专题05 二次根式16大题型（暑假复习讲义）新九年级数学新教材苏科版

专题05 二次根式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 二次根式的识别 题型2 求二次根式中的参数 题型3 二次根式有意义的条件 题型4 利用二次根式的性质化简 题型5 二次根式乘除法 题型6 二次根式加减法 题型7 分母有理化 题型8 最简二次根式 题型9 复合二次根式的化简 题型10 同类二次根式 题型11 二次根式中的化简求值 题型12 比较二次根式的大小 题型13 二次根式的混合运算 题型14 二次根式的实际应用 题型15 二次根式的规律计算 题型16 二次根式新定义运算 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 二次根式有意义的条件 2. 二次根式的性质 3. 二次根式的加减乘除法 4. 分母有理化 5. 二次根式的应用 1. 有意义条件必考：单独考查被开方数非负，结合分式综合出题，区分取值范围易错边界。 2. 化简运算分层考查：最简二次根式判断、乘除加减混合运算，常结合绝对值、符号化简设坑。 3. 估值题型高频出现：估算无理数大小、确定整数部分与小数部分，多为选择填空基础题。 4. 跨模块综合融合：搭配因式分解、分式化简、代数式求值、勾股定理几何计算综合设问。 5. 隐含分类讨论陷阱：√a² 去根号需讨论字母正负，极易忽略符号，是高频失分点。 考情解码：二次根式属于中考基础代数考点，分值稳定，小题侧重取值范围与无理数估值，解答融入化简求值。命题核心围绕化简规则与非负性，重点检验符号处理能力，常和分式、勾股定理结合。整体难度偏低，但去根号、取值限制两处陷阱失分严重，侧重细致运算与概念理解。 知识点一 二次根式相关概念 二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 二次根式的性质 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 二次根式的化简 二次根式的化简：1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 即时即练1．假设，那么等于（    ） A． B．1 C． D． 2．对于任意正实数，，因为，所以，所以 我们把这个不等式叫做“基本不等式”． (1)当时，比较大小： ； (2)当时，有最小值 ，此时 ； (3)请用你探究的结论，求（）的最小值． 知识点二 二次根式的乘除法 二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 即时即练 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点三 二次根式的加减法 二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 5．计算： (1)； (2)． 6．计算题： (1)； (2)． 知识点四 分母有理化 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 即时即练 7．已知有理数a、b满足，则，． 8．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)________； (2)（为正整数）________； (3)化简：________； (4)化简下列式子的值：． 题型1 二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2 求二次根式中的参数 5．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 6．已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 7．若m为正整数，且满足，则________． 8．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 题型3 二次根式有意义的条件 9．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 11．若成立，则x的取值范围是______． 12．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 题型4 利用二次根式的性质化简 13．若，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 16．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 题型5 二次根式乘除法 17．计算：． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 19．计算： (1)； (2)． 20．计算：． 题型6 二次根式加减法 21．计算： (1) (2) (3) (4) 22．计算： (1) ； (2)． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1) (2) 题型7 分母有理化 25．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：． 26．阅读下面材料，并解决问题： ； ； ； … (1)填空：_________；_________； (2)用含n的代数式表示你所发现的规律：_________； (3)证明发现的规律． 27．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 28．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 题型8 最简二次根式 29．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 30．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 31．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 32．如果最简根式和是同类二次根式，则______ 题型9 复合二次根式的化简 33．计算：_______． 34．，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 35．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 36．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 题型10 同类二次根式 37．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 38．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 39．已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 40．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 题型11 二次根式中的化简求值 41．化简求值：已知，，求的值． 42．已知，，求的值． 43．先化简，再求值：，其中． 44．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ，， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 题型12 比较二次根式的大小 45．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 46．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 47．已知，，则a与b的大小关系为________． 48．在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 题型13 二次根式的混合运算 49．计算： (1)； (2)． 50．计算： (1)； (2)． 51．计算： (1)； (2)． 52．计算：． 题型14 二次根式的实际应用 53．【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”． ．① a，b，c为三角形的三边长；，S为面积； 公式②中的． 古希腊“海伦公式”． ．② 【问题解决】 (1)若的三边长为5，7，8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； (2)由公式①推导出公式②． 54．着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简： ； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (2)求黄金矩形的长； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形． 55．如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 56．中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 （秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)利用上述公式求的面积． ①的三边长分别为5，6，7，则__________；（直接写出答案） ②的三边长分别为，，则__________；（直接写出答案） (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式． 题型15 二次根式的规律计算 57．【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 58．【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 59．【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 60．【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 题型16 二次根式新定义运算 61．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 62．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 63．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 64．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 4．假设，那么等于（    ） A． B．1 C． D． 5．已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 6．已知实数a满足 ，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 8．已知：，，则的值为__________． 9．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 10．，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 11．若，，则代数式的值等于________． 12．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 13．已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 14．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 15．解决下列问题： (1)； (2) 16．计算： (1)； (2) 17．如图，点E在菱形的边上．连接，作于点F． (1)若F是中点，求证：． (2)若，则的长为_________． 18．先化简，再求值：，其中． 19．我们的课本中有这样的一段叙述：“分式的值随分式中字母取值的变化而变化．” 当时，我们对分式的取值情况进行研究． x …… 1 2 3 4 5 6 8 …… …… 5 4 5 …… (1)观察表格，猜想：分式有最小值为 ； (2)推理证明：证明你的猜想； (3)求分式的最小值． 20．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为a，b，c（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格． (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 二次根式的识别 题型2 求二次根式中的参数 题型3 二次根式有意义的条件 题型4 利用二次根式的性质化简 题型5 二次根式乘除法 题型6 二次根式加减法 题型7 分母有理化 题型8 最简二次根式 题型9 复合二次根式的化简 题型10 同类二次根式 题型11 二次根式中的化简求值 题型12 比较二次根式的大小 题型13 二次根式的混合运算 题型14 二次根式的实际应用 题型15 二次根式的规律计算 题型16 二次根式新定义运算 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 二次根式有意义的条件 2. 二次根式的性质 3. 二次根式的加减乘除法 4. 分母有理化 5. 二次根式的应用 1. 有意义条件必考：单独考查被开方数非负，结合分式综合出题，区分取值范围易错边界。 2. 化简运算分层考查：最简二次根式判断、乘除加减混合运算，常结合绝对值、符号化简设坑。 3. 估值题型高频出现：估算无理数大小、确定整数部分与小数部分，多为选择填空基础题。 4. 跨模块综合融合：搭配因式分解、分式化简、代数式求值、勾股定理几何计算综合设问。 5. 隐含分类讨论陷阱：√a² 去根号需讨论字母正负，极易忽略符号，是高频失分点。 考情解码：二次根式属于中考基础代数考点，分值稳定，小题侧重取值范围与无理数估值，解答融入化简求值。命题核心围绕化简规则与非负性，重点检验符号处理能力，常和分式、勾股定理结合。整体难度偏低，但去根号、取值限制两处陷阱失分严重，侧重细致运算与概念理解。 知识点一 二次根式相关概念 二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 二次根式的性质 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 二次根式的化简 二次根式的化简：1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 即时即练 1．假设，那么等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质化简，再根据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 原式 ， ， 代入得：原式． 2．对于任意正实数，，因为，所以，所以 我们把这个不等式叫做“基本不等式”． (1)当时，比较大小： ； (2)当时，有最小值 ，此时 ； (3)请用你探究的结论，求（）的最小值． 【答案】(1) (2) 最小值为，此时 (3) 最小值为 【分析】（1）将代入“基本不等式”判断即可； （2）根据“基本不等式”和（1）的结论作答即可； （3）先将变形为，再根据“基本不等式”作答即可． 【详解】（1）解：，且为正实数， ，， ； （2）解：， ，满足基本不等式的条件， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，即， ， 解得， ∴的最小值为，此时； （3）解：， ， ∴， 由基本不等式得， ， 当且仅当时等号成立，即， ∵， ∴，即，符合条件， ∴的最小值为． 知识点二 二次根式的乘除法 二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 即时即练 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点三 二次根式的加减法 二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解： ， ， ． 知识点四 分母有理化 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 即时即练 7．已知有理数a、b满足，则，． 【答案】， 【详解】解：∵， 且， ∴， 解得：． 8．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)________； (2)（为正整数）________； (3)化简：________； (4)化简下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)4 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理化，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ； （4） ． 题型1 二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、是三次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意． 2．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 3．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 4．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 题型2 求二次根式中的参数 5．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 6．已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 7．若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【分析】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 8．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 题型3 二次根式有意义的条件 9．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ， ∴被开方数需满足非负可得 ． 移项解得． 10．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴， ∴． 11．若成立，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式分母不为零，列不等式组求解x的取值范围即可． 【详解】解：要使等式成立，需保证所有二次根式的被开方数为非负数，且分母不为零， ∴， 解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． 12．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【答案】 【分析】根据例子找出隐含条件，求出的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化简． 【详解】解：， ∵隐含条件，解得， ∴， 原式． 题型4 利用二次根式的性质化简 13．若，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次根式的性质和绝对值的性质求解，根据等式得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： ，且， ∴， ∴， 移项，得， 两边同除以，得． 14．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 16．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)； 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴小亮的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 （3）解：∵ ∴ 当时 原式 题型5 二次根式乘除法 17．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果． 【详解】解： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式乘除法的运算法则．将系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后将结果化为最简二次根式． 【详解】解：原式， ， ， ， ． 题型6 二次根式加减法 21．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的四则混合运算法则计算即可； （4）直接运用平方差公式、完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 22．计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 题型7 分母有理化 25．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：． 【答案】(1) (2)2024 【分析】分母有理化的原理是通过平方差公式和同类最简二次根式的平方为有理数，来对分母有理化，根据题目中的计算方式进行计算即可 【详解】（1）解：； （2）解：，， 同理，可得： 原式 ． 26．阅读下面材料，并解决问题： ； ； ； … (1)填空：_________；_________； (2)用含n的代数式表示你所发现的规律：_________； (3)证明发现的规律． 【答案】(1)； (2)，其中为正整数； (3)证明见解析 【分析】本题考查二次根式的分母有理化与规律探究，用到平方差公式计算，先根据题干给出的分母有理化方法计算，再归纳得到一般规律，最后利用平方差公式证明规律即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：观察式子变化可总结规律为：，其中为正整数； （3）证明：对于等式左边分子分母同乘得： 由于等式右边为， 则成立． 27．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 28．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ∴． 题型8 最简二次根式 29．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 30．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 【答案】 【分析】满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对所给二次根式逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，原被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式只有，共1个． 31．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 32．如果最简根式和是同类二次根式，则______ 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 题型9 复合二次根式的化简 33．计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 34．，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 35．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 36．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 题型10 同类二次根式 37．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 38．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 39．已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 40．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 题型11 二次根式中的化简求值 41．化简求值：已知，，求的值． 【答案】8 【分析】运用完全平方公式将变为，再代入计算即可． 【详解】解：，， ． 42．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项化简后，将代入计算即可求出结果． 【详解】解： ； 当时，原式． 44．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ，， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为分母是含有二次根式的差式，所以利用平方差公式对分母有理化，给分子分母同乘分母的有理化因式即可化简． （2）先对a的表达式分母有理化，得到a的最简形式；再将a的最简形式变形得到关于a的一次式，两边平方后整理得到与a的关系式；因为所求代数式是二次多项式，所以将其变形为含有上述关系式的形式，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ，，             ， ． 题型12 比较二次根式的大小 45．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 46．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 47．已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 48．在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ，即； （3）解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； （4）解： ， ， ． 题型13 二次根式的混合运算 49．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 51．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 52．计算：． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘法法则和平方差公式运算，然后化简后合并即可； 【详解】解：原式 ． 题型14 二次根式的实际应用 53．【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”． ．① a，b，c为三角形的三边长；，S为面积； 公式②中的． 古希腊“海伦公式”． ．② 【问题解决】 (1)若的三边长为5，7，8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； (2)由公式①推导出公式②． 【答案】(1)该三角形的面积为 (2) ． 【分析】（1）根据可得，，，代入即可求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 由题意得，， ∴． （2）略 54．着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简： ； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (2)求黄金矩形的长； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用分母有理化，进行化简即可； （2）根据黄金矩形的定义，进行求解即可； （3）求出新的矩形的宽与长的比，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， 黄金矩形的长为． （3）证明：由裁剪可知：； 由（2）可知：， ， ， ∴矩形是黄金矩形． 55．如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 【答案】(1) (2)面积差为 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）分别计算出长方形和的面积，用长方形的面积减去小长方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴长方形ABCD的周长为：． （2）解：由题可得：长方形的面积 长方形的面积为：， ∴剩余部分的面积为：， ， ∴面积差为． 56．中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 （秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)利用上述公式求的面积． ①的三边长分别为5，6，7，则__________；（直接写出答案） ②的三边长分别为，，则__________；（直接写出答案） (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式． 【答案】(1)①；② (2)解： ， 令， ∴， ， ， ， ∴， ∴ ． 【分析】（1）①代入海伦公式求解即可；②根据秦九韶公式代入计算即可求解； （2）根据平方差公式得到，令，得到，，，，再得到，再代入即可得出结论． 【详解】（1）解：①一个三角形三边长依次为5，6，7，即， ． 根据海伦公式可得； ②根据题意可得，，， 由秦九韶公式得：； （2）略 题型15 二次根式的规律计算 57．【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律对（3）化简即可． 【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （2）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （3）解：由（2）中规律可得： ． 58．【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 59．【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)7，2028； (2)（或）； (3)54 【分析】（1）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （2）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （3）根据（2）中规律计算各数，再合并同类项可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 以此类推，第个等式：； （3）解： ． 60．【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． 题型16 二次根式新定义运算 61．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 62．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 63．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 64．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题干中的方法进行解答即可； （2）根据（1）中的结论得到，进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：由（1）知： 而 两式相加得： 则 两边平方得到，，解得， 经检验，是方程的解， ∵，成立． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先对已知的表达式变形，通过平方得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：， ， 移项得， 两边同时平方，得 ， 展开整理得 ， 化简得， ． 3．估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再估算无理数的取值范围，即可得到原式的大小范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值在和之间． 4．假设，那么等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质化简，再根据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 原式 ， ， 代入得：原式． 5．已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 6．已知实数a满足 ，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值的和，分不同范围去绝对值化简，判断等式成立的条件，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴原等式可化为 ， 分三种情况讨论： ①当时， ∵，， ∴原式， 令， 解得，与矛盾，此范围不成立； ②当时， ∵，， ∴原式，等式恒成立； ③当时， ∵，， ∴原式， 令， 解得，与矛盾，此范围不成立； 综上，的取值范围是． 7．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 8．已知：，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将所求代数式展开，再分别计算和的值，代入后即可求出结果，解题用到整式乘法法则与平方差公式． 【详解】解：， ∵，， ∴，， 将，代入展开式：原式． 9．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题直接将已知的三边长代入给出的面积公式，按照实数运算顺序计算即可得到结果． 【详解】解：已知，，， 将各值代入公式 先计算各边的平方，得，， 计算 计算，可得 将结果代入公式，得 10．，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 11．若，，则代数式的值等于________． 【答案】 【分析】先将所求代数式通分变形，利用完全平方公式转化为含和的形式，先计算与的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， 将，代入变形后的代数式得： ． 12．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 13．已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 【答案】 【分析】根据等高三角形面积比等于底边比，推导出对角线分成的四个三角形中，相对两个三角形面积的乘积相等，最后利用题干给出的不等式性质求解． 【详解】解：设，， 与等高，与等高， ，， ， ， ，， ， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ， ， 即四边形的面积的最小值为． 14．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 【答案】 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴． 15．解决下列问题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 16．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．如图，点E在菱形的边上．连接，作于点F． (1)若F是中点，求证：． (2)若，则的长为_________． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， ∵，且F是中点， ∴垂直平分线段， ∴，为等腰三角形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴； (2) 【分析】（1）连接，得出垂直平分线段，根据三线合一得出，然后利用菱形的性质得出平行线和相等的线段，再根据等边对等角得出角之间的数量关系； （2）连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，利用菱形的性质得出相等的边和平行线，求出相关角的度数，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出相关线段的长度，然后利用等面积法求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，，， 由勾股定理得， ，， ∴，， ， ∴， ∴， 即， 解得． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】 结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 19．我们的课本中有这样的一段叙述：“分式的值随分式中字母取值的变化而变化．” 当时，我们对分式的取值情况进行研究． x …… 1 2 3 4 5 6 8 …… …… 5 4 5 …… (1)观察表格，猜想：分式有最小值为 ； (2)推理证明：证明你的猜想； (3)求分式的最小值． 【答案】(1) (2)证明：， ， 配方得， ， ， 当且仅当时等号成立， ∴ 分式的最小值为，猜想成立； (3) 【分析】（1）观察表格中分式的取值，发现时分式取得最小值，所有其他取值都大于4，因此猜想最小值为4； （2）将分式拆分变形为，再利用完全平方公式配方，结合平方的非负性证明猜想； （3）通过换元法将原分式变形为第二问的形式，利用第二问的结论求出最小值． 【详解】（1）解：观察表格数据，所有对应的分式值都大于等于4，因此猜想分式的最小值为； （2）略 （3）解：设，由得，且， 代入原分式得： 由(2)的结论可知，当时，，当且仅当时等号成立， 满足条件， ，即分式的最小值为． 20．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为a，b，c（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格． (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 【答案】(1)①；②；③ (2)①∵是三角形三边长， ∴，． ∴， 配方，得， ∴， ∴， ∴． ②∵是三角形三边长， ∴， 即． ∵，且，， ∴． 由平方差公式，得， ∵， ∴， 即． 【分析】（1）针对框图推导：先利用完全平方公式分别展开、计算，再比较两个展开式的大小，结合正数开方后大小关系与平方后大小关系一致，得到​和的大小关系．再根据三角形三边关系，得到，通过不等式的传递性推导最终结论． （2）①以为基础，将写成、的形式，对配方，得到其与的大小关系，结合，通过比较平方的大小推导原式．②以为基础，对用完全平方公式展开，根据各部分的符号判断整体符号，再用平方差公式变形，可得变形后式子的符号，推导原式． 【详解】（1）解：∵​； ； ，且​、​都是正数，平方越大，原数越大， ∴． （2）略 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $