视图可确定最底层的正方形的个数，由主视图可得几何体第二层可能的正方体的个数，相加即可． 【详解】解：由俯视图得此几何体最底层有5个正方体，由主视图得此几何体第二层最少有1个，最多3， 所以组成这个物体的小正方体的个数可能是，，， 故选：D． 如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查了求几何体的侧面积以及几何体的三视图，先由三视图得出这个几何体是正三棱柱，结合侧面积等于三个长方形的面积之和，即，据此作答． 【详解】解：依题意，这个几何体是正三棱柱 ∴ ∴这个几何体的侧面积是 故答案为： 题型1 判断简单几何体的三视图 【例1】下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（     ） A．三棱锥 B．正方体 C．圆柱 D．球 【答案】B 【分析】分别找出立体图形从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：、三棱锥俯视图不是正方形，故此选项错误； B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确； C、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误； D、球的俯视图是圆，故此选项错误． 【例2】景德镇瓷器名扬天下，下列器皿中，主视图和左视图不相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的定义，主视图是从物体正面看所得到的图形，左视图是从物体左面看所得到的图形．分别判断各选项中几何体的主视图和左视图即可． 【详解】解：A．主视图和左视图形状不相同，故本选项符合题意； B．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意； C．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意； D．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意． 【技巧归纳】 判断三视图需分别从正面、左面、上方观察几何体轮廓，可见棱画实线，不可见棱画虚线。轴对称旋转体的主视图与左视图通常相同，存在不对称凸起部件的器物，三视图会出现差异。 易错点：易忽略不可见棱的虚线表示；对带不对称结构的器物，易错判主、左视图完全相同。 【变式1-1】如图是“柯山野叟”朱文瓷印，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面观察所得到的平面图形，根据立体图形的特征（特别是顶部的形状）进行判断即可． 【详解】解：∵主视图是从物体的正面观察所得到的图形 ∴观察立体图形可知，该物体由上下两部分组成；上部顶端两角为圆角，下部为长方体，且从正面看上下部分宽度一致 ∴其主视图应为上下两个矩形组合，且最上方两角为圆角，中间有一条实线分隔 对比选项可知，只有A选项符合题意． 【变式1-2】如图，沿正方体的一条棱截去其上方的一个三棱柱，则剩余几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形判断几何体的切割方式，确定该几何体是正方体沿前后方向截去左上方的一个三棱柱，然后根据左视图的定义（从左向右看）分析即可求解． 【详解】∵ 观察立体图可知，该几何体是由正方体沿平行于前后棱的方向，截去左上方的一个三棱柱得到的 ∴ 该几何体的前表面和后表面均为直角梯形（左低右高），左侧面和右侧面均为矩形（左侧面较矮，右侧面较高） ∵ 左视图是从左向右观察几何体得到的投影 ∴ 视线首先接触到较矮的左侧面，其投影为下方的矩形 ∵ 右侧面比左侧面高，且切面为斜面 ∴ 在左视图中，右侧面高出的部分以及切面的投影会显示在左侧面投影的上方，形成一个上方的矩形区域 ∴ 整体左视图为一个大矩形，中间有一条横向实线 ∴ 选项A符合题意． 【变式1-3】在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有______．（直接填序号） 【答案】 【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是解题的关键． 根据主视图与俯视图分别是从物体正面、上面看得到的图形来解答． 【详解】解：正方体，主视图、俯视图都为正方形，即主视图和俯视图相同； 球，主视图、俯视图都为圆，即主视图和俯视图相同； 圆柱，主视图是长方形，俯视图是圆，即主视图和俯视图不相同； 圆锥，主视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，即主视图和俯视图不相同； 故答案为：． 题型2 判断简单组合体的三视图 【例3】如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．俯视图和左视图相同 D．三视图都不相同 【答案】D 【分析】画出三视图后，结合三视图即可选出正确答案． 【详解】解：三视图如下， 三视图都不相同． 故选D． 【例4】如图，该几何体由大小相同的小正方体拼接而成．若移走一块小正方体后，几何体的主视图保持不变，那么移走的小正方体是_____．（填写所标的序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：观察图形可知，若移走一块小正方体，几何体的主视图不发生改变，则移走的小正方体是④． 故答案为：④． 【技巧归纳】 判断组合体三视图，需按观察方向梳理各列小正方体的最高层数，注意前后遮挡关系.移走小正方体仍保持某视图不变，需保证对应列的最大层数不发生改变. 易错点：易忽略后排方块的遮挡，错判视图形状；移走方块时易误判层数变化，需逐列核对最大高度. 【变式2-1】如图所示的几何体，其主视图是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从正面看该几何体呈现左高右低的L形，故只有A符合题意． 【变式2-2】篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，这个印章的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：，这个印章的俯视图是． 【变式2-3】下列选项中都是由四个相同的小正方体组成的几何体，其中三视图都一样的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别得出四个选项中几何体的三视图即可． 【详解】 解：A.主视图、俯视图与左视图均为，故此选项符合题意； B. 主视图为，俯视图为，左视图为，故此选项不符合题意； C. 主视图为，俯视图为，左视图为，故此选项不符合题意； D.主视图为，俯视图为，左视图为，故此选项不符合题意． 【变式2-4】（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 【答案】（1）主，俯；（2） 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置． （1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． （2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积． 【详解】解：（1）如图所示： （2）表面积 ． 题型3 判断非实心几何体的三视图 【例5】斗拱是我国古建筑中的重要部件，一种斗形木构件“三才升”的示意图如图所示，则它的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形． 【详解】解：从左面看，上面部分是长方形，下面部分是梯形，长方形内部有一条看不见的线，应该画虚线， 故左视图为 ． 【例6】有一辆小汽车如图，小红从空中往下看这辆小汽车，图________是小红看到的形状． 【答案】 【分析】找到小汽车从上面看所得到的图形即可． 【详解】从空中往下可看到一的大长方形内有一个小长方形． 故选：（3）． 【点睛】考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【技巧归纳】 绘制含凹槽的非实心几何体三视图，可见轮廓线画实线，被遮挡的内部不可见棱线画虚线.俯视图由上向下正投影，呈现物体顶部的轮廓与结构. 易错点：易遗漏内部遮挡棱的虚线，或将不可见线误画为实线；易混淆不同观察方向对应的视图形状. 【变式3-1】如图所示是一个空心圆柱体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：它的主视图是 ． 【变式3-2】如图是生活中常见的管件“三通”，它的左视图是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，三通的左视图为． 【变式3-3】如图所示，该几何体的俯视图是(　　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据三视图中俯视图的概念作出判断即可． 【详解】解：∵根据三视图的概念，俯视图是指从上面看， ∴从上面看是由五个矩形组成，其中有两条为虚线， 故选：C． 【点睛】本题考查三视图的概念，俯视图是指从上面看，注意看得见的线用实线，看不见的线用虚线，熟记三视图的概念是解答本题的关键． 题型4 已知一种或两种视图，判断其他视图 【例7】下图是一块积木及其主视图，则它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三视图的定义，左视图是从物体左面看得到的视图，看不见的轮廓线画成虚线，该几何体是正方体中间挖去一个正六棱柱孔，根据主视图判断六棱柱的摆放位置，进而确定左视图中虚线的数量． 【详解】解：由题意及主视图可知，该几何体是一个正方体，中间挖去了一个前后贯通的正六棱柱孔， ∵左视图是从左面看物体， ∴外部轮廓是一个正方形， ∵孔在内部，从左侧看不可见， ∴孔的侧棱应画为虚线， 由主视图可知，正六边形的左右两边是竖直的，上下是顶点， ∴正六边形的6个顶点在竖直方向上对应4个不同的高度（最上顶点、左上与右上顶点、左下与右下顶点、最下顶点）， ∴左视图中应有4条水平的虚线. 观察选项，只有D选项符合． 【例8】榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得“榫”的俯视图的圆内都为虚线，选项B正确． 【技巧归纳】 推导未知视图需遵循三视图“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，结合几何体的凹凸、镂空结构特征，准确区分可见轮廓与不可见轮廓的虚实线表达。 易错点：易忽略三视图的尺寸对应关系；对立体结构的观察方向判断偏差，错用实线与虚线。 【变式4-1】如图是三摞硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一摞硬币的个数，则这三摞硬币的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据俯视图确定左视图，由俯视图可知，左视图有2列，第一列有4个小长方形，第二列有3个小正方形，据此进行判断即可． 【详解】解：由俯视图可知，左视图有2列，第一列有4个小长方形，第二列有3个小正方形， 故选B． 【变式4-2】如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图的概念求解即可． 【详解】A.主视图中应该有正方形，选项不符合题意； B.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； A.主视图中间竖直方向有虚线，选项符合题意； A.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 【变式4-3】用大小相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看（小正方形中的数字与字母表示该位置小立方块的个数）得到的这个几何体的形状图如图所示． (1)___，___； (2)的值最大为多少？画出这个几何体从左面看得到的形状图（任意画出其中一种即可）． 【答案】(1)； (2)，图见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，解题的关键在于学生能够发挥空间想象能力，利用从正面看和从上面看到的图形确定几何体每一层的小立方体个数的情况是解题的关键． （1）根据从正面看到的图形确定该几何体最右边和最左边对应层数小立方体的个数，再结合从上面看到的图形即可得到答案； （2）根据从正面看到的图形确定该几何体中间一列最多有4个小正方体，据此画出对应的从左面看到的图形即可． 【详解】（1）解：由从正面看到的图形可知，最左边一列有两个小正方形，最右边一列有一个小正方形， 则从下往上数，该几何体的第二层最左边一列最少有一行有两个小立方体，最右边一列只有一层， 由从上面看到的图形可知，． 故答案为：，． （2）解：根据看到的图形可知，该几何体中间一列最多有个小正方体，即最大为， 此时，从左边看，画出的图形如图： 题型5 画简单组合体的三视图 【例9】如图，这是由完全相同的个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，主视图是从几何体正面观察到的平面图形，从几何体正面观察到的平面图形共有列小正方形，左侧有块正方形，中间有块正方形，右侧有块正方形． 【详解】解：几何体的主视图如下图所示， 故选：A． 【例10】画出图中几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】分别分析两个长方体在三个视图方向上的投影形状与位置关系，再组合起来．因为三视图要体现轮廓线，所以判断可见的棱用实线，被遮挡的棱用虚线． 【详解】解：三视图如图所示． 【技巧归纳】 绘制组合体三视图，先确定观察方向，逐列统计小立方体的最大层数，遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规则，仅绘制可见轮廓。 易错点：易误判前后排层数，造成列高绘制偏差；易忽略三视图的尺寸对齐规则，出现长宽高对应失误。 【变式5-1】如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看得到的图形成为解题的关键． 根据左视图即从左边观察得到的图形即可解答． 【详解】解：从左边看，可得如图所示几何体的左视图是： ． 故选：D． 【变式5-2】请画出此零件的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查立体图形的三视图，理解并掌握三视图的概念，及绘图方法是解题的关键．根据立体图形的三视图的特点，主视图：从正面观察立体图形，主视图的宽、高与立体图形的宽、高相等；左视图：从左面看立体图形，左视图的长、高与立体图形的长、高相等；俯视图：从上往下看立体图形，俯视图的宽、长与立体图形的宽、长相等；由此即可求解． 【详解】解：零件的三视图如图所示： 【变式5-3】我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查投影，三视图，掌握知识点是解题的关键． 根据三视图的定义解答即可． 【详解】解：如图所示，即为所作的三视图． 题型6 画简单组合体的三视图 【例11】如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从正面看得到的平面图形是几何体的主视图，确定每一列正方体的层数即可解答． 【详解】解：从正面看，该几何体共有列， 其中左边一列最高有层，中间一列最高有层，右边一列最高有层． 即选项D符合题意． 【例12】下面是由一些小正方体组成的几何体，它们的视图相同的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．都不相同 【答案】C 【详解】根据视图的定义，三个几何体的俯视图均为： 【技巧归纳】 判断组合体三视图需按观察方向逐列统计小正方体最大层数，遵循三视图投影规则。比对不同几何体视图是否相同，需分别绘制对应视图后逐一核验。 易错点：易混淆前后排层数对应关系；左视图左右方向易判断颠倒，造成列序与层数匹配失误。 【变式6-1】如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走_______． 【答案】① 【分析】本题考查几何体的三视图，中心对称图形和轴对称图形的识别，左视图是从左面看到的图形．分别画出取走对应标号的小正方体后的几何体的左视图，再判断即可． 【详解】 解：取走①时，左视图为，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故答案为：①． 【变式6-2】如图所示是由几个小立方体所组成的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请分别画出从正面和左面观察这个几何体看到的形状图． 【答案】见解析 【分析】根据主视图从左往右3列正方形的个数依次为4，3，1；左视图从左往右3列正方形的个数依次为3，4，1，即可解答． 【详解】解：如图所示： 【变式6-3】如图，在平整的地面上，将若干个边长均为的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角． (1)请画出这个几何体的主视图和俯视图（可加阴影突出）； (2)若将其露在外面的面涂上一层漆，则其涂漆面积为 ； (3)添加若干个上述小正方体后，所成几何体的主视图和俯视图不变，则有 种添加方式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据三视图的定义画出主视图和俯视图； （2）分前面、右面、左面、上面计数露在外面的面，求和得涂漆面积； （3）若要几何体的主视图和俯视图不变，则只有左侧前排可以添加小正方体，分类计算添加方式． 【详解】（1）解：如图为几何体的主视图和俯视图． （2）解：小正方体的边长为， 小正方体每一面的面积为， 据图可知，几何体露在外面的面有个， 涂漆面积为． （3）解：在左侧前面加一个； 在左侧前面加两个， 故共有种添加方式． 【变式6-4】（1）由大小相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析，4；（2）图见解析 【分析】本题考查了简单组合体的三视图、中心投影的性质，解题的关键是熟练掌握三视图的定义以及中心投影中“三点一线”的作图原理． （1）分别从正面、左面、上面观察几何体，数出每一列（或行）的小正方体个数，从而画出主视图、左视图、俯视图；要保持主视图和左视图不变，意味着在添加小正方体时，每一列的高度（对应主视图）和每一行的高度（对应左视图）都不能超过原来的高度．通过对比俯视图中每个位置的现有高度与允许的最大高度，计算出每个位置最多能添加的数量，最后求和． （2）确定路灯位置：根据中心投影的特点，连接物体的顶端和其影子的顶端，这两条连线的交点就是点光源（路灯灯泡）的位置，连接路灯灯泡的位置和小树的顶端，将这条线延长直到与地面相交，交点到树根的线段就是小树的影子． 【详解】解：（1）作图如下： 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加4个，如下图： 故答案为：4； （2）根据题意作图如下： ． 题型7 由三视图还原几何体 【例13】某几何体的俯视图如图所示，该几何体是（     ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】B 【详解】解：由俯视图可知，该几何体为锥体，且有四条棱，故为四棱锥． 【例14】如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体（含一个侧面与两个底面）的表面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握圆柱的底面直径和高线长是解题的关键；首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求． 【详解】解：根据三视图可得该几何体为圆柱体；底面直径为4，则半径为2，高为6， ∴， 故答案为：. 【技巧归纳】 还原几何体可先依据俯视图确定底面轮廓，结合主、左视图判断几何体类型与各维度尺寸，再代入对应公式求解表面积或体积. 易错点：易混淆棱锥与棱柱的视图特征；计算表面积时易忽略题目限定的面数，造成多算或漏算. 【变式7-1】如图是某几何体的主视图，则该几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该几何体的主视图为三角形和长方形组成，易判断该几何体是由圆锥和圆柱组成． 【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是 ． 【变式7-2】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察几何图形三视图可得． 【详解】解：由题观察可得，该几何图形为： 【变式7-3】如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【答案】162 【分析】本题主要考查三视图还原几何体，根据几何体的三视图，得出该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，再根据图中数据求出它的体积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：． 故答案为：． 【变式7-4】如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)求这个几何体侧面展开图的圆心角； (3)求这个几何体的全面积． 【答案】(1)圆锥 (2) (3) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算． （1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥； （2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，再根据展开图扇形的弧长公式得到圆心角的度数； （3）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，再根据面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为圆锥； （2）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为， ∴母线为， 则展开图扇形的弧长为， 又弧长为， ， 解得 展开图扇形的圆心角度数为； （3）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6， 展开图扇形的面积为， 底面面积为， 圆锥的全面积为． 题型8 已知三视图求边长 【例15】一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．从顶点作出高线，标注各点，即为水面所在圆的半径，根据水面与容器底面平等，利用相似三角形对应边成比例求出的长即可． 【详解】解：标注主视图各点为A、B、C，作于点D，交水面线段于点E，水面线段交于点F，如图，由题意得，， ∵是圆锥容器的主视图， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是的垂直平分线，cm， ∵水面与容器底面平等，即， ∴， ∴，即为水面所在圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即上水面所在圆的直径长为6cm， 故选：A． 【例16】三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为_______． 【答案】7 【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可． 【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出：EQ=AB， ∵EG=14cm，∠EGF=30°， ∴EQ=AB=×14=7（cm）． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出EQ=AB是解题关键． 【技巧归纳】 圆锥截面类利用相似三角形性质，对应高的比等于底面直径的比.棱柱类需明确三视图的边长对应关系，通过三角函数求底面三角形对应边上的高，即为左视图对应边长. 易错点：相似三角形的对应高易匹配错误；易混淆三视图边长对应关系，错选三角函数类型. 【变式8-1】如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱底面，底面三角形为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 【详解】解析：解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，侧棱底面ABC，底面三角形为等腰三角形， 在中，可得． 该几何体的最长棱的长度为9． 故选：D． 【变式8-2】如图所示的是三棱柱的三视图，在中，，则的长为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出是解题关键． 过点E作交于点H．根据三视图的对应情况可得出，中上的高即为的长，进而求出即可． 【详解】解：如图，过点E作交于点H． ， ． 根据左视图可得到． 故答案为：． 【变式8-3】如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为_____.（结果保留π） 【答案】 【分析】先求出圆锥底面半径，然后根据扇形的弧长为圆锥底面的圆周长进行计算即可解答. 【详解】解：因为圆锥的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形， 所以圆锥底面半径为：R＝ 圆锥侧面展开扇形的弧长为圆锥底面的圆周长， 所以，弧长为： 故答案为 【点睛】本题考查解直角三角形和圆锥三视图，熟练掌握是解题的关键. 题型9 已知三视图求侧面积或表面积 【例17】如图是某户外用品公司设计的一款圆锥形单顶帐篷的三视图（无底面，单位：），为完成100顶这种帐篷的订单制作，公司采购部门需采购的布料最为合适的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三视图可知该几何体是圆锥，其母线长为，底面圆的直径为， ∴该圆锥的侧面积为， ∴完成100顶这种帐篷所需布料为, ∵， ∴A选项最合适． 【例18】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是______________． 【答案】36 【分析】根据三视图可判断这个几何体是三棱柱，再根据三棱柱的侧面特点计算，即可得出答案． 【详解】解：通过观察该几何体的三视图可知，该几何体为三棱柱，三棱柱有三个侧面，每个都是长方形，所以这个几何体的侧面积是：． 【技巧归纳】 由三视图还原几何体，提取底面半径、母线长、棱柱底面边长与高等参数，代入对应公式计算。圆锥侧面积为 ，棱柱侧面积为底面周长乘高。需注意题目是否包含底面． 易错点：易误将直径当作半径代入；易忽略无底面限定，多算底面积；棱柱类易混淆侧面积与表面积概念． 【变式9-1】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和几何体的表面积． 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥． 根据三视图知：该圆锥的母线长为，底面半径为， 故表面积． 故选：B． 【变式9-2】某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是______（请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解； 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式9-3】某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图． (1)根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）； (2)请根据图中所给数据（单位：）求每顶帐篷的表面积． 【答案】(1)圆柱，圆锥； (2)每顶帐篷的表面积为． 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三视图即可判断几何体； （）根据三视图得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆柱的高为，然后分别求出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，最后相加即可． 【详解】（1）解：根据三视图确定此款帐篷可以看作由圆柱和圆锥组合而成的几何体， 故答案为：圆柱，圆锥； （2）解：根据三视图得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆柱的高为， ∴圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， ∴每顶帐篷的表面积， 答：每顶帐篷的表面积为． 题型10 求小立方块堆砌图形的表面积 【例19】如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多个小正方体堆叠求表面积，表面积从左边看有6个面，右边6个面，前面6个面，后面6个面，上面6个面，下面6个面，另外还有两个隐藏的面，共计38个面，再乘以1个面的小正方形面积即可求解． 【详解】解：， 即表面积为， 故选：D． 【例20】如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是________． 【答案】38 【分析】本题考查了几何体的组成及表面积计算．先分析几何体各个方向的面的情况，从上下方向，面积之和为，从前后方向，面积之和为，从左右方向，面积之和为，最后再依次计算几何体的表面积并相加即可． 【详解】解：该几何体的表面积是：， 故答案为：38． 【技巧归纳】 计算堆叠几何体表面积常用三视图法，分别统计主视、左视、俯视图的正方形面数，利用相对面数量相等，总表面积为2× (主视面数+左视面数+俯视面数)，再乘单个正方形面积. 易错点：易漏数几何体凹陷处的外露面；数各视图面数时易重复或遗漏，需逐列核对层数. 【变式10-1】如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由_______个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是____________． 【答案】 38 126 【分析】本题考查了正方体及其表面积．由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【详解】解：从前层到后层有小正方体 （个）； 这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ． 故答案为：38；126． 【变式10-2】由10个相同的正方体搭成如图所示的几何体，放在桌面上． (1)画出该几何体的三视图； (2)若每个正方体的棱长为1，则该几何体的表面积为_____．（不含底面） 【答案】(1)见详解 (2)32 【分析】本题考查了几何体的三视图，计算几何体的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用空间想象，且结合三视图的特征进行作图即可； （2）先算出每个方向上的面的数量，再根据每个正方体的棱长为1，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：该几何体的三视图如图所示： （2）解：依题意，前面：6个面； 后面：6个面； 左面：7个面； 右面：7个面； 上面：6个面； ∴ ∴该几何体的表面积为32． 【变式10-3】用若干个棱长为1的小立方块搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示. (1)请在图中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积是_____ 【答案】(1)见解析 (2)44 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，求几何体的表面积，能正确画出从正面和左面看到的图形，是解题的关键． （1）从上面看得到图形的数字可得，从正面看有3列，看到小正方形的数量从左到右依次是4个、3个，2个；从左面看有3列，从左到右看到小正方形的数量依次是2个，4个，2个，据此可作图即可； （2）根据从正面、左面、上面看到的小正方形个数求出表面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积是： ． 故答案为：44． 【变式10-4】在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据已知条件解决以下问题： (1)如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积．（结果保留） (2)由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数． ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图； ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积．（包括底面积） 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查从不同方向看几何体．求圆锥和圆柱的体积． （1）根据从不同方向看几何体可知，这个几何体的上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，据此求解即可． （2）①由已知条件可知，从正面看有2列，每列小正方数形数目分别为2，3，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可画出图形； ②上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，继而得出表面积． 【详解】（1）解：由题意得这个几何体的上部分是一个高为，底面圆直径为6的圆锥，下部分是一个底面圆直径为6，高为4的圆柱， ∴这个几何体的体积为； （2）解：①如图所示： ②由题意可得：上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形， 故可得表面积为：． 题型11 已知三视图求体积 【例21】如图是某鱼缸的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．若该鱼缸装有一半水，根据图中所标示的数据（单位：），计算鱼缸内水的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三视图可知，鱼缸的长为，宽为，高为，根据长方体的体积公式即可求出鱼缸内水的体积． 【详解】解：由三视图可知，鱼缸的长为，宽为，高为， 鱼缸内水的体积为． 【例22】长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是_____． 【答案】36 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，长方体的体积公式，由长方体的主视图与俯视图可得，长方体的长为4，宽为3，高为3，再由长方体的体积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由长方体的主视图与俯视图可得，长方体的长为4，宽为3，高为3， 故长方体的体积为， 故答案为：． 【技巧归纳】 由三视图确定几何体的长、宽、高维度，长方体体积公式为 ，再根据题意按比例求解对应体积． 易错点：易混淆三视图对应边长，错配长宽高维度；易忽略题目限定的比例条件，直接计算总体积；易误判几何体类型错加 项． 【变式11-1】已知一个“粮仓”的三种视图如图所示（单位：），根据图中所给的数据求出它的容积是 ____．（参考公式：，，结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，圆锥和圆柱的体积公式，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状． 【详解】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体， 其体积为： ， 故答案为：． 【变式11-2】如图为个棱长为的正方体组成的几何体． (1)该几何体的体积是______（立方单位）； (2)在虚线框里分别画出该几何体从左面看和从上面看得到的图形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查从三个方面看空间立体图形，掌握常见组合体的空间构造，发挥自身空间想象能力是解决问题的关键． （1）根据体积的计算方法进行计算即可； （2）根据题中所给的空间立体图形，结合从左面、上面看得到的平面图形直接作答即可． 【详解】（1）解：由于是由个棱长为的正方体组成的几何体，每个正方体的体积是个体积单位，所以个棱长为的正方体组成的几何体的体积是个体积单位， 故答案为：5． （2）解：如图所示： ． 【变式11-3】如图，是一个正六棱柱，图①，图②是它的两种视图． (1)图①是_________；图②是_________（填“主视图”“左视图”或“俯视图”）； (2)根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积． 【答案】(1)主视图；左视图 (2) 【分析】本题考查简单几何体的三视图以及几何体的体积，解题的关键是掌握三视图所看的位置．也考查了正多边形的计算． （1）找到从正面和左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中； （2）根据题目所给尺寸及棱柱的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：图①是主视图；图②是左视图， 故答案为：主视图；左视图； （2）解：如图，过正六边形的中心点作于点， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， 即这个正六棱柱的体积为． 题型12 求几何体视图的面积 【例23】如图为6个相同的小正方体搭成的几何体，有关其三视图的面积的说法正确的是（     ） A．主视图面积最大 B．俯视图面积最大 C．左视图面积最大 D．三个视图面积都相等 【答案】A 【分析】根据几何体，画出三视图，即可判断． 【详解】 由题意，几何体的主视图为，面积为； 俯视图为，面积为； 左视图为，面积为； 故主视图面积最大． 【例24】将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为__________． 【答案】144 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；根据简单几何体三视图的定义得出其主视图是边长为的正方形即可． 【详解】解：这个几何体的主视图的面积，即边长为的正方形的面积，所以主视图的面积为， 故答案为：144． 【技巧归纳】 计算三视图面积，可先统计各视图中单位正方形的数量，再乘单个正方形的面积.正方体角部挖去小正方体时，对应视图的外轮廓保持不变，面积与原正方体对应视图面积相等. 易错点：易漏数或多算视图中的正方形面数；易误判挖角后视图面积减小，忽略正投影的轮廓完整性. 【变式12-1】如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，每个正方体的棱长均为，这个几何体的俯视图的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图，根据正方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：从上面看这个几何体由四个正方形组成， ∴这个几何体的俯视图的面积是． 【变式12-2】如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图， 本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是：明确旋转后的主视图． 【详解】解：根据逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图， 由图可知，左视图的小正方体数量为3，面积为3， 故选：． 【变式12-3】已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体 (2)这个模型的质量为 (3)需要的油漆 【分析】（1）根据模型的三视图可以直接判断出模型的形状；（2）根据模型三视图知道模型组成图形的长、宽、高，然后计算出体积，再乘以木料的密度就可以得出模型的质量；（3）计算出模型的表面积，再除以每千克油漆可以涂抹的面积，即可计算出所需要的油漆数量. 【详解】（1）解：∵模型的三视图图， ∴模型是由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体. （2）解：模型的体积（立方分米） 这个模型的质量为． （3）解：模型的表面积为， 需要的油漆． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出长方体的长、宽、高． 题型13 由三视图，判断小立方体的个数 【例25】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下： 有（个）， 故选：B． 【例26】一个由若干个相同的小正方体摆成的几何体，三视图均是如图所示的图形．组成它的小正方体的个数最多和最少相差______． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和俯视图画出所需正方体个数最少的俯视图是解题的关键．由题意，易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，再由主视图可得第二层、第三层正方体最多和最少可能的个数，再计算求出结论即可． 【详解】解：根据主视图、俯视图及左视图，这个几何体的底层有6个小正方体， 第二层最多有6个小正方体，最少有4个小正方体， 第三层有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有14个，最少有12个小正方体．如图， 组成它的小正方体的个数最多和最少相差 故答案为：． 【技巧归纳】 以俯视图确定底面格点布局，结合主、左视图限定每格的最大层数，逐格累加可得总数.求最值时，最多取各位置允许的最大层数，最少保留满足视图的最低层数. 易错点：易混淆行列对应关系，错配视图层数约束；求最值时易漏判部分位置可空缺的情形. 【变式13-1】超市货架上叠放着几桶方便面，其三视图如图所示，则货架上的方便面不可能有（    ） A．7桶 B．8桶 C．9桶 D．10桶 【答案】D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解． 【详解】解：观察图形可知，最底层有4桶方便面， 由主视图和左视图可知，第二层最少2桶方便面，最多4桶方便面，第3层1桶方便面． 故货架上的方便面不可能有10桶方便面． 【变式13-2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 【答案】 【分析】本题考查根据三视图判断立体图形的形状．利用俯视图确定几何体底层小立方块的行列分布与数量（地基），结合主视图分析几何体有几层，且每层至少有几个并排的小立方块，进而得到和的值，并代入代数式求值． 【详解】解：由俯视图可知底层第一列有个小立方块，第二列有个小立方块， 由主视图可知，几何体有层，且每层至少有个并排的小立方块， 当上层每个“可放置位置”（对应俯视图中列的位置）都放满小立方块时，上层最多有小立方块(个)，下层也有个， ∴最大总数量， 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即第一列、第二列各至少放个时，上层最少有(个)，下层有个， ∴最小总数量， ∴． 【变式13-3】如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 【答案】(1) (2)画图见详解 (3) 【分析】题考查组合体的三视图，发挥空间想象能力是解决问题的关键． （1）从上到下逐层数出小正方体的个数即可得到答案； （2）由组合体的构成，从正面看、从左面看即可得到其平面图形； （3）该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和，数出能看到的各个面求和即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 该几何体由个小正方形组成， 故答案为：； （2）解：如图所示： （3）解：小正方形的边长为1， 小正方体的每一个面的面积为1， 如图所示： 该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和， 则该几何体的表面积为：． 题型14 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【例27】由若干个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、上面两个方向看到的形状如图所示，则这个积木的块数最少是（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：由图可得，第一层个，第二层最少个， ∴这个积木的块数最少是 ． 【例28】小明在地上摆放了几摞圆凳．其主视图和左视图如图1和2所示，则圆凳的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图和左视图确定圆凳总数的最大值和最小值，即可得出不可能的选项． 【详解】解：由主视图可知圆凳有两列，且两列能看到的圆凳数量均为4个， 由左视图可知圆凳有两排，且前一排能看到的圆凳数量为4个，后一排能看到的圆凳数量为2个， 可知第一排有两列，均为4个圆凳，共个圆凳， 第二排最少有1列，为2个圆凳，此时共个圆凳， 第二排最多有2列，均为2个圆凳，此时共个圆凳， 圆凳个数不可能是． 【技巧归纳】 由俯视图确定底面布局，结合另一视图的列高约束求解.最少块数需保证每列至少一处达最高层，其余位置取最低层数.最多块数则所有位置均取对应列的最大层数. 易错点：易混淆行列对应关系，错配高度约束；求最少时误判每格都需达最高层，忽略同列可共用高层的情形. 【变式14-1】小明用一些大小相同的小正方体拼了一个立体图形，从左面和上面看到的都是如图所示的图形，他拼这个立体图形至少用了_____个小正方体． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据三视图找出每个位置的小正方体数量即可得解． 【详解】解：由题可知，每个位置的正方体数量如图， 所以至少需要6个同样大小的小正方体； 故答案为：． 【变式14-2】如图，有由28块小正方体搭成的几何体，如果要拿走其中部分小正方体，但拿完后的几何体从正面看、从上面看、从左面看时视图跟原来的几何体从三个不同方向看的视图分别保持不变，那么最多可以拿走___________小正方体． 【答案】7 【分析】本题考查了简单组合体三视图，熟练掌握简单组合体三视图的画法是解题的关键． 根据简单组合体三视图的形状进行解答即可． 【详解】解：如图，在相应位置标注可以拿掉的小正方体的个数，使三视图不变， ∴所能拿掉的小正方体的个数为． 故答案为：7 ． 【变式14-3】阅读与思考 阅读材料：如图，它是由6个小正方体摆成的一个几何体，每个小正方体的棱长为2厘米，从不同的方向看的视图各不相同，根据要求回答以下视图问题： (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　　　个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了画三视图以及几何体的表面积，正确得出三视图是解题的关键． （）直接利用三视图的画法进而得出答案； （）利用几何体的形状进而得出其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置． 【详解】（1）解：如图， （2）解：几何体表面积： （平方厘米）； （3）解：要使这个几何体的左视图和俯视图不变，可以在如图位置各放一个小正方体， 所以最多可以再添加个小正方体， 故答案为：． 1．下图是一种常见的化学实验仪器——漏斗，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图的定义，从物体正上方观察所得到的平面图形即为俯视图，结合漏斗的几何特征，漏斗的上部是一个大的圆形口，下部是一个位于中心的细小圆柱形管口，进行判断即可． 【详解】解：从上往下看，能看到一个大圆和中间的一个小圆，即两个同心圆； A、不符合题意； B、符合题意； C、不符合题意； D、不符合题意． 2．为迎接端午节，超市用一些装有同种饮料的正方体纸箱做造型，其俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的正方体纸箱的个数，那么该造型的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，3，1；据此可画出图形． 【详解】解：如图所示： 故选：B． 3．图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据简单组合体的三视图得出结论即可． 【详解】解：由题意知，几何体的左视图为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 4．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图的形状特征，运用空间想象力，即可判断答案． 【详解】解：∵主视图和左视图为上面图形是圆，下面图形是长方形， ∴这个几何体的上面是球，下面是柱体， ∵俯视图是圆环， ∴这个几何体的下面部分是圆柱． 结合四个选项，符合题意的是 5．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图所示的是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层； 由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层． 所以图中的小正方体最少4块，最多5块． 故选C． 【点睛】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽． 6．下面两幅图是由5个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2，据此可画出图形． 【详解】这个几何体的左视图为 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 7．用橡皮泥制作的一个立体图形的三视图如图，则这个立体图形是___________． 【答案】空心圆柱 【分析】本题主要考查由三视图还原几何体，从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图是同心圆来看，可以确定这个几何体为空心圆柱． 【详解】解：从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图是同心圆来看，可以确定这个几何体为空心圆柱． 故答案为：空心圆柱． 8．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 ________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查由三视图中的信息求立体图形的侧面积，根据三视图得到圆柱体的底面直径为4，高为6，从而利用长方形面积公式代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6， 圆柱体的侧面积， 故答案为：． 9．如图，5个棱长为1cm的正方体摆在桌子上，为了美观，将这个几何体的所有露出部分不包含底面都喷涂油漆，若喷涂需要油漆克，则喷涂这个几何体需要_____________克油漆． 【答案】3.2 【分析】先求出几何体露出部分的面积，然后再乘以每平分厘米所需油漆的量即可． 【详解】解：该几何体露出部分的面积为：1×1×8+1×1×4+1×1×4=16（） 所以喷涂这个几何体需要油漆的质量为16×0.2=3.2(克)． 故答案为：3.2． 【点睛】本题主要考查了求几何体的表面积，具有较强的空间想象能力是解答本题的关键． 10．用若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，在这个大正方体的个面上都涂上红色．其中只有个面涂上红色的小正方体有个，则拼成这个大正方体的小正方体个数一共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查立体几何图形的特征，根据正方体的形体特征进行判断、计算即可． 【详解】解：大正方体的个面上涂上红色．只有个面涂上红色的小正方体在大正方体的条棱上（除去个顶点处）， ∴每一条棱上只有面涂色的正方体有（个）， ∵每一条棱上有小正方体的个数是（个）， ∴拼成这个大正方体的小正方体个数一共有（个）， 故答案为：． 11．如图，一个 5 5 5 的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上 下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则凿掉部分的体积为_____. 【答案】49 【分析】分别计算前后、上下、左右方向凿掉的体积，然后求和即可. 【详解】前后方向凿掉部分的体积为 5 5 25 ，上下方向又凿掉了 5 2 2 2 14 ，左右方向又凿掉了5 2 10 ， 凿掉部分的总体积为 25 14 10 49 【点睛】本题考查不规则图形的几何体的体积，关键是找到凿掉小正方形的个数. 12．如图是由6个相同的长方体堆成的物体．每个小长方体的长为2，宽与高均为1．请在所给方格图中画出这个物体的三视图．（小正方形的边长为1） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据三视图的作法，画图即可． 【详解】解：这个物体的三视图，如图所示： 13．如图1，这是四张除了正面图案不同外，其他都相同的卡片． (1)卡片中图形的俯视图的形状为___________． (2)卡片中图形的主视图如图2所示，求该圆柱的侧面积． (3)将这四张卡片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率 【答案】(1)圆 (2) (3) 【分析】本题考查了物体的三视图，圆柱侧面积，用列表法求概率，熟练利用列表法求概率是解题的关键． （1）根据球的俯视图为圆，即可解答； （2）根据圆柱的侧面积为底面周长乘以高，即可解答； （3）根据主视图为矩形的是，用列表法求概率即可解答． 【详解】（1）解：卡片中图形为球，它的俯视图的形状为圆， 故答案为：圆； （2）解：， 故该圆柱的侧面积为； 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 三视图 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断简单几何体的三视图 题型2 判断简单组合体的三视图 题型3 判断非实心几何体的三视图 题型4 已知一种或两种视图，判断其他视图 题型5 画简单组合体的三视图 题型6 画简单组合体的三视图 题型7 由三视图还原几何体 题型8已知三视图求边长 题型9 已知三视图求侧面积或表面积 题型10求小立方块堆砌图形的表面积 题型11已知三视图求体积 题型12求几何体视图的面积 题型13由三视图，判断小立方体的个数 题型14已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三视图、主视图、俯视图、左视图、长对正高平齐宽相等、可见轮廓线、不可见轮廓线（实线虚线）、直棱柱、圆柱、圆锥、球体、组合体三视图、三视图还原几何体、小立方块计数、几何体侧面积、几何体表面积、几何体体积 1. 理解三视图的基本概念，明确主视图、俯视图、左视图的观察方向与摆放规范，掌握 “长对正、高平齐、宽相等” 的长宽高对应关系，牢记 “可见轮廓线画实线、不可见轮廓线画虚线” 的绘制规则。 2. 掌握直棱柱、圆柱、圆锥、球体等常见几何体的三视图特征，能准确判断简单几何体、简单组合体、非实心镂空几何体的三视图形状。 3. 掌握由三视图还原立体图形的基本方法，能根据一种或两种已知视图推断其余视图，还原出对应的几何体形状。 4. 能解决小立方块堆砌类问题，包括根据俯视图数字判断三视图、确定小立方体的总个数、推算最多与最少的小立方块数量。 5. 能结合三视图中的尺寸数据，计算直棱柱、圆柱等几何体的侧面积、表面积与体积，掌握小立方块堆砌图形的表面积计算方法。 6. 能规范绘制简单组合体的三视图，符合视图摆放位置与线条规范，提升空间想象能力与几何作图素养。 学习重点：1. 三视图的核心规则：长宽高对应关系与实线、虚线的区分标准 2. 常见几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）与简单组合体的三视图判断 3. 由三视图还原几何体的方法，小立方块个数的判断与计数 4. 结合三视图数据计算几何体的侧面积、表面积与体积 学习难点：1. 非实心、带镂空结构的几何体的三视图判断，不可见轮廓线的正确表达 2. 由两种视图推算小立方块的最多、最少个数，空间逻辑推理 3. 复杂组合体的三视图还原与表面积、体积的综合计算 4. 多视角下几何体三视图的变化判断，以及非常规摆放的几何体视图识别 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01三视图 1.长宽高定义 正对物体观察:物体左右水平距离为长，前后水平距离为宽，上下竖直距离为高。 2..三视图构成 将相互垂直的三个平面展开得到三视图:主视图、俯视图、左视图，三者结合完整反映立体形状。 3.三视图长宽高对应关系 主视图、俯视图反映物体的长;主视图、左视图反映物体的高;左视图、俯视图反映物体的宽。 4.三视图摆放规范 先选定主视方向画出主视图;俯视图画在主视图正下方;左视图画在主视图正右方。 5.线条绘制注意事项 看得见的轮廓线画实线，被遮挡、看不见的轮廓线画虚线。 6.各视图对应维度 主视图反映长和高;俯视图反映长和宽;左视图反映宽和高。绘图完成后可擦除辅助线。 《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”．如图放置的“堑堵”的左视图是（     ） A． B． C． D． 如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 知识点02直棱柱相关知识点 1.直棱柱定义与特征由多个多边形围成的封闭几何体，满足两点特征: （1）有两个全等、所在平面互相平行的多边形; （2）其余面都是矩形，这类几何体叫做直棱柱。 2.直棱柱各部分名称围成直棱柱的多边形叫做面;相邻面公共边叫棱;多边形顶点叫顶点;互相平行且全等的一对面是底面;其余矩形面是侧面;相邻侧面公共边是侧棱。 3.直棱柱命名规则按底面多边形边数命名，底面为三角形叫直三棱柱、四边形叫直四棱柱、五边形叫直五边形、六边形叫直六棱柱;长方体、正方体都属于直四棱柱。 4.直棱柱三视图绘制注意事项看不见的轮廓线统一画成虚线;左视图矩形宽度由立体图形前后宽度确定。 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 知识点03圆柱、圆锥、球体的三视图 1.圆柱 直立摆放:主视图、左视图为矩形，俯视图为圆;横放摆放:主视图、俯视图为矩形，左视图为圆;注意:物体摆放位置不同，三视图会发生变化。 2.球体 无论从正面、水平面、侧面投影，投影均为圆，主视图、左视图、俯视图全是等大的圆。 如图，这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分，该几何体的左视图是（　　　） A． B． C． D． 下列几何体中，三视图相同的是（     ） A． B． C． D． 知识点04组合立体图形三视图 组合体示例:上部圆锥、下部正方体，圆锥底面直径与正方体棱长相等;主视图、左视图上方为三角形、下方为正方形;俯视图为正方形内部包含一个圆心带点的圆。 如图，用五个相同的小正方体搭成几何体，其主视图为（     ） A． B． C． D． 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（    ） A． B． C． D． 知识点05三视图识图规则 1.线条规范 看得见的轮廓线画实线，被遮挡不可见的轮廓线画虚线。 2.由立体图画三视图基础范围 本章无特殊说明时，研究立体图形仅限直棱柱、圆柱、圆锥、球。 3.根据三视图还原立体图形步骤: 先分别依据主视图、俯视图、左视图想象立体的前面、上面、左侧面;再综合三个视图，推理完整立体形状。 4.常见三视图对应立体图形 主、左、俯视图全为矩形:长方体; 主、左视图等腰三角形，俯视图带圆心圆点的圆:圆锥; 主、左视图矩形，俯视图圆:直立圆柱。 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（     ） A．三棱柱 B．圆锥 C．长方体 D．球 某几何体的三视图都相同，则该几何体是______．（填一个就行） 知识点06由三视图判断立体图形 1．主视图、左视图为矩形，俯视图为正六边形：立体图形是直六棱柱。 2．主视图、俯视图为三角形，左视图为圆：立体图形是圆锥。 3．主视图、左视图为矩形，俯视图为圆形：立体图形是圆柱。 如图是由相同的小正方体搭成的物体的主视图和俯视图，则组成这个物体的小正方体的个数不可能是（   ）    A．6 B．7 C．8 D．9 如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是_________． 题型1 判断简单几何体的三视图 【例1】下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（     ） A．三棱锥 B．正方体 C．圆柱 D．球 【例2】景德镇瓷器名扬天下，下列器皿中，主视图和左视图不相同的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 判断三视图需分别从正面、左面、上方观察几何体轮廓，可见棱画实线，不可见棱画虚线。轴对称旋转体的主视图与左视图通常相同，存在不对称凸起部件的器物，三视图会出现差异。 易错点：易忽略不可见棱的虚线表示；对带不对称结构的器物，易错判主、左视图完全相同。 【变式1-1】如图是“柯山野叟”朱文瓷印，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，沿正方体的一条棱截去其上方的一个三棱柱，则剩余几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有______．（直接填序号） 题型2 判断简单组合体的三视图 【例3】如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．俯视图和左视图相同 D．三视图都不相同 【例4】如图，该几何体由大小相同的小正方体拼接而成．若移走一块小正方体后，几何体的主视图保持不变，那么移走的小正方体是_____．（填写所标的序号） 【技巧归纳】 判断组合体三视图，需按观察方向梳理各列小正方体的最高层数，注意前后遮挡关系.移走小正方体仍保持某视图不变，需保证对应列的最大层数不发生改变. 易错点：易忽略后排方块的遮挡，错判视图形状；移走方块时易误判层数变化，需逐列核对最大高度. 【变式2-1】如图所示的几何体，其主视图是（ ）． A． B． C． D． 【变式2-2】篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，这个印章的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列选项中都是由四个相同的小正方体组成的几何体，其中三视图都一样的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-4】（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 题型3 判断非实心几何体的三视图 【例5】斗拱是我国古建筑中的重要部件，一种斗形木构件“三才升”的示意图如图所示，则它的左视图为（     ） A． B． C． D． 【例6】有一辆小汽车如图，小红从空中往下看这辆小汽车，图________是小红看到的形状． 【技巧归纳】 绘制含凹槽的非实心几何体三视图，可见轮廓线画实线，被遮挡的内部不可见棱线画虚线.俯视图由上向下正投影，呈现物体顶部的轮廓与结构. 易错点：易遗漏内部遮挡棱的虚线，或将不可见线误画为实线；易混淆不同观察方向对应的视图形状. 【变式3-1】如图所示是一个空心圆柱体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图是生活中常见的管件“三通”，它的左视图是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，该几何体的俯视图是(　　) A．A B．B C．C D．D 题型4 已知一种或两种视图，判断其他视图 【例7】下图是一块积木及其主视图，则它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【例8】榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 推导未知视图需遵循三视图“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，结合几何体的凹凸、镂空结构特征，准确区分可见轮廓与不可见轮廓的虚实线表达。 易错点：易忽略三视图的尺寸对应关系；对立体结构的观察方向判断偏差，错用实线与虚线。 【变式4-1】如图是三摞硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一摞硬币的个数，则这三摞硬币的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式4-3】用大小相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看（小正方形中的数字与字母表示该位置小立方块的个数）得到的这个几何体的形状图如图所示． (1)___，___； (2)的值最大为多少？画出这个几何体从左面看得到的形状图（任意画出其中一种即可）． 题型5 画简单组合体的三视图 【例9】如图，这是由完全相同的个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 【例10】画出图中几何体的三视图． 【技巧归纳】 绘制组合体三视图，先确定观察方向，逐列统计小立方体的最大层数，遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规则，仅绘制可见轮廓。 易错点：易误判前后排层数，造成列高绘制偏差；易忽略三视图的尺寸对齐规则，出现长宽高对应失误。 【变式5-1】如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】请画出此零件的三视图． 【变式5-3】我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 题型6 画简单组合体的三视图 【例11】如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【例12】下面是由一些小正方体组成的几何体，它们的视图相同的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．都不相同 【技巧归纳】 判断组合体三视图需按观察方向逐列统计小正方体最大层数，遵循三视图投影规则。比对不同几何体视图是否相同，需分别绘制对应视图后逐一核验。 易错点：易混淆前后排层数对应关系；左视图左右方向易判断颠倒，造成列序与层数匹配失误。 【变式6-1】如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走_______． 【变式6-2】如图所示是由几个小立方体所组成的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请分别画出从正面和左面观察这个几何体看到的形状图． 【变式6-3】如图，在平整的地面上，将若干个边长均为的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角． (1)请画出这个几何体的主视图和俯视图（可加阴影突出）； (2)若将其露在外面的面涂上一层漆，则其涂漆面积为 ； (3)添加若干个上述小正方体后，所成几何体的主视图和俯视图不变，则有 种添加方式． 【变式6-4】（1）由大小相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 题型7 由三视图还原几何体 【例13】某几何体的俯视图如图所示，该几何体是（     ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【例14】如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体（含一个侧面与两个底面）的表面积为___________． 【技巧归纳】 还原几何体可先依据俯视图确定底面轮廓，结合主、左视图判断几何体类型与各维度尺寸，再代入对应公式求解表面积或体积. 易错点：易混淆棱锥与棱柱的视图特征；计算表面积时易忽略题目限定的面数，造成多算或漏算. 【变式7-1】如图是某几何体的主视图，则该几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【变式7-4】如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)求这个几何体侧面展开图的圆心角； (3)求这个几何体的全面积． 题型8 已知三视图求边长 【例15】一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【例16】三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为_______． 【技巧归纳】 圆锥截面类利用相似三角形性质，对应高的比等于底面直径的比.棱柱类需明确三视图的边长对应关系，通过三角函数求底面三角形对应边上的高，即为左视图对应边长. 易错点：相似三角形的对应高易匹配错误；易混淆三视图边长对应关系，错选三角函数类型. 【变式8-1】如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【变式8-2】如图所示的是三棱柱的三视图，在中，，则的长为______． 【变式8-3】如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为_____.（结果保留π） 题型9 已知三视图求侧面积或表面积 【例17】如图是某户外用品公司设计的一款圆锥形单顶帐篷的三视图（无底面，单位：），为完成100顶这种帐篷的订单制作，公司采购部门需采购的布料最为合适的是（   ） A． B． C． D． 【例18】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是______________． 【技巧归纳】 由三视图还原几何体，提取底面半径、母线长、棱柱底面边长与高等参数，代入对应公式计算。圆锥侧面积为 ，棱柱侧面积为底面周长乘高。需注意题目是否包含底面． 易错点：易误将直径当作半径代入；易忽略无底面限定，多算底面积；棱柱类易混淆侧面积与表面积概念． 【变式9-1】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是______（请用“<”连接）． 【变式9-3】某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图． (1)根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）； (2)请根据图中所给数据（单位：）求每顶帐篷的表面积． 题型10 求小立方块堆砌图形的表面积 【例19】如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【例20】如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是________． 【技巧归纳】 计算堆叠几何体表面积常用三视图法，分别统计主视、左视、俯视图的正方形面数，利用相对面数量相等，总表面积为2× (主视面数+左视面数+俯视面数)，再乘单个正方形面积. 易错点：易漏数几何体凹陷处的外露面；数各视图面数时易重复或遗漏，需逐列核对层数. 【变式10-1】如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由_______个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是____________． 【变式10-2】由10个相同的正方体搭成如图所示的几何体，放在桌面上． (1)画出该几何体的三视图； (2)若每个正方体的棱长为1，则该几何体的表面积为_____．（不含底面） 【变式10-3】用若干个棱长为1的小立方块搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示. (1)请在图中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积是_____ 【变式10-4】在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据已知条件解决以下问题： (1)如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积．（结果保留） (2)由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数． ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图； ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积．（包括底面积） 题型11 已知三视图求体积 【例21】如图是某鱼缸的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．若该鱼缸装有一半水，根据图中所标示的数据（单位：），计算鱼缸内水的体积为（   ） A． B． C． D． 【例22】长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是_____． 【技巧归纳】 由三视图确定几何体的长、宽、高维度，长方体体积公式为 ，再根据题意按比例求解对应体积． 易错点：易混淆三视图对应边长，错配长宽高维度；易忽略题目限定的比例条件，直接计算总体积；易误判几何体类型错加 项． 【变式11-1】已知一个“粮仓”的三种视图如图所示（单位：），根据图中所给的数据求出它的容积是 ____．（参考公式：，，结果保留π） 【变式11-2】如图为个棱长为的正方体组成的几何体． (1)该几何体的体积是______（立方单位）； (2)在虚线框里分别画出该几何体从左面看和从上面看得到的图形． 【变式11-3】如图，是一个正六棱柱，图①，图②是它的两种视图． (1)图①是_________；图②是_________（填“主视图”“左视图”或“俯视图”）； (2)根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积． 题型12 求几何体视图的面积 【例23】如图为6个相同的小正方体搭成的几何体，有关其三视图的面积的说法正确的是（     ） A．主视图面积最大 B．俯视图面积最大 C．左视图面积最大 D．三个视图面积都相等 【例24】将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为__________． 【技巧归纳】 计算三视图面积，可先统计各视图中单位正方形的数量，再乘单个正方形的面积.正方体角部挖去小正方体时，对应视图的外轮廓保持不变，面积与原正方体对应视图面积相等. 易错点：易漏数或多算视图中的正方形面数；易误判挖角后视图面积减小，忽略正投影的轮廓完整性. 【变式12-1】如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，每个正方体的棱长均为，这个几何体的俯视图的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式12-3】已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 题型13 由三视图，判断小立方体的个数 【例25】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例26】一个由若干个相同的小正方体摆成的几何体，三视图均是如图所示的图形．组成它的小正方体的个数最多和最少相差______． 【技巧归纳】 以俯视图确定底面格点布局，结合主、左视图限定每格的最大层数，逐格累加可得总数.求最值时，最多取各位置允许的最大层数，最少保留满足视图的最低层数. 易错点：易混淆行列对应关系，错配视图层数约束；求最值时易漏判部分位置可空缺的情形. 【变式13-1】超市货架上叠放着几桶方便面，其三视图如图所示，则货架上的方便面不可能有（    ） A．7桶 B．8桶 C．9桶 D．10桶 【变式13-2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 【变式13-3】如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 题型14 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【例27】由若干个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、上面两个方向看到的形状如图所示，则这个积木的块数最少是（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【例28】小明在地上摆放了几摞圆凳．其主视图和左视图如图1和2所示，则圆凳的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 由俯视图确定底面布局，结合另一视图的列高约束求解.最少块数需保证每列至少一处达最高层，其余位置取最低层数.最多块数则所有位置均取对应列的最大层数. 易错点：易混淆行列对应关系，错配高度约束；求最少时误判每格都需达最高层，忽略同列可共用高层的情形. 【变式14-1】小明用一些大小相同的小正方体拼了一个立体图形，从左面和上面看到的都是如图所示的图形，他拼这个立体图形至少用了_____个小正方体． 【变式14-2】如图，有由28块小正方体搭成的几何体，如果要拿走其中部分小正方体，但拿完后的几何体从正面看、从上面看、从左面看时视图跟原来的几何体从三个不同方向看的视图分别保持不变，那么最多可以拿走___________小正方体． 【变式14-3】阅读与思考 阅读材料：如图，它是由6个小正方体摆成的一个几何体，每个小正方体的棱长为2厘米，从不同的方向看的视图各不相同，根据要求回答以下视图问题： (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　　　个小正方体． 1．下图是一种常见的化学实验仪器——漏斗，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 2．为迎接端午节，超市用一些装有同种饮料的正方体纸箱做造型，其俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的正方体纸箱的个数，那么该造型的左视图是（    ） A． B． C． D． 3．图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 4．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 5．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图所示的是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．下面两幅图是由5个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 7．用橡皮泥制作的一个立体图形的三视图如图，则这个立体图形是___________． 8．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 ________．（结果保留） 9．如图，5个棱长为1cm的正方体摆在桌子上，为了美观，将这个几何体的所有露出部分不包含底面都喷涂油漆，若喷涂需要油漆克，则喷涂这个几何体需要_____________克油漆． 10．用若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，在这个大正方体的个面上都涂上红色．其中只有个面涂上红色的小正方体有个，则拼成这个大正方体的小正方体个数一共有________个． 11．如图，一个 5 5 5 的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上 下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则凿掉部分的体积为_____. 12．如图是由6个相同的长方体堆成的物体．每个小长方体的长为2，宽与高均为1．请在所给方格图中画出这个物体的三视图．（小正方形的边长为1） 13．如图1，这是四张除了正面图案不同外，其他都相同的卡片． (1)卡片中图形的俯视图的形状为___________． (2)卡片中图形的主视图如图2所示，求该圆柱的侧面积． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $