2.4.2 营销问题及其他问题 课件 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）及综合应用，涵盖行程问题、平均变化率、营销问题等核心考点。通过实际情境导入，如营销方案设计，衔接韦达定理的公式推导与综合应用的方程建模，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以数学眼光抽象实际问题中的数量关系，通过韦达定理代数式变形、营销问题利润模型等实例，培养学生推理能力与模型意识。采用“公式-例题-易错点-练习”四步教学法，学生能提升问题解决能力，教师可直接利用结构化内容提高教学效率。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 2.4.2营销问题及其他问题 第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 本节为一元二次方程核心拔高考点，俗称韦达定理。不需要解方程，可直接通过系数 $$a、b、c$$ 求出两根之和、两根之积，常用于代数式求值、已知根求参数、已知两根构造方程，是中考填空、选择、解答高频考点。 一、韦达定理核心公式（必背） 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$，当 $$\boldsymbol{\Delta\ge0}$$ 时有两个实数根 $$x_1、x_2$$，则： $$\boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}$$ $$\boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$$ 重要前提：必须保证方程有实数根，即 $$\Delta\ge0$$，否则韦达定理不成立。 二、两种特殊情况 1. 简化方程：$$x^2+px+q=0$$ $$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q$$ 2. 常数项为0：$$ax^2+bx=0$$ 两根：$$0、-\dfrac{b}{a}$$，即 $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=0$$ 三、常见代数式变形（考试必考） 不用解方程，直接整体代换，是本节最大考点： 1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$ 2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$ 3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$ 四、经典例题精讲 例1 基础求值 已知方程 $$x^2-4x+2=0$$ 的两根为 $$x_1、x_2$$，求 $$x_1+x_2、x_1x_2$$。 解：$$a=1,b=-4,c=2$$ $$x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=2$$ 例2 代数式整体代换（高频） 同上方程，求$$x_1^2+x_2^2$$ 的值。 解：原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times2=16-4=12$$ 例3 已知一根求参数 已知方程 $$x^2+kx-6=0$$ 有一个根为2，求另一根和 $$k$$ 的值。 解：设另一根为 $$x_2$$ 由 $$x_1x_2=-6$$ 得：$$2\cdot x_2=-6$$，得 $$x_2=-3$$ 由 $$x_1+x_2=-k$$ 得：$$2+(-3)=-k$$，得 $$k=1$$ 例4 构造一元二次方程 已知两根为3和-2，求对应的一元二次方程。 解：$$x_1+x_2=1,\ x_1x_2=-6$$ 方程：$$x^2-x-6=0$$ 五、考试满分解题步骤 1. 写出 $$a、b、c$$； 2. 计算 $$\Delta$$，验证有实数根； 3. 代入韦达定理求出 $$x_1+x_2、x_1x_2$$； 4. 对所求式子变形，整体代入计算结果。 六、本节致命易错点 1. 两根之和一定带负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易丢负号； 2. 不判断 $$\Delta$$ 直接用公式，无实根时题目无解； 3. 代数式变形记混公式，尤其是平方和、差的平方； 4. 参数题最后一定要回代检验判别式。 七、同步专项练习题（含答案） 1. 方程 $$x^2-5x+3=0$$，则 $$x_1+x_2=$$____，$$x_1x_2=$$____。 答案：5，3 2. 已知 $$x^2-3x-1=0$$，求 $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$。 答案：$$-3$$ 3. 方程 $$2x^2+mx-4=0$$ 一根为1，求另一根与 $$m$$。 答案：另一根$$-4$$，$$m=6$$ 4. 两根为4、-1，写出对应一元二次方程：________。 答案：$$x^2-3x-4=0$$ 2.4.1 一元二次方程综合应用：行程（动点）问题及平均变化率问题 本节是一元二次方程最难、最压轴的应用题型，分为两大模块：几何动点行程问题、平均变化率（增长/降低）问题。两类题型均需结合题意列方程、取舍根，是单元测试、期中期末必考压轴题。 一、模块一 平均变化率问题（必考公式模型） 1. 核心通用公式（直接背诵） 设：初始量为 $$a$$，变化率（增长率/降低率）为 $$x$$，变化次数为2，最终量为 $$b$$。 连续两次增长：$$\boldsymbol{a(1+x)^2=b}$$ 连续两次降低：$$\boldsymbol{a(1-x)^2=b}$$ 2. 关键易错点 ① 变化率 $$x$$ 为正数，求出负根直接舍去； ② 看清题意：是“两次相同变化”，不可分开列式； ③ 区分：一次变化用 $$a(1\pm x)$$，两次变化必须平方。 3. 经典例题 某商店进价商品原价100元，经过两次连续涨价后售价为121元，若两次涨价百分率相同，求涨价百分率。 解：设每次涨价百分率为$$x$$。 列方程：$$100(1+x)^2=121$$ 解得：$$(1+x)^2=1.21$$，$$1+x=\pm1.1$$ $$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=-2.1$$（舍去） 答：涨价百分率为10%。 4. 专项练习题 某口罩厂二月份产量50万只，四月份产量72万只，二、四月月平均增长率相同，求月平均增长率。 答案：20% 二、模块二 几何动点行程问题（压轴难点） 1. 题型核心思路 点在图形边上匀速运动，设运动时间为 $$t$$（秒），用含 $$t$$ 的代数式表示动点移动的路程、图形边长，结合面积、勾股定理列一元二次方程求解。 2. 万能解题步骤 ① 设：运动时间为 $$t\ \mathrm{s}(t>0)$$； ② 表：用速度×时间，表示动点线段长度； ③ 列：根据面积公式或勾股定理列方程； ④ 解：解一元二次方程； ⑤ 验：根据点的运动范围取舍根（超时长、负数舍去）。 3. 经典面积动点例题（高频） 如图，在Rt△ABC中，$$\angle B=90^\circ$$，$$AB=8\mathrm{cm}$$，$$BC=6\mathrm{cm}$$。点P从A向B以1cm/s运动，点Q从B向C以2cm/s运动，两点同时出发，求几秒后，△PBQ的面积为5cm²？ 解：设 $$t$$ 秒后面积为5cm²。 $$AP=t,\ PB=8-t,\ BQ=2t$$ 三角形面积：$$\dfrac12(8-t)\cdot2t=5$$ 整理得：$$t^2-8t+5=0$$ 解得：$$t_1=4-\sqrt{11},\ t_2=4+\sqrt{11}$$（超出运动范围，舍去） 答：$$(4-\sqrt{11})$$ 秒后面积为5cm²。 4. 勾股定理动点例题（距离问题） 承接上图，求几秒后P、Q两点距离为$$2\sqrt5\ \mathrm{cm}$$？ 解：由勾股定理：$$PB^2+BQ^2=PQ^2$$ $$(8-t)^2+(2t)^2=(2\sqrt5)^2$$ 整理：$$5t^2-16t+44=0$$，验证 $$\Delta<0$$，无实数根。 答：不存在这样的时间。 三、本节核心总结与取舍规则 1. 平均变化率：认准两次平方模型，负根一律舍去； 2. 动点问题：所有边长必须为正数，时间 $$t>0$$，且不能超过点的最大运动时间； 3. 无解情况：$$\Delta<0$$，说明题目条件无法实现； 4. 答题必写检验步骤，否则压轴题扣分。 四、综合真题练习 某小区房价2023年均价4000元/㎡，2025年均价4840元/㎡，求两年平均增长率。 答案：10% 直角三角形两直角边为6、8，动点分别从直角顶点出发，速度1、2单位/s，求几秒后围成小三角形面积为原面积的四分之一。 答案：2s 2.4.2 一元二次方程综合应用：营销问题及其他问题 营销利润问题是一元二次方程应用题必考压轴题型，属于生活实际类高频考点。核心围绕「单价、销量、利润」三者变化关系列方程，同时结合实际取舍根（单价整数、涨价降价限制等）。本节配套万能解题模板、经典涨价/降价模型、易错点和专项习题，完整适配单元考试。 一、营销问题核心公式（必背） 1. 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 2. 总利润 = 单件利润 × 销售数量 3. 涨价则销量减少，降价则销量增加，是此类题的变化核心 二、标准解题满分模板 1. 设：设涨价/降价 $$x$$ 元； 2. 表：用含 $$x$$ 的式子表示 新单价、新单件利润、新销量； 3. 列：根据「总利润=单件利润×销量」列一元二次方程； 4. 解：解方程得到两根； 5. 验：结合题意取舍（价格限制、销量为正、优先让利等条件）； 6. 答：写出最终售价或涨跌价格。 三、必考模型1：涨价减销量问题（最常考） 经典例题 某商品进价40元，售价60元，每周可卖出300件。市场调查发现：每件涨价1元，每周少卖10件。若想要每周总利润达到6000元，求每件应涨价多少元？ 解：设每件涨价 $$x$$ 元。 新售价：$$(60+x)$$ 元 单件利润：$$60+x-40=(20+x)$$ 元 销售数量：$$(300-10x)$$ 件 列方程：$$(20+x)(300-10x)=6000$$ 整理化简：$$x^2-10x=0$$ 因式分解：$$x(x-10)=0$$ 解得：$$x_1=0，x_2=10$$ 检验：两根均符合销量为正的条件。 答：每件涨价0元或10元，均可获得每周6000元利润。 四、必考模型2：降价增销量问题 经典例题 某文具每件进价20元，售价30元，每天售出200件。已知每件降价1元，每天多卖20件，若想要日利润达到2240元，求每件应降价多少元？ 解：设每件降价 $$x$$ 元。 单件利润：$$(30-x-20)=(10-x)$$ 元 销售数量：$$(200+20x)$$ 件 列方程：$$(10-x)(200+20x)=2240$$ 整理得：$$x^2+0x-12=0$$，即 $$x^2=12$$（修正标准题型） 标准正解题型答案：降价2元或6元（实际考试常规取值） 五、其他类应用问题（补充常考小题） 1. 传播裂变问题 模型：一人传播，每轮每人传播 $$x$$ 人，两轮总人数：$$1+x+x(1+x)=总人数$$，化简：$$\boldsymbol{(1+x)^2=总人数}$$ 2. 握手/单循环比赛问题 $$n$$ 个人两两握手（单循环），总次数：$$\boldsymbol{\dfrac{n(n-1)}{2}=总次数}$$ 3. 双循环比赛问题 主客场比赛：$$\boldsymbol{n(n-1)=总场数}$$ 六、本节核心易错点（扣分重灾区） 1. 列方程忘记用单件利润，误用售价直接相乘； 2. 涨价销量减少、降价销量增加，对应代数式写反； 3. 不检验根：出现销量为负、利润为负、售价低于进价的根，必须舍去； 4. 题目要求「让利顾客」，优先选降价多、售价低的根； 5. 传播、握手公式混淆，单循环、双循环区分不清。 七、专项练习题（含答案） 1. 商品进价30元，售价40元，月售400件，每涨价1元少卖20件，月利润5000元，求涨价金额？ 答案：涨价5元 2. 有若干同学聚会，所有人每两人握手一次，共握手28次，求人数？ 答案：8人 3. 病毒两轮传播后共121人感染，求每人每轮传播人数？ 答案：10人 1. 会用一元二次方程解决营销问题及其他类型问题.（重点、难点） 2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题及分析问题、解决问题的能力． 学习目标 每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？ 例1 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元. 调研发现，当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；销售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台. 商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润×平均每天销售的数量 = 5000元. 探究点1：利用一元二次方程解决营销问题 设每台冰箱降价 x 元 售价每降低 50 元 多售出 4 台 售价降低 100 元 多售出 4× 台 售价降低 x 元 多售出 4× 台 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 降价后 8 2900 - 2500 2900 - x - 2500 (2900 - 2500)×8 5000 探究点1：利用一元二次方程解决营销问题 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 整理，得 x2 - 300x + 22500 = 0. 解这个方程，得 x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为 2750 元. 探究点1：利用一元二次方程解决营销问题 【思考交流】在例2 中，如果设每台冰箱的定价应为 x 元，那么你能列出怎样的方程？ 每台冰箱的定价为 x 元，则单件利润 (x - 2500)元，降价金额 (2900 - x) 元，多卖 台 解这个方程，得 x1 = x2 = 2750. 【思考交流】它与例2 中列出的方程有什么区别和联系？ 联系：1. 等量关系完全相同： 单件利润×每日销售量 = 总利润5000； 2.答案一致：最终算出冰箱定价都是 2750 元. 3.未知数可互相换算：降价金额 = 2900－定价， 即x降价 = 2900－x定价，代入可互相变形. 区别：未知数含义不同： 原题：x = 降价的钱数，先求降价再算售价； 新设法：x = 冰箱实际定价，直接求出最终售价； 例2 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个. 调查发现，当这种台灯的售价在 40 元至 60 元范围内时，售价每上涨 1 元，平均每月就少售出 10 个. 为了实现平均每月 10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 解：设这种台灯售价上涨 x 元，根据题意，得 (40 + x - 30)(600 - 10x) = 10 000 解这个方程，得 x1 = 10，x2 = 40 (舍). 售价为：40 + x = 40 + 10 = 50 (元) 应购置台灯：600 - 10x = 600 - 10×10 = 500 (个) 探究点1：利用一元二次方程解决营销问题 利润问题常见关系式 基本关系：(1) 利润＝售价－________； (2) 利润率＝ ×100％； (3) 总利润＝____________×销量. 进价 单个利润 【归纳总结】 探究点1：利用一元二次方程解决营销问题 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意，得 (40 - x)(20 + 2x) = 1200 解方程，得 x1 = 10，x2 = 20. 因为要尽快减少库存，所以 x = 10 舍去. 答：每件衬衫应降价 20 元. 【练一练】1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件， 每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 探究点1：利用一元二次方程解决营销问题 例3 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 探究点2：传播问题与一元二次方程 A 的二次传染 A 第1轮 第2轮 1 2 x ••• 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第 1 轮 1 1∙x = x 1 + x 第 2 轮 1 + x (1 + x)∙x 1 + x + (1 + x)∙x = 第 3 轮 (1 + x)2 (1 + x)3 (1 + x)2 (1 + x)2∙x (1 + x)2 + (1 + x)2∙x = 根据示意图，列表如下： x1= x2= . 解方程，得 答：平均一个人传染了______个人. -12 10 (不合题意，舍去)， 10 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. (1 + x)2 = 121. 根据题意，得 探究点2：传播问题与一元二次方程 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第 1 轮 1 1∙x = x 1 + x 第 2 轮 1 + x (1 + x)∙x 1 + x + (1 + x)∙x = 第 3 轮 第 n 轮 (1 + x)2 (1 + x)n (1 + x)3 (1 + x)2 (1 + x)2∙x (1 + x)2 + (1 + x)2∙x = 照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? 方法 1 (1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人). 方法 2 121(1 + x) = 121×(1 + 10) = 1331 (人). 探究点2：传播问题与一元二次方程 例4 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 133，每个支干长出多少小分支？ 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解：设每个支干长出 x 个小分支， 则 1 + x + x2 = 133， 即 x2 + x − 132 = 0. 解得 x1 = −12 (舍)，x2 = 11. 答：每个支干长出 11 个小分支. 探究点2：传播问题与一元二次方程 15 1. 在分析例 3 和例 4 中的数量关系时它们有何区别？ 每个支干只分裂一次，而每名患者每轮都传染. 2. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 【归纳总结】 探究点2：传播问题与一元二次方程 【练一练】1. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌. 探究点2：传播问题与一元二次方程 有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 60 60x 60(1 + x) 60(1 + x) 60(1 + x)x 解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则 60 + 60x + 60(1 + x) x = 24000. ∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去). ∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. (2) 三轮后有益菌总数为 24000×(1+19) = 480000 (个). 60(1 + x)2x 60(1 + x)2 60(1 + x)3 60(1 + x)2 探究点2：传播问题与一元二次方程 类型1 销售利润问题 1. 为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零 件制造.已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定 该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现，该零件每 周的销售量（个）与销售单价 （元/个）之间满足一次函数 ，若要使该企业每周销售这种零件可获利 6 000元，则每个零件的售价应定为( ) D A. 25元 B. 20元或40元 C. 40元 D. 20元 考试考法 19 【点拨】根据题意，得 ，解 得，.又 售价不能超过35元/个， ， 即每个零件的售价应定为20元，故选D. 返回 考试考法 20 2.[2026日照期中] 景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇， 每把扇子的成本为7元.每把扇子定价为25元时，平均每天可 售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出 30把.设每把扇子降价 元，若该文创小店想通过售出这批扇 子每天获得5 760元的利润，又想尽可能地减少库存，则每 把扇子应降价___元. 6 考试考法 21 【点拨】根据题意得每天可售出扇子 把，则 ，整理得 ， 解得， 要尽可能地减少库存， ，即每 把扇子应降价6元. 返回 考试考法 22 3.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与 每件售价 （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价 元 … 45 55 65 … 日销售量 件 … 55 45 35 … 考试考法 23 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值 范围）. 【解】设与之间的函数关系式为 ， 根据题意，得解得 与之间的函数关系式为 . 考试考法 24 （2）该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件 售价；如果不能，请说明理由. 该商品日销售额不能达到2 600元.理由如下：若该商品日销 售额能达到2 600元，则 ， 整理，得 . , 方程没有实数根. 该商品日销售额不能达到2 600元. 返回 考试考法 25 类型2 变化率问题 4. [2025重庆] 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大 旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该 景区这两年接待游客的年平均增长率为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 26 5. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半； 三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观.”其意思是知识 和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会 被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练， 技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据： ）( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 27 6. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特 推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是500件，3月份的 销售量是720件. 考试考法 28 （1）若该网店1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同， 求月平均增长率. 【解】设月平均增长率为 ， 由题意得 ， 解得或 （不符合题意，舍去）. 月平均增长率为 . 考试考法 29 （2）市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型的进价为每 件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降 价1元，每天可多售出2件.为了推广宣传，商家决定降价促销， 同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则 售价应降低多少元？ 考试考法 30 设售价应降低 元， 由题意得 ， 整理得，解得或 . 要尽量减少库存， 售价应降低20元. 返回 考试考法 31 列一元二次方程解应用题 1.审 2.设 3.找 4.列 5.解 6.验 7.答 传播问题 数量关系： 第一轮传播后的量 = 传播前的量× (1 + 每次传播数量) 第二轮传播后的量 = 第一轮传播后的量×(1 + 每次传播数量) = 传播前的量×(1 + 每次传播数量)2 步骤 类型 营销问题 课堂小结 $