1.2-1.3勾股定理逆定理及其应用（分层作业）2026-2027学年数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本同步练习以“勾股定理的应用”为核心，通过三级分层设计，实现从概念理解到实际建模的递进，培养抽象能力、推理意识与模型观念，适配新授课知识巩固与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直角三角形判定（边比、角关系）|选择填空结合，如5:12:13比例判定，强化概念辨析| |能力提升|勾股数应用（规律探究、简单计算）|以罗士琳法则规律题、四边形面积计算为例，培养推理能力| |综合拓展|实际问题建模（路径优化、动态情境）|融入台风影响、秋千摆动等生活情境，发展模型意识与应用能力|

分层作业 1.2-1.3.勾股定理的应用 直角三角形的判定题型01 1．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝5：12：13 B． C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C 【答案】C 【解答】解：A．设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∵（5k）2+（12k）2＝（13k）2， ∴a2+b2＝c2， 故△ABC是直角三角形； B．设a＝k，bk，ck， ∵k2+（k）2＝（k）2， ∴a2+b2＝c2， 故△ABC是直角三角形； C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形； B．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形； 故选：C． 2．在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：满足条件的点C共有4个，如图， ．． 故选：B． 3．三角形的三边长分别为m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0），则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解答】解：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝（m2+n2）2， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：A． 4．小明同学用长度是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm的木棒拼三角形，一共能拼出　2　 个直角三角形． 【答案】2． 【解答】解：∵7+15＝22＞20，7+15＝22＜24，7+15＝22＜25，7+20＝27＞24，7+20＝27＞25，7+24＝31＞25，15+20＝35＞24，15+20＝35＞25，15+24＝39＞25，20+24＝44＞25， ∴能构成三角形的组合为7cm，15cm，20cm；7cm，20cm，24cm；7cm，20cm，25cm； 7cm，24cm，25cm；15cm，20cm，24cm；15cm，20cm，25cm；15cm，24cm，25cm； 20cm，24cm，25cm， ∵72+152＝49+225＝274≠202＝400，7，15，20不能构成直角三角形； 72+202＝49+400＝449≠242＝576，7，20，24不能构成直角三角形； 72+202＝49+400＝449≠252＝625，7，20，25不能构成直角三角形； 72+242＝49+576＝625＝252，7，24，25能构成直角三角形，符合题意； 152+202＝225+400＝625≠242＝576，15，20，24不能构成直角三角形； 152+202＝225+400＝625＝252，15，20，25能构成直角三角形，符合题意； 152+242＝225+576＝801≠252＝625，15，24，25不能构成直角三角形； 202+242＝400+576＝976≠252＝625，20，24，25不能构成直角三角形， ∴一共能拼出2个直角三角形． 故答案为：2． 5．根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形． （1）a＝7，b＝8，c＝10． （2）a＝35，b＝12，c＝37． （3），b＝4，c＝5． （4）a＝3n，b＝4n，c＝5n（n为正整数）． （5）a：b：c＝5：12：13． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a2+b2＝72+82＝113，c2＝102＝100， ∴a2+b2≠c2， ∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形； （2）∵a2+b2＝352+122＝1369，c2＝372＝1369， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形； （3）∵b2+c2＝42+52＝41，， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形； （4）∵a2+b2＝（3n）2+（4n）2＝25n2，c2＝（5n）2＝25n2， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形； （5）∵a：b：c＝5：12：13， ∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∵a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，c2＝（13k）2＝169k2， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 6．已知△ABC的三边长分别是a，b，c． （1）若a、b、c满足|b﹣a|+（c﹣b）2＝0，判断△ABC的形状． （2）若a＝5、b＝3，且△ABC为等腰三角形．求△ABC的周长． 【答案】（1）△ABC是等边三角形； （2）△ABC的周长为11或13． 【解答】解：（1）∵|b﹣a|+（c﹣b）2＝0， ∴b﹣a＝0，c﹣b＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵a＝5、b＝3，且△ABC为等腰三角形， ∴c＝3或c＝5， 当c＝3时，三角形的三边为3，3，5， 由3+3＝6＞5，能构成三角形，此时△ABC的周长为3+3+5＝11； 当c＝5时，三角形的三边为5，5，3， 由3+5＝8＞5，能构成三角形，此时△ABC的周长为3+5+5＝13； 综上所述，△ABC的周长为11或13． 利用勾股数解决问题题型02 7．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 【答案】C 【解答】解：A、∵42+52≠62， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2，2.5不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵62+82＝102， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、1，，2这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 8．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61．　 ． 【答案】11，60，61． 【解答】解：通过观察得： 第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5； 第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13； 第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25； 第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41； 所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61． 故答案为：11，60，61． 9．如图所示是一块长方形草坪，沿着AC修了一条小路，AB＝12m，BC＝16m．从A到C，沿着小路AC走比沿着直角∠B走，可以少走 　8　 m． 【答案】8． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵AB＝12m，BC＝16m， ∴AC20（m）， ∵12+16﹣20＝8（m）， ∴走这条近路AC可以少走8m的路． 故答案为：8． 10．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积是多少？ 【答案】24． 【解答】解：如图，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC5， ∵DC＝12，AD＝13， ∴DC2+AC2＝122+52＝169， ∴AD2＝132＝169， ∴DC2+AC2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形， ∴S木板＝S△ADC﹣S△ABCDC×ACAB×BC30﹣6＝24． 故答案为：24． 11．已知，如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，CD＝7，AD＝24． （1）求∠ADC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接AC， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，由勾股定理得：AC25， ∵CD＝7，AD＝24， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°； （2）四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ADC ＝234． 应用勾股定理解决实际问题题型03 12．如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝5，AD⊥BC于点D，则CD的长为（　　） A．1.8 B．2 C．2.4 D．3.2 【答案】A 【解答】解：∵AC＝3，AB＝4，BC＝5， ∴根据勾股定理得，AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴AD是BC边上的高， ∵， ∴， 在Rt△ADC中，， 则CD的长为1.8， 故选：A． 13．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A．45m B．40m C．50m D．56m 【答案】B 【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝32m，OB＝24m， ∴AB40m． 故选：B． 14．如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，OA＝OB，BD⊥OA，BD＝100米，AD＝80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为（　　） A．80米 B．100米 C．102.5米 D．100.5米 【答案】C 【解答】解：由题意可知，OA＝OB， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝90°， 设OA＝OB＝x米，则OD＝OA﹣AD＝（x﹣80）米， 在Rt△BDO中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB2， 即1002+（x﹣80）2＝x2， 解得：x＝102.5， 即绳索OA的长度为102.5米， 故选：C． 15．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【解答】解：连接BD， ∵BC＝9m，CD＝12m，∠C＝90°， ∴BD15（m）， ∵AB＝25m，AD＝20m， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形ABCD的面积204（平方米）， ∴204×200＝40800（元）， 答：铺满该区域需要的费用是40800元， 故选：A． 16．如图，有两棵树，一棵高9m，一棵高4m，两树相距12m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行　13　 m． 【答案】13． 【解答】解：由题意可知：AB＝4m，CE＝9m，BD＝12m， 过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE为矩形， ∴DE＝AB＝4m，AE＝BD＝12m， ∴CE＝CD﹣DE＝9﹣4＝5（m）， 由勾股定理得：AC13（m）， ∴小鸟至少要飞行13m， 故答案为：13． 17．如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，若AC边上的高为BH，则BH的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10， ∴BD＝CD＝5， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴AC13， ∵AC边上的高为BH， ∴， ∴， 解得，BH， 故答案为：． 18．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）则∠ACB的度数 　90°　 ． （2）海港C是否受台风影响？为什么？ 【答案】（1）90°； （2）海港C受台风影响，理由见解答． 【解答】解：（1）∵AC2+BC2＝3002+4002＝2500，AB2＝5002＝2500， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 故答案为：90°； （2）海港C受台风影响， 理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵△ABC的面积AB•CDAC•CB， ∴AB•CD＝AC•CB， ∴500CD＝300×400， 解得：CD＝240， ∵240km＜260km， ∴海港C受台风影响． 19．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝60cm，BC＝30cm，AD＝90cm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：符合安全标准，理由： ∵∠ABD＝90°，AB＝CD＝60cm，BC＝30cm，AD＝90cm， ∴BD2＝AD2﹣AB2＝902﹣602＝4500， 在△BCD中，BC2+CD2＝302+602＝4500， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 1．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是（　　） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【解答】解：根据题意可知BC＝10米， 设AB＝x，则AC＝x+2， Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2， 即（x+2）2＝102+x2， 解得x＝24． ∴该河的宽度AB为24米． 故选：D． 2．将一支长为18的铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是5，内壁高为12．若这只铅笔露在笔筒外面的长度为l，则l的取值范围是（　　） A．5≤1≤6 B．5≤l≤8 C．5＜l＜9 D．12≤l≤20 【答案】A 【解答】解：如图，当铅笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，最短为5； 如图，当铅笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为18﹣12＝6， 故l的取值范围是5≤l≤6， 故选：A． 3．学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆AB高度（如图2甲） ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为2米，到旗杆的距离CE为6米（如图乙）． 设旗杆AB的高度为x米，根据以上信息，则所列方程为（　　） A．x2+62＝（x+2）2 B．x2+62＝（x﹣2）2 C．（x﹣2）2+62＝（x+2）2 D．（x﹣2）2+62＝x2 【答案】D 【解答】解：如图所示： 设旗杆AB的高度为x米， ∵BE＝CD＝2米，CE＝6米， ∴根据以上信息，在Rt△AEC中，由勾股定理可得（x﹣2）2+62＝x2， 故选：D． 4．如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积＝　24cm2 ． 【答案】24cm2 【解答】解：∵直角△ABC的两直角边分别为6cm，8cm， ∴AB10（cm）， ∵以BC为直径的半圆的面积是 π（）2＝8π（cm2）， 以AC为直径的半圆的面积是 π（3）2（cm2）， 以AB为直径的面积是 π（5）2（cm2）， △ABC的面积是 AC•BC＝24（cm2）， ∴阴影部分的面积是8π2424cm2． 故答案为24． 5．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，某实验室位于公路PQ上的点A处，到点P的距离是240m．假设救护车行驶时，周围150m以内能听到鸣笛声，那么当救护车在公路MN沿PN方向以30m/s的速度匀速行驶时，在该实验室能听到救护车鸣笛声的持续时间为　6　 s． 【答案】6． 【解答】解：作AB⊥MN于点B， 由题意，∠QPN＝30°，AP＝240， ∴， 由题意可得：在点B两侧取C，D两点，使AC＝AD＝150， 则， ∴（秒）． 故答案为：6． 6．如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是 　30cm2 ． 【答案】30cm2． 【解答】解：如图所示： ∵②为直角三角形，阴影部分是两个正方形， ∴d2+e2＝a2＝25cm2， ∴a5（cm）， ∵①为直角三角形，b＝12cm， ∴直角三角形①的面积是a×b5×12＝30（cm2）， 故答案为：30cm2． 7．在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为A，小王的赛车从点C出发，以4m/s的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于25m时，遥控信号会相互干扰，AC＝40m，AB＝30m． （1）当两车出发3s时，遥控信号是否会相互干扰？ （2）当两车距终点A的距离之和为35m时，遥控信号是否会相互干扰？ 【答案】（1）出发3s时，遥控信号不会相互干扰； （2）当两赛车距点A的距离之和为35m时，遥控信号会相互干扰． 【解答】解：（1）如图，出发3s时，CC1＝ 12m，BB1＝9m， ∵AC＝40m，AB＝30m， ∴AC1＝28m，AB1＝21m， ∴， ∵35＞25， ∴出发3s时，遥控信号不会相互干扰． （2）设出发ts时，两赛车距点A的距离之和为35m． 由题意，得 40﹣4t+30﹣3t＝35， 解得 t＝5， 此时AC1＝20m，AB1＝15m， ， ∵25＝25， ∴当两赛车距点A的距离之和为35m时，遥控信号会相互干扰． 1．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝5km，BC＝12km，BC＝12km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程是（　　） A．13km B．4km C．7km D．2km 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∵AC＝5km，BC＝12km， ∴AB13（km）， ∴AC+BC＝5+12＝17（km）， ﹣AB＝13km， ∴17﹣13＝4（km）， ∴打通隧道后从A村到B村比原来减少4km， 故选：B． 2．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点D处，当摆锤摆动到最高位置点B时，它离底座的垂直高度BF＝2cm，此时摆锤与静止位置的水平距离BC＝3cm，若AE＝6cm，则钟摆AB的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝2cm， ∴CE＝BF＝2cm， ∴AC＝AE﹣CE＝6﹣2＝4（cm） 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AB5（cm）． 故选：C． 3．图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条AB＝AC＝28cm，支点D，F分别固定在支撑条上（AF＞CF），活动条DE绕点D转动，DE＝4cm，活动条EF长度不变．闭合支架（AB与AC重合）时，点E与点B重合．如图3，打开支架，当点E落在支撑条AB上时，EF⊥AC，则EF的长为 　12　 cm；当∠A度数达到最大时，则点C到支撑条AB的距离为 　7　 cm． 【解答】解：由题意得：BD＝DE＝4cm，AE＝AB﹣BD﹣DE＝20cm，FC＝EF， 设EF＝FC＝x，则AF＝BC﹣x＝28﹣x， ∵EF⊥AC， ∴AE2＝AF2+EF2， 即202＝（28﹣x）2+x2， 解得x＝12或x＝16， ∵AF＞CF， ∴x＝12，即EF＝12， 如图，当D，E，F三点共线时，∠A度数达到最大， 此时FD＝EF+DE＝16cm， AF＝AC﹣FC＝16cm，AD＝AB﹣BD＝24， ∴AF＝DF， 如图，过F作FH⊥AB， ∴AH12cm， ∴FH4， 如图，过C作CG⊥AB， ∴sinA， ∴， 解得GC＝7， 故答案为：12，7， 4．如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t． （1）当t为何值时，AE＝AF； （2）当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意得： BE＝2t， ∵F为BE的中点， ∴BF＝EFBE＝t， ∵AD＝4，BD＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝8﹣t，DE＝BE﹣BD＝2t﹣8， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝16+（8﹣t）2， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝16+（2t﹣8）2， 令AE＝AF， ∴16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2， 解得：t或t＝0（舍去）， ∴当t时，AE＝AF； （2）△ABE是直角三角形， 理由：当t＝5时，BE＝2t＝10， ∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2， 在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20， ∵AB2+AE2＝100，BE2＝102＝100， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴△ABE是直角三角形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2-1.3.勾股定理的应用 参考答案 勾股定理的认识题型01 1． C 2．B 3．A 4.2 5.【解答】解：（1）∵a2+b2＝72+82＝113，c2＝102＝100， ∴a2+b2≠c2， ∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形； （2）∵a2+b2＝352+122＝1369，c2＝372＝1369， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形； （3）∵b2+c2＝42+52＝41，， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形； （4）∵a2+b2＝（3n）2+（4n）2＝25n2，c2＝（5n）2＝25n2， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形； （5）∵a：b：c＝5：12：13， ∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∵a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，c2＝（13k）2＝169k2， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 6.【解答】解：（1）∵|b﹣a|+（c﹣b）2＝0， ∴b﹣a＝0，c﹣b＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵a＝5、b＝3，且△ABC为等腰三角形， ∴c＝3或c＝5， 当c＝3时，三角形的三边为3，3，5， 由3+3＝6＞5，能构成三角形，此时△ABC的周长为3+3+5＝11； 当c＝5时，三角形的三边为5，5，3， 由3+5＝8＞5，能构成三角形，此时△ABC的周长为3+5+5＝13； 综上所述，△ABC的周长为11或13． 利用勾股定理求面积题型02 7．C 8．【解答】解：通过观察得： 第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5； 第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13； 第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25； 第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41； 所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61． 故答案为：11，60，61． 9.【解答】解：在Rt△ABC中， ∵AB＝12m，BC＝16m， ∴AC20（m）， ∵12+16﹣20＝8（m）， ∴走这条近路AC可以少走8m的路． 故答案为：8． 10.【解答】解：如图，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC5， ∵DC＝12，AD＝13， ∴DC2+AC2＝122+52＝169， ∴AD2＝132＝169， ∴DC2+AC2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形， ∴S木板＝S△ADC﹣S△ABCDC×ACAB×BC30﹣6＝24． 故答案为：24． 11.【解答】解：（1）连接AC， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，由勾股定理得：AC25， ∵CD＝7，AD＝24， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°； （2）四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ADC ＝234． 勾股定理的实际应用题型03 12.A 13.B 14．C 15.A 16.【答案】13． 【解答】解：由题意可知：AB＝4m，CE＝9m，BD＝12m， 过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE为矩形， ∴DE＝AB＝4m，AE＝BD＝12m， ∴CE＝CD﹣DE＝9﹣4＝5（m）， 由勾股定理得：AC13（m）， ∴小鸟至少要飞行13m， 故答案为：13． 17.【答案】． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10， ∴BD＝CD＝5， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴AC13， ∵AC边上的高为BH， ∴， ∴， 解得，BH， 故答案为：． 18.【答案】（1）90°； （2）海港C受台风影响，理由见解答． 【解答】解：（1）∵AC2+BC2＝3002+4002＝2500，AB2＝5002＝2500， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 故答案为：90°； （2）海港C受台风影响， 理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵△ABC的面积AB•CDAC•CB， ∴AB•CD＝AC•CB， ∴500CD＝300×400， 解得：CD＝240， ∵240km＜260km， ∴海港C受台风影响． 19.【答案】见试题解答内容 【解答】解：符合安全标准，理由： ∵∠ABD＝90°，AB＝CD＝60cm，BC＝30cm，AD＝90cm， ∴BD2＝AD2﹣AB2＝902﹣602＝4500， 在△BCD中，BC2+CD2＝302+602＝4500， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 1．D 2．A 3.D 4．【答案】24cm2 【解答】解：∵直角△ABC的两直角边分别为6cm，8cm， ∴AB10（cm）， ∵以BC为直径的半圆的面积是 π（）2＝8π（cm2）， 以AC为直径的半圆的面积是 π（3）2（cm2）， 以AB为直径的面积是 π（5）2（cm2）， △ABC的面积是 AC•BC＝24（cm2）， ∴阴影部分的面积是8π2424cm2． 故答案为24． 5．【答案】6． 【解答】解：作AB⊥MN于点B， 由题意，∠QPN＝30°，AP＝240， ∴， 由题意可得：在点B两侧取C，D两点，使AC＝AD＝150， 则， ∴（秒）． 故答案为：6． 6.【答案】30cm2． 【解答】解：如图所示： ∵②为直角三角形，阴影部分是两个正方形， ∴d2+e2＝a2＝25cm2， ∴a5（cm）， ∵①为直角三角形，b＝12cm， ∴直角三角形①的面积是a×b5×12＝30（cm2）， 故答案为：30cm2． 7.【答案】（1）出发3s时，遥控信号不会相互干扰； （2）当两赛车距点A的距离之和为35m时，遥控信号会相互干扰． 【解答】解：（1）如图，出发3s时，CC1＝ 12m，BB1＝9m， ∵AC＝40m，AB＝30m， ∴AC1＝28m，AB1＝21m， ∴， ∵35＞25， ∴出发3s时，遥控信号不会相互干扰． （2）设出发ts时，两赛车距点A的距离之和为35m． 由题意，得 40﹣4t+30﹣3t＝35， 解得 t＝5， 此时AC1＝20m，AB1＝15m， ， ∵25＝25， ∴当两赛车距点A的距离之和为35m时，遥控信号会相互干扰． 1． B 2.C 3.【解答】解：由题意得：BD＝DE＝4cm，AE＝AB﹣BD﹣DE＝20cm，FC＝EF， 设EF＝FC＝x，则AF＝BC﹣x＝28﹣x， ∵EF⊥AC， ∴AE2＝AF2+EF2， 即202＝（28﹣x）2+x2， 解得x＝12或x＝16， ∵AF＞CF， ∴x＝12，即EF＝12， 如图，当D，E，F三点共线时，∠A度数达到最大， 此时FD＝EF+DE＝16cm， AF＝AC﹣FC＝16cm，AD＝AB﹣BD＝24， ∴AF＝DF， 如图，过F作FH⊥AB， ∴AH12cm， ∴FH4， 如图，过C作CG⊥AB， ∴sinA， ∴， 解得GC＝7， 故答案为：12，7， 4.【解答】解：（1）由题意得： BE＝2t， ∵F为BE的中点， ∴BF＝EFBE＝t， ∵AD＝4，BD＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝8﹣t，DE＝BE﹣BD＝2t﹣8， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝16+（8﹣t）2， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝16+（2t﹣8）2， 令AE＝AF， ∴16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2， 解得：t或t＝0（舍去）， ∴当t时，AE＝AF； （2）△ABE是直角三角形， 理由：当t＝5时，BE＝2t＝10， ∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2， 在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20， ∵AB2+AE2＝100，BE2＝102＝100， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴△ABE是直角三角形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2-1.3.勾股定理的应用 直角三角形的判定题型01 1．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝5：12：13 B． C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C 2．在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．三角形的三边长分别为m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0），则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 4．小明同学用长度是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm的木棒拼三角形，一共能拼出　 　 个直角三角形． 5．根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形． （1）a＝7，b＝8，c＝10． （2）a＝35，b＝12，c＝37． （3），b＝4，c＝5． （4）a＝3n，b＝4n，c＝5n（n为正整数）． （5）a：b：c＝5：12：13． 6．已知△ABC的三边长分别是a，b，c． （1）若a、b、c满足|b﹣a|+（c﹣b）2＝0，判断△ABC的形状． （2）若a＝5、b＝3，且△ABC为等腰三角形．求△ABC的周长． 利用勾股数解决问题题型02 7．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 8．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ． 9．如图所示是一块长方形草坪，沿着AC修了一条小路，AB＝12m，BC＝16m．从A到C，沿着小路AC走比沿着直角∠B走，可以少走 　 　 m． 10．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积是多少？ 11．已知，如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，CD＝7，AD＝24． （1）求∠ADC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 应用勾股定理解决实际问题题型03 12．如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝5，AD⊥BC于点D，则CD的长为（　　） A．1.8 B．2 C．2.4 D．3.2 13．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A．45m B．40m C．50m D．56m 14．如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，OA＝OB，BD⊥OA，BD＝100米，AD＝80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为（　　） A．80米 B．100米 C．102.5米 D．100.5米 15．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 16．如图，有两棵树，一棵高9m，一棵高4m，两树相距12m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行　 　 m． 17．如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，若AC边上的高为BH，则BH的长为　 ． 18．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）则∠ACB的度数 　 　 ． （2）海港C是否受台风影响？为什么？ 19．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝60cm，BC＝30cm，AD＝90cm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 1．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是（　　） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 2．将一支长为18的铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是5，内壁高为12．若这只铅笔露在笔筒外面的长度为l，则l的取值范围是（　　） A．5≤1≤6 B．5≤l≤8 C．5＜l＜9 D．12≤l≤20 3．学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆AB高度（如图2甲） ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为2米，到旗杆的距离CE为6米（如图乙）． 设旗杆AB的高度为x米，根据以上信息，则所列方程为（　　） A．x2+62＝（x+2）2 B．x2+62＝（x﹣2）2 C．（x﹣2）2+62＝（x+2）2 D．（x﹣2）2+62＝x2 4．如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积＝　 ． 5．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，某实验室位于公路PQ上的点A处，到点P的距离是240m．假设救护车行驶时，周围150m以内能听到鸣笛声，那么当救护车在公路MN沿PN方向以30m/s的速度匀速行驶时，在该实验室能听到救护车鸣笛声的持续时间为　 　 s． 6．如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是 　 　 ． 7．在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为A，小王的赛车从点C出发，以4m/s的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于25m时，遥控信号会相互干扰，AC＝40m，AB＝30m． （1）当两车出发3s时，遥控信号是否会相互干扰？ （2）当两车距终点A的距离之和为35m时，遥控信号是否会相互干扰？ 1．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝5km，BC＝12km，BC＝12km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程是（　　） A．13km B．4km C．7km D．2km 2．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点D处，当摆锤摆动到最高位置点B时，它离底座的垂直高度BF＝2cm，此时摆锤与静止位置的水平距离BC＝3cm，若AE＝6cm，则钟摆AB的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条AB＝AC＝28cm，支点D，F分别固定在支撑条上（AF＞CF），活动条DE绕点D转动，DE＝4cm，活动条EF长度不变．闭合支架（AB与AC重合）时，点E与点B重合．如图3，打开支架，当点E落在支撑条AB上时，EF⊥AC，则EF的长为 　 　 cm；当∠A度数达到最大时，则点C到支撑条AB的距离为 　 　 cm． 4．如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t． （1）当t为何值时，AE＝AF； （2）当t＝5时判断△ABE的形状，并说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $