（复习篇）专题04 分式的基本性质、运算与分式方程【思维导图+知识卡片+知识回顾+二十一大题型讲练+实战演练 共62题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级暑假衔接讲义

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题04 分式的基本性质、运算与分式方程「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第10章）】 （思维导图+知识回顾+二十一大题型讲练+实战演练 共62题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 分式相关概念 1. 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 知识点十 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十一 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十二 分式方程应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、 要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 考点一 求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元复习）当为何值时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定的取值范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可． 【详解】解：由题意得，，解得， 即时，分式的值为正数． 【变式训练】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴， 解得：； 或， 解得：， ∴x的取值范围是或； 故答案为：或． 考点二 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·单元复习）计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 【答案】(1)整数的值为 (2)整数的值为 【详解】（1）由分式有意义的条件知，故， 因为3的整数因数为3,1，，， 故， 解得 （2），故分式的值为整数即的值为整数，且， 由第（1）问知 【变式训练】（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 考点三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）当x的值分别为时，求分式的值，并说一说的值是如何随着x值的变化而变化的．如果x的值分别为呢？ 【答案】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 观察结果得：当时，随着增大，逐渐减小，最终趋近于． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 观察结果得：当时，随着减小，逐渐增大，最终趋近于． 【分析】将题目给出的各个的值代入分式计算出对应结果，再根据计算结果观察总结随变化的规律． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，有两个正方形A、B，边长分别为和．将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．图甲、图乙中阴影的面积分别为与．若，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】图甲中阴影部分是一个长为，宽为的长方形，图乙中阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去正方形A和正方形B的面积，据此分别表示出与，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴. 考点四 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例精讲】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据分式的基本性质即可解答 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式训练】（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 考点五 最简分式 【典例精讲】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为，则的值为 D．分式中，的值都扩大为原来的倍，分式的值不变 【答案】C 【分析】根据分式定义，最简分式定义，分式值为的条件，分式的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】A、分式的定义是分母中含有字母的有理式，是常数不是字母，是整式不是分式，该选项错误，不符合题意； B、，分子分母含有公因式，可以约分，该分式不是最简分式，该选项错误，不符合题意； C、分式值为需要满足分子为且分母不为，即，， 解得，， ，该选项正确，符合题意； D、，都扩大为原来的倍后，新分式为，即分式值变为原来的，该选项错误，不符合题意． 【变式训练】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 考点六 最简公分母 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【答案】 3 5或10 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 【变式训练】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可解答，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：分式与的最简公分母是为， 故选：． 考点七 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例精讲】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）已知，则实数______． 【答案】 【分析】先将等式右侧通分．根据分式相等的条件得到分子对应相等．整理后利用多项式相等的性质得到关于的方程组．求解后代入计算即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， 即， 整理得， 可知， 解得：， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，则______；______． 【答案】 【分析】先对等式右边通分，再根据分式相等时分母相同则分子相等，对应系数相等列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 解得． 考点八 分式加减混合运算 【典例精讲】当时，将x，，按从小到大的顺序用“<”连接起来：________． 【答案】 【分析】利用作差法比较大小，结合的条件判断差的符号，即可得到三个代数式的大小顺序． 【详解】解：①比较与的大小：， ， ，． ，即， 可得； ②比较与的大小：， ， ，，． ，即， 可得． 综上，． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 考点九 分式加减的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两地之间的航行距离为，一艘轮船先从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流航行返回甲地．已知水流速度为，如果这艘轮船在静水中的速度为，那么它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少多少？ 【答案】 【分析】根据题意，得到轮船顺水、逆水所行驶的时间，再作差即可． 【详解】解：轮船在静水中的速度为， 则轮船顺水速度为，轮船逆水速度为， 故轮船甲地到乙地的时间为，乙地到甲地的时间为， 又 ， 它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少 【变式训练】（25-26八年级下·江苏·阶段检测）准备一杯糖水，尝一下，然后在糖水中再加入一点糖，再尝一下，你会发现糖水更甜了．我们用分式的知识来研究这个司空见惯的现象．设原来的糖水总质量是，其中含有糖，则糖的质量与糖水的质量比（即糖水的浓度）为．现再加入糖，则糖水的浓度为． (1)生活经验告诉我们，添加糖后糖水会更甜，可以得到不等式_____； (2)请通过分式的运算证明这个不等式成立． 【答案】(1)； (2)证明：， ∵，， ∴，，， ∴， 即， ∴，不等式得证． 【分析】（1）根据糖水更甜说明加入糖后浓度更大，直接写出不等式即可； （2）利用作差比较法，计算两个分式的差，结合已知条件判断差的符号，即可证明不等式成立． 【详解】（1）解：由添加糖后糖水更甜，浓度更大，可知； 考点十 含乘方的分式乘除混合运算 【典例精讲】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后算乘法即可； （2）先将括号内通分，变成同分母的分式，再根据同分母的分式相减法则对括号内的式子进行化简，最后计算乘法求出答案即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 考点十一 分式加减乘除混合运算 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏·期末）计算： 【答案】 【分析】根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 考点十二 分式化简求值 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 当时， 原式． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·暑假作业）先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中； (4)，其中． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【详解】（1）解：， 当时，原式； （2）解：， 当时，原式； （3）解：， 当时，原式； （4）解：， 当时，原式． 考点十三 分式最值 【典例精讲】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 考点十四 解分式方程(化为一元一次) 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏·期末）解方程：； 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； 【变式训练】（25-26八年级下·山东济南·期中）解下列方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为0，即可得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 方程变形为， 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程增根， ∴原方程无解； （2）解：， 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解． 考点十五 根据分式方程解的情况求值 【典例精讲】（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 【变式训练】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）关于x的方程有增根，则m的值是__________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：原方程变形为 ， 方程两边同乘去分母得：， ∵原分式方程有增根， ∴，解得， 将代入上述整式方程得：， 整理得， 解得． 考点十六 分式方程无解问题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的根是，求的值； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将已知的方程根代入原方程，即可计算出的值； （2）先将分式方程化为整式方程，再分整式方程本身无解、整式方程的解为分式方程增根两种情况讨论，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵分式方程的根是， ∴将代入方程得， 化简得， 解得． （2）解： 方程两边同乘去分母， 得， 展开整理得， 当，即时， 方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解， 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴方程的解为原分式方程的增根，满足， 解得或， 把代入，得，等式不成立，舍去， 把代入，得， 解得， 综上，分式方程无解时，的值为或． 【变式训练】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知关于分式方程无解，则 ___________． 【答案】 【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为，据此进行解答． 【详解】解： ， 关于分式方程无解， ，即， ， 解得． 考点十七 分式方程的行程问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·单元复习）八（1）班学生在老师的带领下乘汽车到某红色教育基地参观学习，该教育基地距学校．一部分师生乘慢车，另一部分师生乘快车，慢车比快车先出发，结果他们同时到达该教育基地．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度． 【答案】 【分析】设慢车的速度为，根据运动时间之间的关系建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：慢车的速度为． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元复习）连接甲、乙两地的一条公路长，这条公路改造工程完成后，长途客运车从甲地到乙地的平均车速提高了，运行时间缩短了．试确定长途客运车原来的平均车速． 【答案】平均车速为 【分析】设长途客运车原来的平均车速为，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设长途客运车原来的平均车速为，则提速后平均车速为， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：长途客运车原来的平均车速为． 考点十八 分式方程的工程问题 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)30天 (2)180000元 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合作15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可． （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是x天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符号题意． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）解：该工程由甲、乙队合作完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）． 答：该工程的费用为180000元． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条200米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.2倍，结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米； (2)由于天气等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过32天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，每天至少应多挖掘多少米？ 【答案】(1)6米 (2)4米 【分析】（1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过32天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的根． 则实际每天挖掘为（米）． 答：实际每天挖掘6米； （2）解：设每天应多挖掘m米， 根据题意得， 解得， 答：至少每天应多挖掘4米． 考点十九 分式方程的经济问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）何老师去书店买书，他先用60元买了一种科普书若干本，又用60元买了一种文学书若干本．已知所买科普书的单价是文学书单价的1.5倍，何老师所买科普书比文学书少1本，求这种科普书的单价． 【答案】 这种科普书的单价为元． 【分析】设文学书的单价为元，则科普书的单价为元，根据用60元买了的科普书比用60元买了一种文学书少1本，列出分式方程，求解即可． 【详解】解：设文学书的单价为元，则科普书的单价为元， 根据题意，得， 解得 经检验，当是原分式方程的解， 则（元）， 答：这种科普书的单价为元． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）2021年，我国全年货物进出口总额为391009亿元，比2020年增长．设2020年我国全年货物进出口总额为x亿元，请你写出x满足的方程，你能写出几个？其中哪一个是分式方程？ 【答案】 解：可以写出3个满足条件的方程，分别为、和， 其中是分式方程． 【分析】根据（增长的百分比）年货物进出口总额年货物进出口总额，列出方程，再根据分式方程的定义解答即可． 考点二十 分式方程和差倍分问题 【典例精讲】（25-26八年级下·河南开封·期末）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两块试验田面积相等建立等量关系，先由产量之差分别表示两块试验田的单位产量，再利用面积=总产量÷单位产量列出分式方程． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为， ∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少， ∴第二块试验田每公顷的产量为， 又∵两块试验田面积相同， ∴第一块试验田的面积为，第二块试验田的面积为， ∴可得方程． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）为美化校园，学校购进一批绿植，第一批花费800元，第二批花费1200元，第二批绿植单价是第一批的1.2倍，购买数量比第一批多5盆．求第一批绿植的单价． 【答案】第一批绿植单价为40元/盆 【分析】设第一批绿植单价为元/盆，则第二批绿植单价为元/盆，根据第二批购买数量比第一批多5盆，列出分式方程，解方程并检验即可得解． 【详解】解：设第一批绿植单价为元/盆，则第二批绿植单价为元/盆， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：第一批绿植单价为40元/盆． 考点二十一 分式方程的其它实际问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）意大利数学家斐波那契曾提出过这样一个问题：若干人平分10第纳尔（货币单位），每人得若干；若增加6人，再平分40第纳尔，则每人所得与前面相同．求第一次分钱的人数． 【答案】 第一次分钱的人数为2人． 【分析】先根据题意确定等量关系为“两次分钱每人所得钱数相等”，设出第一次分钱的人数，再根据等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人，则增加6人后分钱的人数为人， ∵第二次分钱每人所得与前面相同， 由题意得, 得，解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解，且符合题意． 答：第一次分钱的人数为2人． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 【答案】600 【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得分式方程并求解，再检验是否符合题意即可． 【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得 ， 解得， 经检验是方程的解， 即两台汽车的续航里程是600千米． 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，据此求出和的值，然后求的值即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴此时分母， 把代入得 ，解得：． ∵时，分式的值为0， ∴此时分子，且分母不为0， 把代入分子得 ，解得， 验证分母：时，，符合要求， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质化简选项，和对比即可得到结果． 【详解】解：A、是最简分式，，故本选项不合题意； B、是最简分式，，故本选项不合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、是最简分式，，故本选项不合题意． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值. 【详解】∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， 将增根代入上式，得： ， 解得． 4．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.6千克．已知用36千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， 用36千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同， 可列方程为． 5．（25-26八年级下·河南·阶段检测）下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 6．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如果方程有增根，那么增根为________． 【答案】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，只需确定增根的可能值，令最简公分母为即可．本题中分母和互为相反数，最简公分母是． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， 方程的增根为． 检验：当 时，最简公分母 ，所以原分式方程无解，其增根为． 7．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 8．（25-26八年级下·全国·暑假作业）请在下面“、”中分别填入适当的代数式，使等式成立： 【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据要求构造分式，并满足两个代数式相加等于即可． 【详解】解：． 9．（25-26八年级下·江苏连云港·阶段检测）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 【答案】 【分析】观察杨辉三角形中每行第3个位置的数，发现是从开始的个连续整数之和，从而得出，进而得到，利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴ . 10．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当________时，分式的值为负． 【答案】 【分析】由分式的值为负结合非负数的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵的值为负， 又∵， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 【答案】 【分析】分别从符号，分子系数，分母的指数三个部分归纳第n项的规律，再将代入规律得到第10个分式． 【详解】解：观察给出的分式，分部分归纳规律： 符号规律：第1个分式为正，第2个为负，第3个为正，…，可知符号规律为（为项数）； 分子规律：分子系数等于项数，分子恒含因式，因此分子为； 分母规律：分母为的次方，即； 因此第个分式为：， 当时，代入得：． 12．（25-26八年级下·全国·暑假作业）若等式成立，则________，若，则________． 【答案】 【分析】（1）等式两边分母的最简公分母为，再利用平方差公式和完全平方公式求解的表达式； （2）等式两边分母的最简公分母为，再展开得到的表达式． 【详解】解：根据题意得：； ． 13．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】求解含参数的分式方程，根据解为正数得到关于的不等式，同时结合分式有意义的条件，排除增根对应的参数值，最终得到的取值范围． 【详解】解： 去分母得， 展开得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， 由解得， 由得， 解得且， ∵已排除， ∴的取值范围是且． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期中）解分式方程：． 【答案】 【分析】首先去分母，把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程求出未知数的值，再把求出的结果代入最简公分母检验是否增根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：将代入，可得：， 是原分式方程的解． 15．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值，其中，选择一个合适的整数a． 【答案】，当取时，值为（取任意符合条件的，对应结果正确即可）． 【分析】将除法转化为乘法后约分，再计算同分母分式加法得到化简结果，再根据分式有意义的条件排除不可取的值，在给定范围内选择合适的整数代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 要使分式有意义，分母不能为，因此，，即且． ，为整数 可选整数． ∴原式． 16．（25-26八年级下·全国·暑假作业）化简：________． 【答案】 【详解】解：原式 17．（25-26八年级下·全国·暑假作业）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 变形，得， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解． 18．（25-26八年级下·甘肃兰州·阶段检测）如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． (1)已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； (3)已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 【答案】(1)，是“兄弟分式”，信度值 (2) (3)或 【分析】根据题目中定义的“兄弟分式”和“信度值”列式进行求解， （1）计算，观察结果是否为整数即可判断，是否为“兄弟分式”，求解的值； （2）列式，即可解得； （3）列式或，分别解得与的关系式，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，是“兄弟分式”，信度值； （2）解：∵分式为分式的“信度值”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为， ∴，或， ∴由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有； 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有． 19．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)化简：， 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． （2）解：． （3）解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 20．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）一家文具店准备购进两种款式的书桌售卖，甲款书桌单价比乙款书桌贵40元．店主用1200元购进甲款书桌的数量，与用800元购进乙款书桌的数量相同． (1)求甲、乙两款书桌的单价（列分式方程求解）． (2)店主计划一共购进两款书桌共60张，且乙款书桌的进货数量不超过甲款书桌数量的2倍．若进货总费用不超过5880元，请问共有多少种进货方案？（不需要写出具体方案） 【答案】(1)甲款书桌单价为120元，乙款书桌单价为80元 (2)共有8种进货方案 【分析】（1）设乙款书桌的单价为元，则甲款书桌的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题目的两个限制条件列一元一次不等式组，求出甲款数量的取值范围，统计范围内正整数的个数即可得到进货方案的种数． 【详解】（1）解：设乙款书桌的单价为元，则甲款书桌的单价为元， 根据题意，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：甲款书桌单价为120元，乙款书桌单价为80元； （2）解：设购进甲款书桌张，则购进乙款书桌张， 根据题意，得 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵是正整数， ∴可取值为20,21,22,23,24,25,26,27，共8个不同值. 答：共有8种进货方案． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题04 分式的基本性质、运算与分式方程「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第10章）】 （思维导图+知识回顾+二十一大题型讲练+实战演练 共62题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 分式相关概念 1. 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 知识点十 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十一 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十二 分式方程应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、 要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 考点一 求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元复习）当为何值时，分式的值为正数． 【变式训练】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 考点二 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·单元复习）计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 【变式训练】（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 考点三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）当x的值分别为时，求分式的值，并说一说的值是如何随着x值的变化而变化的．如果x的值分别为呢？ 【变式训练】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，有两个正方形A、B，边长分别为和．将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．图甲、图乙中阴影的面积分别为与．若，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 考点四 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例精讲】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． (1) (2)． 【变式训练】（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 考点五 最简分式 【典例精讲】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为，则的值为 D．分式中，的值都扩大为原来的倍，分式的值不变 【变式训练】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 考点六 最简公分母 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【变式训练】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 考点七 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例精讲】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）已知，则实数______． 【变式训练】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，则______；______． 考点八 分式加减混合运算 【典例精讲】当时，将x，，按从小到大的顺序用“<”连接起来：________． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 考点九 分式加减的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两地之间的航行距离为，一艘轮船先从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流航行返回甲地．已知水流速度为，如果这艘轮船在静水中的速度为，那么它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少多少？ 【变式训练】（25-26八年级下·江苏·阶段检测）准备一杯糖水，尝一下，然后在糖水中再加入一点糖，再尝一下，你会发现糖水更甜了．我们用分式的知识来研究这个司空见惯的现象．设原来的糖水总质量是，其中含有糖，则糖的质量与糖水的质量比（即糖水的浓度）为．现再加入糖，则糖水的浓度为． (1)生活经验告诉我们，添加糖后糖水会更甜，可以得到不等式_____； (2)请通过分式的运算证明这个不等式成立． 考点十 含乘方的分式乘除混合运算 【典例精讲】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 考点十一 分式加减乘除混合运算 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)； 【变式训练】（25-26八年级下·江苏·期末）计算： 考点十二 分式化简求值 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·暑假作业）先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中； (4)，其中． 考点十三 分式最值 【典例精讲】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知，则的最小值是__________． 【变式训练】（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 考点十四 解分式方程(化为一元一次) 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏·期末）解方程：； 【变式训练】（25-26八年级下·山东济南·期中）解下列方程∶ (1)； (2)． 考点十五 根据分式方程解的情况求值 【典例精讲】（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【变式训练】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）关于x的方程有增根，则m的值是__________． 考点十六 分式方程无解问题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的根是，求的值； (2)若该分式方程无解，求的值． 【变式训练】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知关于分式方程无解，则 ___________． 考点十七 分式方程的行程问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·单元复习）八（1）班学生在老师的带领下乘汽车到某红色教育基地参观学习，该教育基地距学校．一部分师生乘慢车，另一部分师生乘快车，慢车比快车先出发，结果他们同时到达该教育基地．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元复习）连接甲、乙两地的一条公路长，这条公路改造工程完成后，长途客运车从甲地到乙地的平均车速提高了，运行时间缩短了．试确定长途客运车原来的平均车速． 考点十八 分式方程的工程问题 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条200米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.2倍，结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米； (2)由于天气等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过32天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，每天至少应多挖掘多少米？ 考点十九 分式方程的经济问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）何老师去书店买书，他先用60元买了一种科普书若干本，又用60元买了一种文学书若干本．已知所买科普书的单价是文学书单价的1.5倍，何老师所买科普书比文学书少1本，求这种科普书的单价． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）2021年，我国全年货物进出口总额为391009亿元，比2020年增长．设2020年我国全年货物进出口总额为x亿元，请你写出x满足的方程，你能写出几个？其中哪一个是分式方程？ 考点二十 分式方程和差倍分问题 【典例精讲】（25-26八年级下·河南开封·期末）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）为美化校园，学校购进一批绿植，第一批花费800元，第二批花费1200元，第二批绿植单价是第一批的1.2倍，购买数量比第一批多5盆．求第一批绿植的单价． 考点二十一 分式方程的其它实际问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）意大利数学家斐波那契曾提出过这样一个问题：若干人平分10第纳尔（货币单位），每人得若干；若增加6人，再平分40第纳尔，则每人所得与前面相同．求第一次分钱的人数． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 4．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.6千克．已知用36千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南·阶段检测）下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如果方程有增根，那么增根为________． 7．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 8．（25-26八年级下·全国·暑假作业）请在下面“、”中分别填入适当的代数式，使等式成立： 9．（25-26八年级下·江苏连云港·阶段检测）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 10．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当________时，分式的值为负． 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 12．（25-26八年级下·全国·暑假作业）若等式成立，则________，若，则________． 13．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期中）解分式方程：． 15．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值，其中，选择一个合适的整数a． 16．（25-26八年级下·全国·暑假作业）化简：________． 17．（25-26八年级下·全国·暑假作业）解方程． (1)； (2)． 18．（25-26八年级下·甘肃兰州·阶段检测）如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． (1)已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； (3)已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 19．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 20．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）一家文具店准备购进两种款式的书桌售卖，甲款书桌单价比乙款书桌贵40元．店主用1200元购进甲款书桌的数量，与用800元购进乙款书桌的数量相同． (1)求甲、乙两款书桌的单价（列分式方程求解）． (2)店主计划一共购进两款书桌共60张，且乙款书桌的进货数量不超过甲款书桌数量的2倍．若进货总费用不超过5880元，请问共有多少种进货方案？（不需要写出具体方案） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull