第05讲 二次函数与一元二次方程 暑假预习讲义 -2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第05讲 二次函数与一元二次方程（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数与一元二次方程的本质联系 知识点02：二次函数交点式（方程与函数互通） 知识点03：抛物线与坐标轴交点求法 知识点04：二次函数与一元二次不等式（数形结合） 知识点05：图像法求一元二次方程近似根 知识点06：直线与抛物线交点问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断抛物线与x轴交点个数（基础题） 题型02：已知交点个数，求参数取值范围（高频易错题） 题型03：求抛物线与坐标轴交点坐标 题型04：求x轴两交点之间的距离 题型05：利用交点式求二次函数解析式 题型06：图像法解一元二次不等式（数形结合核心） 题型07：图像法求一元二次方程近似根 题型08：压轴综合题型 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数与一元二次方程的本质联系 设二次函数解析式为：，令函数值 ，即可转化为一元二次方程：。 几何核心意义：一元二次方程的实数根，就是二次函数抛物线与 轴交点的横坐标，对应交点坐标为 。 判别式与根、图像交点对应关系（必考） 判别式取值 方程根的情况 抛物线与x轴交点个数 图像特征 两个不相等的实数根 2个不同交点 抛物线穿过x轴两个不同点 两个相等的实数根 1个交点（切点） 抛物线顶点落在x轴上，与x轴相切 无实数根 无交点 抛物线整体在x轴上方或下方 【知识点02】二次函数交点式（方程与函数互通） 若抛物线与 轴交于 ，可直接设交点式解析式：。 核心作用：已知x轴交点求解析式，大幅简化计算；可结合韦达定理推导参数关系。 韦达定理（有实数根前提下 ）： 【知识点03】抛物线与坐标轴交点求法 1.与y轴交点：令 ，得固定交点 ； 2.与x轴交点：令 ，解一元二次方程 ； 3.x轴两交点线段长度：。 【知识点04】二次函数与一元二次不等式（数形结合） 核心逻辑：利用抛物线图像位置，快速求解不等式解集，无需复杂计算。 当 （开口向上）： 1. ：取x轴上方图像对应的x取值范围； 2. ：取x轴下方图像对应的x取值范围。 当 （开口向下）：上下图像区间相反，解集对应反向取值。 【知识点05】图像法求一元二次方程近似根 解题步骤：①画出二次函数 图像；②读取抛物线与x轴交点的横坐标；③通过区间二分法缩小误差，得到精确近似根。 【知识点06】直线与抛物线交点问题 直线 与抛物线 的交点横坐标，是联立方程 的实数根，交点个数由该方程的 判定。 【题型01】判断抛物线与x轴交点个数（基础题） 【典例1】抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-1】抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图象与x轴的交点坐标是__________． 【变式1-3】如果抛物线经过原点，且它的对称轴是直线，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是________． 【题型02】已知交点个数，求参数取值范围（高频易错题） 【典例2】（2026·上海静安·三模）若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【变式2-1】如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数图象的顶点在x轴上，则m的值为______． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【题型03】求抛物线与坐标轴交点坐标 【典例3-1】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 【典例3-2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 【变式3-1】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是________． 【变式3-3】已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【题型04】求x轴两交点之间的距离 【典例4-1】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【典例4-2】已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【变式4-2】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【变式4-3】已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【题型05】利用交点式求二次函数解析式 【典例5】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 【变式5-1】如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【变式5-2】已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【题型06】图像法解一元二次不等式（数形结合核心） 【典例6】如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【变式6-1】若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【变式6-2】如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接，．若的面积为3． (1)求抛物线的解析式． (2)不等式的解集为______． 【变式6-3】二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【题型07】图像法求一元二次方程近似根 【典例7】根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 【题型08】压轴综合题型 【典例8】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【变式8-1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）在如图的平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，它的顶点坐标为点． (1)求点、的坐标； (2)将该抛物线平移，使得平移后的新抛物线的顶点在原抛物线的上升部分图像上． ①如果新抛物线经过点，求点的坐标； ②记点在新抛物线上的对应点为，直线与轴交于点，如果原点与点关于新抛物线的对称轴对称，求新抛物线的对称轴． 【变式8-2】）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为_____； (2)若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值． 【变式8-3】我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： (1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（   ） ②当时，函数取最小值1；（   ） ③当或时，y随x的增大而减小．（   ） (2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； (3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 1. 知识主线 本节课核心是数与形的转化：二次函数取 转化为一元二次方程，方程根的数量、大小对应抛物线与x轴交点的数量、横坐标；判别式 是连接代数方程与几何图像的核心桥梁。 2. 解题方法总结 已知x轴交点求解析式：优先使用交点式，简化运算； 判断交点个数、求参数范围：核心计算判别式 ； 求交点线段长度：固定使用韦达定理推导公式； 解二次不等式：数形结合，先定开口，再分区间； 函数交点问题：联立解析式，转化为方程根的判定。 3. 核心数学思想 数形结合思想：本节课核心必考思想，以形助数、以数解形； 转化思想：函数问题与一元二次方程问题相互转化； 分类讨论思想：含参问题区分一次/二次函数、开口向上/向下两种情况。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线，与x轴交点是A、B，与y轴交与点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·上海徐汇·一模）已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海·阶段检测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海静安·期末）二次函数的图象与轴交点坐标是_______． 8．（2026·上海奉贤·三模）将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 9．抛物线的对称轴是直线___________． 10．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）抛物线与x轴交于和两点，当x________时，． 11．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线的开口向上，且其与轴的交点位于轴的下方，那么的取值范围是_________________． 13．已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 14．有四个解，则的取值范围是______． 15．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为_____． 16．（2026·上海嘉定·一模）已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ______ ． 17．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为_______ 18．（24-25九年级上·上海·阶段检测）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 三、解答题 19．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线与轴交于原点与点，顶点为点． (1)求抛物线的表达式以及点、的坐标； (2)已知点在抛物线上，联结PB交轴于，求面积比的值 20．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 21．（24-25九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线上，其与部分对应值如下表： … ______ 3 2 1 … ______ 0 2 0 2 ______ (1)求此抛物线的表达式并完成填空； (2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为、（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． … 0 3 2 1 … 0 2 0 2 22．（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 23．（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数． 现有分段函数． 已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点． (1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像； (2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围． 24．（2026·上海虹口·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且，连接． (1)用含c的代数式表示抛物线的对称轴； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为点C，过点B作，与抛物线交于第四象限的点D，设点D的横坐标为m． ①求m与c的等量关系，并求出c的取值范围； ②在y轴负半轴上有一点E，连接、，如果射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，，求点A的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数与一元二次方程（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数与一元二次方程的本质联系 知识点02：二次函数交点式（方程与函数互通） 知识点03：抛物线与坐标轴交点求法 知识点04：二次函数与一元二次不等式（数形结合） 知识点05：图像法求一元二次方程近似根 知识点06：直线与抛物线交点问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断抛物线与x轴交点个数（基础题） 题型02：已知交点个数，求参数取值范围（高频易错题） 题型03：求抛物线与坐标轴交点坐标 题型04：求x轴两交点之间的距离 题型05：利用交点式求二次函数解析式 题型06：图像法解一元二次不等式（数形结合核心） 题型07：图像法求一元二次方程近似根 题型08：压轴综合题型 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数与一元二次方程的本质联系 设二次函数解析式为：，令函数值 ，即可转化为一元二次方程：。 几何核心意义：一元二次方程的实数根，就是二次函数抛物线与 轴交点的横坐标，对应交点坐标为 。 判别式与根、图像交点对应关系（必考） 判别式取值 方程根的情况 抛物线与x轴交点个数 图像特征 两个不相等的实数根 2个不同交点 抛物线穿过x轴两个不同点 两个相等的实数根 1个交点（切点） 抛物线顶点落在x轴上，与x轴相切 无实数根 无交点 抛物线整体在x轴上方或下方 【知识点02】二次函数交点式（方程与函数互通） 若抛物线与 轴交于 ，可直接设交点式解析式：。 核心作用：已知x轴交点求解析式，大幅简化计算；可结合韦达定理推导参数关系。 韦达定理（有实数根前提下 ）： 【知识点03】抛物线与坐标轴交点求法 1.与y轴交点：令 ，得固定交点 ； 2.与x轴交点：令 ，解一元二次方程 ； 3.x轴两交点线段长度：。 【知识点04】二次函数与一元二次不等式（数形结合） 核心逻辑：利用抛物线图像位置，快速求解不等式解集，无需复杂计算。 当 （开口向上）： 1. ：取x轴上方图像对应的x取值范围； 2. ：取x轴下方图像对应的x取值范围。 当 （开口向下）：上下图像区间相反，解集对应反向取值。 【知识点05】图像法求一元二次方程近似根 解题步骤：①画出二次函数 图像；②读取抛物线与x轴交点的横坐标；③通过区间二分法缩小误差，得到精确近似根。 【知识点06】直线与抛物线交点问题 直线 与抛物线 的交点横坐标，是联立方程 的实数根，交点个数由该方程的 判定。 【题型01】判断抛物线与x轴交点个数（基础题） 【典例1】抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 【变式1-1】抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 【变式1-2】（23-24九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图象与x轴的交点坐标是__________． 【答案】， 【详解】解： 当时，， 解得：， 二次函数的图象与x轴的交点坐标是，， 故答案为：，． 【变式1-3】如果抛物线经过原点，且它的对称轴是直线，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴抛物线与轴的一个交点坐标是， ∵它的对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． 【题型02】已知交点个数，求参数取值范围（高频易错题） 【典例2】（2026·上海静安·三模）若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【答案】0或 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，是一次函数，一次函数的图象与轴有且仅有一个交点，符合题意，因此满足条件． 当时，函数是二次函数，若二次函数的图象与轴有且仅有一个交点，则根的判别式． 对于一元二次方程，其中，，，可得： 令，即， 解得，即或，均满足，符合题意． 综上，的值为或或． 【变式2-1】如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线与轴交于点、 ， 又抛物线为 抛物线向左平移个单位长度 平移后解析式 当直线过点，有2个交点 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ， 即 直线与抛物线相切 如图， 直线与、共有3个不同的交点， ． 故选：D． 【变式2-2】．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数图象的顶点在x轴上，则m的值为______． 【答案】3 【详解】解：二次函数图象的顶点在x轴上， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 即且 解得： 故答案为：3． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 【题型03】求抛物线与坐标轴交点坐标 【典例3-1】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【详解】解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 【典例3-2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 【详解】（1）解：设平移后新抛物线的表达式为， ∵新抛物线经过点， ， 解得：， ， ， ∴新抛物线的表达式为； （2）解：将代入得：， ∴与轴的交点坐标为． 将代入得：或， ∴与轴的交点坐标为或． 【变式3-1】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标为 ∴令，代入，得 ∴交点坐标为 故选：． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是________． 【答案】 【详解】解：时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式3-3】已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，，解得：，； 当时，， 故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【题型04】求x轴两交点之间的距离 【典例4-1】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【典例4-2】已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 【变式4-2】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【变式4-3】已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解∶将的坐标代入得， ，解得， 所以抛物线的解析式为 令，则 解得 所以一元二次方程的两个根为，． （2）将代入得，，即． 因为轴，即，两点的纵坐标相等，则 解得 又， 即线段的长为． （3）解法一∶能比较，的大小，． 将点的坐标代入得， 将点的坐标代入得， 所以． 解法二：抛物线的对称轴为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，两点到对称轴的距离相等， 即，两点关于对称轴对称， 所以． 【题型05】利用交点式求二次函数解析式 【典例5】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， 设二次函数的解析式为， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 则， ∴图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式5-1】如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 【变式5-2】已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：∵，对称轴为直线，开口向下， ∴时，y的值最大为9， 当时，， 当时，， 当时，函数的最小值为． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， 设抛物线解析式为， 代入得， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， 令，则，即， ∴设直线的解析式为， ∵，则， 解得， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， ∵、关于对称轴对称， ， ∴的周长． 当B、M、C三点共线时，最小，此时的周长最小，直线与对称轴的交点为M， 把代入得， ∴． 【题型06】图像法解一元二次不等式（数形结合核心） 【典例6】如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【变式6-1】若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【变式6-2】如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接，．若的面积为3． (1)求抛物线的解析式． (2)不等式的解集为______． （2）的解集化为和的解集的公共部分，借助图象法求解即可． 【详解】（1）解：由题意，令， 或3． 令，则， 点A、B、C的坐标分别为． 又， 解得：． 抛物线的表达式为：． （2）解：不等式即为：， ∴当，则， ∴， ∴， 当时，可知抛物线与轴交点横坐标分别为， 而抛物线开口向上， ∴的解集为， ∴的解集为：且， 故答案为：且． 【变式6-3】二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或时，， 关于x的一元二次方程的两个根为； （2）∵当或时，， 关于x的不等式的解集为或； （3）∵抛物线顶点的纵坐标为2， 直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即时，关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， 的取值范围为 【题型07】图像法求一元二次方程近似根 【典例7】根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 【变式7-1】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 【变式7-2】根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 【变式7-3】根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 【题型08】压轴综合题型 【典例8】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【详解】（1）解：当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为； 当时，，解得， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线开口向上， ∴函数有最小值． （3）∵P到x轴的距离为2， 即 或 解得或 【变式8-1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）在如图的平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，它的顶点坐标为点． (1)求点、的坐标； (2)将该抛物线平移，使得平移后的新抛物线的顶点在原抛物线的上升部分图像上． ①如果新抛物线经过点，求点的坐标； ②记点在新抛物线上的对应点为，直线与轴交于点，如果原点与点关于新抛物线的对称轴对称，求新抛物线的对称轴． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，它的顶点坐标为点． 当时， ∴， ，则顶点 （2）解：①依题意，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线解析式为则 ∵新抛物线经过点 ∴ 解得： 又∵顶点在原抛物线上， ∴即， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴； ②依题意，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线解析式为，则 ∵，将向右平移个单位，向上平移个单位，得到， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 则直线的解析式为， 当时，当时，， 设直线与轴交于， 则，即是等腰直角三角形，则 又∵原点与点关于新抛物线的对称轴对称， ∴，则 ∴在上 联立 解得：或（舍去） ∴新抛物线的对称轴为直线． 【变式8-2】）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为_____； (2)若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值． 【详解】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）解：∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或． 【变式8-3】我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： (1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（   ） ②当时，函数取最小值1；（   ） ③当或时，y随x的增大而减小．（   ） (2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； (3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 【详解】（1）二次函数，顶点为， 它的“W”函数图象的“平衡点”为． 当时，，解得，， 它的“W”函数图象与x轴的交点是和，故说法①正确； 由图知，当或时，函数取最小值0，故说法②错误； 由图知，当或时，y随x的增大而减小，故说法③正确； 故答案为：①√；②×；③√． （2）由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为， 由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为， ， 当时，， 解方程得，， ， 由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分， 当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，， 即，解得，， ， ． （3）当时，， 解得，， 如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况： ①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． ②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． 综上所述，实数h的取值范围为或． 1. 知识主线 本节课核心是数与形的转化：二次函数取 转化为一元二次方程，方程根的数量、大小对应抛物线与x轴交点的数量、横坐标；判别式 是连接代数方程与几何图像的核心桥梁。 2. 解题方法总结 已知x轴交点求解析式：优先使用交点式，简化运算； 判断交点个数、求参数范围：核心计算判别式 ； 求交点线段长度：固定使用韦达定理推导公式； 解二次不等式：数形结合，先定开口，再分区间； 函数交点问题：联立解析式，转化为方程根的判定。 3. 核心数学思想 数形结合思想：本节课核心必考思想，以形助数、以数解形； 转化思想：函数问题与一元二次方程问题相互转化； 分类讨论思想：含参问题区分一次/二次函数、开口向上/向下两种情况。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点和关于对称轴对称， ∴对称轴， ∵点和在抛物线上，且对称轴， ∴， 设抛物线为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 则当时，，当时，，当时，， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴的取值范围是， 故选：． 2．（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由题意无法得到抛物线与y轴的交点位置，故无法确定c的符号，故本选项的结论不一定成立； B、由，，得，故本选项的结论错误； C、∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、由于抛物线与x轴有两个交点，则抛物线顶点不在x轴上，即当时，，故本选项的结论错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线，与x轴交点是A、B，与y轴交与点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：， 当时，或，则，设，， 当时，，则， 由勾股定理可得：，，， ∵为等腰三角形 则当时，即， ∴，解得：， 当时，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，即， ∴，解得：； 当时，即， ∴，解得：； 综上，当或或时，是等腰三角形， 即：能使为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：B． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，， ∴， ∴结论②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴结论③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴结论④正确， ∴正确结论的个数是． 故选：C． 5．（2025·上海徐汇·一模）已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧，且抛物线与轴两交点的距离为9， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小，在对称轴的右侧随着的增大而增大，抛物线与轴每个交点到对称轴的距离都为， ∴抛物线与轴的左侧的交点对应的数大于， 若，不符合题意，故 若，则：抛物线与轴的一个交点范围为， ∴抛物线与轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意；故 当时，则抛物线与轴的一个交点范围为， ∴存在抛物线与轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意； 故只能是； 故选：D． 6．（24-25九年级上·上海·阶段检测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海静安·期末）二次函数的图象与轴交点坐标是_______． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是， 故答案为：． 8．（2026·上海奉贤·三模）将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 抛物线与轴交点的横坐标为，令，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 9．抛物线的对称轴是直线___________． 【答案】 【详解】解：， 令，得， 解得，， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）抛物线与x轴交于和两点，当x________时，． 【答案】 【详解】解：由根与系数的关系，抛物线的根为和， 由于，抛物线开口向上， 故当x介于两个根之间时，， ∴． 故答案为：． 11．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线的开口向上，且其与轴的交点位于轴的下方，那么的取值范围是_________________． 【答案】 【详解】解：抛物线开口向上，则二次项系数，即． 当时，， ∵与轴的交点位于轴的下方， ∴，即． 综上，． 故答案为． 13．已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为1、， ∴的图象与与轴的两个交点坐标为，， ∴函数解析式可以为：． 故答案为：． 14．有四个解，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点， 如图，作函数的图像和直线的图像， 由有四个解，则直线的图像与的图像应有四个交点， ∴当时，有4个交点，即有四个解．      故答案为：． 15．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为_____． 【答案】 【详解】∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．（2026·上海嘉定·一模）已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ______ ． 【答案】 【详解】解：由二次函数的图象过： ， ， ， 顶点坐标为：， 所以当时，的取值范围是：． 故答案为：． 17．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为_______ 【答案】 【详解】解：如图所示， ∵二次函数， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ， 即直线的函数解析式为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴设点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令且， 解得， 此时直线的解析式为，当时， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·上海·阶段检测）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 【答案】 【详解】解：当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ∴，， ∴平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 三、解答题 19．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线与轴交于原点与点，顶点为点． (1)求抛物线的表达式以及点、的坐标； (2)已知点在抛物线上，联结PB交轴于，求面积比的值 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ∴， 解得（舍去），， ∴点； ∵抛物线顶点为点B， ∴； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴． 20．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【详解】（1）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． （2）解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． （3）由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 21．（24-25九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线上，其与部分对应值如下表： … ______ 3 2 1 … ______ 0 2 0 2 ______ (1)求此抛物线的表达式并完成填空； (2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为、（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的表达式为， 把 ，代入，解得． ∴此抛物线的表达式为． … 0 3 2 1 … 0 2 0 2 （2）解：①∵， ∴点的坐标为. 过点作垂直轴于点， ∴． ∵是的重心， ∴， ∴． ∵在直线上，且新抛物线与原抛物线的图像关于直线对称， ∴关于直线的对称点为．    ∴新抛物线的顶点坐标为． ∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴新抛物线的表达式为． ②设直线与轴的交点为，    ∴关于直线的对称点为． ∴新抛物线的表达式为． ∵它经过原点， ∴， 解得． 令，代入， 解得，． ， ∴新抛物线在直线上所截得的线段长为． 22．（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 【详解】（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴， 即抛物线的表达式为， 如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧）， ∴轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， 此时， ∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为； ②由①知：轴， ∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧）， ∴，， 如图， 当在下方时，则，， 当在上方时， ∵为的“特征三角形”（在的左侧）， ∴， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在上方时，则，， 当在上方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 综上所述，抛物线的表达式为或或或； （2）解：命题一和命题二都成立， 故答案为：一，二； 证明： 命题一：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，且 即两抛物线二次项系数绝对值相同， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴这两个抛物线的“特征值”相等， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 命题二：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，比值为， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 和，命题一的证明可以基于第（1）②小题） ∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 23．（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数． 现有分段函数． 已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点． (1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像； (2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：如图． ，解得：或， 即两函数的交点坐标为，， 函数的对称轴为， 因为只经过函数图像的顶点， 所以函数的图象在函数的左边， 所以点为它们的交点，且在分段函数上， 所以函数必须满足； ，解得：或， 即两函数的交点坐标为，， 因为只经过函数图像的顶点， 函数的对称轴为， 所以函数在函数的右边， 即在及右边， 所以此时， ，解得：或， 即两函数的交点为和， 因为只经过函数图像的顶点， 所以函数的图象在函数的右边， 也在函数的对称轴为右边， 所以在的右边， 所以此时， 综上所述，可画出图象如图， 结合分段函数， 可得出，，， 所以这个分段函数为 （2）如图， 结合图象，我们知道，当时，有4个不同交点， 在点处， 也就是时，也有4个不同交点， ∵直线与此分段函数的图像有5个不同的交点， ∴当时，直线与此分段函数的图像有5个不同的交点． 24．（2026·上海虹口·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且，连接． (1)用含c的代数式表示抛物线的对称轴； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为点C，过点B作，与抛物线交于第四象限的点D，设点D的横坐标为m． ①求m与c的等量关系，并求出c的取值范围； ②在y轴负半轴上有一点E，连接、，如果射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，，求点A的坐标． 【详解】（1）解：当时，，即：， ∵点B在y轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在x轴的负半轴， ∴， 将代入， 即：，即：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：； （2）如图，设与x轴交于点N， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， 设直线的解析式为：， 即：，， ∴， ∴直线的解析式为：， ①联立， 解得：，或者， ∴， ∵点D在第四象限， ∴，且， 解得：， ∵点D的横坐标为m， ∴； ②如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的垂直平分线解析式为：， 令， 整理：， 解得：，， ∴， 同理根据待定系数法可得：直线的解析式为：，直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∵射线与射线的交点Q在的垂直平分线上， ∴， 整理：， 解得：（，不满足，舍去）， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 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