专题03 因式分解12大题型（暑假复习讲义）新九年级数学新教材苏科版

专题03 因式分解 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 因式分解的判断 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 公因式 题型4 提公因式法分解因式 题型5 综合运用公式法分解因式 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 题型7 十字相乘法 题型8 分组分解法 题型9 因式分解的应用 题型10 因式分解中求最值 题型11 因式分解与几何相关 题型12 因式分解的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 因式分解 2. 提公因式 3. 公式法 4. 十字相乘法 5. 分组分解法 1. 优先考查提公因式、平方差、完全平方公式，简单十字相乘高频出现，分步分解是必考细节。 2. 设置分解不彻底、符号出错、漏提负号等易错点，小题专门甄别基础扎实度。 3. 与整式化简求值、分式化简、一元二次方程、几何面积计算结合考查。 4. 给出阅读理解型新分解方法，现场学习再运用，侧重逻辑迁移能力。 5. 大题要求完整拆解步骤，要求分解至不能再分解，严控书写规范得分点。 考情解码：因式分解是代数计算基础，每套试卷必有考题，选择填空侧重快速分解求值，解答常结合分式化简。考题遵循先提公因式再套公式的固定解题逻辑，重点检测细心程度，易在分解不完全丢分。常联动方程、代数式求值综合设问，部分试卷增设材料拓展题型，兼顾基础运算与理解运用，分值稳定，难度偏基础但失分率高。 知识点一 公因式 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 即时即练1．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 知识点二 提公因式 提公因式法 把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是(a+b+c)，即ma+mb+mc=m(a+b+c)，而(a+b+c)正好是ma+mb+mc除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 即时即练3．因式分解：______． 4．若，则________． 知识点三 公式法分解因式 公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 即时即练 5．分解因式：________ 6．分解因式： (1)； (2)． 知识点四 十字相乘法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 即时即练7．阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 8．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 知识点五 分组分解法 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 即时即练9．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 题型1 因式分解的判断 1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（） A． B． C． D． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 4．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 题型2 已知因式分解的结果求参数 5．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 8．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 题型3 公因式 9．运用提公因式法将多项式分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 10．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 11．多项式，则各项的最大公因式是________． 12．找出的公因式． 题型4 提公因式法分解因式 13．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 14．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 15．已知，，则______． 16．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 综合运用公式法分解因式 17．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 18．已知，且，则代数式的值为_______． 19．请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 20．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 21．利用因式分解计算：_____． 22．计算的值为_____． 23．因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 24．用简便方法计算： (1) (2) 题型7 十字相乘法 25．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 26．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 27．因式分解：． 28．项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 题型8 分组分解法 29．分解因式：（     ） A． B． C． D． 30．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 31．要把多项式分解因式，可以把它的前两项和后两项分别分成一组，并在前面一组提出a，后面一组提出b，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种分解因式的方法叫作“分组分解法”，仿照材料中提供的方法把分解因式，结果为______． 32．我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： (1)仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； (2)已知，，为的三条边，，求的周长． 题型9 因式分解的应用 33．已知式子，，，，，分别对应下列六个字：爆、学、数、美、了、夯．现将因式分解，结果呈现的信息可能是（     ） A．数学美 B．夯爆了 C．数学夯爆 D．美学夯爆 34．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码151719，则______． 35．【先导问题】 我们已经学习过完全平方公式：，通过将代数式凑成完全平方式，再利用“平方数是非负数”的性质，就能巧妙解决很多问题． 例1因式分解：． 原式． 例2已知，其中，为任意实数，求的最值． ， ， ∴当时，有最小值1． 【提炼模型】 通过先加上然后再减去一次项系数一半的平方，将代数式凑成完全平方式，这种解题方法称为配方法．在此基础上再利用平方数的非负性，实现因式分解、求代数式最值或根据多个非负数的和为0求解未知数． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： 【识别、应用模型】 (1)因式分解：________； (2)若，其中为任意实数，求的最值； 【总结提升】 (3)已知、、是的三边长，且，求的周长． 36．研究得到：对于任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行运算：第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步：． (1)若从某正整数出发，第一步运算得到16，求所有满足条件的正整数； (2)若（为任意正整数）符合以上运算规律，那么（为任意正整数）是否也满足该运算规律？请说明理由． 说理如下： 因为为任意正整数 所以为奇数 则下一步运算结果为 所以可以经过多次运算化为的形式，即满足该运算规律． （请将说理空缺步骤填入以上框中．） 题型10 因式分解中求最值 37．假设是整数，是正整数，那么的最小可能值是多少？（） A． B． C． D． E． 38．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 39．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 40．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题． 例如：， ， ． 则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 题型11 因式分解与几何相关 41．一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 42．正整数a、b、c是等腰三角形的三边长，并且，则这样的三角形有________个． 43．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 即：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的周长． 44．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有些多项式只用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．请你利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若三角形的三边长满足，判断三角形的形状． 题型12 因式分解的新定义问题 45．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 46．定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___． 47．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 48．定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数． (1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外） (2)像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数． 1．已知式子，，，，，分别对应下列六个字：爆、学、数、美、了、夯．现将因式分解，结果呈现的信息可能是（     ） A．数学美 B．夯爆了 C．数学夯爆 D．美学夯爆 2．如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 4．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 6．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 7．李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．因式分解：________． 9．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：①2222是“回文数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有90个“回文数”；④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有__________．（填序号） 10．在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是__________ ． 11．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 12．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 13．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 14．定义：若一个正整数能表示成两个连续正奇数的平方差形式，那么我们把这样的正整数叫做“奇衍数”，如，正整数8就是“奇衍数”．那么100以内所有“奇衍数”的和为__________． 15．分解因式： (1)； (2) 16．分解因式： (1) (2) 17．完全平方公式的应用： (1)用等号或不等号填空： ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ； (2)无论取何值，与总有这样的大小关系吗？试说明理由． 18．【阅读材料】 “换元法”是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具． 例题  因式分解：． 思路：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原成“”即可． 【解决问题】 (1)根据【阅读材料】中的“思路”，写出例题的解答过程； (2)在有理数范围内，利用换元法因式分解：． 19．配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式（）变形为的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： (1)分解因式；原式______． (2)求代数式的最小值：， ∵， ∴当即时，有最小值，最小值是______． [拓展应用] (3)如图，在四边形中，，，，若，求四边形面积的最大值． 20．项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 因式分解的判断 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 公因式 题型4 提公因式法分解因式 题型5 综合运用公式法分解因式 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 题型7 十字相乘法 题型8 分组分解法 题型9 因式分解的应用 题型10 因式分解中求最值 题型11 因式分解与几何相关 题型12 因式分解的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 因式分解 2. 提公因式 3. 公式法 4. 十字相乘法 5. 分组分解法 1. 优先考查提公因式、平方差、完全平方公式，简单十字相乘高频出现，分步分解是必考细节。 2. 设置分解不彻底、符号出错、漏提负号等易错点，小题专门甄别基础扎实度。 3. 与整式化简求值、分式化简、一元二次方程、几何面积计算结合考查。 4. 给出阅读理解型新分解方法，现场学习再运用，侧重逻辑迁移能力。 5. 大题要求完整拆解步骤，要求分解至不能再分解，严控书写规范得分点。 考情解码：因式分解是代数计算基础，每套试卷必有考题，选择填空侧重快速分解求值，解答常结合分式化简。考题遵循先提公因式再套公式的固定解题逻辑，重点检测细心程度，易在分解不完全丢分。常联动方程、代数式求值综合设问，部分试卷增设材料拓展题型，兼顾基础运算与理解运用，分值稳定，难度偏基础但失分率高。 知识点一 公因式 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 即时即练 1．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 2．（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 知识点二 提公因式 提公因式法 把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是(a+b+c)，即ma+mb+mc=m(a+b+c)，而(a+b+c)正好是ma+mb+mc除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 即时即练 3．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提出公因式x，再分组提公因式解答． 【详解】解：原式 ， ． 4．若，则________． 【答案】 【分析】先将移项为，再运用提公因式的方法求代数式的值即可． 【详解】∵， ∴，， ∴ ． 知识点三 公式法分解因式 公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 即时即练 5．分解因式：________ 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 6．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点四 十字相乘法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 即时即练 7．阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 8．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②7或3． 【分析】本题考查阅读理解，因式分解，读懂题意，理解材料中因式分解的方法是解题的关键． （1）根据“十字相乘法”进行因式分解即可； （2）先把看成整体，运用“十字相乘法”进行因式分解，再运用完全平方公式和“十字相乘法”进行因式分解． （3）①将式子分为，两组进行因式分解即可； ②将式子化为，根据、均为整数，求解即可． 【详解】解：（1）如图， ． 故答案为：． （2）如图， ，． （3）① ． 故答案为：． ②∵， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或， ∴或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴当时，， 当时，． 综上所述，或3． 故答案为：7或3． 知识点五 分组分解法 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 即时即练 9．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 10．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 题型1 因式分解的判断 1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【详解】解：∵ 选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义； 选项D的结果是整式乘积与常数相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义； 选项B将多项式化为整式的乘积形式，符合因式分解的定义． 2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义． 选项B，右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项C，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求． 选项D，是将几个整式的积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解． ∴只有A符合要求． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 4．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 题型2 已知因式分解的结果求参数 5．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开因式分解后的式子，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴． 6．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 7．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 8．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按要求代入指定的值，得到关于，的方程组求解即可； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解． 【详解】（1）解：已知， 将代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 将，代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 即 （2）对于多项式，当时，原式， 因此原式可分解为与一个二次整式的乘积， 设另一个整式为，可得， 取代入等式，得左边，右边， 因此， 取代入等式，得左边， 右边， 因此， 解得， 因此 题型3 公因式 9．运用提公因式法将多项式分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式的确定方法，公因式是多项式各项共有的因式，确定规则为：取相同字母的最低次幂，乘积即为公因式． 【详解】解：∵ 多项式包含两项 和 ，且两项都含有字母和，其中的最低次幂是次，的最低次幂是次， ∴ 应提取的公因式为 ． 10．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 11．多项式，则各项的最大公因式是________． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式最大公因式的求解，按照先找系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是． 各项都含有的字母为，只出现在第二项中，因此公因式不含．的最低次幂是，的最低次幂是． 因此该多项式各项的最大公因式为． 12．找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：和系数的公因数可取，相同字母的最低次幂是1，相同字母的最低次幂是1， 所以的公因式为． 题型4 提公因式法分解因式 13．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 14．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 15．已知，，则______． 【答案】 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 16．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型5 综合运用公式法分解因式 17．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 18．已知，且，则代数式的值为_______． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解、代数式求值、整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 整理条件式，根据公式法对其因式分解，进而解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， ， ∴， ∴， ． 故答案为：0 ． 19．请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解，正确换元是解答本题的关键． ①将原式整理为，令，代入整理得，然后再分解即可； ②将原式整理得，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 20．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 21．利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 22．计算的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 23．因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 24．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 题型7 十字相乘法 25．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，可设（其中a、b为整数）则可求出，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 26．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【答案】 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 27．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： ． 28．项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 题型8 分组分解法 29．分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 30．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 31．要把多项式分解因式，可以把它的前两项和后两项分别分成一组，并在前面一组提出a，后面一组提出b，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种分解因式的方法叫作“分组分解法”，仿照材料中提供的方法把分解因式，结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将多项式重新分组，利用平方差公式和提公因式法进行分解． 【详解】解：将多项式 分组为： ， ∵，， ∴原式 ． 故答案为：． 32．我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： (1)仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； (2)已知，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①仿照题干中的方法把拆成，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； ②利用分组分解因式的方法，可得：原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； （2）利用拆项法可得：，利用完全平方公式分解因式可得，根据平方的非负性可得，，，再根据三角形的周长公式求解． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ． 题型9 因式分解的应用 33．已知式子，，，，，分别对应下列六个字：爆、学、数、美、了、夯．现将因式分解，结果呈现的信息可能是（     ） A．数学美 B．夯爆了 C．数学夯爆 D．美学夯爆 【答案】C 【分析】先对原式因式分解，再将分解得到的因式对应题目给出的汉字，即可得到结果，解题用到提公因式法和平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 根据题意，对应关系为：对应数，对应学，对应夯，对应爆， ∴结果呈现的信息可能是数学夯爆． 34．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码151719，则______． 【答案】 【分析】先对多项式提取公因式，再根据密码得到因式分解的结果，展开多项式后对应系数相等求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：， 当时，可以得到密码， 分解后的三个因式为，，，即分解结果为， ， ，， ． 35．【先导问题】 我们已经学习过完全平方公式：，通过将代数式凑成完全平方式，再利用“平方数是非负数”的性质，就能巧妙解决很多问题． 例1因式分解：． 原式． 例2已知，其中，为任意实数，求的最值． ， ， ∴当时，有最小值1． 【提炼模型】 通过先加上然后再减去一次项系数一半的平方，将代数式凑成完全平方式，这种解题方法称为配方法．在此基础上再利用平方数的非负性，实现因式分解、求代数式最值或根据多个非负数的和为0求解未知数． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： 【识别、应用模型】 (1)因式分解：________； (2)若，其中为任意实数，求的最值； 【总结提升】 (3)已知、、是的三边长，且，求的周长． 【答案】(1) (2)有最小值 (3)的周长为 【分析】（1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解a，b，c，最后计算三角形周长即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∴当时，有最小值． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴、、满足三角形的三边关系， ∴的周长为． 36．研究得到：对于任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行运算：第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步：． (1)若从某正整数出发，第一步运算得到16，求所有满足条件的正整数； (2)若（为任意正整数）符合以上运算规律，那么（为任意正整数）是否也满足该运算规律？请说明理由． 说理如下： 因为为任意正整数 所以为奇数 则下一步运算结果为 所以可以经过多次运算化为的形式，即满足该运算规律． （请将说理空缺步骤填入以上框中．） 【答案】(1)32或5 (2)因为为偶数， 所以下一步运算结果为 所以下一步运算结果为 由于是任意正整数，因此属于题中所述的的形式． 【分析】（1）分为偶数和为奇数求解即可； （2）将连续进行两次除以的运算． 【详解】（1）解：若为偶数，则，解得； 若为奇数，则，解得； 所以所有满足条件的正整数为32或5； （2）略 题型10 因式分解中求最值 37．假设是整数，是正整数，那么的最小可能值是多少？（） A． B． C． D． E． 【答案】B 【分析】利用配方法对二次多项式变形，根据为整数为正整数的条件，求出多项式的最小可能值． 【详解】解：由 ， ∵为整数，为正整数， ∴必为整数，平方数非负，的最小取值为， ∵是正整数， ∴的最小取值为， 当时，可取，满足是整数的要求，此时， ∴代入得原式的值为， 当时，， 因此原式最小可能值为． 38．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4)当，时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质和配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据例题方法，根据完全平方公式与平方差公式，因式分解，即可求解． （3）模仿题目中的方法，用配方法求最大值即可； （4）模仿题目中的方法，用配方法求最小值即可； 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式 ∴， ∴ 故答案为：． （2） （3） ∵， ∴， ∴， 当时，y的最大值为； （4） ， 当，时，原式取最小值． ∴当，时，多项式有最小值． 39．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 40．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题． 例如：， ， ． 则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 【答案】（1），；（2）这个代数式的最大值是，这时相应的的值是；（3）此时这根铁丝剪成两段后的长度均为150cm，两个正方形的面积之和有最大值 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）将化为即可求解； （3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意列出式子，通过配方求解． 【详解】解：（1）由题意：，当时取到最小值； 故最小值为，相应的， 故答案：． （2） 则这个代数式的最大值是，这时相应的的值是． （3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意得： 当，两个正方形的面积之和有最大值． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是：会对代数式进行配方成完全平方公式再求解． 题型11 因式分解与几何相关 41．一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，解题的关键在于对已知关系式变形，推导出、、的关系．将已知关系式进行因式分解，得出，分或两种情况讨论，结合三角形边长关系排除不可能情况，从而确定三角形的形状． 【详解】解： ， ， 或 若，则， 这个三角形为等腰三角形； 若，则， ，， 为三角形边长，均大于， ，但此时，不满足三角形两边之和大于第三边，即， 该情况不成立， 综上，这个三角形一定是等腰三角形． 故选：A． 42．正整数a、b、c是等腰三角形的三边长，并且，则这样的三角形有________个． 【答案】3 【分析】本题考查的是因式分解的应用及等腰三角形的知识，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键．先将 可以化为，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案． 【详解】解：可以化为 ， 其中a，b，c都是正整数，并且其中两个数相等， 令，，则m，n为大于2的正整数， 那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合， 当时，，无法得到满足等腰三角形的整数解； 当时，，无法得到满足等腰三角形的整数解； 当时，，无法得到满足等腰三角形的整数解； 当时，，可以得到，可以组成等腰三角形； 当时，，可得，可以组成等腰三角形，是两腰； 当时，可得，可以组成等腰三角形，是两腰． ∴一共有3个这样的三角形． 故答案为：3． 43．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 即：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式和平方差公式，非负数的性质．读懂材料，理解配方法是解题关键． （1）根据材料利用配方法结合完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （2）原等式可变形为，结合非负数的性质可求出，再求出三角形的周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴三角形的周长为． 44．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有些多项式只用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．请你利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若三角形的三边长满足，判断三角形的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将原式分组组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，然后判断三角形形状即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， 又∵为三角形的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴三角形为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确运用分组分解法进行因式分解是解题关键． 题型12 因式分解的新定义问题 45．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 【答案】A 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 46．定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___． 【答案】13 【分析】本题考查了新定义——“完美数”，熟练掌握完全平方公式的应用，是解题的关键． 利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完美数”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴， 故答案为：13． 47．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义进行判定即可； （2）将化简，得到，根据k是正整数，得到能被8整除，即可解答； （3）推导出，则原式可化为，继而计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“和谐数”； 设， 解得：，不是整数， 不是“和谐数”． （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：由（2）可知，， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影面积为20000． 48．定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数． (1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外） (2)像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数． 【答案】(1)9，7（答案不唯一） (2)787与679或147与39 【分析】（1）根据数可以表示成（，为自然数）的形式，则称为“希尔伯特”数．得出；即可； （2）设第一个“希尔伯特”数为，第二个“希尔伯特”数为，两数作差求解即可． 【详解】（1）解：；；；； ∴9，7是“希尔伯特”数；（答案不唯一） （2）解：设第一个“希尔伯特”数为， 第二个“希尔伯特”数为， ∴ = ， ∵它们的差是108， ∴， ∴，即， ∵m，n为正整数， ∴或， 解得或， 当时， ∴， ， 当时， ∴， ， ∴这两个“希尔伯特”数分别为787与679或147与39． 【点睛】本题考查新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组，掌握新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组是解题关键． 1．已知式子，，，，，分别对应下列六个字：爆、学、数、美、了、夯．现将因式分解，结果呈现的信息可能是（     ） A．数学美 B．夯爆了 C．数学夯爆 D．美学夯爆 【答案】C 【分析】先对原式因式分解，再将分解得到的因式对应题目给出的汉字，即可得到结果，解题用到提公因式法和平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 根据题意，对应关系为：对应数，对应学，对应夯，对应爆， ∴结果呈现的信息可能是数学夯爆． 2．如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 3．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】C 【分析】把所求代数式因式分解得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 4．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 5．若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或． 6．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 7．李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意可得或或或，分别解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴或或或， 解不等式组得， 解不等式组得， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组，可知不等式组无解； 综上所述，或． 8．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先将原式整理为平方差的形式，利用平方差公式分解后，再对可分解的多项式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ． 9．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：①2222是“回文数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有90个“回文数”；④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有__________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据“回文数”的定义进行分析即可求解． 【详解】解：①根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；①是真命题； ②两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；故②是真命题； ③三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；③是真命题； ④设任意四位数的“回文数”的千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，则， 根据定义，，， ∴， ∴是的倍数；④是真命题； 综上：①②③④是真命题. 10．在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是__________ ． 【答案】等腰三角形 【分析】先把等式两边的项移到一起，整理成一边为零的形式；对整理后的式子进行因式分解，得到两个因式相乘等于零的形式；根据三角形边长的性质(两边之和大于第三边)，排除其中一个因式为零的可能；得出剩下的因式为零，即两条边相等，判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴， 即， 即， ∴， ∵的三边长分别为、、， ∴， ∴， 即， ∴的形状一定是等腰三角形． 11．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 12．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 【答案】1 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 13．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 14．定义：若一个正整数能表示成两个连续正奇数的平方差形式，那么我们把这样的正整数叫做“奇衍数”，如，正整数8就是“奇衍数”．那么100以内所有“奇衍数”的和为__________． 【答案】624 【分析】设n为正整数，则是两个连续的正奇数，可证明，则所有的“奇衍数”一定是8的倍数，求出100以内所有能被8整除的正整数的和即可得到答案． 【详解】解：设n为正整数，则是两个连续的正奇数， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴所有的“奇衍数”一定能被8整除， ∴100以内所有“奇衍数”的和为． 15．分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 16．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．完全平方公式的应用： (1)用等号或不等号填空： ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ； (2)无论取何值，与总有这样的大小关系吗？试说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由如下： ， ∴无论取何值，总有． 【分析】（1）代入数据计算即可解答； （2）利用作差法，根据完全平方公式得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，，，则； ②当时，，，，则； ③当时，，，，则； （2）略 18．【阅读材料】 “换元法”是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具． 例题  因式分解：． 思路：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原成“”即可． 【解决问题】 (1)根据【阅读材料】中的“思路”，写出例题的解答过程； (2)在有理数范围内，利用换元法因式分解：． 【答案】(1)设，则原式． 把代入， 得原式 (2) 【分析】（1）根据题意进行因式分解即可； （2）设，再根据题意进行因式分解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则 原式． 把代入，得 原式． 19．配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式（）变形为的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： (1)分解因式；原式______． (2)求代数式的最小值：， ∵， ∴当即时，有最小值，最小值是______． [拓展应用] (3)如图，在四边形中，，，，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）根据不等式的性质求解； （3）设与交于点O，首先表示出，然后利用配方法表示出四边形面积，然后求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，设与交于点O ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，四边形面积的最大值为9． 20．项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $