2.4.1行程(或动点)问题及平均变化率问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程核心内容，涵盖韦达定理及行程（动点）、平均变化率应用，通过梯子下滑等实际问题导入，衔接方程概念，搭建从知识理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光、思维、语言为导向，通过必背公式、经典例题及易错点解析，强化推理与运算能力，如动点问题用t表示线段列方程，平均变化率结合商品涨价实例，助力学生提升问题解决能力，为教师提供系统教学资源。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 2.4.1行程(或动点)问题及平均变化率问题 第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 本节为一元二次方程核心拔高考点，俗称韦达定理。不需要解方程，可直接通过系数 $$a、b、c$$ 求出两根之和、两根之积，常用于代数式求值、已知根求参数、已知两根构造方程，是中考填空、选择、解答高频考点。 一、韦达定理核心公式（必背） 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$，当 $$\boldsymbol{\Delta\ge0}$$ 时有两个实数根 $$x_1、x_2$$，则： $$\boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}$$ $$\boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$$ 重要前提：必须保证方程有实数根，即 $$\Delta\ge0$$，否则韦达定理不成立。 二、两种特殊情况 1. 简化方程：$$x^2+px+q=0$$ $$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q$$ 2. 常数项为0：$$ax^2+bx=0$$ 两根：$$0、-\dfrac{b}{a}$$，即 $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=0$$ 三、常见代数式变形（考试必考） 不用解方程，直接整体代换，是本节最大考点： 1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$ 2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$ 3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$ 四、经典例题精讲 例1 基础求值 已知方程 $$x^2-4x+2=0$$ 的两根为 $$x_1、x_2$$，求 $$x_1+x_2、x_1x_2$$。 解：$$a=1,b=-4,c=2$$ $$x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=2$$ 例2 代数式整体代换（高频） 同上方程，求$$x_1^2+x_2^2$$ 的值。 解：原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times2=16-4=12$$ 例3 已知一根求参数 已知方程 $$x^2+kx-6=0$$ 有一个根为2，求另一根和 $$k$$ 的值。 解：设另一根为 $$x_2$$ 由 $$x_1x_2=-6$$ 得：$$2\cdot x_2=-6$$，得 $$x_2=-3$$ 由 $$x_1+x_2=-k$$ 得：$$2+(-3)=-k$$，得 $$k=1$$ 例4 构造一元二次方程 已知两根为3和-2，求对应的一元二次方程。 解：$$x_1+x_2=1,\ x_1x_2=-6$$ 方程：$$x^2-x-6=0$$ 五、考试满分解题步骤 1. 写出 $$a、b、c$$； 2. 计算 $$\Delta$$，验证有实数根； 3. 代入韦达定理求出 $$x_1+x_2、x_1x_2$$； 4. 对所求式子变形，整体代入计算结果。 六、本节致命易错点 1. 两根之和一定带负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易丢负号； 2. 不判断 $$\Delta$$ 直接用公式，无实根时题目无解； 3. 代数式变形记混公式，尤其是平方和、差的平方； 4. 参数题最后一定要回代检验判别式。 七、同步专项练习题（含答案） 1. 方程 $$x^2-5x+3=0$$，则 $$x_1+x_2=$$____，$$x_1x_2=$$____。 答案：5，3 2. 已知 $$x^2-3x-1=0$$，求 $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$。 答案：$$-3$$ 3. 方程 $$2x^2+mx-4=0$$ 一根为1，求另一根与 $$m$$。 答案：另一根$$-4$$，$$m=6$$ 4. 两根为4、-1，写出对应一元二次方程：________。 答案：$$x^2-3x-4=0$$ 2.4.1 一元二次方程综合应用：行程（动点）问题及平均变化率问题 本节是一元二次方程最难、最压轴的应用题型，分为两大模块：几何动点行程问题、平均变化率（增长/降低）问题。两类题型均需结合题意列方程、取舍根，是单元测试、期中期末必考压轴题。 一、模块一 平均变化率问题（必考公式模型） 1. 核心通用公式（直接背诵） 设：初始量为 $$a$$，变化率（增长率/降低率）为 $$x$$，变化次数为2，最终量为 $$b$$。 连续两次增长：$$\boldsymbol{a(1+x)^2=b}$$ 连续两次降低：$$\boldsymbol{a(1-x)^2=b}$$ 2. 关键易错点 ① 变化率 $$x$$ 为正数，求出负根直接舍去； ② 看清题意：是“两次相同变化”，不可分开列式； ③ 区分：一次变化用 $$a(1\pm x)$$，两次变化必须平方。 3. 经典例题 某商店进价商品原价100元，经过两次连续涨价后售价为121元，若两次涨价百分率相同，求涨价百分率。 解：设每次涨价百分率为$$x$$。 列方程：$$100(1+x)^2=121$$ 解得：$$(1+x)^2=1.21$$，$$1+x=\pm1.1$$ $$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=-2.1$$（舍去） 答：涨价百分率为10%。 4. 专项练习题 某口罩厂二月份产量50万只，四月份产量72万只，二、四月月平均增长率相同，求月平均增长率。 答案：20% 二、模块二 几何动点行程问题（压轴难点） 1. 题型核心思路 点在图形边上匀速运动，设运动时间为 $$t$$（秒），用含 $$t$$ 的代数式表示动点移动的路程、图形边长，结合面积、勾股定理列一元二次方程求解。 2. 万能解题步骤 ① 设：运动时间为 $$t\ \mathrm{s}(t>0)$$； ② 表：用速度×时间，表示动点线段长度； ③ 列：根据面积公式或勾股定理列方程； ④ 解：解一元二次方程； ⑤ 验：根据点的运动范围取舍根（超时长、负数舍去）。 3. 经典面积动点例题（高频） 如图，在Rt△ABC中，$$\angle B=90^\circ$$，$$AB=8\mathrm{cm}$$，$$BC=6\mathrm{cm}$$。点P从A向B以1cm/s运动，点Q从B向C以2cm/s运动，两点同时出发，求几秒后，△PBQ的面积为5cm²？ 解：设 $$t$$ 秒后面积为5cm²。 $$AP=t,\ PB=8-t,\ BQ=2t$$ 三角形面积：$$\dfrac12(8-t)\cdot2t=5$$ 整理得：$$t^2-8t+5=0$$ 解得：$$t_1=4-\sqrt{11},\ t_2=4+\sqrt{11}$$（超出运动范围，舍去） 答：$$(4-\sqrt{11})$$ 秒后面积为5cm²。 4. 勾股定理动点例题（距离问题） 承接上图，求几秒后P、Q两点距离为$$2\sqrt5\ \mathrm{cm}$$？ 解：由勾股定理：$$PB^2+BQ^2=PQ^2$$ $$(8-t)^2+(2t)^2=(2\sqrt5)^2$$ 整理：$$5t^2-16t+44=0$$，验证 $$\Delta<0$$，无实数根。 答：不存在这样的时间。 三、本节核心总结与取舍规则 1. 平均变化率：认准两次平方模型，负根一律舍去； 2. 动点问题：所有边长必须为正数，时间 $$t>0$$，且不能超过点的最大运动时间； 3. 无解情况：$$\Delta<0$$，说明题目条件无法实现； 4. 答题必写检验步骤，否则压轴题扣分。 四、综合真题练习 某小区房价2023年均价4000元/㎡，2025年均价4840元/㎡，求两年平均增长率。 答案：10% 直角三角形两直角边为6、8，动点分别从直角顶点出发，速度1、2单位/s，求几秒后围成小三角形面积为原面积的四分之一。 答案：2s 1. 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.（重点、难点） 2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题．（难点） 学习目标 解得 x1 = ， x2 = . (x + 6)2 + 72 = 102. （舍） 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 10 m 8 m 1 m x m 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 10 m 8 m x m x m (1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动 x m ，根据题意，得 (8 - x)2 + (6 + x)2 = 102 解得 x1 = 0 ， x2 = 2. （舍） 答：梯子顶端下滑 2 m. x2 - 2x = 0 (2) 如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端到地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得 (12 - x)2 + (5 + x)2 = 132， 解得 x1 = 0 (舍)，x2 = 7. 13 m 12 m x m x m x2 - 7x = 0 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C. 小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点. 一艘军舰 沿 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一 艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向 匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 东 北 A B C D F E 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 小岛 D 与小岛 F 相距多少海里？ 解：连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB， ∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，DF = 100 n mile. 东 北 A B C D F 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到 0.1 n mile)？ E 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x) n mile. 东 北 A B C D F E 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 解这个方程得 ， (不合题意，舍去). 整理，得 3x2 - 1200x + 100000 = 0， 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后五边形 APQCD 的面积为 64 cm2？ A B C D Q P (6 - t) 2t 【针对训练】 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 解：设所需时间为 t s，根据题意，得 2t(6 - t)÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程，得 t1 = 2，t2 = 4 . 答：在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64 cm2. A B C D Q P (6 - t) 2t 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元. 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1 - x) 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1 - x)(1 - x) 5000(1 - x)2 5000(1 - x) 5000(1 - x)2 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 ×100％ 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 例2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率. 解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得 5 000 (1 - x)2 = 4050， 解方程，得 x1 = 0.1，x2 = 1.9. 根据问题的实际意义，取 x = 0.1， 即甲种药品成本的年平均下降率为 10％. 注意 下降率不可为负，且不大于1. 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？ 解：设平均增长率为 x. 根据题意，得 答：平均增长率为 50％. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950， 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = −3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50％. 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 想一想 你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？ 若平均增长(或下降)百分率为 x，增长(或下降)前的是 a，增长(或下降)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n = b (其中增长取“+”，下降取“-”). 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率. 解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得 6000(1 − y)2 = 3600 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，取 y≈0.225， 即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5％. 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 类型1 几何图形问题 1. [2026深圳期中] 一个面积为 的长方形场地一边利用 现有的墙（墙长），另三边用 的铁丝网围成，则这 个长方形场地的周长是( ) B A. B. C. 或 D. 不能确定 考试考法 16 【点拨】如图，设与墙垂直的边长为 ，则与墙平行的边 长为，由题意得, ，解得 ，.当时， ；当 时， ，不合题意舍去. 所以周长为 .所以这个长方形场地的周长 为 . 返回 考试考法 17 （第2题） 2.如图所示的是一张长、宽 的 矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和 两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分） 可制成底面积是 的有盖的长方体铁 盒.则剪去的正方形的边长为___ . 2 返回 考试考法 18 （第3题） 3. 如图，一块正方形地砖的图案是由4个全 等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正 方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线 段的长度为 ，则这块地砖的面积为 ____. 40 考试考法 19 【点拨】如图，连接小正方形的两条对角线， 设与交于点.根据题意易知，点 为正 方形、正方形 的中心， ，即 ， 考试考法 20 ，.设正方形的边长为 ， 则 ， ,解得 .， 或 考试考法 ， ， . 返回 考试考法 4. 某科研单位准备将院内一块长、宽 的矩形空 地 ，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平 行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段 小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草. 考试考法 23 （1）如图①，要使种植花草的面积为 ，求小道进出 口的宽度. 考试考法 24 【解】设小道进出口的宽度为 ， 依题意，得 ， 整理，得，解得, . ，不符合题意，舍去， . 故小道进出口的宽度应为 . 考试考法 25 （2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图②所 示，,,, 均为全等的直角三角形， 其中，设 ， 竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为 ，且竖向 道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于 和 之间. 考试考法 26 ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有 的代数式表示）； 剩余的种植花草区域的面积 . 考试考法 27 ②若种植花草区域的建造成本是100元/ ，建造花草区域的 总成本为42 000元，求 的值. 考试考法 28 根据题意，得 ，解得 ， （不符合题意，舍去）. 故 的值为14. 考试考法 29 平移法是列一元二次方程解面积类应用题常用的方 法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一 个规则的图形，通过面积关系列一元二次方程求解. 返回 考试考法 30 利用一元二 次方程 解决行程问题 列方程步骤： 应用类型 行程问题 平均变化率 问题 面积问题 动点问题 审 设 列 解 检 答 课堂小结 $