专题04 分式17大题型（暑假复习讲义）新九年级数学新教材苏科版

专题04 分式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式的判定 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式值的整数问题 题型5 分式的基本性质 题型6 约分、通分 题型7 分式的加减运算 题型8 分式的乘除运算 题型9 分式的乘方运算 题型10 分式化简求值 题型11 分式最值 题型12 解分式方程 题型13 根据分式方程的情况求值 题型14 分式方程的增根问题 题型15 分式方程的无解问题 题型16 分式方程的实际应用 题型17 分式方程的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 分式 2. 方式基本性质 3. 分式四则混合运算 4. 分式方程 5. 分式方程的应用 1. 单独考查分母不为零、值为零的条件，区分分子分母限制条件，设置正负、零值陷阱。 2. 先因式分解，再约分通分，加减乘除混合运算必考，常搭配负整数指数、符号化简。 3. 先化简再代入，多给定整数或限定取值，规避使原式无意义的数字，检验取舍能力。 4. 含求解、检验步骤，结合实际应用题，侧重验根、增根、无解类易错题。 5. 联动因式分解、一元一次 / 二次方程、函数自变量范围，嵌入几何计算小题。 考情解码：分式是中考代数必考题，选择填空考查取值范围与简单运算，解答必考化简求值与分式方程。命题依托因式分解核心前置步骤，侧重符号、约分、验根细节，基础题易因粗心丢分。常结合生活情境命制应用题，部分试卷搭配参数增根难题区分层次，整体基础为主，兼顾计算严谨性考查。 知识点一 分式相关概念 分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 即时即练1．若分式无意义，则x的值为（     ） A． B．0 C． D．1 2．若实数，则实数的值可以是（     ）． A． B． C． D． 知识点二 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1、分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2、分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 即时即练 3．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ） A．扩大倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 4．约分、通分 (1)； (2)和． 知识点三 分式四则混合运算 分式的加减法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 分式的乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3、分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 即时即练 5．先化简，再求值：，其中． 6．化简： (1) (2)． 知识点四 分式方程 分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1、去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2、分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3、分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4、解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5、分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1、检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2、检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 即时即练 7．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是_______． 8．定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 题型1 分式的判定 1．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____个． 4．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ 题型2 分式有无意义的条件 5．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 6．若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 7．下列有理式中、、、，哪些是整式__________哪些是分式____________；当______时，分式有意义；当______时，分式的值为0． 8．已知分式． (1)当时，分式的值为 ． (2)当满足什么条件时，分式有意义？ 题型3 分式的求值 9．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 11．已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 12．阅读下列材料，并解答相应问题： 在解决连比或等比问题时，常引入参数，设这组相等的比值为k，然后将各个量用含k的式子表示出来，进而求值或进行推理，这种方法叫设参法． 例：若其中，求的值. 解：设，则，，． 借鉴上述设参方法，解决下列问题： (1)若，且，求分式的值； (2)若，且，求证：； (3)若非零实数x、y、z满足，求的值． 题型4 分式值的整数问题 13．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 14．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 15．计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 16．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． (1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） (2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 题型5 分式的基本性质 17．若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 18．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 19．若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 20．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 题型6 约分、通分 21．约分：__________． 22．约分： (1)； (2)． 23．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 24．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7 分式的加减运算 25．化简分式： (1)； (2)． 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型8 分式的乘除运算 29．计算： (1)； (2) (3) (4) 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 31．计算 (1) (2) 32．计算：． 题型9 分式的乘方运算 33．计算 (1)； (2)． 34．计算： (1)； (2)； (3)． 35．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 36．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型10 分式化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 38．先化简，再求值：，其中． 39．先化简，再求值：，任选一个值代入，其中是满足的整数． 40．先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 题型11 分式最值 41．若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 42．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 43．阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 44．下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 题型12 解分式方程 45．解方程：． 46．解方程： (1)． (2)． 47．解分式方程： (1) (2) 48．解分式方程： (1)； (2)． 题型13 根据分式方程的情况求值 49．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 50．如果关于的分式方程的解为正数，那么实数的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 51．关于x的方程 （1）若，则该方程的解为______； （2）若该方程的解为整数，则满足条件的所有整数b的和是______． 52．已知关于x的分式方程．若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 题型14 分式方程的增根问题 53．若分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 54．若关于的分式方程有增根，则增根可能是（     ） A．2 B． C．或3 D．2或 55．若关于的分式方程有增根，则的值为________． 56．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 题型15 分式方程的无解问题 57．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．或0 C．或0 D． 58．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 59．若关于x的分式方程无解，则实数m的值是______． 60．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 题型16 分式方程的实际应用 61．年月5日是第个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知乙种路灯的单价比甲种路灯的单价多元，且用元购买甲种路灯的数量与用元购买乙种路灯的数量相同． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 62．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．某商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）： 方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折； 方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折． (1)求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元． (2)经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），其中A型民族服饰不超过35套．请根据以上两种方案，通过计算说明选择哪种方案花费较少． 63．某文具店购进了A，B两种型号的考试文具套装进行销售，每个A型套装进价比每个B型套装进价多3元，每个A型套装售价为32元，每个B型套装售价为25元，该文具店用220元购进A型套装和用190元购进B型套装的数量相同． (1)求A型，B型套装进价分别是多少元？ (2)为了满足市场需求，6月份该文具店准备用不超过2100元的资金采购这两种套装共100套．若所采购的套装能全部卖出，给出利润最大时的进货方案，并求出最大利润是多少元？ 64．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 题型17 分式方程的新定义问题 65．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 66．【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ____________ 【应用模型】 (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 67．定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 68．定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 1．下列从左到右的变形中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．以下各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 4．某科技企业接到生产600万个芯片的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货．求每月原计划生产芯片多少万个？若设每月原计划生产芯片万个，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 6．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 7．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 8．若，，则_______． 9．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 10．若关于的方程有增根，则增根为______． 11．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 12．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 13．若关于x的方程的解是正数，则k的取值范围是________． 14．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，，并规定：，如：，，则下列结论①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有个，其中正确的结论有__．（填写所有正确结论的序号） 15．解方程：． 16．解分式方程： (1)； (2) 17．求的值，其中． 18．某水果商贩用了300元购进一批水果，上市后销售非常好，商贩又用了700元购进第二批这种水果，所购水果数量是第一批购进数量的2倍，但每箱进价多了5元． (1)求该商贩第一批购进水果每箱多少元； (2)由于储存不当，第二批购进的水果中有腐坏，不能售卖，该商贩将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于400元，求每箱水果的售价至少是多少元． 19．我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式的判定 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式值的整数问题 题型5 分式的基本性质 题型6 约分、通分 题型7 分式的加减运算 题型8 分式的乘除运算 题型9 分式的乘方运算 题型10 分式化简求值 题型11 分式最值 题型12 解分式方程 题型13 根据分式方程的情况求值 题型14 分式方程的增根问题 题型15 分式方程的无解问题 题型16 分式方程的实际应用 题型17 分式方程的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 分式 2. 方式基本性质 3. 分式四则混合运算 4. 分式方程 5. 分式方程的应用 1. 单独考查分母不为零、值为零的条件，区分分子分母限制条件，设置正负、零值陷阱。 2. 先因式分解，再约分通分，加减乘除混合运算必考，常搭配负整数指数、符号化简。 3. 先化简再代入，多给定整数或限定取值，规避使原式无意义的数字，检验取舍能力。 4. 含求解、检验步骤，结合实际应用题，侧重验根、增根、无解类易错题。 5. 联动因式分解、一元一次 / 二次方程、函数自变量范围，嵌入几何计算小题。 考情解码：分式是中考代数必考题，选择填空考查取值范围与简单运算，解答必考化简求值与分式方程。命题依托因式分解核心前置步骤，侧重符号、约分、验根细节，基础题易因粗心丢分。常结合生活情境命制应用题，部分试卷搭配参数增根难题区分层次，整体基础为主，兼顾计算严谨性考查。 知识点一 分式相关概念 分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 即时即练 1．若分式无意义，则x的值为（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据分式无意义时分母为0，列方程求解即可得到结果． 【详解】解：∵分式无意义， ∴分式的分母为，可得方程， 解得． 2．若实数，则实数的值可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简分式，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求． 【详解】解：化简分式：， ∵分式有意义时分母不能为， ∴，，即且，逐个判断选项， 选项：若，则，解得，满足条件，选项符合要求； 选项：若，则，解得，不满足分母不为的要求，选项错误； 选项：若，则，无实根，故不可能为，选项错误； 选项：若，则，解得，不满足分母不为的要求，选项错误． 知识点二 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1、分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2、分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 即时即练 3．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ） A．扩大倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，将和都替换为、，化简新分式后与原分式比较，即可得到结果． 【详解】解：∵把分式中和都扩大倍， ∴， ∴分式的值缩小到原来的． 4．约分、通分 (1)； (2)和． 【答案】(1) (2)通分后分别为和 【详解】（1）解： （2）解：最简公分母为， 通分后分别为和 知识点三 分式四则混合运算 分式的加减法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 分式的乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3、分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 即时即练 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式混合运算的法则化简原式，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 6．化简： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则，即可求解； （2）根据分式加减乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 知识点四 分式方程 分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1、去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2、分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3、分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4、解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5、分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1、检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2、检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 即时即练 7．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是_______． 【答案】且． 【分析】将看作常数，按照分式方程的解法求出，根据原方程的解为正数和原方程不能有增根，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 解得， ∵关于的方程的解是正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，且． 8．定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 【答案】(1) (2)证明：∵，互为倒数， ∴， ∴， ， ∴分式与互为“阶分式”． (3) 或 【分析】（1）将两个分式求和，根据结果判断即可； （2）由倒数的意义可得，再与求和即可； （3）根据题意可得分式方程，求解得，结合整数的性质可得或，排除其中无意义的根即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“阶分式”； （2）略 （3）解：∵分式与互为“阶分式”， ∴， 解得， ∵、都是整数， ∴是的因数，即或， 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 综上所述，或． 题型1 分式的判定 1．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，负整数指数幂，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴ 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； 对于，是多项式，分母无字母，不是分式； 对于，可化为，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； ∴分式有个， 故选：． 2．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 3．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____个． 【答案】2 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式． +x，，分母中含有字母，因此是分式． 分式有两个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式． 4．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ 【答案】整式是，，；分式是，， 【分析】单项式和多项式统称为整式，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子（）叫做分式，由此即可判断． 【详解】解：由题意可知： 整式是，，；分式是，，． 题型2 分式有无意义的条件 5．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，从表格提取信息得到条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：从表格信息可得到三个条件： ① 时，无意义，即时分母为； ② 时，无意义，即时分母为； ③ 时，，即时分子为且分母不为． A、，时，分母，有意义，不符合条件①，排除A； B、，时，分母，有意义，不符合条件②，排除B； C、，时，分子，，不符合条件③，排除C； D、，时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，D符合要求． 6．若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 第一个分式有意义要求分母不为零，即，解得且，第二个分式的分母为，当 时，分母不为零，因此第二个分式总有意义． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， ∴ 且 ． 对于分式，分母时有意义， ∵， ∴， ∴分式 有意义． 故选：A ． 7．下列有理式中、、、，哪些是整式__________哪些是分式____________；当______时，分式有意义；当______时，分式的值为0． 【答案】 、 、 【详解】解：整式与分式区分：分母不含字母的是整式，含字母的是分式，为常数，因此、是整式，、是分式； 分式有意义：分母，解得； 分式值为0：分子，得， 分母得， 因此． 8．已知分式． (1)当时，分式的值为 ． (2)当满足什么条件时，分式有意义？ 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的求值和分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零，代入求值时注意符号计算是解题的关键． （1）将代入分式，分别计算分子与分母的值，再求比值； （2）根据分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解： 将代入分式中， 计算分子的值为， 计算分母的值为 ， 分式的值为，化简得 ． （2）解：分式有意义， 且， 解得且． 题型3 分式的求值 9．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知等式变形得到的值，再对所求分式变形，结合完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，将代入等式不成立， ∴ ∴等式两边同除以，得 ， 整理得 ， ∴． 10．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 11．已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题采用设参数法，将a，b，c用含同一参数的代数式表示，即设，将，，代入所求分式约分后即可得到结果． 【详解】解：设，根据等式的基本性质，可得，，， 将，，代入分式得． 12．阅读下列材料，并解答相应问题： 在解决连比或等比问题时，常引入参数，设这组相等的比值为k，然后将各个量用含k的式子表示出来，进而求值或进行推理，这种方法叫设参法． 例：若其中，求的值. 解：设，则，，． 借鉴上述设参方法，解决下列问题： (1)若，且，求分式的值； (2)若，且，求证：； (3)若非零实数x、y、z满足，求的值． 【答案】(1) (2)证明：设，则 ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴； (3)或 【分析】（1）设，则 ，再进一步求解即可； （2）设，则 ，进一步证明即可； （3）设，可得，进一步分情况求解即可. 【详解】（1）解：设，则 ， ∵ ， ∴都不为0， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设， ∴， ∴++得， ∴， ∴， ∴当 时 ∴            ∴， 当时， ， ∴ ，    ∴. 题型4 分式值的整数问题 13．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 14．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 15．计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 【答案】(1)整数的值为 (2)整数的值为 【详解】（1）由分式有意义的条件知，故， 因为3的整数因数为3,1，，， 故， 解得 （2），故分式的值为整数即的值为整数，且， 由第（1）问知 16．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． (1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） (2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)①③④；③；①④ (2)符合条件的整数的值是0，1，，2 【分析】（1）根据分式的定义判断，根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式进行判断即可； （2）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解． 【详解】（1）解：式子：①；②；③；④． 其中属于分式的是①③④；属于“假分式”的是③；属于“真分式”的是①④； （2）解：． ∵分式的值为整数，为整数， ，均为整数， 或或或， ∴符合条件的整数的值是0，1，，2． 题型5 分式的基本性质 17．若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将替换为原来的2倍，化简后与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断： 选项A：， 替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意； 选项B：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项C：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项D：替换后得，分式值改变，不符合题意； 18．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 19．若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式基本性质，将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， ， 故答案为：． 20．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍. 题型6 约分、通分 21．约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 22．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 23．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 24．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1）解： ； （2）不变 ； （3） ； （4）； 题型7 分式的加减运算 25．化简分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 题型8 分式的乘除运算 29．计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的乘法运算求解即可； （2）根据分式的除法运算求解即可； （3）先因式分解再约分，再利用分式的乘除法运算求解即可； （4）分子分母分别进行乘方运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 31．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 题型9 分式的乘方运算 33．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 34．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 35．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 36．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型10 分式化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，最后把代入计算即可. 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 38．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据分式混合运算的法则化简原式；再计算出x的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， ， 将代入得，原式． 39．先化简，再求值：，任选一个值代入，其中是满足的整数． 【答案】，当时，原式（或当时，原式，任选其一即可） 【详解】解： ∵是满足的整数， ∴ ∵分母 ∴ ∴或 当时，原式；当时，原式． 40．先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后再从1，2，3中选择一个分式有意义的的值代入求值即可． 【详解】解： ； ∵分母不能为0， ， ∴当时，原式． 题型11 分式最值 41．若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 【答案】A 【分析】先对分式因式分解化简，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，结合分式的增减性判断最值即可． 【详解】解：先对分式化简：， 分式要有意义，分母不能为， ， 且， 为正整数， 的最小取值为， 分子为固定正数，越大，的值越小， 当取最小整数时，原式取得最大值，最大值为，且原式没有最小值． 42．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 43．阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)的整数值为，，， (2)最小值为 【分析】（1）将原式化为，由分式的值为整数，可得是整数，即是的约数，即可求解； （2）将原式化为，由作为分母，不能为，则最小可取，即可求解． 【详解】（1）解： ， 分式的值为整数， 是整数，即是的约数， 可取，，，， 此时的整数值为，，，； （2） 作为分母，不能为， 最小可取， 此时的最小值为， 代数式的最小值为． 44．下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 题型12 解分式方程 45．解方程：． 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 46．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得，， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）解：， 方程两边同乘得，， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 47．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 原分式方程无解 【分析】确定各分式方程的最简公分母，因为解分式方程的核心是去分母转化为整式方程，所以首先要找到所有分母的最简公分母．方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，用到等式的基本性质．求解得到的整式方程，得到未知数的候选解．将候选解代入最简公分母检验，因为分母不能为0，所以如果最简公分母为0，该方程无解，若不为0则是原方程的解． 【详解】（1）解：去分母，得 ， 去括号，得， 移项得， 检验：把代入，分母不为0， 所以是原分式方程的解． （2）解：去分母，得： ， 展开整理得， 解得， 检验：把代入分母，得，分式无意义， 因此原方程无解． 48．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) . (2) . 【分析】本题主要考查解分式方程，先去分母转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】（1），       ， 检验：当 时， ， ∴ 是原方程的解； （2）． ， ， ， 检验：当 时， ， ∴ 是原方程的解． 题型13 根据分式方程的情况求值 49．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，用表示出方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式，求解即可得到的取值范围； 【详解】解：原方程 方程两边同时乘以，得： ， 整理得：， ∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， ∴，且 解得且； 50．如果关于的分式方程的解为正数，那么实数的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再结合解为正数、分式分母不为零两个条件，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：原方程，变形得， 方程两边同乘得：， 展开整理得：， ∵分式方程分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数，∴，即，解得， 综上，实数的取值范围是且． 51．关于x的方程 （1）若，则该方程的解为______； （2）若该方程的解为整数，则满足条件的所有整数b的和是______． 【答案】 9 【分析】（1）将代入原方程，解分式方程即可，注意分式方程一定要检验； （2）先用含的式子解出方程，再根据方程的整数解计算即可． 【详解】解：（1）当时， 原方程为 ， 去分母得： ， 整理得， 解得， 检验：时，， ∴方程的解为； （2）对原方程去分母得 ， 整理得 ， ∴ ∵方程的解为整数，为整数，且分式方程有解要求（否则分母为0，是增根，方程无解）， ∴ 是的整数约数，且， ∵的约数为，排除（此时，增根）， ∴ 得到对应的为：，，，，， ∴所有整数的和为：． 52．已知关于x的分式方程．若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】先解分式方程可得，然后根据该分式方程的解为非负数列不等式求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵该分式方程的解为非负数， ∴且， ∴且， 解得：且， 题型14 分式方程的增根问题 53．若分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘去分母，得 ， 展开并整理得 ， ∵原分式方程有增根， ∴分式的分母为0，即， 解得， 把代入， 得 ， 解得 ． 54．若关于的分式方程有增根，则增根可能是（     ） A．2 B． C．或3 D．2或 【答案】D 【分析】根据分式方程的增根是使分式方程分母为零的根，先找出分母为零的x值，再结合化简后的整式方程验证对应m是否存在，即可得到结论． 【详解】解：∵原分式方程的分母为，令，得或，因此可能的增根为或， 将原方程两边同乘去分母， 得：， 化简得：，整理得， 当增根为时，，解得，存在，因此是可能的增根， 当增根为时，，解得，存在，因此是可能的增根， ∴增根可能是或． 55．若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【分析】把分式方程化为整式方程，进而把增根代入，可得m的值． 【详解】解：去分母得：， ∵方程有增根， ∴， ∴． 56．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 【答案】 【分析】先去分母、去括号、移项、合并同类项得到方程，结合分式方程的增根为，得到，解分式方程即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 方程的增根为，即是方程有解， ， 则方程的解为， ，解得， 经检验，是分式方程的解， ． 题型15 分式方程的无解问题 57．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．或0 C．或0 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程分母为0（即产生增根），分两种情况计算即可得到的值． 【详解】解：， 原方程两边同乘，去分母得， 整理得：， ①当整式方程无解时，此时，方程变为，不成立，原方程无解； ②当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程分母，得增根， 把代入，得，即； 综上，的值为或． 58．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 【答案】C 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 59．若关于x的分式方程无解，则实数m的值是______． 【答案】 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的分式方程无解， ∴是原方程的增根，且， ∴， ∴． 60．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4或或 【分析】（1）利用分式方程增根的意义解答即可； （2）分式方程无解包括两种情况：一是化为整式方程后，整式方程的解是原方程的增根；二是化为整式方程后，该整式方程本身无解，据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入中可得： ， ∴， ∴m的值为； （2）解：当方程有增根时，， ∴或， 把代入中可得： ， ∴， 把代入中可得： ， ∴， 当时，该方程无解，即； ∴综上所述：m的值为4或或． 题型16 分式方程的实际应用 61．年月5日是第个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知乙种路灯的单价比甲种路灯的单价多元，且用元购买甲种路灯的数量与用元购买乙种路灯的数量相同． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元、元． (2)最省钱的购买方案为购买甲种路灯盏，乙种路灯盏． 【分析】（1）设甲种路灯的单价为元，则乙种路灯的单价为元．根据题意列出方程，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏．列出不等式，求得，设购买费用为元，则，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种路灯的单价为元，则乙种路灯的单价为元． 由题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 故甲、乙两种路灯的单价分别为元、元． （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏． 由题意，得． 解得． 设购买费用为元，则， ， 随着的增大而减少． ∴当时，取得最小值，即所需费用最少． ∴最省钱的购买方案为购买甲种路灯盏，乙种路灯盏． 62．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．某商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）： 方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折； 方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折． (1)求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元． (2)经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），其中A型民族服饰不超过35套．请根据以上两种方案，通过计算说明选择哪种方案花费较少． 【答案】(1)A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元 (2)当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰等于20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少 【分析】（1）设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套．结合题意得出为正整数，且，求出按方案一购买需要的费用为元，按方案二购买需要的费用为元，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元． 根据题意得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解，且符合题意， 此时． 故A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元； （2）解：设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套． ∵A，B两种类型均购买，A型民族服饰不超过35套， ∴为正整数，且， 按方案一购买需要的费用为（元）， 按方案二购买需要的费用为（元）， 当时，； 当时，； 当时，． 故当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰等于20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少． 63．某文具店购进了A，B两种型号的考试文具套装进行销售，每个A型套装进价比每个B型套装进价多3元，每个A型套装售价为32元，每个B型套装售价为25元，该文具店用220元购进A型套装和用190元购进B型套装的数量相同． (1)求A型，B型套装进价分别是多少元？ (2)为了满足市场需求，6月份该文具店准备用不超过2100元的资金采购这两种套装共100套．若所采购的套装能全部卖出，给出利润最大时的进货方案，并求出最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型套装进价为22元，B型套装进价为19元 (2)利润最大的进货方案为购进A型套装66套，B型套装34套，最大利润为864元 【分析】（1）设B型套装进价为元，则A型套装进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购进A型套装套，则购进B型套装套，列出关于的一元一次不等式，求出，结合为正整数，得的最大值为，设总利润为，则，再由一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设B型套装进价为元，则A型套装进价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， ∴A型套装进价为22元，B型套装进价为19元； （2）解：设购进A型套装套，则购进B型套装套， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为， 设总利润为，则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最大值，为（元），此时， ∴利润最大的进货方案为购进A型套装66套，B型套装34套，最大利润为864元． 64．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 【答案】(1)甲走前半段步道的速度为千米/时； (2)，乙先到达终点． 【分析】（1）设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时，根据题意列得分式方程，据此求解即可； （2）根据题意分别求得，，计算得到，据此分析求得，即可判断乙先到达终点． 【详解】（1）解：设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解； 答：甲走前半段步道的速度为千米/时； （2）解：甲前千米速度为千米/时，后千米速度为千米/时， ∴， 乙把总时间小时分成两半，每段小时，总路程千米， ∴， 整理得， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴乙先到达终点． 题型17 分式方程的新定义问题 65．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 66．【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ____________ 【应用模型】 (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)否，是； (2)． 【分析】根据“关联数对”定义分别判断即可； 根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴数对不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程， ，解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴分式方程的解为， ∵， ∴数对是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：否，是； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴，解得． 67．定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 68．定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整数值” (2) 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先求出，再+结合题意得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B是互为“和整分式”， “和整数值”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴ ． 1．下列从左到右的变形中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该变形不符合分式基本性质，举例取，，左边为，右边分母为0无意义，等式不成立，故A错误； B、变形中分子分母同乘，未保证，当时，右边分母为0，无意义，故不一定成立，B错误； C、举例取，，左边，右边，，等式不成立，故C错误； D、是分式，故隐含条件，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的，可得，变形一定成立，故D正确． 2．以下各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于的整式，分式的值不变， A选项给分子分母同时加，不符合分式基本性质，等式不成立，A错误； B选项给分子分母同时减，不符合分式基本性质，等式不成立，B错误； C选项给分子分母同乘不为的，符合分式基本性质，，成立，C正确； D选项给分子分母分别平方，不符合分式基本性质，等式不成立，D错误． 3．若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 【答案】A 【分析】先对分式因式分解化简，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，结合分式的增减性判断最值即可． 【详解】解：先对分式化简：， 分式要有意义，分母不能为， ， 且， 为正整数， 的最小取值为， 分子为固定正数，越大，的值越小， 当取最小整数时，原式取得最大值，最大值为，且原式没有最小值． 4．某科技企业接到生产600万个芯片的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货．求每月原计划生产芯片多少万个？若设每月原计划生产芯片万个，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据未知数分别表示原计划完成时间和实际完成时间，再根据“实际比原计划提前2个月完成”得到等量关系：原计划用时实际用时，即可列出方程． 【详解】解：∵每月原计划生产芯片万个，实际每月生产能力比原计划提高， ∴实际每月生产芯片万个， ∵总订单为万个， ∴原计划完成时间为个月，实际完成时间为个月， ∵实际比原计划提前个月完成， ∴． 5．已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，得到，，再利用整体代入法进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 6．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】解分式方程用含的代数式表示出分式方程的解，再根据解为正数且分式分母不为，列出不等式求解得到的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ， 解得， ∵方程的解为正数， ∴， 解得， 又∵分式分母不能为， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是且． 7．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 8．若，，则_______． 【答案】 【分析】先通分，进行计算，再利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 9．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 【答案】 【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完成建立等量关系即可 【详解】解：由题意可得，原来每天制作件，原来完成件订单需要的时间为， 实际每天制作件数比原来多，因此实际每天制作件数为， 实际完成订单需要的时间为，结果提前天完成， 即原来用时比实际用时多天， 因此可列方程： 10．若关于的方程有增根，则增根为______． 【答案】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根只需令分式方程的最简公分母等于0，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴ 解得． 11．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 【答案】 且 【分析】解出分式方程后，根据解为非负数求出的范围，再根据分式方程分母不为零排除增根对应的值，即可得到答案． 【详解】去分母，方程两边同乘，得， 去括号得， 整理得， 分式方程的解为非负数， ， 解得， 又分式分母不能为，即， ，即， 的取值范围是且． 12．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示，再根据方程的解为正数且分式有意义，列出不等式求解的取值范围. 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母，得， 移项合并同类项，得， ∵方程的解是正数，且分式方程要有意义，分母不能为， ∴且， 解得且. 13．若关于x的方程的解是正数，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解是正数得出，最后再由得出，求解即可得出结果． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 当时，方程无解，故不符合题意； 当时，解得， ∵关于x的方程的解是正数， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，k的取值范围是且． 14．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，，并规定：，如：，，则下列结论①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有个，其中正确的结论有__．（填写所有正确结论的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】根据题中规定，得出式子规律：每个式子，按照周期循环，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 由上述式子可得规律：每个式子，按照周期循环， 当时，，故①错误； 当时，，即，则， ，故②错误； 由规律可知，每个式子，按照周期循环， ， ， ， ，则， ， ，故③正确； ，， ， 的值为整数，且为整数， 的值为整数，则当取时，符合要求， 按照规律，无论多少个数，只有六种情况，则由分式分母不为可知，，且， 的取值为，共个，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④． 15．解方程：． 【答案】原分式方程无解 【分析】解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 16．解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解. （2）解： ， ∴， 去分母得： 解得：， 经检验是增根，原方程无解. 17．求的值，其中． 【答案】 【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 时，原式． 18．某水果商贩用了300元购进一批水果，上市后销售非常好，商贩又用了700元购进第二批这种水果，所购水果数量是第一批购进数量的2倍，但每箱进价多了5元． (1)求该商贩第一批购进水果每箱多少元； (2)由于储存不当，第二批购进的水果中有腐坏，不能售卖，该商贩将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于400元，求每箱水果的售价至少是多少元． 【答案】(1)该商贩第一批购进水果每箱30元 (2)每箱水果的售价至少为50元 【分析】（1）设该商贩第一批购进了这种水果x箱，则第二批购进这种水果箱，根据题意列出分式方程，解分式方程并验证求出x的值，最后再代入计算即可求出第一批购进水果的价格． （2）由（1）可知，第二批购进这种水果20箱，则两次购进的水果为30箱，设水果的售价为y元，根据题意列出关于y的一元一次不等式，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设该商贩第一批购进了这种水果x箱，则第二批购进这种水果箱， 可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：该商贩第一批购进水果每箱30元； （2）解：由（1）可知，第二批购进这种水果20箱，则两次购进的水果为30箱， 设水果的售价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每箱水果的售价至少为50元． 19．我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)①√②× (2)4 【分析】（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解，再根据“关联数对”的定义列等式，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①当，时，分式方程为， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴是“关联数对”； ②当，时，分式方程为， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴不是“关联数对”； （2）解：∵是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， 解得， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)化简：， 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． （2）解：． （3）解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $