2.3 一元二次方程的根与系数的关系（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数关系，课堂导入通过因式分解形式的逆向设问，连接方程解法与因式分解知识，以具体方程实例为支架，引导学生逐步探究根与系数的内在联系。 其亮点在于以问题链驱动推理过程，通过实例推导、例题变式及综合练习，培养学生运算能力与推理意识，课堂小结结构化呈现结论，助力学生用数学语言表达规律，既提升学生逻辑思维，又为教师提供清晰教学路径。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 九上数学北师 1.探索一元二次方程的根与系数的关系。 2.不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。 学习目标 2 如果ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) (a≠0，x1，x2是实数)，那么一元二次方程ax²+bx+c=0必有两个实数根x=x1，x=x2。 反过来，如果x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，那么ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)一定成立吗? 课堂导入 3 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 问题1 2x²-3x+1=0的两个根为x1=x2=1，那么2x²-3x+1与2(x-)(x-1)相等吗? 相等。 如方程2x²-7x+6=0的两根为x1=2，x2=， 此时2(x-x1)(x-x1)=2(x-2)(x-) =(x-2)(2x-3) =2x²-3x-4x+6 =2x²-7x+6。 换几个一元二次方程再试一试。 新知讲解 问题2 你认为ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)是否一定成立? 一定成立。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 如果x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，那么ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 思考 根据上面的结论，你能发现一元二次方程ax²+bx+c=0的系数与它的两个根x1，x2之间有怎样的关系吗? 当x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根时，根据上面的结论有 ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 所以 ax²+bx+c=ax²-a(x1+x2)x+ax1x2。 所以 于是 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根x， ，那么 ， 。 注意 应用根与系数的关系时要满足： (1)方程必须是一元二次方程(即a≠0)，且一定要化为一般形式； (2)方程必须有实数根，即b²-4ac≥0。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x²+7x+6=0； (2)2x²-3x-2=0。 解：(1)这里a=1，b=7，c=6。 Δ=b²-4ac=7²-4×1×6=49-24=25>0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 -7，6。 例1 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x²+7x+6=0； (2)2x²-3x-2=0。 解：(2)这里a=2，b=-3，c=-2。 Δ=b²-4ac=(-3)²-4×2×(-2)=9+16=25>0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 ，。 例1 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 x1，x2是方程3x2 +4x-3=0的两个根。利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1) (x1 +1)(x2 +1)； (2) 解：根据根与系数的关系得：x1 +x2 = = x1 x2= = -1。 (1) (x1 +1)(x2 +1) = x1 x2 +x1 +x2 +1=(-1)+()+1= (2) = 例2 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 根与系数关系的常见的变形： ①； ②； = 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入。 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x²-3x-1=0； (2)3x²+2x-5=0。 . . 解：(1)这里a=1，b=-3，c=-1。 Δ=b²-4ac=(-3)²-4×1×(-1)=13>0， ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2， 那么x1+x2=3，x1x2=-1。 (2)这里a=3，b=2，c=-5。 Δ=b²-4ac=2²-4×3×(-5)=64>0， ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个实数根是x1，x₂， 那么x1+x2=-，x1x2=-。 随堂练习 2.小明和小华分别求出了方程9x²+6x-1=0的根。 小明：x1=x2=-， 小华：x1=-3+3，x2=-3-3。 他们的答案正确吗?说说你的判断方法。 . . 解：他们的答案不正确。判断方法如下： ∵Δ=b²-4ac=6²-4×9×(-1)=72>0， ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2， 那么x1+x2=-，x1x2=-。 小明的答案中x1+x2=-，x1x2=≠-， ∴小明的答案错误。 小华的答案中x1+x2=(-3+3)+(-3-3)=-6≠-， ∴小华的答案错误。 随堂练习 3.已知方程x²-x-7=0的一个根是3，求它的另一个根。 . . 解：设另一个根是x1，则由根与系数的关系， 得 x1+3=或3x1=-7， 解得 x1=-， ∴它的另一个根是-。 随堂练习 4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则 p = ，q= 。 1 -2 随堂练习 5. 已知x1，x2是一元二次方程x2 - 4x – 5 = 0的两根，则 。 - 随堂练习 6.已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2。 (1)求实数k的取值范围； (2)若x1，x2满足＝16＋x1x2，求实数k的值。 . . 解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0， 解得k≤ ∴实数k的取值范围为k≤ 随堂练习 6.已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2。 (1)求实数k的取值范围； (2)若x1，x2满足＝16＋x1x2，求实数k的值。 . . 解：(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2， ∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1。 ∵ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2， ∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0， 解得k1＝－2，k2＝6(不符合题意，舍去)。 ∴实数k的值为－2。 随堂练习 ax²+bx+c=0的两个实数根为x1， x2 一元二次方程的根与系数的关系 ， 推导 ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 课堂小结 $