第10讲 整式的加法与减法（暑假预习培优讲义，6题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第10讲 整式的加法与减法（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 同类项 2 知识点02 合并同类项 2 知识点03 去括号法则（本节核心易错点） 3 知识点04 整式加减运算法则 3 知识点04 化简求值 3 剖题型·讲技巧 题型1 同类项判定与参数求解 4 题型2 单纯合并同类项 4 题型3 单层括号整式化简 5 题型4 多层括号化简 6 题型5 化简求值 7 题型6 整式加减应用题 8 释疑惑·重难拓展 题型1 多项式与字母取值无关（核心压轴考点） 10 题型2 错看符号类还原题型（高频丢分题） 12 题型3 绝对值+整式综合化简（难点题型） 14 知中考·真题探源 16 练好题·提分培优 18 课标要点 1.理解同类项的概念，熟练掌握合并同类项、去括号两大核心法则，能够规范、准确完成整式的加法与减法运算。 2.感悟数式通性，类比有理数运算理解整式运算的本质，依托乘法分配律完成整式化简，培养符号意识与数学抽象能力。 3.掌握整式化简后代入求值的标准步骤，能用整式加减表示实际问题、几何图形中的数量关系。 4.掌握整体代入的数学思想，能够解决含参数整式、与字母取值无关等培优拓展题型。 重点：同类项的识别与判定、合并同类项法则、整式加减的完整运算流程。 难点：括号前为负系数的去括号变号运算、多层括号化简、含参数整式求值、整体代入思想的灵活运用。 知识点01 同类项 定义：所含字母完全相同，且相同字母的指数也分别相等的项，叫做同类项。所有常数项都是同类项。 两同两无关判定口诀 两同：所含字母相同、相同字母的指数相同； 两无关：与单项式系数大小无关、与字母的排列顺序无关。 易错辨析：与不是同类项，相同字母指数不一致。 练习 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点02 合并同类项 法则：同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。 公式： 三步运算流程：①标记找出所有同类项；②同类项系数相加减；③字母与指数直接保留。 运算依据：乘法分配律逆用 练习 2．计算：______． 知识点03 去括号法则（本节核心易错点） 1. 括号前是“+”号：去掉括号和前面的“+”号，括号内各项符号不变。 例： 2. 括号前是“-”号：去掉括号和前面的“-”号，括号内所有项全部变号。 例： 3. 括号前有数字系数（培优必考）：利用乘法分配律，系数全覆盖，依次乘括号内每一项，切勿漏乘。 例： 4. 添括号逆向法则：添“+（）”，括号内各项符号不变；添“-（）”，括号内各项全部变号。 练习 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列去括号正确的为（    ） A． B． C． D． 知识点04 整式加减运算法则 核心步骤：先去括号，再合并同类项，最终结果按某一字母降幂排列。 关键注意：两个多项式相加减时，多项式必须整体加括号后再运算，避免符号出错。 例：求与的差，列式： 练习 4．求整式与的差． 知识点05 化简求值 一化：通过整式加减运算，将式子化为最简整式； 二代：代入字母对应数值，负数、分数代入必须添加括号； 三算：按照有理数混合运算规则计算，得出最终结果。 练习 5．先化简，再求值：，其中． 题型1 同类项判定与参数求解 方法技巧 若两个单项式的和或差仍为单项式，可直接判定两个单项式为同类项。 【典例1-1】下列式子中，与单项式是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【典例1-3】若单项式与是同类项，则___________，___________． 【变式1-1】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（    ） （1）和    （2）和    （3）6和    （4）和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若单项式与的和是一个单项式，则______． 题型2 单纯合并同类项 方法技巧 1. 只有同类项可以合并，非同类项无法合并，直接保留； 2. 同类项系数互为相反数时，该项合并后结果为0； 3. 所有常数项可统一合并计算。 【典例2】合并同类项的结果是（   ） A． B． C． D．1 【变式2-1】_______． 【变式2-2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）化简： 【变式2-3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 题型3 单层括号整式化简 方法技巧 1. 将括号前的系数利用分配律乘进括号内每一项； 2. 括号前为负号时，逐项变号，杜绝只变第一项； 3. 分组标记同类项，统一合并化简。 【典例3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）化简：． 【变式3-3】（2026七年级下·北京·专题练习）计算：． 题型4 多层括号化简 方法技巧 优先处理外层数字系数，采用“从内向外”或“从外向内”逐层去括号，同步标记同类项，减少重复抄写，降低计算失误。 【典例4】计算： 【变式4-1】（2026七年级下·北京·专题练习）计算： 【变式4-2】（25-26七年级上·陕西商洛·期末）计算 【变式4-3】（25-26七年级上·重庆合川·期末）计算： 题型5 化简求值 方法技巧 模板A：直接代入求值（常规基础） 先完整化简整式，再代入数值计算，负数、分数代入必须加括号，乘方运算重点注意符号。 模板B：整体代入求值（高频培优） 无需单独求解字母数值，通过添括号、变形构造已知整体，直接整体替换，简化计算。 【典例5-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【典例5-2】（25-26七年级上·广西崇左·期末）“整体思想”是一种重要的数学思想，它在多项式化简与求值有极为广泛的应用．例如：把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，请化简 ； (2)已知，求的值． 【变式5-1】（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：，其中． 【变式5-2】（25-26七年级下·重庆长寿·阶段检测）化简求值 已知，化简求值： 【变式5-3】（25-26七年级上·河南新乡·期末）我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有：．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 题型6 整式加减应用题 方法技巧 1. 几何应用：利用整式表示长方形、不规则图形、阴影图形的周长和面积，列式化简求值； 2. 实际应用：用整式表示利润、数量、行程等生活中的数量关系，通过化简得到最简表达式。 【典例6】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【变式6-1】（2026七年级下·北京·专题练习）十一黄金周期间，某景点门票价格为：成人票每张50元，儿童票每张20元，甲旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的． (1)甲、乙两个旅行团在该景点的门票费用分别为多少？（用含x、y的代数式表示）． (2)若，，求两个旅行团门票费用的总和． 【变式6-2】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图，有一块长方形的空地，长为米，宽为米，中间有一块正方形的花园． (1)用代数式表示阴影面积是多少平方米？ (2)当，时，计算阴影面积是多少平方米？ 【变式6-3】（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求、的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 题型1 多项式与字母取值无关（核心压轴考点） 1．（25-26七年级下·甘肃武威·开学考试）已知，． (1)化简． (2)若与y的值无关，求x的值． 2．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 3．（2026七年级下·北京·专题练习）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 4．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 5．【知识再现】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0， 即原式，其中，则． 【方法应用】 (1)当______，______时，关于的多项式不含项和项． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 6．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图是一张边长为20的正方形纸片，从中剪去两个大小相同的小直角三角形和一个小长方形后得到一个“囧”字图案（阴影部分）．剪去的小长方形的长和宽分别为x，y，剪去的两个小直角三角形的两直角边的长也分别为x，y． (1)用含x，y的代数式表示图中“囧”字图案的面积S； (2)当，时，求此时“囧”字图案的面积； (3)若代数式的值与x，y的取值无关，求b的值． 题型2 错看符号类还原题型（高频丢分题） 7．（25-26七年级上·江西宜春·期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求的正确答案． 8．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因． 9．有这样一道题：“计算的值，其中“”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 10．（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 11.小强同学在考试时没有认真审题，在计算时，误将看成了，求得的结果是，已知， (1)请你帮他求出； (2)若，求的值． 12．（25-26七年级上·江西赣州·期末）小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求原题中的正确结果； (2)若的结果与的值无关，求的值． 题型3 绝对值+整式综合化简（难点题型） 13．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知a、b、c三个数在数轴上分别对应A，B，C三点，位置如图所示： (1)当时，计算的值． (2)化简：． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】 （1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】 （2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值； ②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】 （3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 15．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 16．（25-26七年级上·河南郑州·期末）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3) 如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 一、单选题 1．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西·中考真题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 二、填空题 5．（2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 6．（2026·山东·中考真题）计算：________． 7．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 三、解答题 8．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 9．（2026·湖北·中考真题）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题 单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？ 【模型假设】 假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关． 【模型建立】 如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段，艇尾记为点，艇首记为点． Ⅰ．运动员的位置依次用点，，，表示，，． Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于上方与下方的桨的数量相等． Ⅲ．规定：当桨的位置位于上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于下方时，对应的点所表示的数记为负数． 例：在图1中，桨1的位置位于上方，，所以点表示的数是；桨2的位置位于下方，，点表示的数是． (1)在图1中，______，点表示的数是______，点表示的数是______． 【模型分析】 通过研究，记点，，，所表示的数的和为，当时，赛艇保持“稳定”；当时，赛艇失去“稳定”． (2)在四人单桨比赛中，按照图1的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由． 【模型应用】 (4) 类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置． 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川眉山·期中）若与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 3．（25-26七年级上·广东河源·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知A，B两个长方形的长和宽如图所示，若，则长方形A与长方形B的面积差为（　　） A．3 B．12 C．9 D．6 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 7．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）将一个边长为3的正方形和一个长为5宽为4的长方形按如图方式摆放，则图中阴影部分面积是___________． 9．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 三、解答题 10．（25-26七年级下·重庆·期中）有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 11．（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）化简或求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 12．（2026七年级下·北京·专题练习）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【知识发现】 聪明的小丁和小颖玩神奇的“读心术”游戏： 小丁请小颖在心里想一个任意一个数字，将这个数字先乘以2，再加3，然后乘以5，最后把得到的数减去15，小丁立即猜出小颖心里想的数． 其实运用我们所学的知识就可以解密： 设原数是，可以列代数式：，再除以10就可以知道原数是多少． 【知识应用】 (1)从这9个数字中任意选择三个不同的数字，由这三个数字组成6个不同的两位数（个位数字与十位数字不重复），把这6个两位数相加，然后用所得的和除以这三个数字的和，结果是多少？请用所学的知识解释 【知识拓展】 (2)任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……你得到了什么结果？ 14．（25-26七年级下·福建泉州·期中）阅读与探究 阅读下列材料，并解答后面的问题： “四平八稳” 在中华传统文化中，“四平八稳”常用来形容做事稳妥、周全，不偏不倚，其中“四”与“八”也象征着平衡与和谐．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“平稳数”．对于平稳数m，任意去掉一个数位上的数字，可以得到四个三位数，这四个三位数的和记为． 举例说明： 取，因为千位与个位之和，百位与十位之和，且，所以6336是平稳数．去掉千位得336，去掉百位得636，去掉十位得636，去掉个位得633，则． (1)四位数8442 平稳数（填是或不是）； (2)已知8424是平稳数，计算； (3)若一个平稳数m的千位上的数字与个位上的数字之和为12，且能被5整除，求满足条件的所有平稳数中的最大数． 15．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 16．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 17．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： (1)若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； (2)若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． (3)点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 整式的加法与减法（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 同类项 2 知识点02 合并同类项 3 知识点03 去括号法则（本节核心易错点） 3 知识点04 整式加减运算法则 4 知识点04 化简求值 4 剖题型·讲技巧 题型1 同类项判定与参数求解 5 题型2 单纯合并同类项 7 题型3 单层括号整式化简 8 题型4 多层括号化简 9 题型5 化简求值 10 题型6 整式加减应用题 12 释疑惑·重难拓展 题型1 多项式与字母取值无关（核心压轴考点） 15 题型2 错看符号类还原题型（高频丢分题） 18 题型3 绝对值+整式综合化简（难点题型） 22 知中考·真题探源 27 练好题·提分培优 32 课标要点 1.理解同类项的概念，熟练掌握合并同类项、去括号两大核心法则，能够规范、准确完成整式的加法与减法运算。 2.感悟数式通性，类比有理数运算理解整式运算的本质，依托乘法分配律完成整式化简，培养符号意识与数学抽象能力。 3.掌握整式化简后代入求值的标准步骤，能用整式加减表示实际问题、几何图形中的数量关系。 4.掌握整体代入的数学思想，能够解决含参数整式、与字母取值无关等培优拓展题型。 重点：同类项的识别与判定、合并同类项法则、整式加减的完整运算流程。 难点：括号前为负系数的去括号变号运算、多层括号化简、含参数整式求值、整体代入思想的灵活运用。 知识点01 同类项 定义：所含字母完全相同，且相同字母的指数也分别相等的项，叫做同类项。所有常数项都是同类项。 两同两无关判定口诀 两同：所含字母相同、相同字母的指数相同； 两无关：与单项式系数大小无关、与字母的排列顺序无关。 易错辨析：与不是同类项，相同字母指数不一致。 练习 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项， A、与所含字母相同，但的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，相同字母的指数都是，的指数都是，符合同类项定义，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与中x的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意． 知识点02 合并同类项 法则：同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。 公式： 三步运算流程：①标记找出所有同类项；②同类项系数相加减；③字母与指数直接保留。 运算依据：乘法分配律逆用 练习 2．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 知识点03 去括号法则（本节核心易错点） 1. 括号前是“+”号：去掉括号和前面的“+”号，括号内各项符号不变。 例： 2. 括号前是“-”号：去掉括号和前面的“-”号，括号内所有项全部变号。 例： 3. 括号前有数字系数（培优必考）：利用乘法分配律，系数全覆盖，依次乘括号内每一项，切勿漏乘。 例： 4. 添括号逆向法则：添“+（）”，括号内各项符号不变；添“-（）”，括号内各项全部变号。 练习 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列去括号正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号正确，符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号错误，不符合题意． 知识点04 整式加减运算法则 核心步骤：先去括号，再合并同类项，最终结果按某一字母降幂排列。 关键注意：两个多项式相加减时，多项式必须整体加括号后再运算，避免符号出错。 例：求与的差，列式： 练习 4．求整式与的差． 【答案】． 【详解】解： 知识点05 化简求值 一化：通过整式加减运算，将式子化为最简整式； 二代：代入字母对应数值，负数、分数代入必须添加括号； 三算：按照有理数混合运算规则计算，得出最终结果。 练习 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 将代入得：． 题型1 同类项判定与参数求解 方法技巧 若两个单项式的和或差仍为单项式，可直接判定两个单项式为同类项。 【典例1-1】下列式子中，与单项式是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 原单项式为，所含字母为和，其中的次数为，的次数为. 对选项逐一判断： A选项所含字母为、，与原单项式字母不同，不符合要求； B选项所含字母为、，但次数为，次数为，相同字母指数不同，不符合要求； C选项所含字母为、，与原单项式字母不同，不符合要求； D选项所含字母为、，次数为，次数为，完全符合同类项定义. 故选：D． 【典例1-2】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． 【典例1-3】若单项式与是同类项，则___________，___________． 【答案】 5 3 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，． 【变式1-1】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（    ） （1）和    （2）和    （3）6和    （4）和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：(1) 对于和， ∵所含字母都是，的指数都是，的指数都是，字母顺序不影响同类项判定， ∴这一组是同类项，符合要求； (2) 对于和 ∵的指数分别为和，的指数分别为和，相同字母指数不同， ∴这一组不是同类项，不符合要求； (3) 对于和 ∵两个都是常数项，所有常数项都是同类项， ∴这一组是同类项，符合要求； (4) 对于和， ∵所含字母都是，的指数都是，符合同类项定义 ∴这一组是同类项，符合要求. 综上，符合要求的情况共有个． 【变式1-2】已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若单项式与的和是一个单项式，则______． 【答案】13 【详解】解：单项式与的和是单项式． 与是同类项． ，， ． 题型2 单纯合并同类项 方法技巧 1. 只有同类项可以合并，非同类项无法合并，直接保留； 2. 同类项系数互为相反数时，该项合并后结果为0； 3. 所有常数项可统一合并计算。 【典例2】合并同类项的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解： ． 【变式2-1】_______． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）化简： 【答案】 【详解】解：． 【变式2-3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型3 单层括号整式化简 方法技巧 1. 将括号前的系数利用分配律乘进括号内每一项； 2. 括号前为负号时，逐项变号，杜绝只变第一项； 3. 分组标记同类项，统一合并化简。 【典例3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-2】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）化简：． 【答案】 【详解】解： 原式 ． 【变式3-3】（2026七年级下·北京·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型4 多层括号化简 方法技巧 优先处理外层数字系数，采用“从内向外”或“从外向内”逐层去括号，同步标记同类项，减少重复抄写，降低计算失误。 【典例4】计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4-1】（2026七年级下·北京·专题练习）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-2】（25-26七年级上·陕西商洛·期末）计算 【详解】解： ． 【变式4-3】（25-26七年级上·重庆合川·期末）计算： 【详解】解： 题型5 化简求值 方法技巧 模板A：直接代入求值（常规基础） 先完整化简整式，再代入数值计算，负数、分数代入必须加括号，乘方运算重点注意符号。 模板B：整体代入求值（高频培优） 无需单独求解字母数值，通过添括号、变形构造已知整体，直接整体替换，简化计算。 【典例5-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【典例5-2】（25-26七年级上·广西崇左·期末）“整体思想”是一种重要的数学思想，它在多项式化简与求值有极为广泛的应用．例如：把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，请化简 ； (2)已知，求的值． 【详解】（1）解：原式． （2）解：． 【变式5-1】（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：，其中． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 【变式5-2】（25-26七年级下·重庆长寿·阶段检测）化简求值 已知，化简求值： 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴ ∴原式． 【变式5-3】（25-26七年级上·河南新乡·期末）我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有：．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 将代入上式得， 原式； （3）解： 将，，代入上式得， 原式． 题型6 整式加减应用题 方法技巧 1. 几何应用：利用整式表示长方形、不规则图形、阴影图形的周长和面积，列式化简求值； 2. 实际应用：用整式表示利润、数量、行程等生活中的数量关系，通过化简得到最简表达式。 【典例6】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 【变式6-1】（2026七年级下·北京·专题练习）十一黄金周期间，某景点门票价格为：成人票每张50元，儿童票每张20元，甲旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的． (1)甲、乙两个旅行团在该景点的门票费用分别为多少？（用含x、y的代数式表示）． (2)若，，求两个旅行团门票费用的总和． 【详解】（1）解：∵成人票每张50元，儿童票每张20元，甲旅行团有名成人和名儿童， ∴甲旅行团门票费用为元， ∵乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的， ∴乙旅行团成人数为，儿童数为， ∴乙旅行团门票费用为元； （2）解：两个旅行团门票费用总和为：元， 将，代入得：（元）， 答：两个旅行团门票费用的总和为1680元． 【变式6-2】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图，有一块长方形的空地，长为米，宽为米，中间有一块正方形的花园． (1)用代数式表示阴影面积是多少平方米？ (2)当，时，计算阴影面积是多少平方米？ 【详解】（1）解：阴影面积是平方米； （2）解：当，时，（平方米）． 【变式6-3】（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求、的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【详解】（1）解：多项式的二次项系数是，则， 数轴上最小的正整数是1，则， 单项式的次数为8，则． （2）解：①∵，， ∴当时，，； ②不改变，理由如下： ∵，， ∴． ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 题型1 多项式与字母取值无关（核心压轴考点） 1．（25-26七年级下·甘肃武威·开学考试）已知，． (1)化简． (2)若与y的值无关，求x的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：由（1）知，， ∵与y的值无关， ∴， 解得． 2．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 3．（2026七年级下·北京·专题练习）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 4．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 5．【知识再现】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0， 即原式，其中，则． 【方法应用】 (1)当______，______时，关于的多项式不含项和项． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含项和项 ∴，， ∴，； （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴ ∴． 6．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图是一张边长为20的正方形纸片，从中剪去两个大小相同的小直角三角形和一个小长方形后得到一个“囧”字图案（阴影部分）．剪去的小长方形的长和宽分别为x，y，剪去的两个小直角三角形的两直角边的长也分别为x，y． (1)用含x，y的代数式表示图中“囧”字图案的面积S； (2)当，时，求此时“囧”字图案的面积； (3)若代数式的值与x，y的取值无关，求b的值． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：当，时，； （3）解：由（1）知，， 所以 ． 因为代数式的值与x，y的取值无关， 所以， 解得， 所以b的值为． 题型2 错看符号类还原题型（高频丢分题） 7．（25-26七年级上·江西宜春·期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求的正确答案． 【答案】 【详解】， ， ∴． 8．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因． 【详解】解： ． ∵计算结果与x无关， ∴把“”错抄成“”，计算结果仍是正确的． 9．有这样一道题：“计算的值，其中“”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x值无关． 10．（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 11.小强同学在考试时没有认真审题，在计算时，误将看成了，求得的结果是，已知， (1)请你帮他求出； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：∵的结果是，， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 12．（25-26七年级上·江西赣州·期末）小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求原题中的正确结果； (2)若的结果与的值无关，求的值． 【详解】（1）解：已知，且，则： ， ∴ ； （2）解： ∵， ∴ ， ∵的结果与的值无关， ∴， 解得：． 题型3 绝对值+整式综合化简（难点题型） 13．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知a、b、c三个数在数轴上分别对应A，B，C三点，位置如图所示： (1)当时，计算的值． (2)化简：． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴ ∴ （2）解：由数轴可得，， ∴， ∴， ∴ 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】 （1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】 （2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值； ②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】 （3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为． （2）①∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，关于点的“完美距离” ∴当时，则， 解得：（不符合题意舍去）， 当时，则， 解得：（不符合题意舍去）， 综上：或． ②∵，如图， ∴的中点对应的数为， ∴当表示时， 关于点的“完美距离”取最大值，最大值为． （3）∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为； 结合（2）可得：当为的中点时， ， ∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为， ∴， 同理可得：， ∴， ∵均是整数， ∴的值为：，，，． 15．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 16．（25-26七年级上·河南郑州·期末）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【详解】（1）解：表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3； （2）解：①可理解为在数轴上对应的点分别到3和所对应的点的距离之和，3和之间的距离为， 当时，的最小， 则的最小值是5； 故答案为：5； ②表示在数轴上x对应的点分别与、、在数轴上所对应的点之间的距离之和， 当时，最小，在这个范围内，当时，最小，此时最小， ∴的最小值是8； 故答案为：8； （3）解：以市民广场O为原点，A、B、C分别为、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， ∴总运输和包装成本为， 由（2）知当时，总成本能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，最小，即当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份． 一、单选题 1．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（2026·陕西·中考真题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少个， ∴小乐采摘西红柿的个数为个， ∵， ∴两人一共采摘的个数为个． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 4．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 【答案】D 【详解】解：∵原两位数的十位数字为，个位数字为， ∴原两位数可表示为 ，其中，，，均为整数， 由题意得新数为 ， 则新数与原数的差为： ∵，是整数， ∴差一定是的整数倍， 观察选项，只有是的倍数，因此答案选D． 二、填空题 5．（2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，故的一个同类项可以为． 6．（2026·山东·中考真题）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 7．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【答案】16 【详解】解：∵， ∴ ． 三、解答题 8．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 9．（2026·湖北·中考真题）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题 单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？ 【模型假设】 假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关． 【模型建立】 如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段，艇尾记为点，艇首记为点． Ⅰ．运动员的位置依次用点，，，表示，，． Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于上方与下方的桨的数量相等． Ⅲ．规定：当桨的位置位于上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于下方时，对应的点所表示的数记为负数． 例：在图1中，桨1的位置位于上方，，所以点表示的数是；桨2的位置位于下方，，点表示的数是． (1)在图1中，______，点表示的数是______，点表示的数是______． 【模型分析】 通过研究，记点，，，所表示的数的和为，当时，赛艇保持“稳定”；当时，赛艇失去“稳定”． (2)在四人单桨比赛中，按照图1的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由． 【模型应用】 (3)类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置． 【答案】(1)，， 【详解】（1）解：根据题意，， 由图1可知，桨3在下方， 因此点表示的数为； ，桨4在上方，因此点表示的数为； （2）能 理由如下： 由题意可知， ； 所以赛艇能保持“稳定”； (3)或 解：要使八人赛艇稳定，需要满足所有数的和为， 根据图2可知，现有四支桨的位置是两上两下，则剩余四支桨的位置一定为两上两下， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， ∴点，，，所表示的数的和为0， ∴， 或． 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川眉山·期中）若与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 2．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 【答案】D 【详解】解：对原代数式化简如下： 原式 ∵化简后的结果为常数，不含变量和， ∴该代数式的值与，的大小都无关，故选D． 3．（25-26七年级上·广东河源·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，A错误． 选项B：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，B错误． 选项C：∵去括号时，括号外的因数要乘括号内每一项， ∴，C错误． 选项D：∵，符合去括号法则， ∴D正确． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知A，B两个长方形的长和宽如图所示，若，则长方形A与长方形B的面积差为（　　） A．3 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【详解】解： ， ∵， ∴， 即长方形A与长方形B的面积差为6． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， 故选A． 二、填空题 6．（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 【答案】 【详解】解： ． 7．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）将一个边长为3的正方形和一个长为5宽为4的长方形按如图方式摆放，则图中阴影部分面积是___________． 【答案】 【详解】解：如图所示，补全左边的正方形， 阴影部分的面积=长方形-三个直角三角形， ∴阴影部分的面积为： ． 9．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 【答案】，， 【详解】解：当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴， 即：； 当时，，， ∴ ∵上式为定值， ∴； 当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴； 故答案为： ． 三、解答题 10．（25-26七年级下·重庆·期中）有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【详解】解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵原式化简的结果为， ∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同， ∴这位同学的计算结果也正确． 11．（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）化简或求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 12．（2026七年级下·北京·专题练习）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【知识发现】 聪明的小丁和小颖玩神奇的“读心术”游戏： 小丁请小颖在心里想一个任意一个数字，将这个数字先乘以2，再加3，然后乘以5，最后把得到的数减去15，小丁立即猜出小颖心里想的数． 其实运用我们所学的知识就可以解密： 设原数是，可以列代数式：，再除以10就可以知道原数是多少． 【知识应用】 (1)从这9个数字中任意选择三个不同的数字，由这三个数字组成6个不同的两位数（个位数字与十位数字不重复），把这6个两位数相加，然后用所得的和除以这三个数字的和，结果是多少？请用所学的知识解释 【知识拓展】 (2)任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……你得到了什么结果？ 【详解】（1）解：设这三个数分别为、、， 6个不同的两位数分别为，，，，，， ， 所得的和除以这三个数字的和， 即这6个两位数相加所得的和除以这三个数字的和，结果是； （2）解：任写一个三位数，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；…… 任写一个三位数，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；…… 观察发现，结果稳定在某一个数上，或者在某几个数之间循环． 14．（25-26七年级下·福建泉州·期中）阅读与探究 阅读下列材料，并解答后面的问题： “四平八稳” 在中华传统文化中，“四平八稳”常用来形容做事稳妥、周全，不偏不倚，其中“四”与“八”也象征着平衡与和谐．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“平稳数”．对于平稳数m，任意去掉一个数位上的数字，可以得到四个三位数，这四个三位数的和记为． 举例说明： 取，因为千位与个位之和，百位与十位之和，且，所以6336是平稳数．去掉千位得336，去掉百位得636，去掉十位得636，去掉个位得633，则． (1)四位数8442 平稳数（填是或不是）； (2)已知8424是平稳数，计算； (3)若一个平稳数m的千位上的数字与个位上的数字之和为12，且能被5整除，求满足条件的所有平稳数中的最大数． 【详解】（1）解：因为千位与个位之和为，百位与十位之和，且，所以8442不是平稳数． （2）解：； （3）解：设千位上的数字为a，百位上的数字为b，则个位上的数字为，十位上数字为，根据题意得： ，， 解得：，， 去掉千位得：， 去掉百位得， 去掉十位得， 去掉个位得， ， ∴ ， ∴要使能被5整除，必须使能被5整除， ∵，， ∴要使满足条件的所有平稳数最大，则、， ∴，， ∴满足条件的所有平稳数中的最大数为． 15．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 16．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【详解】解：（1）由 ，得 将 变形为，代入 ： （2）当 时， 当 时， 所以 （3）先化简所求代数式： 将其变形为 ，代入 ，： 17．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： (1)若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； (2)若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． (3)点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 【详解】（1）解：∵点，在数轴上分别对应的数为，时，，两点间的距离表示为， ∴若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：①∵表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为：，此时的最大值为， 故答案为：；； ②由①的方法可知： 当时，有最小值为：， 当时，有最小值为：， ∵， ∴当取最小值，取最小值时，， 此时，， ∴当取最大值，取最大值时，最大，最大值为：； （3）解：根据题意可得： 点的路程为：，点的路程为：，且， 又∵点，在数轴上对应的数为和， ∴， ∵点在点，之间，且， ∴， ∴， ∵点到点的距离总为一个固定的值，即总为一个固定的值， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $