专题02 四边形17大题型（暑假复习讲义）新九年级数学新教材苏科版

专题02 四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平行四边形的判定 题型2 平行四边形的性质 题型3 矩形的判定 题型4 矩形的性质 题型5 矩形与折叠问题 题型6 菱形的判定 题型7 菱形的性质 题型8 正方形的判定 题型9 正方形的性质 题型10 三角形的中位线 题型11 中点四边形 题型12 梯形 题型13 四边形的综合问题 题型14 四边形的旋转问题 题型15 四边形的最值问题 题型16 四边形的存在性问题 题型17 四边形的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平行四边形 2. 矩形 3. 菱形 4. 正方形 5. 三角形中位线 6. 梯形 1. 先考平行四边形边角、对角线基础判定，再递进考查矩形、菱形、正方形专属判定，辨析易混判定条件，填空选择高频出现。 2. 以三角形、梯形中位线为桥梁，串联中点四边形、线段倍分、平行证明，多中点题型强制构造中位线辅助线解题。 3. 结合折叠、旋转、平移命题，依托特殊平行四边形，用勾股定理求线段、面积，侧重不变量挖掘与方程计算。 4. 动点、存在性问题为解答压轴，探究运动中四边形形状、线段最值，融合坐标系、一次函数，强化分类讨论思想。 5. 弱化复杂证明，聚焦等腰梯形性质、梯形中位线长度计算，常与三角形中位线对比，融入基础计算小题。 考情解码：本模块是中考几何核心，选择填空侧重基础性质、中位线求值；解答题分基础证明与几何压轴。平行四边形、特殊平行四边形年年必考，中位线为中点类题型通用工具，梯形以基础计算为主。命题弱化单一证明，侧重多知识点交汇，重点考查辅助线构造、数形结合、分类讨论，综合题常搭配变换、函数、勾股定理提升区分度。 知识点一 平行四边形的概念、判定与性质 1.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 3. 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下四种思路： （1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； （2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； （3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； （4）已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 即时即练1．一张平行四边形纸片，． (1)如图，折叠平行四边形纸片，可以得到和的平分线，其中的平分线交于点E，的平分线交于点F．请证明：四边形是平行四边形． (2)你还有哪些方法能折出一个平行四边形？选择其中一种，说明你的方法的正确性． 2．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，， 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点A，D作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． ∵四边形是平行四边形， （依据）， 设，则． ． 在中，，即． 在中，． 又且． ． ……    任务： (1)证明过程中的“依据”是指：__________； (2)请你补全小明的证明过程； (3)如图2，在中，，则__________． 知识点二 矩形的概念、判定与性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点】对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角. 2.矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 3.矩形的对称轴 1）矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是经过对边中点的直线； 3）过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分. 4.矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 矩形判定思路： 即时即练 3．如图，在矩形中，为矩形的对角线，若延长使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，若，，求的周长． 4．如图，矩形中，对角线相交于点，. (1)求与的值； (2)若，求矩形较短边的长度． 知识点三 菱形的概念、判定与性质 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等. 2.菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 3.菱形的对称性 1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 4. 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 即时即练 5．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，四边形为菱形，求菱形的面积． 6．如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 知识点四 正方形的概念、判定与性质 1.正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.正方形的性质： 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 3.正方形的对称性： 1）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2）正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 4.正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 即时即练 7．如图，在正方形中，点，分别在线段，上（点不与点，重合，点不与点，重合），连接，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 8．如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 知识点五 三角形的中位线 1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。D、E分别是AB和AC的中点，DE是△ABC的中位线， 3、三角形的中位线 E、F、G、H分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，那么四边形EFGH就是四边形ABCD的中点四边形。 结论①：任意四边形的中点四边形都是平行四边形； 证明（如图8）：连接AC、BD，所以，所以四边形EFGH是平行四边形； 结论②：若AC⊥BD，那么中点四边形是矩形； 结论③：若AC=BD，那么中点四边形是菱形； 结论④：若AC⊥BD，且AC=BD，那么中点四边形是正方形； 即时即练 9．如图，点是内一点，连结、，并将、、、的中点、、、依次连结，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 10．如图，在四边形中，，，，为四边形的对角线，且平分． (1)求的长； (2)若E，F分别为边，的中点，点G为对角线的中点，，，求的长． 知识点六 梯形 梯形的相关概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 等腰梯形的定义与性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 梯形的中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 梯形常见辅助线添加问题 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 即时即练 11．学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形中，， 求证：梯形是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图，分别过点向作垂线，垂足为点 方法二：如图，延长与相交于点 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：___________（填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 12．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)运动中，是否存在这样的t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 题型1 平行四边形的判定 1．如图，在中，是它的一条对角线，过点，分别作，，垂足分别为，． (1)若，，，求的周长（结果保留根号）； (2)求证：四边形是平行四边形． 2．如图，在四边形中，，． (1)尺规作图：在边上作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形为平行四边形． 3．如图，在四边形中，点是边的中点，连接．有下列条件：①；②；③． (1)从①②③中选择两个作为条件，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 4．如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交于点E，交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，的周长为10，求的周长． 题型2 平行四边形的性质 5．如图，分别以的直角边及斜边为边向外作等边和等边，已知，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 6．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 7．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，四边形是平行四边形； (3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 8．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与相交于点． (1)，求平行四边形其他各个内角的度数． (2)若，周长为，求各边的长； (3)求证：； (4)若，求的面积． 题型3 矩形的判定 9．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 10．如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 11．如图，四边形是菱形．分别延长，至点D，E，使得．连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为4，则四边形的面积为_________． 12．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求的面积． 题型4 矩形的性质 13．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 15．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，． (1)求证四边形是矩形； (2)求的最小值． 16．如图，已知矩形中，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折痕的长． 题型5 矩形与折叠问题 17．数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．求证：； (2)如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． ①求证：； ②若，，求的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点． (1)填空：点的坐标为________，的长为________； (2)求的长及直线的解析式； (3)若为轴上一动点，当的周长最小时，请直接写出点的坐标． 19．将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边交于点，与边交于点，点落在点处． (1)如图1，请在图中作出示意图（其中折痕请用直尺和圆规作出，并保留作图痕迹）； (2)在图1中，连接，求证：； (3)设，（如图2），当点与点重合时，求的长． 20．综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，李老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作供同学们探究发现： 【问题提出】 (1)如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为__________，与的数量关系为__________；__________； 【迁移探究】 (2)如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 题型6 菱形的判定 21．如图，的对角线与相交于点，点在外，且，． (1)求证：是矩形； (2)若，试说明当与满足怎样的数量关系时，四边形是菱形，并写出证明过程． 22．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 23．如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，求的长． 24．在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为． (1)________，________．（分别用含有的式子表示） (2)当为何值时，四边形是矩形． (3)当为何值时，四边形是菱形． 题型7 菱形的性质 25．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 26．如图，在矩形中，，，过对角线的中点，作直线分别交，于，两点，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 27．如图，在中，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． (1) ， （用t表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 28．如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 题型8 正方形的判定 29．如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，现给出三个关系：①；②；③． (1)请从上述三个关系中选择两个，将序号填在横线上：当满足 时，四边形是正方形； (2)请证明（1）中的命题． 30．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长度． 31．在与中，，，、相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求证：四边形是正方形． 32．如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当再具备条件______时，四边形是正方形． 题型9 正方形的性质 33．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点F，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，请直接写出图2中度数为2倍的角． 34．如图，在中，，平分，四边形是平行四边形，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形对角线的长． 35．综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 36．如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 题型10 三角形的中位线 37．如图，在中，为对角线上一点，且，是的中点，于点A．若，，则的长为（         ） A． B． C． D． 38．如图，的周长为20，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，垂直平分，垂足为M，若，则的长度为_______． 39．【三角形中位线定理】 (1)如图①，在中，点，分别是边，的中点，直接写出和的关系； (2)如图②，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，求的度数； (3)如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长． 40．按要求解答问题： 【知识回顾】 (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质，在如图1的，若是的中位线．则与的关系为______．（用符号语言表达） 【方法迁移】 (2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①如图2，已知梯形中，，点、分别为、的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段、、之间的关系，并说明理由． ②已知梯形的中位线长为5cm，高为8cm，则梯形面积是______cm2． 【理解内化】 (3)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和正方形，连接，点、分别是、的中点．已知，则______． 题型11 中点四边形 41．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 42．如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 43．综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 44．四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 题型12 梯形 45．已知：如图，在中，点在边延长线上，连接，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，时，求四边形的面积． 46．如图，在直角梯形中，，于点C，，，点M从点A出发，以的速度向点B运动；同时点N从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)求当t为几秒时，四边形为矩形； (2)当四边形为等腰梯形时，求t的值． 则， 又∵， ， 解得：. 47．如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_____；_____． (2)当_____s时，四边形为矩形； (3)当时，求的值； 48．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 题型13 四边形的综合问题 49．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 50．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 51．阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 52．小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 题型14 四边形的旋转问题 53．如图1，已知点D是等边内一点，且，，． （1）求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点C顺时针旋转或绕B逆时针旋转； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； （2）若改成，，，的度数________°，点A到的距离为________； 类比迁移： （3）如图2，已知，，，，，，求的度数． 54．如图，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求： (1)指出旋转中心和旋转角度； (2)求的长度； (3)与的位置关系如何？ 55．综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． (1)正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为_____． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，可证明_____，从而得出结论．请你完成之间的数量关系的证明． (2)如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____．小杰同学的思路是：设法将、、相对集中，于是将绕点顺时针旋转得到，连接，确定与的形状分别为：_____，问题得以解决． (3)等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，点是等边三角形内一点，若，请你直接写出：以线段、、的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为_____． 56．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 题型15 四边形的最值问题 57．如图，正方形中，，点P在上，点E 是中点 ，则的最小是（   ） A．16 B． C．12 D． 58．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 59．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当_____时，四边形的周长最小． 60．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明） 模型应用： (1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________． (2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________． (3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________． (4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________． 题型16 四边形的存在性问题 61．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 62．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 63．已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 64．如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型17 四边形的新定义问题 65．新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． 【定义理解】 (1)如图① ，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． 【定义运用】 (2)如图② ，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形； 【定义拓展】 (3)如图③ ，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由． 66．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 67．综合与实践： 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．    (1)定义理解 图中，、、三点均在格点上，请在格点上确定点，使四边形为对等垂美四边形． (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点，且，，将绕点逆时针旋转（旋转角），、的对应点分别为、，如图3，请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出四边形的面积． 68．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解 如图1，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件______． （2）问题探究 如图2，已知，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接． ①四边形______（填“是”或“不是”）等邻边四边形； ②求线段的长度． （3）拓展应用 如图3，在等邻边四边形中，和为四边形的对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系，并说明理由． 1．下列命题中，正确的是（     ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C．两组邻角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 2．如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 3．如图，的对角线，相交于点O，，，的周长为13，则的长为（     ） A．10 B．3 C．6 D．12 4．如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折，使落在点处，连接并延长，交边于点．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，，，．点在直线上，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 7．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 9．如图，在中，与交于点O，．若为的中点，，，则线段的长为_____． 10．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则_________． 11．5个边长相等的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们的边都与坐标轴平行．若点A，C的坐标分别是和，则点B的坐标是________． 12．如图，在梯形中，，，，若，，则梯形的面积是________． 13．如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 14．如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ． 15．如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 16．如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 17．如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 18．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 19．如图，在正方形中， 为对角线，点为的中点，垂直平分线段，分别交，，于点，，．已知． (1)求线段的长． (2)求的值． 20．在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线分别在轴、轴上，若，则点的坐标为_________，的长为_________； (2)如图2，若是矩形，连接，探究与的数量关系，并证明； (3)如图3，若是正方形，连接，点关于直线的对称点为，连接，若的长为，直接写出的最小值为_________． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平行四边形的判定 题型2 平行四边形的性质 题型3 矩形的判定 题型4 矩形的性质 题型5 矩形与折叠问题 题型6 菱形的判定 题型7 菱形的性质 题型8 正方形的判定 题型9 正方形的性质 题型10 三角形的中位线 题型11 中点四边形 题型12 梯形 题型13 四边形的综合问题 题型14 四边形的旋转问题 题型15 四边形的最值问题 题型16 四边形的存在性问题 题型17 四边形的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平行四边形 2. 矩形 3. 菱形 4. 正方形 5. 三角形中位线 6. 梯形 1. 先考平行四边形边角、对角线基础判定，再递进考查矩形、菱形、正方形专属判定，辨析易混判定条件，填空选择高频出现。 2. 以三角形、梯形中位线为桥梁，串联中点四边形、线段倍分、平行证明，多中点题型强制构造中位线辅助线解题。 3. 结合折叠、旋转、平移命题，依托特殊平行四边形，用勾股定理求线段、面积，侧重不变量挖掘与方程计算。 4. 动点、存在性问题为解答压轴，探究运动中四边形形状、线段最值，融合坐标系、一次函数，强化分类讨论思想。 5. 弱化复杂证明，聚焦等腰梯形性质、梯形中位线长度计算，常与三角形中位线对比，融入基础计算小题。 考情解码：本模块是中考几何核心，选择填空侧重基础性质、中位线求值；解答题分基础证明与几何压轴。平行四边形、特殊平行四边形年年必考，中位线为中点类题型通用工具，梯形以基础计算为主。命题弱化单一证明，侧重多知识点交汇，重点考查辅助线构造、数形结合、分类讨论，综合题常搭配变换、函数、勾股定理提升区分度。 知识点一 平行四边形的概念、判定与性质 1.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 3. 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下四种思路： （1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； （2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； （3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； （4）已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 即时即练 1．一张平行四边形纸片，． (1)如图，折叠平行四边形纸片，可以得到和的平分线，其中的平分线交于点E，的平分线交于点F．请证明：四边形是平行四边形． (2)你还有哪些方法能折出一个平行四边形？选择其中一种，说明你的方法的正确性． 【答案】(1)证明：∵在平行四边形 中， ∴． ∵平分，平分， ， ． ， ， ， ． 又， ∴四边形为平行四边形． (2)方法：如图：沿平行四边形的对角线对折． 证明：沿对角线对折后，与重合， 与 重合， ． ∵四边形是平行四边形， ． ∵， ， ， ． 同理可证：， ∴折叠后得到的四边形的两组对边分别平行，即四边形 是平行四边形． 【分析】（1）由平行线的性质可得．再利用角平分线的定义、平行线的性质可得，即，再结合即可证明结论； （2）如图：沿平行四边形的对角线对折．利用折叠的性质可得，再利用平行四边形的性质以及平行线的判定证明和即可证明结论（不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 2．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，， 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点A，D作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． ∵四边形是平行四边形， （依据）， 设，则． ． 在中，，即． 在中，． 又且． ． ……    任务： (1)证明过程中的“依据”是指：__________； (2)请你补全小明的证明过程； (3)如图2，在中，，则__________． 【答案】(1)平行四边形的对边相等 (2)补全证明如下： 证明：如图1，过点A，D作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． ∵四边形是平行四边形， （依据）， 设，则 在中，，即 在中， 又且 ∴ ∴， ∴ ∴在中， ∴ ∴； (3)2.5 【分析】（1）由平行四边形得到，依据是平行四边形的对边相等的性质； （2）首先证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （3）根据题意设，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：证明过程中的“依据”是指：平行四边形的对边相等； （2）略 （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴设，， ∵ ∴ ∴，即． 知识点二 矩形的概念、判定与性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点】对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角. 2.矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 3.矩形的对称轴 1）矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是经过对边中点的直线； 3）过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分. 4.矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 矩形判定思路： 即时即练 3．如图，在矩形中，为矩形的对角线，若延长使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，若，，求的周长． 【答案】(1)解：四边形为矩形． ， ∵在的延长线上， ， ． ． 四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得平行且等于，根据已知可得平行且等于，即可证明四边形是平行四边形． （2）连接，勾股定理求得，根据已知得出，进而根据勾股定理求得，即可求得的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴ 在中，，． ∴． ∵． ∴． 连接， ． ∴， ∴的周长为． 4．如图，矩形中，对角线相交于点，. (1)求与的值； (2)若，求矩形较短边的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点． （1）根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到． （2）根据矩形的性质得到，进而证明为等边三角形，继而得到． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：； （2）解：，，， ， ， 为等边三角形， ， 矩形较短边的长度为． 知识点三 菱形的概念、判定与性质 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等. 2.菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 3.菱形的对称性 1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 4. 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 即时即练 5．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，四边形为菱形，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：因为四边形是矩形， ，， ， ， 即， 又， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，再由可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，解方程得到，最后根据菱形的面积公式即可求出菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ， 设，则， 在矩形中，，，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得， ， 菱形的面积． 6．如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）证明，得到四边形为平行四边形，结合线段中垂线的性质推出，进而证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 知识点四 正方形的概念、判定与性质 1.正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.正方形的性质： 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 3.正方形的对称性： 1）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2）正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 4.正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 即时即练 7．如图，在正方形中，点，分别在线段，上（点不与点，重合，点不与点，重合），连接，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)解：，理由如下： 设与的交点为O， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正方形的性质证出，即可求解； （2）借助，进而得出，即可证出． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：连接， ∵正方形， ∴，， ∵点 是线段 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）连接，求得，推出，得到，利用证明，即可得到； （2）证明是等边三角形，再利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点五 三角形的中位线 1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 D、E分别是AB和AC的中点，DE是△ABC的中位线， 3、三角形的中位线 E、F、G、H分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，那么四边形EFGH就是四边形ABCD的中点四边形。 结论①：任意四边形的中点四边形都是平行四边形； 证明（如图8）：连接AC、BD，所以，所以四边形EFGH是平行四边形； 结论②：若AC⊥BD，那么中点四边形是矩形； 结论③：若AC=BD，那么中点四边形是菱形； 结论④：若AC⊥BD，且AC=BD，那么中点四边形是正方形； 即时即练 9．如图，点是内一点，连结、，并将、、、的中点、、、依次连结，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵D、G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 【分析】利用中位线的性质可得，且，即可得出四边形是平行四边形． 【详解】略 10．如图，在四边形中，，，，为四边形的对角线，且平分． (1)求的长； (2)若E，F分别为边，的中点，点G为对角线的中点，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由且平分得，由得，故，等角对等边得，已知，故． （2）由分别为的中点，得、分别为和的中位线，故，．由得，由及得，故，由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． （2）解：分别为的中点，为对角线的中点， ∴、分别为和的中位线， ∴，， 已知，， ∴，， 由， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点六 梯形 梯形的相关概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 等腰梯形的定义与性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 梯形的中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 梯形常见辅助线添加问题 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 即时即练 11．学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形中，， 求证：梯形是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图，分别过点向作垂线，垂足为点 方法二：如图，延长与相交于点 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：___________（填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 【答案】见解析 【分析】（）过梯形的上底两端点作下底的垂线，利用“一组对边平行且相等”证明四边形为平行四边形，得到两高，再结合已知的，通过证明，推出两腰，从而证明该梯形为等腰梯形； （）通过延长梯形两腰交于点，利用平行线的性质得到，结合推出，进而得到；再由得出为等腰三角形，即，通过等式相减得到，从而证明梯形是等腰梯形． 【详解】解：选择方法一，证明过程如下： ∵，， ∴，且； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和 中： ， ∴， ∴， ∵梯形中，两腰， ∴梯形是等腰梯形； 选择方法二，证明过程如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴，即 ∵梯形中，两腰， ∴梯形是等腰梯形． 12．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)运动中，是否存在这样的t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或时， (3)当的值为或者或者时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及采用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据题意有：，，进而有； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过D点于H；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 故答案为：；； （2）解：当，四边形是平行四边形时，即有：， ∴， 解得，； 当时，四边形是等腰梯形时， 过P点作于M，过D点于N，如图， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵梯形为等腰梯形，于M， ∴，， ∵， ∴， 解得， 综上所述：或时，． （3）解：存在，理由如下： 由题意得，，， ∴，， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时，过D点于H，如图， 根据（2）可知：， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴， 解得； 当为等腰三角形，且时， 过D点于H，过Q点于G，如图， 根据（2）同理可知四边形四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，由勾股定理， ∴， 解得：， 综上所述：当的值为或者或者时，为等腰三角形． 题型1 平行四边形的判定 1．如图，在中，是它的一条对角线，过点，分别作，，垂足分别为，． (1)若，，，求的周长（结果保留根号）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)的周长为 (2)证明：四边形是平行四边形， ，且， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得，，且，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由勾股定理，可得，由角所对直角边与斜边的关系，可得，再代入周长公式计算平行四边形周长； （2）借助平行四边形对边平行相等推出等角，结合垂直条件证明三角形全等得到一组对边平行且相等，依据判定定理证出四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，且， ， ， ， 又， ， ， 在中，，， 解得， 在中，，， ， 平行四边形的周长为； （2）略． 2．如图，在四边形中，，． (1)尺规作图：在边上作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）根据平行线的判定和性质证明可得结论． 【详解】（1）略； （2）略． 3．如图，在四边形中，点是边的中点，连接．有下列条件：①；②；③． (1)从①②③中选择两个作为条件，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵点是边的中点， ∴； 若选择①②： ∵， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形； 若选择②③： ∵，， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)96 【分析】（1）选择①②作为条件．运用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证得四边形是平行四边形； 选择②③作为条件．运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可证得四边形是平行四边形； （2）过点A作于点G，由等腰三角形的性质及勾股定理求得，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：过点A作于点G，如图， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴． 4．如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交于点E，交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，的周长为10，求的周长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ，， 点O是对角线的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； (2)20 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，所以，，结合点O是对角线的中点，可证明，所以，即可根据平行四边形的判定证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，结合的周长为10，可得，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 的周长为10， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 题型2 平行四边形的性质 5．如图，分别以的直角边及斜边为边向外作等边和等边，已知，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由含角的直角三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，，则，由即可得出结论； （）证明四边形是平行四边形，求出三角形的面积，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵是等边三角形, ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 7．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，四边形是平行四边形； (3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 【答案】(1) (2)为 (3)点在线段的垂直平分线上．见解析 【分析】（1）根据平行四边形得，再根据“角边角”证明，可得 ，进而得出答案； （2）当时，四边形是平行四边形，可得，求出解即可； （3）作直线，垂足为，与交于，根据勾股定理求出，再根据，求出，可得，进而求出，当时，，然后根据可得点是的中点，则此题可解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． ， ． ， ， ； （2）解：， 当时，四边形是平行四边形， 即，解得， 当为时，四边形是平行四边形； （3）解：结论：点在线段的垂直平分线上． 理由：如图，过点作直线，垂足为，与交于， 在中，， ， ． ， ， ， ， ， ． 当时，， ，即点是的中点， 点在线段的垂直平分线上． 8．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与相交于点． (1)，求平行四边形其他各个内角的度数． (2)若，周长为，求各边的长； (3)求证：； (4)若，求的面积． 【答案】(1)；； (2) (3)见解析 (4)48 【分析】（1）根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质求解即可． （2）根据题意，再结合即可得答案； （3）证明即可； （4）根据勾股定理，求得，结合的面积等于求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，； （2）解：∵四边形是平行四边形，周长为， ∴，， ∴， 又， ∴， 故平行四边形的各边长为：； （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． （4）解：∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为：． 题型3 矩形的判定 9．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形为矩形． (2)的长为． 【分析】（1）由得，从而，进而可证四边形是矩形； （2）证明为等边三角形得，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为矩形， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 的长为． 10．如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）由矩形的性质，得到，勾股定理逆定理，得到，等积法求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴. 11．如图，四边形是菱形．分别延长，至点D，E，使得．连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为4，则四边形的面积为_________． 【答案】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ∴， 又，， ， 四边形是矩形； (2)8 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合菱形的性质得，故四边形是矩形； （2）根据菱形的性质求出，由中点得到，即可根据矩形的性质解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形的面积为4， ， ∵， ∴， ∴矩形的面积． 12．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵在中，，是边的中线， ∴，， ∴， ∵为的外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据矩形的性质求出，进而根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的中线，， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 题型4 矩形的性质 13．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)解：， ， ， ， 在和中， ． (2)2 【分析】（1）根据已知条件可由角边角推出全等； （2）先根据勾股定理求出的长，再用求出． 【详解】（1）略 （2），， ， 矩形 ，， 根据勾股定理，， ． 14．如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴． 【分析】（1）由矩形的性质、勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质即可求解； （2）证明得，利用得，利用线段垂直平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵为的中点，， ∴． （2）证明：略． 15．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，． (1)求证四边形是矩形； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由菱形的性质得出，再结合已知条件得出，，即可证明四边形是矩形． （2）连接，由矩形的性质可得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中，， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 16．如图，已知矩形中，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折痕的长． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠知， ， ； (2) 【分析】（1）由折叠知，由得，再得，得证； （2）设，则，由勾股定理得到方程，得到、的长，作于点G，再由勾股定理得出的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠知， ， ． （2）解：由折叠知， 四边形为矩形， ， 又， 设，则， 在中，， ， ，， 如图，过点E作于点G， ， 四边形为矩形， ，， 由（1）知， ， 在中，， ． 题型5 矩形与折叠问题 17．数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．求证：； (2)如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)∵矩形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； (2)①证明：根据折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 根据（1）可知：， ∴， ∴； ②10 【分析】（1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）①先根据（1）的方法证明，再根据，得出，即可证明结论； ②由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，最后计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点． (1)填空：点的坐标为________，的长为________； (2)求的长及直线的解析式； (3)若为轴上一动点，当的周长最小时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，5 (2)； (3) 【分析】（1）根据，勾股定理，解答即可； （2）设，则，根据勾股定理，得，求得ｘ的值，再设的解析式为，求解即可； （3）当取得最小值时，的周长最小，作点Ｂ关于ｘ轴的对称点，连接，交ｘ轴于点Ｐ，此时取得最小值，设直线的解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，， ∴，，，，， ∴， ∴． （2）解：∵矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点， ∴，， ∴， 设， 则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴ 解得． 故的解析式为； （3）解：根据题意，得是定长，的周长为， 当取得最小值时，的周长最小， 作点B关于x轴的对称点， 连接，交x轴于点P，此时取得最小值， 设直线的解析式为， 把，代入， 得：， 解得 直线的解析式为； 当时，， 解得， 故； 19．将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边交于点，与边交于点，点落在点处． (1)如图1，请在图中作出示意图（其中折痕请用直尺和圆规作出，并保留作图痕迹）； (2)在图1中，连接，求证：； (3)设，（如图2），当点与点重合时，求的长． 【答案】(1) (2)证明：连接，，如图所示： 根据折叠的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． (3) 【分析】（1）按照题意画图即可． （2）根据折叠的性质可得，，，，结合矩形和平行线的性质证明，进而可证． （3）根据折叠的性质可得，，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：按照题意画图，如图所示． （2）略 （3）解：当点与点重合时，如图所示： 根据折叠的性质可得，，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，即， 解得：， ． 20．综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，李老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作供同学们探究发现： 【问题提出】 (1)如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为__________，与的数量关系为__________；__________； 【迁移探究】 (2)如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)四边形是菱形，理由如下： 由题意知，，，， 垂直平分，，， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (3)． 【分析】（1）利用折叠可得垂直平分，故，，利用点是的中点可得，结合即可得到； （2）利用折叠和可得四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形，又可得四边形是菱形； （3）当点与点重合时，的长最大，当点与点重合时，的长最小，代入数据利用勾股定理求出对应情况的长即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由折叠知，，， 垂直平分， ，， 点是的中点， ， 在中，， ，即； （2）略； （3）解：，， ，， 如图，当点与点重合时，的长最大，为， 如图，当点与点重合时，的长最小， 设，则，， 由折叠得， 在中，， ， 在中，由勾股定理得， ，化简得，解得， ， 综上所述，． 题型6 菱形的判定 21．如图，的对角线与相交于点，点在外，且，． (1)求证：是矩形； (2)若，试说明当与满足怎样的数量关系时，四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． (2)当时，四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，且三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形. 【分析】（1）由平行四边形性质得，，由且为中点，得，即，又，故，故是矩形； （2）由矩形性质得，，故，结合得为等边三角形，，由直角三角形斜边中线得，故．由及公共边，证，得，从而，推出，又，得四边形为平行四边形，且，故为菱形. 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴，        ∴， ∵对角线和互相平分， ∴ 四边形是平行四边形， 又∵， ∴ 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由矩形得，故．由垂直平分得，，证，得．故对角线与互相平分，四边形为平行四边形，又，即可得证． （2）设，则．在Rt中由勾股定理列方程，解得，即可求出菱形面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，四边形是菱形， 可设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ． 23．如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点O， 四边形为正方形， ，，， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）连接交于点O，由题意易得，，，然后可得，进而根据菱形的判定定理进行求证即可； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ， 四边形为正方形． ， 在中，， ． 24．在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为． (1)________，________．（分别用含有的式子表示） (2)当为何值时，四边形是矩形． (3)当为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点的运动速度和时间，结合的长度，用路程公式直接写出、的表达式； （2）先判断四边形已有一个角是直角，要使其为矩形，只需满足一组对边相等，即，因此列关于的方程求解即可； （3）先根据、的运动状态，判断四边形是平行四边形，要使其为菱形，只需满足邻边相等，即，结合勾股定理表示出的长度，列关于的方程求解即可． 【详解】（1）点Q速度为，运动时间为， ∴； ∴， ∴； （2）∵四边形为矩形， ∴，，， 点速度为， ∴，则， 由，当时，四边形是平行四边形， 又，有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴ 解得， 即时，四边形是矩形； （3）由，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形； 在中，由勾股定理得： 令，即， ∴ 化简得， 解得， ∴当时，四边形是菱形． 题型7 菱形的性质 25．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 26．如图，在矩形中，，，过对角线的中点，作直线分别交，于，两点，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中，， ∴． (2) 【分析】（1）利用矩形的性质和中点的性质证明即可； （2）根据已知条件可证得四边形是菱形，利用菱形的四条边都相等和勾股定理进行求解． 【详解】（1）证明：略 （2）解：由（1）知，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， 设，则， 在中，， 即，解得， 即． 27．如图，在中，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． (1) ， （用t表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，当秒时，四边形为菱形，理由见详解 (3)当秒时，是直角三角形（）；当秒时，是直角三角形（）；理由见详解 【分析】（1）根据题意，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，易得，，，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可获得答案； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得t的值 （3）分，，三种情况，建立方程并求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且根据题意，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动， ∴，，， ∵，， ∴在中，； （2）解：∵，，即， ∴， 由（1）可知，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 此时，解得：秒， 即当时，四边形是菱形； （3）解：当秒时，是直角三角形（）； 当秒时，是直角三角形（）． 理由如下： 当时，如下图， 则， ∴， ∴，即， 解得秒， ∴当秒时，是直角三角形； 当时，如下图， 由（2）可知四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得秒； 当时，点和点都和点重合，不能构成三角形， ∴此种情况不存在． 综上所述，当秒时，是直角三角形（）；当秒时，是直角三角形（）． 28．如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由且得四边形为平行四边形，再通过导角证明，得 ，即可证明四边形是菱形． （2）由菱形得，在中利用得、，从而，代入梯形面积公式求四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积． 题型8 正方形的判定 29．如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，现给出三个关系：①；②；③． (1)请从上述三个关系中选择两个，将序号填在横线上：当满足 时，四边形是正方形； (2)请证明（1）中的命题． 【答案】(1)①② (2)证明：四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ， 平行四边形是矩形， 又； ， 四边形是正方形. 【分析】（1）根据邻边相等的矩形为正方形，选择①②即可； （2）先证明四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形为正方形，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 30．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点B，D恰好都和点G重合， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 (2) 【分析】（1）由题意得，，于是得到，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）根据，得到，根据勾股定理得到的长，进而得到即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．在与中，，，、相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 据（1）可知， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）先由两组对边平行证得平行四边形，再用证两个直角三角形全等，推出一组邻边相等，得平行四边形为菱形； （2）由得等腰直角三角形，然后根据全等三角形得，进而算出，证得四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 32．如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当再具备条件______时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明：是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，是线段的中点， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据，可得，利用证明，根据等腰三角形三线合一可得，，然后证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：当，四边形是正方形，理由如下： ，，是线段的中点， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形． 题型9 正方形的性质 33．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点F，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，请直接写出图2中度数为2倍的角． 【答案】(1)见解析； (2),，，． 【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形； （2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 34．如图，在中，，平分，四边形是平行四边形，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件易推知四边形是平行四边形．结合等腰“三线合一”的性质证得，即，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到是矩形； （2）证出矩形是正方形，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴在中，， 即矩形对角线的长为． 35．综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 36．如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转（或截长补短）可得到即可得到答案； （2）由（1）的结论结合正方形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：将顺时针旋转，得到， 则， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （2）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ． 题型10 三角形的中位线 37．如图，在中，为对角线上一点，且，是的中点，于点A．若，，则的长为（         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作的中点G，连接，由图可知，利用三角形中位线定理求出和的长，再根据求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作的中点G，连接，如图 是的中点， 是的中位线， ，， 由图可知，即， ∴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 38．如图，的周长为20，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，垂直平分，垂足为M，若，则的长度为_______． 【答案】2 【分析】证明，得到，，根据垂直平分线的性质得到，，结合三角形的周长即可求得，从而根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 39．【三角形中位线定理】 (1)如图①，在中，点，分别是边，的中点，直接写出和的关系； (2)如图②，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，求的度数； (3)如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形中位线定理得到，再根据勾股定理的逆定理得到，最后计算即可． （3）连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理得到，和，，再利用平行线的性质得到，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，． （2）如图，连接， 点，分别是边，的中点，，，，， 是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）如图，连接，取的中点，连接， 点、分别是、上的中点，， 是的中位线， ，， ， 点、分别是、上的中点，， 是的中位线， ，， ， ， ， 在中，． 40．按要求解答问题： 【知识回顾】 (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质，在如图1的，若是的中位线．则与的关系为______．（用符号语言表达） 【方法迁移】 (2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①如图2，已知梯形中，，点、分别为、的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段、、之间的关系，并说明理由． ②已知梯形的中位线长为5cm，高为8cm，则梯形面积是______cm2． 【理解内化】 (3)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和正方形，连接，点、分别是、的中点．已知，则______． 【答案】(1) (2)①，理由见详解；②40 (3)4 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，即可得到结果； （2）①连接，交的延长线于点E，证明，在中底边等于梯形上下底之和，是中位线，根据三角形的中位线定理，即可得到结论； ②根据梯形中位线的长度公式（上底+下底），梯形的面积公式可以转换成：“中位线高”，即可得出结果； （3）过点C，点E，点F，作及其延长线的垂线，四边形是梯形，是梯形的中位线，证明，，得到梯形上下底之和等于的底边，所以，即可求出结果． 【详解】（1）解：是的中位线， ． （2）解：①，理由如下： 连接，并延长交的延长线于点E，如下图所示 ， ， ， ， ， ， ， 即． ②根据梯形面积公式， 梯形面积=中位线高． （3）解：过点作的垂线，垂足为H； 过点E作的垂线，交的延长线于点L，过点F作的垂线，交的延长线于点K； 如下图所示 ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 四边形是梯形，是中位线， 题型11 中点四边形 41．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和菱形的关系即可解答． 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴且； 同理：且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 42．如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】30 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 连接，根据矩形的性质及中点的定义得出 的长度及互相垂直的关系，利用对角线互相垂直的四边形面积公式进行计算. 【详解】解：连接 ∵ 四边形为矩形， ∴， ∵分别为边的中点 ∴   ∴ 故答案为：30. 43．综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)四边形是平行四边形． 理由：如图1中，连接． ∵点E，H分别为边，的中点， ∴，． ∵点F，G分别为边，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)四边形是菱形． 证明：如图2中，连接，， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵点E，F，G分别为边，，的中点， ∴，． ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． (3)四边形是正方形． 证明：如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N． ∵， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质得到，，，，推出，，即可证明； （2）如图2中，连接，交于点O，证明，得到，然后结合三角形中位线的性质即可证明； （3）如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N，证明，结合四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 44．四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2)①菱；②矩 (3)菱 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理推导出，，然后利用平行四边形的判定可得结论； （2）①连接，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （3）分别延长、相交于点M，连接、，证明，得到，根据（2）①证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：①连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （3）解：四边形的中点四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点M，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①知，四边形的中点四边形是菱形． 题型12 梯形 45．已知：如图，在中，点在边延长线上，连接，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 梯形为等腰梯形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，可知梯形为等腰梯形； （2）过点作于点，根据等腰梯形的定义可知，进而证明为等边三角形，得到的长，根据平行四边形的性质得到的长，进而得到的长，根据含度角直角三角形的性质得到的长，根据勾股定理求出的长，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形为等腰梯形， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，， ， ， 由勾股定理，得， ． 46．如图，在直角梯形中，，于点C，，，点M从点A出发，以的速度向点B运动；同时点N从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)求当t为几秒时，四边形为矩形； (2)当四边形为等腰梯形时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，四边形为矩形，则，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，求出，得，解方程即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 则，， ∵， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， 则， 又∵， ， 解得：. 47．如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_____；_____． (2)当_____s时，四边形为矩形； (3)当时，求的值； 【答案】(1)； (2)6 (3)5或7 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）当时，四边形为矩形，则，即可求解； （3）分两种情况①当四边形为等腰梯形时，过点作于点，过点作于点，求出，得，解得；②当四边形为平行四边形时，，即，解得：； 【详解】（1）解：由题意得：， 则，． （2）解：∵， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴． （3）解：， ∴当时， 分两种情况：①当四边形为等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图1， 则， 又∵， ， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：； 综上所述，当时，的值为5或7． 48．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)等腰直角三角；等腰梯 (2)10；21 (3)4平方厘米 【分析】本题主要考查三角形、梯形的有关知识，考查学生应用运动观念，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状有两种情况，画出图形即可； （2）根据（1）中分析知，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积，利用梯形面积公式即可求解； （3）易得此时重叠部分为等腰直角三角形，计算出此等腰直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 题型13 四边形的综合问题 49．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】(1)①③ (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 50．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 51．阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D (2) 平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）略； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 52．小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 【答案】(1)菱形、正方形 (2) (3)证明见解析，面积为 (4) 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）根据正方形的性质可证得和全等，得出，由得出，再根据对顶角相等得到，于是有，从而得出，根据垂美四边形的定义得出四边形为垂美四边形，根据垂美四边形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出结果． （4）勾股定理求出，设，双勾股定理求出的值，进而求出的长，再用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形， 一定是垂美四边形的是菱形，正方形， 故答案为：菱形，正方形； （2）如图1所示： ∵四边形的面积的面积的面积 ∴； 故答案为：； （3）证明：连接，，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形为垂美四边形； 四边形是正方形， ，， ， ， 点、、在一条直线上， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ∵， ， 四边形为垂美四边形， 四边形的面积是． （4）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴，即：， 解得：，则 ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 题型14 四边形的旋转问题 53．如图1，已知点D是等边内一点，且，，． （1）求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点C顺时针旋转或绕B逆时针旋转； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； （2）若改成，，，的度数________°，点A到的距离为________； 类比迁移： （3）如图2，已知，，，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）150，4；（3） 【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．丙：将绕点A顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数． （2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离； （3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，． 选择甲：如图1，将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是直角三角形，， ； 选择乙：如图2，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是直角三角形，， ， ∴由旋转可得； 选择丙：如图3，将绕点A顺时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，， ； （2）将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是直角三角形，， ； 如图4，过点作的垂线，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：，4． （3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的逆定理的综合应用，利用旋转的性质进行求解是解题的关键． 54．如图，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求： (1)指出旋转中心和旋转角度； (2)求的长度； (3)与的位置关系如何？ 【答案】(1)旋转中心为点A；或 (2)3 (3) 【分析】本题考查旋转的性质和正方形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据旋转的性质，点为旋转中心，对应边、的夹角为旋转角； （2）根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解； （3）如图所示，延长交于点G，根据旋转可得，可得，然后求出，判断出． 【详解】（1）解：∵旋转一定角度后得到， ∴， ∴，，， ∴旋转中心为点A； ∴绕点A顺时针旋转后得到或绕点A逆时针旋转后得到， ∴旋转角度为或； （2）解：由旋转得，，， ∴； （3）解：如图所示，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 55．综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． (1)正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为_____． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，可证明_____，从而得出结论．请你完成之间的数量关系的证明． (2)如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____．小杰同学的思路是：设法将、、相对集中，于是将绕点顺时针旋转得到，连接，确定与的形状分别为：_____，问题得以解决． (3)等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，点是等边三角形内一点，若，请你直接写出：以线段、、的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为_____． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)，等腰直角三角形、直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）将绕点顺时针旋转，得到，通过证明，从而得出结论． （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明为等腰直角三角形，为直角三角形即可解决问题． （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，证明为等边三角形，再利用角的等量关系，和差关系及三角形的内角和为即可求出各个角的度数． 【详解】（1），，理由如下 证明：在正方形中，， 绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴点G、点B、点F三点共线； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即 故答案为： （2）将绕点顺时针旋转得到，连接， 为等腰直角三角形，， ，， 有：， 为直角三角形，． ． 故答案为：，等腰直角三角形、直角三角形， （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接， ， 为等边三角形，， 以线段、、的长度为边长的三角形为 ， ， 又， ， ， 故答案为： 56．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），； （2） 解：；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ， 直线与的夹角度数为； （3）线段的最小值为． 【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （2） 由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （3）如图，由于菱形绕点旋转，所以点的运动轨迹，是以点为圆心，半径为的圆，连接圆心点与圆外一点，当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 直线与的夹角度数为， 故答案为：，； （2）略 （3）如图，∵ ∴当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即线段的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型15 四边形的最值问题 57．如图，正方形中，，点P在上，点E 是中点 ，则的最小是（   ） A．16 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键. 由于点B与D关于对称，所以连接，设与交于点，连接，此时最小，直角中，利用勾股定理即可得出结果. 【详解】解：如图，连接，设与交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴是最小. 即P在与的交点上时，最小，即为的长度. ∴直角中，，， ∴. 故选：B. 58．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，    ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故选：B． 59．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当_____时，四边形的周长最小． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：4． 60．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明） 模型应用： (1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________． (2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________． (3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________． (4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，则此时的值最小，根据点的坐标，得出，，，进而得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出点的横坐标，再根据平行线间的距离相等，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案； （2）根据对称性和线段最短，得出的最小值是的长，再根据中点的定义，得出，再根据勾股定理，计算出，进而即可得出的最小值； （3）设与交于点，连接，，根据对称性，得出，再根据线段最短，得出当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，再根据正方形的面积，结合算术平方根的定义，得出，再根据等边三角形的性质，得出，进而得出的最小值； （4）作垂足为与交于点，根据菱形的性质，得出，，再根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段最短，得出点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，再根据三线合一的性质，得出，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而即可得出答案． 【详解】（1）如图，取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于， 则此时的值最小， ∵和， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，点的横坐标是，此时； 故答案为：；； （2）解：∵点与关于直线对称， ∴的最小值是的长， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴， 在中， ， ∴的最小值是； 故答案为：； （3）解：如图，设与交于点，连接，， ∵点与关于直线对称， ∴， ∴当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长， ∵正方形的面积为， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （4）解：如图，作垂足为与交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是中线， ∴， ∴点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、轴对称—最短路径问题、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称—最短路径的确定方法、并灵活运用勾股定理是解本题的关键． 题型16 四边形的存在性问题 61．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)存在，或 (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、菱形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得的面积，进而求得，设，然后根据三角形面积公式列绝对值方程求得a，进而确定点M的坐标； （3）分是菱形的一条边、是菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则有：，解得：， ∴直线的解析式为 （2）解：∵直线的解析式为， ∴,, ∵点， ∴，即， 设， ∴，解得：或1， ∴或 （3）解：存在， ∵直线的解析式为， ∴,， ∴； ①当是菱形的一条边时， 当点与点B关于x轴对称时，则点是点A关于y轴的对称点，四边形是菱形； 当点Q在x轴上方，菱形为时，则，即点； 同理：当菱形为时，点； ②当是菱形的对角线时， 设点，点， ∴的中点即为的中点，且（即：）， ∴，，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为，，， 62．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或0或 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 63．已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)存在，点D的坐标为或或 (2) 【分析】（1）设，然后根据题意分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：存在，设 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （2）解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图 ∴平行四边形的面积． 64．如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为，直线的解析式为 (2)点的坐标为，，， 【分析】（1）先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点坐标，把点坐标代入直线的函数解析式求出的值； （2）根据题意分析出以，，为顶点的三角形是直角三角形，然后分三种情况进行讨论；利用勾股定理得出对应方程，求出点的坐标，再根据矩形的性质对角线互相平分求出点的坐标． 【详解】（1）解：令直线的函数解析式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故点，再将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 综上，的值为，直线的解析式为． （2）解：令形成矩形的中心点为，点坐标为 ∵点在直线上， 令点坐标为， ∵、， 则，，， 对结果进行分类讨论： ①当为对角线，时， 此时点为、中点， 即点， 由，根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得或， 当时，， 由为中点，即、横坐标之和、纵坐标之和除以为点的横、纵坐标， 可得，， 解得，， 故此时； 当时，， 由为中点， 可得，， 可得，， 故此时； ②当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； ③当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、B横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； 综上，点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质以及解析式的求法，掌握解一元二次方程的方法，还需要结合三角形面积、矩形的性质等几何定理，运用数形结合的思想进行求解． 题型17 四边形的新定义问题 65．新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． 【定义理解】 (1)如图① ，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． 【定义运用】 (2)如图② ，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形； 【定义拓展】 (3)如图③ ，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为定值，定值为． 【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理求解即可； （2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义证明即可． （3）作垂足为Q，作垂足为R，易得四边形是矩形可得且，再证明可得，进而得到，再利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为等邻角四边形，且， ∴、均不可能与、中的任意一个角相等，否则总内角和大于． ∴． ∵， ∴， 解得：． （2）证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴． ∴． ∴四边形为等邻角四边形． （3）解：的值是定值，定值为． 如图，作垂足为Q，作垂足为R， ∵， ∴四边形是矩形． ∴且， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ 在点P的运动过程中，的值为定值． 66．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析． (2)28． 【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形． （2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． 67．综合与实践： 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．    (1)定义理解 图中，、、三点均在格点上，请在格点上确定点，使四边形为对等垂美四边形． (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点，且，，将绕点逆时针旋转（旋转角），、的对应点分别为、，如图3，请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 如图，四边形即为所作的对等垂美四边形； (2) 四边形是对等垂美四边形，理由如下： 连接，交于点，设与交于点， 由题意知，，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ∴在四边形中，，， ∴四边形是对等垂美四边形； (3)或 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键． （1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可； （2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论； （3）当是直角时，当为直角时，分别求解即可； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①当是直角时，如图，    ，， ； ； 当为直角时，如图，过点作的垂线，垂足为，    ，， ，， ， ， ，， 则； ； 综上所述，四边形的面积或 68．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解 如图1，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件______． （2）问题探究 如图2，已知，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接． ①四边形______（填“是”或“不是”）等邻边四边形； ②求线段的长度． （3）拓展应用 如图3，在等邻边四边形中，和为四边形的对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）或或或任写一个即可； （2）①是；②； （3），见解析 【分析】（1）根据新定义，添加一组邻边相等即可求解． （2）由旋转可得：，则四边形是等邻边四边形；②过点D作于点H，通过证明为等边三角形，推出，则，，进而得出， 最后根据勾股定理即可求解； （3）过作，且，连接，，证明为等边三角形，，进而根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，或或或任写一个即可； （2）①由旋转可得：， ∴四边形是等邻边四边形； 故答案为：是； ②过点D作于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：； （3） 过作，且，连接，，   ， ， 又，为等边三角形， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ，， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了新定理，解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题目所给等邻边四边形的定义，正确画出辅助线解答． 1．下列命题中，正确的是（     ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C．两组邻角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：∵ A选项中，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，任意四边形有一组邻边相等不能判定是菱形，∴ A错误； ∵ B选项中，对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，∴ B错误； ∵ C选项中，两组对角分别相等的四边形才是平行四边形，两组邻角相等不能判定是平行四边形，∴ C错误； ∵ D选项中，矩形本身对角线互相平分且相等，四个角都是直角，若对角线再互相垂直，符合正方形的判定定理， ∴ 对角线互相垂直的矩形是正方形，D正确． 2．如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，取的中点，连接，证明，，，为的中位线，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∵F为的中点，E为的中点． ∴为的中位线，，， ∴，，， ∴， ∴. 3．如图，的对角线，相交于点O，，，的周长为13，则的长为（     ） A．10 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∵的周长为13， ∴， ∴. 4．如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折，使落在点处，连接并延长，交边于点．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，设，则，，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴． 5．如图，，，，，．点在直线上，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作交的延长线于点， 构造矩形和，利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理求出的长． 【详解】如图，连接，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，， 点分别为、的中点， 为的中位线， ． 6．如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中位线定理，能够根据角平分线模型构造合适的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意即可证明，从而推得，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 8．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得的长，根据题意可得是的中位线，由三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，，交于点，， ∴， ∵，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 9．如图，在中，与交于点O，．若为的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得到的长，则可由勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵在中，与交于点O， ∴， ∵， ∴； ∵为的中点，O为的中点， ∴是的中位线， ∴． 10．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则_________． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质结合勾股定理求出，从而得出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．5个边长相等的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们的边都与坐标轴平行．若点A，C的坐标分别是和，则点B的坐标是________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，根据点和点的横坐标之差求出的值，再根据点C的坐标和正方形的排列规律求出点的坐标． 【详解】解：设正方形的边长为， 由图可知，点到点在水平方向上跨越了个正方形的边长， 点的坐标为，点的坐标为， ， 解得， 由图可知，点C的横纵坐标与点B的横纵坐标各相差， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为． 12．如图，在梯形中，，，，若，，则梯形的面积是________． 【答案】40 【分析】过点作交于点，结合矩形的性质和勾股定理解题． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴ ． 13．如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，由平行线的性质可得，再证明，得到；证明，得到，则可证明，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 14．如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ． 【答案】 / 【分析】过作于，延长，交于点，证明，可得，点到的距离为，点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方，记与的交点为，此时，且，可得，当，重合时， ，当，重合时，同理：，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点到的距离为， 点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方， 如图，当，重合时，位置为点起始位置，当，重合时，点在终点， 记与的交点为，此时，且， ， 当，重合时， ， ，， 当，重合时，同理：， ， ， 点的运动轨迹（起点到终点）长度为， 故答案为：，． 15．如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）由矩形的性质，得到，勾股定理逆定理，得到，等积法求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴. 16．如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】(1) 证明：连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算的长,进而根据勾股定理就可以计算 的长． 【详解】（1）略； （2）解：在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ． 17．如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 在中，点分别是的中点， ∴， 在中，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)证明： 如图所示，连接， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵由（1）知，四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）连接，利用三角形中位线的性质证明即可； （2）连接，根据三角形中位线的性质转化为平行四边形的邻边相等证明即可； （3）根据三角形中位线的性质转化为菱形有一个角为证明即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：四边形满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形． 18．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 【答案】(1)的长为 (2)四边形是等腰梯形，理由如下： 由翻折可得，， 由(1)知， 故，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是等腰梯形； (3) 【分析】（1）先由折叠的性质和平行线的性质得出，再设，则，根据勾股定理即可求解； （2）通过折叠的性质和矩形对边相等的性质，得到，再利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，由折叠的性质，确定被垂直平分，可得，，由（1）可得，即可判断四边形为菱形，通过勾股定理求得和的长，最后通过菱形的面积求解即可． 【详解】（1）解∶由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴，故， 又∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得 解得 即的长为 （2）略 （3）解：如图1所示，连接，则被垂直平分，故，， 又由(1)中同理可证， 故，即四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得 由勾股定理可得， 根据菱形的面积可得 ， ∴ ． 19．如图，在正方形中， 为对角线，点为的中点，垂直平分线段，分别交，，于点，，．已知． (1)求线段的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由点为的中点得，设，则，再由垂直平分线段得，在中，由勾股定理得：，据此即可求出线段的长； （2）连接，，设，则，由垂直平分线段得，在和中，由勾股定理得，由（1）可知,则，证明，再由相似三角形的性质可得的值． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 四边形是正方形，且， ，，， 是直角三角形， 点为的中点， ， 设，则， 垂直平分线段， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即线段的长为； （2）连接，，如图所示： 设，则， 垂直平分线段， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 由（1）可知：，则， ， ， ， 即的值为． 20．在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线分别在轴、轴上，若，则点的坐标为_________，的长为_________； (2)如图2，若是矩形，连接，探究与的数量关系，并证明； (3)如图3，若是正方形，连接，点关于直线的对称点为，连接，若的长为，直接写出的最小值为_________． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，连接，延长，交于，连接， 四边形是矩形，为对角线的交点， ∴必过点，，，， ，， ， ，， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）可判定是菱形和△是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果； （2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而，，进而由垂直平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）作于，于，作于，可证得，从而得出，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出从而得出点在过点与成的直线上运动，延长至，使，作于，连接，交直线于，当点在处时，最小，最小值是的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 对角线、分别在轴、轴上， ， 是菱形， ∴， ∵， △是等边三角形， ，， ， ， ， 射线绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：略； （3）解：如图，记交于点，作于，于，作于， ， 四边形是正方形， 平分，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 射线绕点逆时针旋转交于点， ， ， ， ， ， ， 和关于对称，连接 ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又∵， ， 点在过点与成的直线上运动， 延长至，使，作于，连接，交直线于， 则， ∵关于对称， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ， ， ， 当点在处时，最小，最小值是的长， ∵ ∴， ， ， 在中，； 最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $