专题01 数据的收集、整理与描述+认识概率20大题型（暑假复习讲义）新九年级数学苏科版

专题01 数据的收集、整理与描述+认识概率 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 调查收集数据的过程与方法 题型2 全面调查与抽样调查 题型3 总体、个体、样本、样本容量 题型4 扇形统计图 题型5 条形统计图 题型6 折线统计图 题型7 条形统计图、扇形统计图信息关联的问题 题型8 选择合适的统计图 题型9 由样本所占百分比估计总体的数量 题型10 借助调查做决策 题型11 频数与频率 题型12 频数分布表 题型13 频数分布直方图 题型14 用样本的频数估计总体的频数 题型15 数据的收集、整理与描述大题专训 题型16 随机事件 题型17 概率 题型18 求事件的频率 题型19 由频率估计概率 题型20 用频率估计概率的综合应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 普查与抽样调查 2. 统计图 3. 借助调查做决策 4. 频数与频率 5. 频数分布表和频数分布直方图 6.随机事件 7.概率计算 8. 频率与概率 1. 侧重考查调查方式辨析，结合生活实际场景区分普查与抽样调查，考查样本选取的随机性、代表性，规避片面抽样的错误考查。 2. 高频考查统计核心概念，围绕总体、个体、样本、样本容量出题，重点区分概念差异，常设陷阱考查样本容量不带单位的细节。 3. 聚焦三大统计图基础应用，考查条形、扇形、折线统计图的读图、补图，侧重数据提取、百分比换算与基础数值计算题型。 4. 扇形统计图为必考重点，集中考查圆心角计算、缺失数据补全、占比分析，常结合生活情境出题，检测数据运算与解读能力。 5. 频数分布直方图专项考查，重点考查组距、组数划分，频数、频率的换算计算，同时考查图表补画、数据核对与误差分析。 6. 注重统计综合应用与简答，结合实际生活情境数据分析，考查结论总结、趋势判断、合理决策，侧重答题规范性表述。 7. 常结合生活实例考查随机、必然、不可能事件辨析，以选择填空夯实基础概念。 8. 依托摸球、转盘题型求简单概率，搭配图表计算，侧重基础列式与实际应用。 考情解码：本章为中考基础必考内容，题型以选择、填空、解答题为主。重点考查调查方式、统计核心概念、三大统计图、频数直方图和概率的计算，侧重数据读取、计算与补图。命题贴合生活情境，注重基础运算与数据分析，难度偏低，侧重考查答题细心度与规范性。 知识点一 普查与抽样调查 普查：为一特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查。 抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查(简称抽样)。 普查与抽样调查的优缺点 优点 缺点 普查 调查的结果准确 往往花费多,工作量大,而且有些调查也不宜使用普查 抽样调查 花费较少,工作量较小,便于进行 样本的抽取是否得当 ,直接关系到对总体的估计，所以抽取的样本要具有代表性。 两种方法的选择：根据要调查的事件灵活处理，结合需求、时间成本、金钱成本等综合选择。 【易错提醒】 切勿凭主观判断调查方式，范围广、具有破坏性、工作量大的调查需用抽样调查，范围小、要求精准无误差的适用普查。抽样必须保证样本随机、广泛、有代表性，片面、单一样本会导致统计结果失真，做题需结合实际场景精准区分。 即时即练 1．下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A．了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 【答案】B 【分析】根据普查的适用场景判断即可，普查结果准确，但成本较高，适合对精度要求极高，调查对象范围有限的调查． 【详解】解：A、调查对象为无锡市民，数量多范围广，适合抽样调查，不符合题意． B、飞船零部件关乎飞行安全，每个零件都需要检查，对精度要求极高，最适合采用普查，符合题意． C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合普查，不符合题意． D、调查对象为全国中小学，范围广数量大，适合抽样调查，不符合题意． 知识点二 总体、个体、样本、样本容量 总体：考察对象的全体叫做总体； 个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体； 样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本； 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。（记住千万不能带单位） 即时即练 2．为了了解亭湖区八年级7000名学生的期中数学成绩情况，从中抽取了1000名考生的成绩进行统计，以下说法：①这7000名学生的期中数学成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③1000名考生是总体的一个样本；④样本容量是1000．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①这7000名学生的期中数学成绩的全体是总体，故①正确； ②每个考生的期中数学成绩是个体，故②不正确； ③1000名考生的期中数学成绩是总体的一个样本，故③不正确； ④样本容量是1000，故④正确， 所以，上列说法，其中说法正确的有2个． 故选：B． 知识点三 统计图 类型 特征 概念 优点 缺点 条形统计图 用宽度相同的“ 条形” 的高度描述各统计项目的数据 能清楚地表示出每个项目的具体数目，易于比较数据之间的差别 不能准确地描述各部分量之间的关系 扇形统计图 用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，简单直观 不适合较大的数据集展现，且数据项中不能有负值 折线统计图 用折线描述数据的变化过程和趋势 能清楚地反映事物的变化情况，适合展现较大数据集 不能反映每一个数据在总体中的具体情况 在解决实际问题时 , 应根据实际需要选用合适的统计图 在扇形统计图中 , 扇形圆心角=该统计项目占总体的百分比×360° 即时即练 3．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角的度数是 ． (3)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】(1)100 (2)图形补全见详解； (3) 【分析】（1）用已知量除以该量所占百分比即可求出结果； （2）用乘以“阅读”所占百分比可得出圆心角度数； （3）用样本估算总体． 【详解】（1）解：这次研究一共调查的学生数量为： 名， （2）解：爱好阅读的人数为： 人， 图形补全如下图： “阅读”部分的圆心角为： ； （3）解：全校爱好运动的学生人数为： 人． 答：全校爱好运动的学生人数为人． 知识点四 频数和频率 频数：在统计数据时 ,各个对象出现的次数有多有少,或者说出现的频繁程度不同 ,某个对象出现的次数称为该对象的频数； 频率：频数与总次数的比值称为频率。 三大必备公式： 1、总数 = 各组频数之和 2、各组频率之和 = 1（一定等于 1） 3、频数 = 频率 × 总数 高频易错点 1、频率是小数或分数，不是次数。 2、频率之和一定是 1，不是 100（除非题目要求 %）。 3、频数一定是整数，频率可以是小数。 即时即练 4．小强同学对本校学生完成家庭作业的时间进行了随机抽样调查，并绘成如下不完整的三个统计图表． 各组频数、频率统计表 组别 时间（小时） 频数（人） 频率 A 20 B ______ a C ______ ______ D 30 合计 b (1) ______， ______， ______，并将条形统计图补充完整． (2)若该校有学生3200人，估计完成家庭作业时间超过1小时的人数． 【答案】(1)；100；；见解析 (2)完成家庭作业时间超过1小时的人数为2080人 【分析】（1）利用A组的频数除以频率得到总数b，用B组人数除以总人数得到a，用1减去A、B、D组的频率再乘以360度即可求出，求出C组人数，然后补全条形统计图即可； （2）用总数3200乘以完成家庭作业时间超过1小时的频率即可得到答案． 【详解】（1）解：调查总人数为（人）， ， ； C组的人数为：（人）， 补全条形图，如图所示： （2）解：（人）； ∴完成家庭作业时间超过1小时的人数为2080人． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，会计算总数，圆心角度数，部分的数量． 知识点五 频数分布表和频数分布直方图 频数分布表：我们把各个组别中相应的频数分布用表格的形式表示出来就得到频数分布表； 频数分布直方图：根据频数分布表绘制成的条形统计图称为频数分布直方图 ,它直观地呈现了频数的整体分布情况。 即时即练 5．在一次社会调查活动中，八年级学生小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下（表一、表二），并对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了不完整的统计图： 表一 5640 6430 6520 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 7326 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850 表二 组别 步数组别 频数 A 2 B 10 C m D 3 E n 根据以上信息解答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)请补全频数分布直方图； (3)若该团队共有160人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数． 【答案】(1)4；1 (2)图见解析 (3)64人 【分析】（1）根据题目中所给的数据，确定在这个范围内数据的个数即可得m的值，确定在这个范围内数据的个数即可得n的值； （2）根据（1）所得的数据补全统计图即可； （3）用该团队的总人数乘以一天行走步数不少于7500步的人数所占的比重即可得答案． 【详解】（1）解：由记录的数据可知，在的有8430、8215、7638、7850这4个，即； 在的有9865这1个，即． （2）解：如图， （3）解：人， 所以该团队一天行走步数不少于7500步的人数约为64人． 知识点六 确定事件与随机事件 1、不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件； 2、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。例如，“抛出的篮球会下落”是必然事件； 3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件； 4、随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件。 即时即练 6．下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．明天早上，太阳从东边升起 B．打开一本数学书，翻到偶数页 C．任意投一枚骰子，朝上面的点数是7 D．一个标准大气压下，水温升到时沸腾 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、明天早上太阳从东边升起，是一定会发生的，属于必然事件，不符合要求； B、打开一本数学书，可能翻到偶数页，也可能翻到奇数页，事件发生与否不确定，∴属于随机事件，符合要求； C、投一枚骰子，朝上面最大点数为6，点数为7是一定不会发生的，属于不可能事件，不符合要求； D、一个标准大气压下，水温升到时沸腾，是一定会发生的，属于必然事件，不符合要求． 知识点七 可能性的大小 必然发生的事件可能性最大； 不可能发生的事情发生的可能性最小； 随机事件发生的可能性有大有小， 不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。 拓展：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1, 其中，P(不可能事件)=0 P(必然事件)=1 0<P(随机事件)<1 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 即时即练 7．口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有5个红球，2个白球，3个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出红球的可能性大小是__________． 【答案】 【详解】解：口袋中总球数为个，红球有个， 摸出红球的可能性为． 知识点八 概率与频率 1、频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定 ，这个性质称为频率的稳定性。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 2、用频率估计一个随机事件发生的概率：通常要经历“试验并收集、整理、描述数据—计算频率—做出估计”的过程。应当注意，这里的“试验”，必须在相同条件下进行，并且试验的次数要足够多。 即时即练 8．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________（精确到） 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某一数值附近，该数值可作为概率的估计值，观察表格中频率的稳定趋势即可估计概率． 【详解】解：由表格数据可知，随着每批粒数即试验次数的增加，该油菜籽发芽的频率在附近波动并趋于稳定， 故估计该油菜籽种子发芽的概率为． 题型1 调查收集数据的过程与方法 例1．某学习小组计划对当地人口老龄化问题展开调查研究，罗列了以下几个调查活动的环节：①提出问题；②整理数据；③描述数据；④分析数据；⑤作出决策，请对这5个环节进行排序，正确的是（   ） A．①④③②⑤ B．①②④③⑤ C．④②③①⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】按统计活动的顺序对给定环节排序即可． 【详解】解：∵统计调查活动遵循从提出问题到最终决策的逻辑顺序， ∴正确的排序为：①提出问题，②整理数据，③描述数据，④分析数据，⑤作出决策，即排序结果为①②③④⑤． 【易错警示】 易随意选择调查方式，忽略调查的可行性与准确性；抽样时样本不随机、不全面，缺乏代表性。容易出现数据重复、遗漏、记录错误，误用无效数据，导致统计结果偏差、分析结论出错。 【变式训练1-1】 【变式1】学校图书馆孙老师想了解本校学生课外阅读情况，他设计了如下调查表． 不足30分钟 30分钟-1小时 超过1小时 根据上表，他想调查的问题是（    ） A．你每月读多少本书 B．你了解哪些名人名著 C．你每天读书多长时间 D．你喜欢读什么类型的书籍 【答案】C 【分析】本题考查了调查问题．根据表格中的时间选项，确定调查问题的核心内容． 【详解】解：表格中的三个选项均为时间范围：“不足30分钟”“30分钟-1小时”“超过1小时”，均与阅读时长相关． 选项C“你每天读书多长时间”直接对应时间段的划分，符合表格设计的目的． 选项A涉及数量而非时间， 选项B、D涉及书籍内容或类型，均与表格中的时间分类无关． 因此正确答案为C． 故选：C． 【变式2】通过“数据的分析”的学习，我们知道了统计调查活动要经历的5个重要步骤：①收集数据；②设计调查问卷； ③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．这5个步骤正确排序为___________________（填序号）． 【答案】②①④⑤③ 【分析】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确进行数据的调查步骤是解题关键．根据已知统计调查的一般过程：①问卷调查法收集数据；②列统计表整理数据；③画统计图描述数据进而得出答案． 【详解】解：解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序为： ②设计调查问卷，①收集数据，④整理数据，⑤分析数据，③用样本估计总体． 故答案为②①④⑤③． 【变式3】为了解某市万名学生平均每天读书的时间，请你运用数学的统计知识将统计的主要步骤进行排序： ①得出结论，提出建议； ②分析数据； ③从万名学生中随机抽取名学生，调查他们平均每天读书的时间； ④利用统计图表将收集的数据整理和表示． 合理的排序是 _____． 【答案】③④②① 【分析】根据调查统计的方法步骤进行判断即可． 【详解】解：根据调查、统计的方法和步骤可知， 统计的主要步骤依次为： ③从万名学生中随机抽取名学生，调查他们平均每天读书的时间； ④利用统计图表将收集的数据整理和表示； ②分析数据； ①得出结论，提出建议， 合理的排序为：③④②①， 故答案为：③④②①． 【点睛】本题考查调查统计的方法和步骤，掌握调查统计的方法步骤是正确解答的前提． 题型2 全面调查与抽样调查 例2．下列调查适合普查的是（     ） A．北京冬奥会开幕式的收视率 B．一批灯的使用寿命 C．长江中现有鱼的种类 D．全班同学最喜爱的歌曲 【答案】D 【详解】解：A选项调查北京冬奥会开幕式收视率，范围广，工作量大，适合抽样调查； B选项调查灯使用寿命具有破坏性，不适合普查； C选项统计长江中现有鱼的种类，范围大，难以完成全面调查，适合抽样调查； D选项调查全班同学最喜爱的歌曲，调查范围小，人数少，可完成全面调查，适合普查． 【易错警示】 易混淆全面调查与抽样调查适用场景，对破坏性、大范围调查误用普查。抽样时常选取样本单一、不随机、无代表性，同时易忽视调查误差，造成统计结论不准确、判断失误。 【变式1】下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的体重情况 B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C．调查某市居民的防诈意识 D．调查某班学生的节水意识 【答案】D 【分析】全面调查适合调查对象数量少，无破坏性，易操作的调查． 【详解】解：A、调查全国中学生体重，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查，故不符合题意； B、调查汽车电池使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，故不符合题意； C、调查某市居民防诈意识，范围大，对象多，不适合全面调查，故不符合题意； D、调查某班学生节水意识，班级学生数量少，范围小，易操作，适合全面调查． 【变式2】神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日12时11分在酒泉卫星发射中心发射，二十二号载人航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为______．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】普查 【分析】本题考查调查方式的选择，需根据调查的重要性与要求，结合普查和抽样调查的适用场景进行判断． 【详解】解：根据题意，飞船零部件质量直接关系发射安全，必须保证每个零部件都合格，因此需要对所有零部件进行检查，最合适的调查方式为普查． 【变式3】下列调查：①调查一批灯泡的使用寿命；②调查全班同学的身高；③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；④企业招聘，对应聘人员进行面试．其中适合抽样调查的是________（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此进行进行判断． 【详解】①调查一批灯泡的使用寿命，属于具有破坏性的调查，适合抽样调查；②调查全班同学的身高，属于对于精确度要求高的调查，适合全面调查；③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，属于具有破坏性的调查，适合抽样调查；④企业招聘，对应聘人员进行面试，属于事关重大的调查，适合全面调查． 故答案为：①③． 题型3 总体、个体、样本、样本容量 例3．为了解我校八年级480名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（   ） A．被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B．被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C．被抽取的100名学生是总体的一个样本 D．样本容量是100 【答案】D 【分析】先根据总体、个体、样本、样本容量的定义确定考查对象，再逐一对应概念判断选项． 【详解】解：A、总体是我校八年级480名学生的期中数学考试成绩，故本选项错误； B、个体是我校八年级每一名学生的期中数学考试成绩，故本选项错误； C、抽取的100名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，不是100名学生本身，故本选项错误； D、样本容量是100，故本选项正确． 【易错警示】 易将调查实物当成总体、个体，混淆四个统计概念。最易错点是给样本容量添加单位，同时常弄错样本抽取范围，导致统计对象判定错误、答题失分。 【变式1】为了解全市名八年级学生对“苏超联赛”的关注情况，某市体育局从全市八年级学生中随机抽取名进行问卷调查，统计其平均每个月观看赛事的时长．下列说法正确的是（　　） A．被抽取的500名学生是样本 B．全市28000名八年级学生的全体是总体 C．样本容量是500 D．被抽取的每一名八年级学生是个体 【答案】C 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量，根据总体、个体、样本、样本容量的概念判断即可． 【详解】选项A：被抽取的500名学生平均每个月观看赛事的时长是样本，不是学生本身，所以选项A不符合题意； 选项B：全市28000名八年级学生对“苏超联赛”的关注情况，不是学生本身，所以B选项不符合题意； 选项C：样本容量是抽取的个体的量，即500，故C选项正确，符合题意； 选项D：被抽取的个体是八年级每一个学生观看赛事的时长，而不是八年级每一名学生，所以D不符合题意． 【变式2】为了解我校八年级800名学生的视力情况，从中抽取了50名学生的视力情况进行统计．下列判断：①800名学生是总体；②我校八年级每名学生的视力情况是个体；③50名学生是总体的一个样本；④50是样本容量．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：①800名学生的视力情况是总体，故①错误； ②我校八年级每名学生的视力情况是个体，故②正确； ③被抽取的50名学生的视力情况是总体的一个样本，故③错误； ④50是样本容量，故④正确． 【变式3】某农户在山下种了44棵红枣树，收获时先随意采摘5棵红枣树上的红枣，称得每棵树上红枣的质量（单位：）分别为35，35，34，39，37． (1)本题是利用什么调查方式得到的数据？ (2)本题的总体、样本、样本容量分别是什么？ 【答案】(1)抽样调查 (2)总体为44棵红枣树上的红枣的质量，样本为从中抽取的5棵红枣树上的红枣的质量，样本容量为5 【分析】此题主要考查了调查的方式，总体、样本及样本容量的定义． （1）根据题意结合调查的方式即可解答； （2）根据所要考查对象的全体是总体，所抽取的考查对象的样本，样本的数量是样本容量，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，本题是利用抽样调查的方式得到的数据； （2）解：由题意得：总体为44棵红枣树上的红枣的质量， 样本为从中抽取的5棵红枣树上的红枣的质量， 样本容量为5． 题型4 扇形统计图 例4．对某校七（1）班和七（2）班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，分别绘制了扇形统计图如图，下列说法正确的是（　） A．七（1）班中最喜欢足球的人数比七（2）班中最喜欢足球的人数少 B．七（1）班中最喜欢篮球的人数和七（2）班中最喜欢篮球的人数一样多 C．七（2）班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多 D．七（2）班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多 【答案】C 【分析】根据扇形统计图里的数据逐一判断即可．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，但不能直接反映具体数量，除非已知总体数量；在同一总体中，百分比越大，数量越多；百分比相等，数量相等． 【详解】解： 七（1）班和七（2）班的学生总人数不确定， 无法比较两个班最喜欢足球或篮球的具体人数，故A，B错误； 在七（2）班的扇形统计图中，最喜欢篮球的占，最喜欢足球的占， 七（2）班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多， C正确，D错误． 【变式1】某校对学生上学的交通方式进行调查，如图为收集数据后绘制的扇形统计图．已知骑自行车的人数为400人，根据图中提供的信息，本次调查的对象中选择乘私家车上学的人数是（   ） A．200 B．220 C．360 D．1000 【答案】B 【分析】本题考查利用扇形图求某项目的数量，用总人数乘以选择乘私家车上学的人数所占的百分比进行求解即可． 【详解】解：（人）； 故选B． 【变式2】在下午课外活动期间，某班45名学生参加排球、足球、篮球三个项目的运动，每人参加一个项目，其中参加足球运动的学生占总人数的，另外有20人参加排球运动，其余的学生都参加篮球运动，绘制成扇形统计图，则参加篮球运动的圆心角度数为_____． 【答案】/度 【分析】先根据总人数和参加足球运动的占比求出参加足球运动的人数，再计算出参加篮球运动的人数，得到参加篮球运动人数占总人数的比例，最后用乘以该比例得到所求圆心角度数． 【详解】解：由题意得，参加足球运动的人数为（人）， 参加篮球运动的人数为（人）， 参加篮球运动人数占总人数的比例为， ∴参加篮球运动的圆心角度数为． 【变式3】如图是实验小学六年级同学喜欢的运动项目统计图． （1）若300人参加调查，那么喜欢篮球与足球的一共有 ________ 人． （2）若喜欢跳绳的有60人，那么喜欢踢毽子的有 _______ 人． （3）若喜欢篮球的比足球的多50人，那么喜欢跳绳的有 _______ 人． 【答案】 165 48 50 【分析】本题考查扇形统计图： （1）总人数乘以喜欢篮球与足球的人数所占的百分数即可； （2）跳绳人数除以所占百分数得总人数，总人数乘以踢毽子所占的百分数即可得对应人数； （3）50人除以对应的百分数得总人数，再乘以跳绳所占的百分数即可得对应人数． 【详解】解：（1） （人） 答：喜欢篮球与足球的一共有165人． （2） （人） 答：喜欢踢毽子的有48人． （3） （人） 答：喜欢跳绳的有50人． 故答案为：（1）165；（2）48；（3）50． 题型5 条形统计图 例5．某校随机调查了若干名学生和家长对中学生带手机进校园的态度，并将调查结果绘制成如图的不完整的统计图．已知调查家长的人数与调查学生的人数相等，则家长反对学生带手机进校园的人数为_____． 学生及家长对中学生带手机进校园的态度统计图 ‍ 【答案】 【分析】本题考查的是条形统计图．根据调查家长的人数与调查学生的人数相等，进而解答即可． 【详解】解析：因为随机调查的家长人数与随机调查的学生人数相等， 所以家长反对学生带手机进校园的人数有（人）． 故答案为：． 【变式1】年月日是第个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形统计图，则的值为____ 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图，计算条形统计图中某项的数量，正确分析条形统计图是解答本题的关键． 用减去一、三等奖和优胜奖的件数即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】世界地球日（月日）是专为环境保护设立的全球性节日，旨在呼吁公众关注生态问题、践行绿色生活．某校针对学生的“日常环保行为”抽取了一部分学生进行问卷调查，并设计了如下调查问卷： “日常环保行为”调查问卷 请在下列选项中选择您的日常环保行为，在其后“[    ]”内打“√”，非常感谢您的合作（可多选）： ．垃圾分类[    ]                            ．节约用水用电[    ] ．减少塑料使用[    ]                        ．绿色出行[     ] 所有问卷全部收回且有效，并将统计结果绘制成不完整的统计图表： “日常环保行为”调查统计表 类别 占调查总人数的百分比 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)填空：参与本次问卷调查的总人数为 ，统计表中的值为 ． (2)请补全条形统计图． (3)根据上述调查结果，估计该校名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数． 【答案】(1)， (2)补图见解析 (3)名 【分析】（）用类别人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的总人数，用减去其他三组类别的百分比可求出的值； （）求出类别的人数，即可补全条形统计图； （）用乘以选择“绿色出行”的百分比即可求解； 本题考查了条形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图表是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴参与本次问卷调查的总人数为， ∵ ， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴选择类别的人数为， ∴补全条形统计图如下： （3）解：（名）， 答：估计该校名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数为名． 【变式3】学校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了次测试，每次各跳远次，统计成绩如下表（单位：）．注：表示犯规．将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”，及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． 第次测试 第次测试 第次测试 甲 乙 (1)补全条形统计图． (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 【答案】(1)补图见解析 (2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见解析 【分析】（）求出甲“一般成绩”的次数，进而补全条形统计图即可； （）根据条形统计图比较即可判断求解； 本题考查了条形统计图，看懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：由统计表可知，甲“一般成绩”的次数有次， ∴补全条形统计图如下： （2）解：乙参加跳远比赛较为合适，理由如下： 根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数比甲少，所以乙参加跳远比赛较为合适． 题型6 折线统计图 例6．A、B两种品牌牛奶销售增长率折线统计图如图．则下列三种说法： ①B品牌的牛奶销售量逐年在增加 ②A品牌的牛奶销售量在2023年到2024年呈下降趋势 ③2022年到2025年，B品牌的牛奶销售量都比A品牌多，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【答案】D 【分析】本题考查了折线统计图的分析，解题的关键是区分增长率与销售量的概念，增长率为正则销售量增加，增长率下降但仍为正，销售量仍增加，增长率无法直接反映销售量的大小． 根据折线统计图中增长率的正负判断销售量的增减，结合增长率的含义分析各说法的正误． 【详解】解：①B品牌牛奶的销售增长率始终为正，故销售量逐年增加，此说法正确； ②A品牌牛奶2023到2024年的增长率虽下降，但仍为正，销售量仍在增加，并非下降，此说法错误； ③折线图反映的是增长率，无法比较销售量的大小，此说法错误． 综上，只有①正确，故选：． 【变式1】下图是我国某省会城市的生产总值的统计图，地区生产总值等于第一产业增加值、第二产业增加值、第三产业增加值之和．下列说法错误的是（     ） A．2015年年期间，第一产业增长平缓，第三产业增幅最大 B．2024年，第三产业增加值在当年生产总值中占比超过 C．2015年年期间，第二产业增加值呈现先增加再减少的趋势 D．2017年该市生产总值首次突破10000亿元 【答案】D 【分析】先结合图例明确数据对应关系：橙色为地区生产总值，浅蓝色为第一产业增加值，紫色为第二产业增加值，绿色为第三产业增加值，逐个分析选项即可； 【详解】解：选项A：第一产业2015年为232.39亿元，2024年为331亿元，增长幅度很小、增长平缓；第三产业从5571.61亿元增长到12338.75亿元，增幅远高于第一、第二产业，描述正确； 选项B：2024年第三产业增加值为12338.75亿元，生产总值为18500.81亿元，，占比超过，描述正确； 选项C：第二产业增加值从2015年到2022年持续增长，2022年到2024年逐年下降，整体呈现“先增加再减少”的趋势，描述正确； 选项D：2016年该市生产总值已经达到10503.02亿元，已经突破10000亿元，并非2017年才首次突破，描述错误． 【变式2】某种预防病虫害的农药需在3月1日～3月15日喷洒，且连续三天完成．又知当最低温度不低于0℃，且昼夜温差不大于10℃时药物效果最佳，为此工作人员查看了3月1日～3月15日的天气预报情况（如图）．由图可知，药物喷洒可以安排在____________日开始进行． 【答案】3或12 【分析】本题考查折线统计图，解题关键是正确理解与分析统计图，得出结论或推断发展趋势． 根据“最低温度不低于摄氏度，昼夜温差不大于摄氏度，需要连续三天完成”对应每天进行分析即可得到结论． 【详解】解：根据图象知：日、日、日、日最低温度低于摄氏度， 日、日、日昼夜温差大于摄氏度， 连续三天符合以上两条的有日、日、日和日、日、日， 故药剂喷洒可以安排在日或日开始进行， 故答案为：或． 【变式3】国家统计局发布了2026年1~2月份能源生产情况.数据显示：1~2月份，规模以上工业（以下简称规上工业）原煤生产保持稳定，原油生产由降转增，天然气生产稳定增长，电力生产增速加快； 下图是2025年1月至2026年2月规上工业原油产量月度走势数据： （注：“当月增速”指的是与上年同月相比的增长率） (1)2025年全年（1~12月）中，原油日均产量最高的是哪个月份? (2)有人认为“图中数据显示，2025年全年中，当月增速最大的那个月份原油日均产量并不是最高的，数据有误”.你同意这种说法吗?为什么? (3)若计划2026年5月当月增速达，计算2026年5月日均的目标产量（结果精确到0.1万吨）． 【答案】(1)3月份 (2)不同意，因为当月增速是与上年同月相比的增长率，跟当月的日均产量最高与否没有关系 (3)2026年5月日均的目标产量为60.8万吨 【分析】（1）根据统计图可进行求解； （2）根据题意合理说明原因即可； （3）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由统计图可知：2025年全年（1~12月）中，原油日均产量最高的是3月份； （2）答：不同意，因为当月增速是与上年同月相比的增长率，跟当月的日均产量最高与否没有关系． （3）解：由题意得： （万吨）； 答：2026年5月日均的目标产量为60.8万吨． 题型7 条形统计图、扇形统计图信息关联的问题 例7．某中学对延时服务选课意向进行了随机抽样调查，要求被调查者只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（    ） A．这次调查的样本容量是200 B．全校1200名学生中，估计选篮球课大约有400人 C．扇形统计图中，科技课所对应的圆心角是 D．被调查的学生中，选绘画课人数占比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了求样本容量、求扇形统计图的圆心角度数、由样本估计总体；从统计图获取信息，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴这次调查的样本容量为200，故A选项不符合题意； （人）， 即估计选篮球课大约有300人，故选项B说法错误，符合题意； 扇形统计图中，科技课所对应的圆心角是，故C选项不符合题意； 被调查的学生中，选绘画课人数占比为，故D选项不符合题意； 故选：B． 【易错警示】 不会联动两类统计图信息解题，误用单一图表数据计算。易混淆频数与百分比，扇形圆心角计算出错，漏找图表隐藏总数，数据对应错位，最终导致补图、计算结果错误。 【变式1】某校学生会主席竞选中，参与投票的学生必须从进入决赛的四名选手（甲、乙、丙、丁）中选1名，且只能选1名进行投票，根据投票结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，条形统计图（柱的高度从高到低排列）被墨迹遮盖了一部分，下列推断不正确的是（    ）    A．参与投票的学生有400人 B．的值为30 C．条形统计图中“（）”应填的选手是甲 D．乙的票数为120票 【答案】D 【分析】用丁的票数除以可求总人数，用“1”分别减去其他三人所占的百分比可得的值，用总人数可得乙的票数，从而即可得到答案． 【详解】解：参与投票的学生有：（人），故A选项正确，不符合题意； 的值为：，故B选项正确，不符合题意； 甲的票数最多，条形统计图中“（）”应填的选手是甲，故C选项正确，不符合题意； 乙的票数为：（票），故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【变式2】小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图，已知条形统计图中代表丙的小长方形的高度比代表乙的小长方形的高度高，由于不小心，小明弄脏了条形统计图中的一部分，若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则乙代表的颜色是______色． 【答案】红 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，从扇形统计图可知同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，即可求出总同学人数为50人，继而可求得喜欢红色的人数14人，从而可求出喜欢粉色和黄色的人数为16人和15人，即可求解． 【详解】解：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有5人，占， ∴总人数为：（人）， ∴喜欢红色人数为：（人）， 选择乙和丙的人数为（人）， 在条形统计图中，甲丙乙丁，且代表丙的小长方形的高度比代表乙的小长方形的高度高， 所以，乙代表的颜色是红色， 故答案为：红． 【变式3】为了解本校学生课外阅读情况，某学校随机抽取了部分学生，对他们3月份课外阅读时间进行调查，按阅读时长进行分类：平均每天课外阅读时间不超过20分钟的学生记为A类；平均每天课外阅读时间大于20分钟且不超过40分钟记为B类；平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟记为C类；平均每天课外阅读时间超过60分钟记为D类，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图 请解答下列问题： (1)这次共抽取了 名学生进行调查； (2)补全条形统计图； (3)如果该学校共有2000名学生，请你估计，该校3月份平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟的学生大约有多少人？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)人 【分析】（1）利用A类的人数除以对应的百分比即可得到答案； （2）求出D类人数补全统计图即可； （3）利用总人数乘以C类的占比即可求出答案． 【详解】（1）解：（名）， 即这次共抽取了名学生进行调查； （2）解：D类人数为：（名），补全统计图如下： （3）解：根据题意可得，（名） 即该校3月份平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟的学生大约有人． 题型8 选择合适的统计图 例8．佛山市三水区下辖个镇，各镇面积是：乐平镇平方公里，芦苞镇平方公里，大塘镇平方公里，南山镇平方公里，白坭镇平方公里，为直观地表示出各镇面积所占比例，最合适的统计图是（    ）． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布直方图 【答案】B 【分析】本题主要考查统计图的选择，熟练掌握各种统计图的应用是解题的关键． 根据描述部分和整体关系时用扇形统计图作出选择即可． 【详解】解：A. 条形统计图直观清楚地表示出每个项目的具体数目，便于同类之间比较大小，故不符合题意； B. 扇形统计图清楚地表示出各部分数量同总数之间的比例关系，故符合题意； C. 折线统计图不仅能表示出数量的多少，更能清楚地反映数据增减变化的趋势和幅度，故不符合题意； D. 频数分布直方图直观展示连续型数据在各个区间内的频数（出现次数），反映数据的分布特征，故不符合题意． 故选：B． 【变式1】下表是某林场工作人员统计的一棵树的生长情况，最好选用（   ）统计图描述． 生长年份/年 0 1 2 3 4 5 高度/米 0 1 A．条形 B．折线 C．扇形 D．雷达 【答案】B 【分析】本题考查统计图的选择，应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可． 【详解】解：上表是某林场工作人员统计的一棵树的生长情况， 主要是高度随生长年份的增减变化情况， 最好选用折线统计图描述． 故选：B． 【变式2】小明在体育新闻中看到，2026年4月11日江苏城市足球联赛（“苏超”）首个比赛日的四场比赛观众人数如下：常州队南通队：40832人；无锡队镇江队：28000人；苏州队扬州队：27000人；连云港队盐城队：28432人．为了更清楚地表示这四场比赛的观众人数多少，他打算绘制一个统计图．那么最适宜采用的统计图是____统计图．（填“折线”、“条形”、“扇形”） 【答案】条形 【分析】根据三种统计图的特点：条形统计图能清晰反映各项目的具体数量，便于体现数据的大小差异；折线统计图用于反映数据的变化趋势；扇形统计图用于反映各部分占总体的百分比，结合题目要清楚表示四场比赛观众人数多少的需求，选择合适的统计图． 【详解】解：根据题意和三种统计图的特点可知，最适宜的统计图是条形统计图． 【变式3】日常生活中有各种统计图，我们要学会分辨绘制．第次全国人口普查城乡人口数据如上表（单位：万人），你认为选用___________统计图能用于描述城乡人口变化过程和趋势（填“扇形”、“折线”或“条形”）． 年份 1990 2000 2010 2020 城镇人口数 30195 45906 66978 90220 乡村人口数 84138 80837 67113 50992 【答案】折线 【分析】本题考查不同统计图的特点，根据题干要求，结合三种统计图的用途进行判断即可． 【详解】解：扇形统计图用于表示各部分数量占总体的百分比， 条形统计图用于表示每个项目的具体数量， 折线统计图可以清晰反映数据的变化过程和变化趋势， 根据要求统计图能用于描述城乡人口的变化过程和趋势，因此应选用折线统计图． 题型9 由样本所占百分比估计总体的数量 例9．为了估计塘中鱼的数量，老李先从鱼塘中捞出100条鱼，做上标记后放回．待有标记的鱼完全混合后，再捞出200条鱼，发现其中有5条有标记．那么估计塘中约有鱼______条． 【答案】4000 【分析】利用样本中带标记的鱼的占比，等于总体中带标记的鱼的占比，建立方程求解总鱼数． 【详解】解：设鱼塘中约有鱼条， 根据题意可得比例关系：， 解得：， 经检验是原方程的解， 故估计鱼塘中约有鱼条． 【变式1】为了解某校学生最喜欢的课余活动，数学兴趣小组从该校抽取了部分学生进行调查，调查问卷分为“阅读”“娱乐”“运动”和“其他”四个大项，每个大项又分为若干小项，根据调查结果绘制了如下统计图． 若该校有学生1200名，估计喜欢阅读科普类书籍的人数是______名． 【答案】84 【分析】根据左侧扇形统计图求出喜欢阅读的学生人数，再根据右侧扇形统计图求出其中喜欢科普类书籍的人数，利用样本估计总体的思想进行计算即可． 【详解】解：（名）． 估计喜欢阅读科普类书籍的人数是84名． 【变式2】为了解社区居民对环保手作的喜爱情况，社区准备给2000户居民每户各发放一份手作材料包，志愿者随机选取80户居民的材料包查看，发现有16户的材料包是多肉种植手作．据此估计，社区准备的多肉种植手作材料包的总数约为______件． 【答案】400 【分析】本题主要考查了样本估计总体．求出样本中多肉种植手作的比例，即可求解． 【详解】解：样本中多肉种植手作的比例为， 所以多肉种植手作材料包的总数约为件． 故答案为400． 【变式3】某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图、图两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：       (1)该校九年级接受调查的人数为 ，并补全条形统计图． (2)扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数为 ． (3)若该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． 【答案】(1)50；如图补全条形统计图： (2) (3)432 【分析】（1）先根据享受美食的人数与百分比计算总人数，再计算“听音乐”方式减压的人数即可； （2）用乘以“体育活动”所对应的所占百分比即可求解； （3）用该校九年级人数乘以喜欢“体育活动或听音乐”方式的百分比即可求解． 【详解】（1）解：（人）． 听音乐人数：（人），图略． （2）解：． （3）解：（人）． 题型10 借助调查做决策 例10．为迎接端午节，某餐厅推出四种新款粽子（分别以表示），请顾客免费试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下： 通过以上数据，你能获得的信息是（   ） A．喜欢两款粽子的人加起来占样本的一半 B．款粽子比款粽子更受欢迎 C．喜欢款粽子的人只占样本的五分之一 D．款粽子最受欢迎 【答案】D 【分析】本题考查根据调查结果，下结论，通过统计各款粽子的频数，比较后得出正确结论即可． 【详解】解：由调查结果可知：喜欢款粽子的有8人；喜欢款粽子的有5人；喜欢款粽子的有5人；喜欢款粽子的有4人； 故总人数为， 喜欢两款粽子的人为9人，不到样本的一半；故A错误； 款粽子和款粽子一样受欢迎；故B错误； 喜欢款粽子的人占样本的，不到五分之一；故C错误； 款粽子最受欢迎；故D正确； 故选D． 【变式1】目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有位员工（编号分别为），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论： ①超额完成了目标任务； ②目标与实际完成相差最多的是； ③的目标达成度为100%； ④月度达成率超过且实际销售额大于万元的有三个人． 其中正确的结论是：______． 【答案】①②③④ 【分析】本题是散点统计图，根据统计图中的数据分别计算即可得出结论．通过坐标轴以及横坐标等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题是解题的关键． 【详解】解：由统计图得： ①月初制定的目标是万元，月末实际完成万元，超额完成了目标任务，结论正确； ②月初制定的目标是万元，月末实际完成万元，目标与实际完成相差最多，结论正确； ③月初制定的目标是万元，月末实际完成万元，目标达成度为，结论正确； ④实际销售额大于万元的有个人，分别是、、、， 月度达成率为：， 月度达成率为：， 月度达成率为：， 月度达成率为：， ∴月度达成率超过且实际销售额大于万元的有、、三个人，结论正确； 即正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【变式2】“身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． (1)随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； (2)估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； (3)基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 【答案】(1)130， (2)360人 (3)适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动（合理即可，答案不唯一） 【分析】（1）条形统计图中各组数据相加可得学生总数；用360度乘以“球类”活动所占百分比可得对应的圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）合理即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：， 即随机抽查了130名学生； 扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角为：； （2）解：， 答：估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数为360人； （3）解：根据学生最喜欢的体育活动类型以及每天参加综合体育运动时间达2小时的人数不到一半的情况，建议学校可以适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动． 【变式3】同学们计划在数学周开展“八年级同学最喜爱的球类运动”调查活动，号召同学们重视身体健康，热爱运动．九（1）班同学负责这项工作，并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，以便更直观地了解八年级同学最喜欢的球类运动情况． (1)以下是他们调查方案的步骤，请你按照合理的统计工作顺序，将这些步骤进行正确排序填序号 正确顺序是：__________________④ ①以班为单位，调查每位同学最喜欢的球类运动，将各班数据进行整理，并汇总填入统计表． ②根据统计表中的数据绘制条形统计图和扇形统计图． ③设计一个包含“球类运动名称”和“喜欢人数”的统计表． ④根据统计图了解八年级同学最喜欢的球类运动情况，为后续组建球类社团提供依据． (2)请根据统计图中的信息可以算出参加本次调查的总人数是______人，并把条形统计图补充完整． (3)学校打算组建球类社团，请你结合数据提出合理建议． 【答案】(1)③；①；② (2)；补图见解析 (3)建议优先组建篮球社团，其次可以组建羽毛球社团．同时，也可以根据实际情况，考虑组建足球、乒乓球社团，满足部分同学的需求 【分析】本题主要考查了统计的相关知识，包括统计工作的步骤、从统计图中获取信息进行计算以及根据统计结果提出建议等，熟练掌握统计的基本方法和从统计图中分析数据的技巧是解题的关键． （1）统计工作一般先明确目的，再设计统计表，接着收集数据，然后整理数据，最后绘制统计图并应用，按此逻辑对步骤排序； （2）从条形统计图知喜欢篮球的有70人，扇形统计图中篮球占比，根据“总人数=喜欢篮球的人数篮球占比”计算总人数，先算出喜欢羽毛球的人数总人数减去喜欢足球、篮球、排球、乒乓球的人数，再补充条形统计图； （3）根据各类运动喜欢的人数多少，人数多的优先组建社团． 【详解】（1）解：正确顺序是：③①②④ 故答案为：③①②； （2）解：从条形统计图知喜欢篮球的有70人，扇形统计图中篮球占比，根据“总人数=喜欢篮球的人数篮球占比”计算总人数可得： 人， 故答案为：200； 喜欢羽毛球的人数：人， 补充条形统计图如下． （3）解：因为喜欢篮球的人数最多，其次是羽毛球， 所以建议优先组建篮球社团，其次可以组建羽毛球社团．同时，也可以根据实际情况，考虑组建足球、乒乓球社团，满足部分同学的需求． 题型11 频数与频率 例11．为了解青少年每日使用数字设备时长，某机构绘制了频数分布直方图．已知样本容量为400，其中每日使用时长在1到1.5小时的小组频率为0.35，则这一小组的频数为（   ） A．140 B．120 C．160 D．180 【答案】A 【详解】解：由题意可知，样本容量为，该组频率， 频数． 【变式1】学校组织植树活动，七年级共4个班参加．已知本次活动共植树100棵，其中一班植树20棵，二班植树25棵，三班植树的频率为，则四班植树的频率为______． 【答案】 【分析】题目主要考查频率的计算，理解题意，根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【变式2】为了监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 尺寸 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 尺寸（单位：cm） 产品等次      特等品      优等品      合格品 或 非合格品 按照生产标准，产品等级规定如上表：（特别说明：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格个数时，将优等品（含特等品）算在内）． (1)本次调查属于_____，样本容量为_____． (2)在本次检测中，优等品的频率是_____ (3)已知此次抽检的合格率为，请求出编号为15的产品的尺寸b应满足的条件？ 【答案】(1)抽样调查；15 (2) (3) 【分析】本题考查抽样调查的定义、样本容量的含义，以及频率、合格率的计算，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）从一批产品中抽取部分样本检测，符合抽样调查的定义，题目中提到“编号为15的产品”，说明抽取的样本容量为15； （2）根据“优等品的数量÷产品总数=优等品的频率”解答即可； （3）判断编号15的产品必须不合格，从而可求出b应满足的条件． 【详解】（1）解：因为是从一批产品中抽取部分进行检测，所以属于抽样调查； 题目中提到“编号为15的产品”，说明一共抽取了15个产品，所以样本容量为15； 故答案为：抽样调查；15； （2）解：抽取的15个产品中，优等品数量为8，则优等品的频率， 故答案为：； （3）解：已知合格率为，总样本容量为15， 合格产品数量， 不合格产品数量， 因为前14个产品中已有2个不合格，则编号15的产品必须不合格，即或， 又因为各数据按从小到大的顺序排列， 所以． 【变式3】周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． 【详解】（1）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 完成表格如下： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 （2）解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 题型12 频数分布表 例12．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 14 16 8 10 2 则通话时间不超过的频率是（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布表，求频率，解题的关键是了解“频率频数总数”． 用不超过的通话次数除以所有的通话次数即可求得通话时间不超过的频率． 【详解】解：不超过10分钟的通话次数为（次）， 通话总次数为（次）， 通话时间不超过的频率为：． 故选：C． 【变式1】劳动教育是连接德、智、体、美的桥梁．为了解同学们周末在家的劳动情况，某校随机抽取了名学生调查周末劳动时间，进行整理、分析，得出如下统计表． 时长（单位：小时） 人数（单位：人） 根据上面的信息可知，表格中的值等于______． 【答案】 【分析】根据表格可知抽取的总人数即样本容量为，然后用总人数减去其余各组的人数即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，样本容量为，所有组的频数和等于样本容量， ∴． 【变式2】为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 请根据图表信息回答下列问题： (1)求出频数分布表中的________，________； (2)该频数分布直方图的组距是_________；并将频数分布直方图补充完整； (3)学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 【答案】(1)25， (2)2，见解析 (3)1080人 【分析】（1）根据频数分布表，先求出抽取总人数，计算即可； （2）根据组数和组距的定义，即可求组距；根据a的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体，用1800乘以每周课外阅读时间在6小时以上的学生所占百分比，再计算即可． 【详解】（1）解：抽取总人数为：（人）， （人）， ； （2）解：由频数分布表和频数分布直方图可知，组数是5，组距是， 频数分布直方图补充如下： （3）解：（人）， 答：估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有1080人． 【变式3】泰州高港区某中学为推进“书香校园”建设，对九年级500名学生的月均课外阅读量进行了抽样调查，按以下四个等级进行统计：A．本（含1本）；B．本（不含1本，含3本）；C．本（不含3本，含5本）；D．5本以上（不含5本）．随机抽取了部分学生进行问卷调查，得到如下不完整的统计图表： 月均课外阅读量频数分布表 等级 阅读量（本） 频数 频率 A 4 0.08 B 18 C 0.40 D 5本以上 8 0.16 (1)本次调查共抽取了______名学生，表中C等级的频数为______； (2)将上述频数分布表补充完整； (3)请估计该校九年级学生中，月均课外阅读量不超过3本的学生人数； (4)为鼓励学生多读书、读好书，学校决定为月均阅读量在D等级的学生颁发“阅读之星”奖品．根据以上调查数据，请你对“阅读之星”评选标准的设置提出一条合理建议． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)（人） (4)适当提高D等级阅读量标准，鼓励学生多阅读（答案不唯一） 【分析】（1）用A组的频数除以A组的频率即可求出抽取的学生数；用抽取的学生数乘以C的频率可期初C等级的频数； （2）先求出B等级的频率，然后补全频数分布表即可； （3）用500乘以A等级和B等级的频率和即可； （4）从鼓励阅读的角度提出一条合理建议即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：抽取总人数：（名）； C等级的频数为：； （2）解：B等级频率：； 月均课外阅读量频数分布表 等级 阅读量（本） 频数 频率 A 4 0.08 B 18 0.36 C 20 0.40 D 5以上 8 0.16 （3）解：（人） （4）解：建议：适当提高D等级阅读量标准，鼓励学生多阅读． 题型13 频数分布直方图 例13．某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供学生选修，规定每名学生必须并且只能选修其中一门，为了了解学生的选修意向，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，已知该校学生人数为2000人，由此估计选修A课程的学生有（   ） A．800人 B．600人 C．200人 D．100人 【答案】A 【分析】本题主要考查的是频数分布直方图、用样本估计整体等知识点，掌握会用样本估计整体的方法是解题的关键． 先根据条形统计图中的数据可得选修A课程的学生人数占样本人数的比例，再用总人数乘以选修A课程的学生所占的比例即可解答． 【详解】解：由题意可知，选修A课程的学生人数占样本的比例为， 所以选修A课程的学生人数占总体的比例是， 所以估计选修A课程的学生有（人）． 故选：A． 【变式1】为了解我市某学校“书香静校”的落实情况情况，校领导组在该校随机抽取40名学生，调查了他们一周阅读名著的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课内阅读不少于40分钟的人数占全校人数的百分数约等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了频数分布直方图，利用样本频率估计总体频率，掌握读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力是解题关键．由频数分布直方图可知，抽取40名学生中一周课内阅读不少于40分钟的人数为，即可求解． 【详解】解：由频数分布直方图可知，抽取40名学生中一周课内阅读不少于40分钟的人数为， 该校学生一周课内阅读不少于40分钟的人数占全校人数的百分数约等于， 故选：D． 【变式2】体育老师统计本班同学的身高，并对统计到的数据进行整理分析．已知班内身高最高的是，最低的是，在绘制频数分布直方图时要求组距为5，则组数为____． 【答案】 【分析】先计算身高数据的极差，再根据组数的计算规则，用极差除以组距，若计算结果不为整数，组数取大于结果的最小整数，即可得到答案． 【详解】解：， ， 因为组数为正整数，因此取大于的最小整数， 所以组数为． 【变式3】某校为了解七年级560名学生的体重情况，开展了一次调查． 【确定调查方式】 (1)计划从七年级里抽取140名学生，将抽取的这140名学生的体重作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号） ①抽取体重最轻的140名学生的体重作为样本； ②抽取体重最重的140名学生的体重作为样本； ③随机抽取140名学生的体重作为样本． 【整理分析数据】 (2)采用合理的调查方式获得该140名学生的体重（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 140名学生体重频率分布表 体重 频率 a 合计 1 140名学生体重频数分布直方图 根据以上图表信息，解答下列问题： 频率分布表中的 ，并将频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 (3)该校计划为所有体重不低于的七年级学生设计针对性锻炼方案，请估计参加学生的人数为多少． 【答案】(1)③ (2)；图见解析 (3)参加学生的人数为28人 【分析】（1）根据抽样调查的特点回答即可； （2）根据频率分布表先求出a，再求出范围的人数，进而补全直方图即可； （3）根据用样本估计总体求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，③随机抽取140名学生的体重作为样本的抽样调查方式合理； （2）解：由频率分布表可得，， ∴在范围的人数为：（人）， 补全直方图如下， （3）解：由频率分布表可得，体重不低于的频率为， ∴总人数：（人）． 题型14 用样本的频数估计总体的频数 例14．某鞋店在一周内销售了50双沙滩鞋，各种鞋号销售情况见下表．若要再购进200双沙滩鞋，根据表中数据，则需求量最多的沙滩鞋应购进的数量约为（    ） 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 售量/双 1 3 8 10 15 6 4 2 1 A．39双 B．60双 C．120双 D．156双 【答案】B 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，频数分布表，根据表格可知，需求量最多的是鞋号为39的鞋子，据此用200乘以样本中鞋号为39的数量占比即可得到答案． 【详解】解：双， ∴需求量最多的沙滩鞋应购进的数量约为60双， 故选：B． 【变式1】一个瓶子中装有一些豆子，从瓶子中取出50粒豆子，给这些豆子做记号，把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀，从瓶子中再取出30粒豆子，其中有记号的有2粒，则瓶子中的豆子总数约为______粒． 【答案】750 【分析】本题主要考查了应用抽样调查的方法计算总数，掌握样本概率估计总体概率是解题的关键．首先计算出记号豆子占所有记号豆子的比例，再用取出的豆子数除以记号豆子的比例即可求出． 【详解】解：根据题意可得记号豆子的比例：， 此时瓶中的豆子总粒数大约是：． 故答案为：750． 【变式2】在1000个数据中，用适当的方法抽取50个作为标本进行统计，频数分布表中，这一组的频率为0.16，则估计总体数据落在的约有______个． 【答案】160 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，估计总体数据落在的约有（个）， 故答案为：160． 【点睛】本题考查了用样本估计总体频数．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式3】2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．我校计划开展“春晚机器人•科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： ．机器人控制；B．人工智能； ．智能算法；．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，小鸣随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且只能选择其中一项），根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图如下． “春晚机器人•科技向未来”主题日学生研学意向调查结果统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查所抽取的学生人数为 人，并补全条形统计图； (2)学校有800名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下表可知，、、三场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排、两场讲座，在①②处补全此次活动日程表，并通过计算说明理由． “春晚机器人•科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C ② ①       设备检修暂停使用 【答案】(1)40；见解析 (2)填表见解析，计算说明见解析 【分析】（1）根据A的人数及其人数占比求得总人数，进而求出D的人数即可补全条形统计图； （2）分别求出意向B、E的人数，再补全此次活动日程表即可． 【详解】（1）解：人， ∴本次调查所抽取的学生人数为40人， ∴D的人数为人， 补全统计图如下： （2）解：补全此次活动日程表如图所示，计算说明如下： “春晚机器人•科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C B E    设备检修暂停使用 B的学生人数为（人）， E的学生人数为（人）， ， B场次安排在2号多功能厅，E安排在1号多功能厅． 题型15 数据的收集、整理与描述大题专训 例15．为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“文学欣赏”“球类运动”“动漫制作”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)求m的值，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“动漫制作”选项所对应的扇形圆心角的大小为多少？ (3)若该校共有3000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“球类运动”的学生人数． 【答案】(1)，补全条形统计图如图： (2) (3)估计该校课余兴趣爱好为“球类运动”的学生人数为1200人 【分析】（1）用“文学欣赏”的人数除以百分比求出总数，用“其他”的人数除以总数乘以可知m的值；求出“球类运动”的学生数，补全条形统计图即可； （2）用“动漫制作”的比例乘以即可． （3）用3000乘以“球类运动”的比例即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为：（人）， ， 即 “球类运动”的学生数为：（人）， 条形统计图略； （2）解：； （3）解：（人）， 答：估计该校课余兴趣爱好为“球类运动”的学生人数为1200人． 【变式1】继去年以“草根赛事”火热出圈后，2026赛季的“苏超”如约重返江湖，对于“苏超”的成功，某自媒体对小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点话题，分别为A．以城为名——强化归属感；B．社交传媒——网络玩爆梗；C．赛事升级——城市嘉年华；D．票根经济——驱文旅消费；E．商业赞助——引体系创新．每人只能从中选一个热点话题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： (1)本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； (2)热议话题E所在扇形的圆心角度数为 °； (3)若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中热点话题是“社交传媒——网络玩爆梗”的大约有多少人？ 【答案】(1)200； (2)； (3)540人 【分析】（1）由条形统计图知为60人，扇形统计图知占，用除法可求样本容量，再用总人数减去已知四项人数得的人数； （2）先求所占百分比，再乘以得圆心角度数； （3）用总体人数乘以样本中所占百分比即可估计总体中的人数． 【详解】（1）解：由条形统计图知热点话题的人数为60人， 由扇形统计图知占总人数的， 本次调查样本容量为． 为50人，为60人，为20人，为40人， 的人数为． 补全条形统计图略 （2）解：热点话题所占百分比为， 所在扇形的圆心角度数为． （3）解：样本中热点话题所占百分比为， 估计该小区1800名居民中选的人数约为人． 【变式2】青少年体质指数（）是评估青少年营养状况、胖瘦与健康的一种衡量指标．体质指数（）计算公式：（），其中G表示体重（）身高（），《国家学生体质健康标准》将学生体质指数（）分成四个等级（如表）． 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体质指数分布情况，数学综合实践小组开展了一次调查，并做了如下工作：①整理数据并绘制统计图：②在全校范围内抽取名具有代表性的学生；③结合统计图分析数据并得出结论：④收集名学生的体重和身高数据． (1)请按数据统计的步骤对以上工作进行正确排序 ； 【数据处理】调查小组根据收集的数据，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： (2)补全条形统计图； (3)求扇形统计图中C所对应的圆心角度数； (4)学校准备制定健身减肥计划（超重和肥胖都需要参加），若该校总人数1500人，估计需要健身减肥的有多少人？ 【答案】(1)②④①③ (2)见解析 (3)扇形统计图中C所对应的圆心角度数为； (4)估计需要健身减肥的有人． 【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可； （2）先利用B等级的百分比乘以调查总人数求出B等级的人数，再计算出C等级的人数，完善统计图即可； （3）用乘以C等级的占比即可得到结论； （4）利用样本估计总体的思想计算即可． 【详解】（1）解：为了解学校学生体质指数分布情况， 应该在全校范围内抽取名具有代表性的学生；收集名学生的体重和身高数据；整理数据并绘制统计图：结合统计图分析数据并得出结论． 则正确排序为②④①③； （2）解：B等级的人数为（人） C等级的人数为（人）， 补全统计图如下所示： （3）解：， 答：扇形统计图中C所对应的圆心角度数为； （4）解：（人） 答：估计需要健身减肥的有人． 【变式3】无锡市体育中考分四个项目，某中学为了给学弟学妹在选择球类项目有更好的参考，根据初三学生测试情况随机抽取部分学生，对抽取的学生就选择球类的满分率进行调查，汇总发现：其中选择足球运球射门的学生有10位，三类球类满分人数总共63人，其中篮球满分30人，排球满分率为，并将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： (1)本次抽样一共抽取了 名学生，并补全条形统计图； (2)扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为 °； (3)已知该校初三年级共有800名学生，根据抽样结果估计该校初三学生这次测试中选择“足球运球射门”满分的学生人数； (4)根据上述统计分析情况，作为该校的体育教研组长就三球类选择上给出一条合理建议． 【答案】(1)80， (2) (3)90人 (4)足球和排球的满分率高于篮球，建议想要更容易取得满分的同学优先选择足球或排球（答案不唯一） 【分析】（1）先求出选择排球的总人数，再结合扇形统计图求出篮球的人数，以及调查的总人数，最后补全条形统计图，即可作答． （2）运用排球的总人数除以调查的总人数再乘上，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （4）理解题意，言之有理即可． 【详解】（1）解：∵排球满分24人，满分率， 因此选择排球的总人数为：（人） ∵扇形统计图中选择篮球的人数占总抽样人数的 ∴足球和排球的人数和占总人数的 ∵选择足球的人数为10人 ∴抽取的总人数为：（名） 足球满分人数：（名） 补全条形统计图：略 （2）解：由（1）选择排球的总人数为， 依题意，， 即扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为； （3）解：依题意，（人） ∴估计该校初三选择足球运球射门满分的学生有90人． （4）足球和排球的满分率高于篮球，建议想要更容易取得满分的同学优先选择足球或排球（答案不唯一） 题型16 随机事件 例16．给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 【变式1】下列事件中是确定事件的是______（填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； ②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； ④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意． 故答案为：②④． 【变式2】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 【答案】(1)④⑥ (2)①③⑤ (3)②④⑥ 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：④⑥； （2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若，则； 故答案为：①③⑤； （3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：②④⑥． 【变式3】指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．（填序号） 【答案】 （3） （5） （1）（2）（4） 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断，即可解题． 【详解】解：（1）掷一枚硬币，不一定出现正面朝上；故（1）是随机事件； （2）买一张彩票有可能中一百万；故（2）是随机事件； （3）；故（3）是必然事件； （4）任意买一张电影票，座位号不一定是双号；故（4）是随机事件； （5）向空中抛一枚硬币，硬币一定会从空中往下掉．故（5）是不可能事件； 综上所述：必然事件有（3），不可能事件有（5），随机事件有（1）（2）（4）， 故答案为：（3）；（5）；（1）（2）（4）． 题型17 概率 例17．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】C 【分析】概率是描述事件发生可能性大小的量，不代表事件一定发生或一定不发生，每次抽奖为独立事件，据此判断选项即可． 【详解】解：∵抽到一等奖的概率为0.01，说明每次抽奖都有0.01的可能性抽到一等奖，可能性小但仍可能发生，且每次抽奖结果相互独立； ∴A选项：抽101次也可能没有抽到一等奖，A错误； B选项：抽100次不一定必有一次抽到一等奖，B错误； C选项：抽一次也可能抽到一等奖，C正确； D选项：前99次没抽到，第100次抽到一等奖的概率仍为0.01，不是肯定抽到，D错误． 【变式1】事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，判断几个事件概率的大小关系，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据所给的事件判断事件类型，再比较概率大小． 【详解】解：∵事件A：买体育彩票中一等奖，是随机事件， ∴． ∵事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7（骰子点数最大为6）， ∴事件B是必然事件， ∴． ∵事件C：在标准大气压下，温度低于时冰融化， ∴事件C是不可能事件， ∴． ∴， 故选：B． 【变式2】如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】小于 【分析】设每个小等边三角形的面积为，对阴影区域的面积和非阴影区域的面积进行大小比较即可． 【详解】解：设每个小等边三角形的面积为， ∴阴影区域的面积为，非阴影区域的面积为， ∴阴影区域的面积小于非阴影区域的面积， ∴随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率小于落在非阴影区域的概率． 【变式3】（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 【答案】（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小．因为分所在的圆环面积最大，分所在的圆面积最小．（2）见解析 【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键是数形结合． （1）设三个圆的半径分别为、、，分别求出三个分区的面积，再比较面积的大小，即可求解； （2）只要保证分的区域面积最小，分的区域面积最大即可． 【详解】解：（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小，理由如下： 由小到大三个圆半径的比是， 设三个圆的半径分别为、、， 分区的面积为， 分区的面积为：， 分区的面积为：， ， 得分的可能性最大，得分的可能性最小； （2）如图即为所求． 题型18 求事件的概率 例18．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 【变式1】为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率所求情况数与总情况数之比．利用已知数据先求出频率，再估算概率分别判断即可． 【详解】解：A、钉尖着地的频率是：，故此选项正确，不符合题意； B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近，故此选项正确，不符合题意； C、前10次试验结束后，钉尖着地的次数是4次左右，并不一定是4次，故此选项错误，符合题意； D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数是8次左右，不一定是8次，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率频数总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：序列“20250105”包含数字：2，0，2，5，0，1，0，5，共8个数字．其中“0”出现3次， 因此频率为． 故答案为． 【变式3】年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 题型19 由频率估计概率 例19．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 【答案】 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在， 则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 【变式1】如表记录了小明做摸球实验，若他从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 124 190 325 538 670 2004 摸到白球的频率 a 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生概率的估计值，观察表格中频率的稳定趋势即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，随着摸球次数不断增大，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，则摸到白球的概率的估计值为． 【变式2】在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估算概率，掌握好频率与概率的关系是关键． 根据频率的稳定性，当试验次数大量时，频率接近概率，观察发芽频率值，并得出结论． 【详解】解：从频数表可知，试验次数次及以上时，发芽频率分别为，，，这些值稳定在附近． 根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率， ∴该稻种的发芽概率约为． 故答案为：． 【变式3】“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 2949 3932 合格品频率 (1)求出表中__________，__________； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）； (3)如果生产50000顶头盔，估计有多少顶头盔是合格品？ 【答案】(1)1964； (2) (3)49000 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，再由频率估计概率可判断任意抽取一只头盔是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：估计有49000顶头盔是合格品． 题型20 用频率估计概率的综合应用 例20．苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． (1)估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； (2)如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 【答案】(1)0.75 (2) 【分析】（1）利用频率估算概率，再根据概率之和为1，进行求解即可； （2）根据概率求出总数，再利用频率估算概率，利用概率求出数量即可． 【详解】（1）解：∵经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近， ∴摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴摸到“沧浪亭”卡片的概率是； （2）解：由（1）知，原来摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴原来卡片的总数量为（张）； ∵放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近， ∴现在摸到“狮子林”卡片的概率为0.5， ∴， 解得； 故． 【变式1】在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 【变式2】（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 【变式3】无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 1．某校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法错误的是（     ） A．得95分的人数最多 B．参赛学生人数为8人 C．最低分为85分 D．最高分与最低分的差是15分 【答案】B 【分析】观察统计图可知得85分的有1人，得90分的有2人，得95分的有5人，得100分的有2人，再逐项判断即可． 【详解】解：根据条形统计图可知得85分的有1人，得90分的有2人，得95分的有5人，得100分的有2人，可知得95分的人数最多，一共有（人）参赛，最低分是85分，最高分和最低分的差是（分），所以A，C，D正确，B错误． 2．某品牌空调今年1-6月份的月销售量折线统计图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．从2月份开始，月销售量逐渐增长，于是可以预测，今后该品牌空调的月销售量一定会越来越高 B．4月份的销售量与3月份的销售量相比，增长了 C．6月份的销售量与3月份的销售量相比，增长了2倍 D．环比（即与上月相比）增长速度最大的是5月份 【答案】B 【分析】根据折线统计图的相关概念和数据进行逐项分析，即可解题． 【详解】解：A. 从2月份开始，月销售量逐渐增长，但也不能预测今后该品牌空调的月销售量一定会越来越高，故错误，不符合题意； B. ， 4月份的销售量与3月份的销售量相比，增长了，正确，符合题意； C. 6月份的销售量与3月份的销售量相比，增长了1倍，故错误，不符合题意； D. 2月份相对1月份的增长率为， 3月份相对2月份的增长率为， 4月份相对3月份的增长率为， 5月份相对4月份的增长率为， 6月份相对5月份的增长率为， 环比（即与上月相比）增长速度最大的是3月份，故错误，不符合题意． 3．某超市去年8月月，每月总销售额的条形统计图和每月牛奶类销售额占总销售额百分比的折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．8月份总销售额比11月份多 B．月销售总额与牛奶类销售额变化不一致 C．10月份牛奶类销售额比11月份少 D．四个月中8月份牛奶类销售额最高 【答案】C 【分析】根据条形图和折线图逐项分析即可判断求解． 【详解】解：∵8月份总销售额为90万元，11月份总销售额为70万元， 又∵， ∴8月份总销售额比11月份多，故选项正确，不符合题意； 由题意知：月份牛奶类销售额为（万元）， 月份牛奶类销售额为（万元）， 月份牛奶类销售额为（万元）， 11月份牛奶类销售额为（万元）， 牛奶类销售额从月份到月份在减少，月份到月份在增加，月份到月份在减少，而销售总额从月份到月份在减少，月份到月份在减少，月份到月份在增加， ∴月销售总额与牛奶类销售额变化不一致，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴10月份牛奶类销售额比11月份多，故选项错误，符合题意； ∵， ∴四个月中月份牛奶类销售额最高，故选项正确，不符合题意． 4．体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　） A．一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多 B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的 C．一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多 D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多 【答案】D 【分析】根据扇形统计图中各项目人数占总人数的百分比的意义求解即可． 【详解】解：A．因为两个班总人数不知道，所以一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数不一定相等，故不符合题意； B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的，故不符合题意； C．因为两个班的总人数不知道，所以一班参加羽毛球兴趣小组的人数与二班参加羽毛球兴趣小组的人数无法比较大小，故不符合题意； D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数占总人数的百分比均为，所以二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多，故符合题意 5．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（    ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图，根据统计图逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，不符合题意； B、2022年低空经济市场规模增量（亿元）， 2023年低空经济市场规模增量（亿元）， 2024年低空经济市场规模增量（亿元）， 2025年低空经济市场规模增量（亿元）， 所以2025年低空经济市场规模增量最多，选项说法错误，符合题意； C、从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，不符合题意； D、2026年低空经济市场规模约亿元，将突破万亿元，说法正确，不符合题意； 故选：B． 6．将个数分成组并列出频数分布表．若第一组与第五组的频数分别为和，第二组和第三组的频率之和是，则第四组的频数是___________． 【答案】 【分析】根据频率与频数的关系，先计算第二组和第三组的频数和，再用数据总数减去已知各组的频数，即可得到第四组的频数． 【详解】解：由题意得，数据总数为， ∵第二组和第三组的频数和为：，第一组与第五组的频数分别为和， ∴第四组的频数为：． 7．有50个数据，共分成6组，前4个小组的频数分别为5，9，10，6，第5组的频率为0.2，若将这50个数据绘制成扇形统计图，则第6组数据所对应的扇形的圆心角度数为______． 【答案】72 【分析】先根据频率公式求出第5组的频数，再求出第6组的频数，进而得到第6组的频率，最后用乘以第6组的频率得到对应扇形圆心角的度数． 【详解】解：由题意得，数据总数为， 第组的频数为：， 第组的频数为： ， 第组的频率为：， 第组对应扇形圆心角度数为：． 8．某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是______．（填写序号） ①共有500名学生参加模拟测试； ②从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增加； ③第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多； ④第4月测试成绩“优秀”的学生人数为100． 【答案】④ 【分析】本题主要考查条形统计图，折线统计图，根据判断①，根据折线统计图判断②，分别计算第4月增长的“优秀”人数和第3月增长的“优秀”人数，进行比较来判断③，根据判断④即可． 【详解】解：①测试的学生人数为，故①正确； ②由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故②正确； ③第4月增长的“优秀”人数为，第3月增长的“优秀”人数，故③正确； ④第4月测试成绩“优秀”的学生人数为，故④不正确． 故答案为：④． 9．为迎接学校艺术节，七年级某班进行班级歌词征集活动，作品上交时间为星期一至星期五．班委会把同学们上交作品件数按每天一组分组统计，绘制了频数分布直方图如下．已知从左至右各长方形的高的比为，第二组的频数为9，则全班上交的作品有_______件． 【答案】48 【分析】本题考查分析频数分布直方图和频率的求法．由各长方形的高的比得到各段的频率之比，即可得到第二组的频率，再由数据总和＝某段的频数÷该段的频率即可求解． 【详解】解：从左至右各长方形的高的比为，即频率之比为； 所以第二组的频率为； 所以全班上交的作品有． 故答案为：48． 10．近年来，太湖区域环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为监测太湖某湿地过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了30只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地约有灰鹤________只．    【答案】200 【分析】用“频数÷频率=总数”可得答案． 【详解】解：（只）， 即估计该湿地约有灰鹤200只． 故答案为：200． 【点睛】本题考查了频数分布折线图，频数与频率，掌握“频数÷频率=总数”是解答本题的关键． 11．为深化课程改革，提高延时服务的多样性，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取八年级部分学生进行调查，从A：书法，B：美食，C：话剧，D：编程与机器人四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的总人数为多少人，扇形统计图中A部分的圆心角是多少度． (2)请补全条形统计图． (3)根据本次调查，该校八年级720名学生中，估计最喜欢“编程与机器人”的学生人数为多少？ 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据的人数除以占比得出总人数，根据A的占比乘以，即可求得扇形统计图中A部分的圆心角； （2）先求得D组的人数，再补全统计图，即可求解； （3）根据样本估计总体，即可求解． 【详解】（1）解：人； 扇形统计图中A部分的圆心角是； （2）解：D组的人数为人， 补全条形统计图如图 （3）解：估计最喜欢“编程与机器人”的学生人数为人． 12．某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校2000名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在分钟）分为5个等级（A：；B：；C：；D：；E：），并随机抽取了部分学生的调查问卷进行了分析，根据分析结果绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了_______名学生的调查问卷，“A”对应扇形圆心角的度数为_______； (2)补全频数分布直方图； (3)请你估计全校2000名学生中，完成作业的时间少于70分钟的学生人数． 【答案】(1)200，14.4 (2)见解析 (3)440名 【分析】（1）根据C等级的数据求出总数，用A等级人数除以总数乘以即可求出“A”对应扇形圆心角的度数； （2）根据总数求出B、D等级的人数，进而补全频数分布直方图即可； （3）用2000乘以，完成作业的时间少于70分钟的学生人数的比例即可． 【详解】（1）解：本次调查共抽取学生（名） “A”对应扇形圆心角的度数为． （2）解：频数分布直方图中“B”的人数为（名）， “D”的百分比为， “D”的人数为（名）． 补全频数分布直方图如图； （3）解：（名）， 答：估计全校2000名学生中，完成作业的时间少于70分钟的学生人数为440名． 13．在贯彻落实“五育并举”的工作中，我集团校为八年级开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，其中扇形统计图中D所对应的圆心角度数为，请根据统计图提供的信息，解决下列问题： (1)本次调查的学生共有_________人；_________； (2)将条形统计图补充完整； (3)若集团校八年级共有3300名学生，请估算本学期参加传统国学（A）活动的学生人数． 【答案】(1)， (2)补全条形图如图 (3)1100人 【分析】（1）用艺术鉴赏(D)社团人数除以所占的百分比求出总人数，用E的人数除以总人数求出的值； （2）计算出民族体育(C)社团的人数为22，再补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：(人)，，； （2）略 （3）解：（人）； 答：估算本学期参加传统国学（A）活动的学生人数为1100. 14．某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： (1)该校九年级接受调查的人数为________，并补全条形统计图． (2)计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数． (3)若该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数，并根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议． 【答案】(1)，作图如下： (2) (3)人； 建议：多组织体育活动和音乐类放松课程，同时开设交流谈心的心理辅导角，帮助学生缓解考前压力． 【分析】（1）根据选择“享受美食”的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数，再根据条形统计图中的数据，即可计算出选择“听音乐”的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数；结合数据，围绕学生偏好的减压方式，提出可落地的活动或辅导建议． 【详解】（1）解：该校九年级接受调查的学生有：（人）， ∴选择“听音乐”的学生有：（人）， 补全的条形统计图略 （2）解：， 即扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数是； （3）解：（人）， 即估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数为人；建议略． 15．某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 频率 合计 请根据图表，解答下面的问题： (1) ________， ________， ________， ________． (2)补全频数分布直方图． (3)如果阅读书籍数量在本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)该校不能获得此荣誉，理由见解析 【分析】（1）调查的总人数等于组的频数除以其频率，用组的频数除以调查的总人数可得，根据直方图中的数据可以得到，用的频数除以调查的总人数得； （2）根据（1）中的答案和表格中的数据可以将直方图补充完整； （3）计算组、组和组中的频率和，再与比较即可解答本题． 【详解】（1）解：调查的总人数为（人）， ， 根据频数分布直方图可得， ， 故答案为：，，，； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：该校不能获得此荣誉，理由如下： 阅读书籍数量在本或以上的百分比为， ， 该校不能获得此荣誉． 16．某校七年级个班的名学生即将参加学校举行的研究旅行活动，学校提出以下个活动主题：．运河文化考察；．无锡饮食文化考察；．无锡革命红色文化考察；．无锡新兴科技考察，为了解学生喜欢的活动主题．学生会开展了一次调查研究，请将下面的过程补全． (1)收集数据：学生会计划调查学生喜欢的活动主题情况，下面抽样调查的对象选择合理的是______．（填序号） ①选择七年级班、班、班学生作为调查对象 ②选择学校旅游摄影社团的学生作为调查对象 ③选择各班学号为的倍数的学生作为调查对象 (2)整理、描述数据：通过调查后，学生会同学绘制了如下两幅不完整的统计图，请把统计图补充完整． (3)分析数据、推断结论：请你根据上述调查结果向学校推荐本次活动的主题，你的推荐是______（填到的字母代号），估算全年级大约有多少名学生喜欢这个主题活动． 【答案】(1)③ (2)见解析 (3)，估算全年级喜欢这个主题活动的学生有名． 【分析】（1）根据抽样调查的代表性求解可得； （2）先求出被调查的总人数，再乘以主题对应的百分比求得其人数，继而根据各主题人数之和等于总人数求得的人数，然后求出、对应的百分比，从而补全图形； （3）由统计图可知选择的主题，再利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：抽样调查的对象选择合理的是③； （2）抽样调查的总人数为（人）， 主题的人数为（人）， 主题的人数为（人）， 主题的百分比为， 主题的百分比为， 补全统计图如下： （3）主题的百分比最大， 推荐主题， （名）， 即全年级喜欢这个主题活动的学生大约有名． 17．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 18．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 【答案】B 【分析】根据黄球的数量和摸到黄球的频率，列方程求解红球数量即可． 【详解】解：设口袋中有红球个 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根， 故口袋中大约有红球16个． 故选：B． 18．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】35 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 19．某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为________元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键． 从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案． 【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为， 设每千克沃柑的实际售价定为元， 则有， 解得， 所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润． 故答案为：． 20．植树节为每年月日，某单位买了一批树苗组织员工去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 成活的棵数 成活的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)这种树苗成活的概率估计值为___________（精确到）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用总棵数乘以成活的频率求出的值，用成活的棵数除以总棵数求出的值； （2）随着树苗棵数的增加，即可估算得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由表格中的数据可知，随着树苗棵数的增加，成活的频率稳定在附近， ∴这种树苗成活的概率估计值为． 21．综合与实践：气象谚语是人们观察自然现象的经验总结，蕴含着概率的数学思想，请以“朝霞不出门，晚霞行千里”为例，完成以下实践任务． 任务一：数据收集 通过气象软件收集某地区近10年“朝霞出现后当天是否下雨”和“晚霞出现后次日是否晴天”的数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 朝霞是否出现 是 否 否 是 否 是 是 否 是 是 当天是否下雨 是 否 否 是 否 是 否 否 是 是 晚霞是否出现 是 否 是 否 是 否 是 否 是 否 次日是否晴天 是 否 否 是 是 是 是 否 是 是 任务二：数据整理与分析 (1)统计频数（由上表发现近10年来的数据） ①朝霞出现的年份数：__________，朝霞出现后当天下雨的年份数：_________； ②晚霞出现的年份数：__________，晚霞出现后次日晴天的年份数：_________． (2)解释概率思想：“朝霞不出门，晚霞行千里”是经验性的概率总结，而非绝对规律，从数据看，朝霞后下雨的频率约为_________，晚霞后次日晴天的频率约_________，说明“朝霞下雨，晚霞晴天”是大概率事件，但不是必然发生，这体现了随机现象的特点：单次结果不确定，但大量观察后频率会具有__________．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率__________概率． 拓展辨析： (3)从以下谚语中选择一句，判断它描述的是不可能事件，必然事件还是随机事件，并说明理由． ①竹篮打水一场空；②种瓜得瓜，种豆得豆；③瑞雪兆丰年． 【答案】(1)6，5；5，4 (2)，；稳定性，估计 (3)见解析 【分析】（1）根据表格得出数据； （2）根据频数得出频率； （3）根据事件的分类求解． 【详解】（1）解：①朝霞出现的年份数为6，朝霞出现后当天下雨的年份数为5； ②晚霞出现的年份数为5，晚霞出现后次日晴天的年份数为4； （2）解：朝霞后下雨的频率约为，晚霞后次日晴天的频率约； 单次结果不确定，但大量观察后频率会具有稳定性．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率； （3）解：①竹篮打水一场空，是不可能事件，因为竹篮打水是无法完成的，不可能发生的； ②种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件，因为种下的瓜一定结出的是瓜，种下的豆一定结出的是豆，这件事一定会发生； ③瑞雪兆丰年，是随机事件，因为丰收还受其他因素影响，瑞雪可能会是丰收年，也可能不会是丰收年，是随机发生的． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据的收集、整理与描述+认识概率 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 调查收集数据的过程与方法 题型2 全面调查与抽样调查 题型3 总体、个体、样本、样本容量 题型4 扇形统计图 题型5 条形统计图 题型6 折线统计图 题型7 条形统计图、扇形统计图信息关联的问题 题型8 选择合适的统计图 题型9 由样本所占百分比估计总体的数量 题型10 借助调查做决策 题型11 频数与频率 题型12 频数分布表 题型13 频数分布直方图 题型14 用样本的频数估计总体的频数 题型15 数据的收集、整理与描述大题专训 题型16 随机事件 题型17 概率 题型18 求事件的频率 题型19 由频率估计概率 题型20 用频率估计概率的综合应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 普查与抽样调查 2. 统计图 3. 借助调查做决策 4. 频数与频率 5. 频数分布表和频数分布直方图 6.随机事件 7.概率计算 8. 频率与概率 1. 侧重考查调查方式辨析，结合生活实际场景区分普查与抽样调查，考查样本选取的随机性、代表性，规避片面抽样的错误考查。 2. 高频考查统计核心概念，围绕总体、个体、样本、样本容量出题，重点区分概念差异，常设陷阱考查样本容量不带单位的细节。 3. 聚焦三大统计图基础应用，考查条形、扇形、折线统计图的读图、补图，侧重数据提取、百分比换算与基础数值计算题型。 4. 扇形统计图为必考重点，集中考查圆心角计算、缺失数据补全、占比分析，常结合生活情境出题，检测数据运算与解读能力。 5. 频数分布直方图专项考查，重点考查组距、组数划分，频数、频率的换算计算，同时考查图表补画、数据核对与误差分析。 6. 注重统计综合应用与简答，结合实际生活情境数据分析，考查结论总结、趋势判断、合理决策，侧重答题规范性表述。 7. 常结合生活实例考查随机、必然、不可能事件辨析，以选择填空夯实基础概念。 8. 依托摸球、转盘题型求简单概率，搭配图表计算，侧重基础列式与实际应用。 考情解码：本章为中考基础必考内容，题型以选择、填空、解答题为主。重点考查调查方式、统计核心概念、三大统计图、频数直方图和概率的计算，侧重数据读取、计算与补图。命题贴合生活情境，注重基础运算与数据分析，难度偏低，侧重考查答题细心度与规范性。 知识点一 普查与抽样调查 普查：为一特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查。 抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查(简称抽样)。 普查与抽样调查的优缺点 优点 缺点 普查 调查的结果准确 往往花费多,工作量大,而且有些调查也不宜使用普查 抽样调查 花费较少,工作量较小,便于进行 样本的抽取是否得当 ,直接关系到对总体的估计，所以抽取的样本要具有代表性。 两种方法的选择：根据要调查的事件灵活处理，结合需求、时间成本、金钱成本等综合选择。 【易错提醒】 切勿凭主观判断调查方式，范围广、具有破坏性、工作量大的调查需用抽样调查，范围小、要求精准无误差的适用普查。抽样必须保证样本随机、广泛、有代表性，片面、单一样本会导致统计结果失真，做题需结合实际场景精准区分。 即时即练1．下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A．了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 知识点二 总体、个体、样本、样本容量 总体：考察对象的全体叫做总体； 个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体； 样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本； 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。（记住千万不能带单位） 即时即练 2．为了了解亭湖区八年级7000名学生的期中数学成绩情况，从中抽取了1000名考生的成绩进行统计，以下说法：①这7000名学生的期中数学成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③1000名考生是总体的一个样本；④样本容量是1000．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点三 统计图 类型 特征 概念 优点 缺点 条形统计图 用宽度相同的“ 条形” 的高度描述各统计项目的数据 能清楚地表示出每个项目的具体数目，易于比较数据之间的差别 不能准确地描述各部分量之间的关系 扇形统计图 用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，简单直观 不适合较大的数据集展现，且数据项中不能有负值 折线统计图 用折线描述数据的变化过程和趋势 能清楚地反映事物的变化情况，适合展现较大数据集 不能反映每一个数据在总体中的具体情况 在解决实际问题时 , 应根据实际需要选用合适的统计图 在扇形统计图中 , 扇形圆心角=该统计项目占总体的百分比×360° 即时即练 3．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角的度数是 ． (3)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 知识点四 频数和频率 频数：在统计数据时 ,各个对象出现的次数有多有少,或者说出现的频繁程度不同 ,某个对象出现的次数称为该对象的频数； 频率：频数与总次数的比值称为频率。 三大必备公式： 1、总数 = 各组频数之和 2、各组频率之和 = 1（一定等于 1） 3、频数 = 频率 × 总数 高频易错点 1、频率是小数或分数，不是次数。 2、频率之和一定是 1，不是 100（除非题目要求 %）。 3、频数一定是整数，频率可以是小数。 即时即练 4．小强同学对本校学生完成家庭作业的时间进行了随机抽样调查，并绘成如下不完整的三个统计图表． 各组频数、频率统计表 组别 时间（小时） 频数（人） 频率 A 20 B ______ a C ______ ______ D 30 合计 b (1) ______， ______， ______，并将条形统计图补充完整． (2)若该校有学生3200人，估计完成家庭作业时间超过1小时的人数． 知识点五 频数分布表和频数分布直方图 频数分布表：我们把各个组别中相应的频数分布用表格的形式表示出来就得到频数分布表； 频数分布直方图：根据频数分布表绘制成的条形统计图称为频数分布直方图 ,它直观地呈现了频数的整体分布情况。 即时即练 5．在一次社会调查活动中，八年级学生小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下（表一、表二），并对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了不完整的统计图： 表一 5640 6430 6520 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 7326 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850 表二 组别 步数组别 频数 A 2 B 10 C m D 3 E n 根据以上信息解答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)请补全频数分布直方图； (3)若该团队共有160人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数． 知识点六 确定事件与随机事件 1、不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件； 2、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。例如，“抛出的篮球会下落”是必然事件； 3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件； 4、随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件。 即时即练 6．下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．明天早上，太阳从东边升起 B．打开一本数学书，翻到偶数页 C．任意投一枚骰子，朝上面的点数是7 D．一个标准大气压下，水温升到时沸腾 知识点七 可能性的大小 必然发生的事件可能性最大； 不可能发生的事情发生的可能性最小； 随机事件发生的可能性有大有小， 不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。 拓展：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1, 其中，P(不可能事件)=0 P(必然事件)=1 0<P(随机事件)<1 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 即时即练 7．口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有5个红球，2个白球，3个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出红球的可能性大小是__________． 知识点八 概率与频率 1、频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定 ，这个性质称为频率的稳定性。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 2、用频率估计一个随机事件发生的概率：通常要经历“试验并收集、整理、描述数据—计算频率—做出估计”的过程。应当注意，这里的“试验”，必须在相同条件下进行，并且试验的次数要足够多。 即时即练 8．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________（精确到） 题型1 调查收集数据的过程与方法 例1．某学习小组计划对当地人口老龄化问题展开调查研究，罗列了以下几个调查活动的环节：①提出问题；②整理数据；③描述数据；④分析数据；⑤作出决策，请对这5个环节进行排序，正确的是（   ） A．①④③②⑤ B．①②④③⑤ C．④②③①⑤ D．①②③④⑤ 【易错警示】 易随意选择调查方式，忽略调查的可行性与准确性；抽样时样本不随机、不全面，缺乏代表性。容易出现数据重复、遗漏、记录错误，误用无效数据，导致统计结果偏差、分析结论出错。 【变式训练1-1】 【变式1】学校图书馆孙老师想了解本校学生课外阅读情况，他设计了如下调查表． 不足30分钟 30分钟-1小时 超过1小时 根据上表，他想调查的问题是（    ） A．你每月读多少本书 B．你了解哪些名人名著 C．你每天读书多长时间 D．你喜欢读什么类型的书籍 【变式2】通过“数据的分析”的学习，我们知道了统计调查活动要经历的5个重要步骤：①收集数据；②设计调查问卷； ③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．这5个步骤正确排序为___________________（填序号）． 【变式3】为了解某市万名学生平均每天读书的时间，请你运用数学的统计知识将统计的主要步骤进行排序： ①得出结论，提出建议； ②分析数据； ③从万名学生中随机抽取名学生，调查他们平均每天读书的时间； ④利用统计图表将收集的数据整理和表示． 合理的排序是 _____． 题型2 全面调查与抽样调查 例2．下列调查适合普查的是（     ） A．北京冬奥会开幕式的收视率 B．一批灯的使用寿命 C．长江中现有鱼的种类 D．全班同学最喜爱的歌曲 【易错警示】 易混淆全面调查与抽样调查适用场景，对破坏性、大范围调查误用普查。抽样时常选取样本单一、不随机、无代表性，同时易忽视调查误差，造成统计结论不准确、判断失误。 【变式1】下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的体重情况 B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C．调查某市居民的防诈意识 D．调查某班学生的节水意识 【变式2】神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日12时11分在酒泉卫星发射中心发射，二十二号载人航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为______．（填“普查”或“抽样调查”） 【变式3】下列调查：①调查一批灯泡的使用寿命；②调查全班同学的身高；③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；④企业招聘，对应聘人员进行面试．其中适合抽样调查的是________（填序号）． 题型3 总体、个体、样本、样本容量 例3．为了解我校八年级480名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（   ） A．被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B．被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C．被抽取的100名学生是总体的一个样本 D．样本容量是100 【易错警示】 易将调查实物当成总体、个体，混淆四个统计概念。最易错点是给样本容量添加单位，同时常弄错样本抽取范围，导致统计对象判定错误、答题失分。 【变式1】为了解全市名八年级学生对“苏超联赛”的关注情况，某市体育局从全市八年级学生中随机抽取名进行问卷调查，统计其平均每个月观看赛事的时长．下列说法正确的是（　　） A．被抽取的500名学生是样本 B．全市28000名八年级学生的全体是总体 C．样本容量是500 D．被抽取的每一名八年级学生是个体 【变式2】为了解我校八年级800名学生的视力情况，从中抽取了50名学生的视力情况进行统计．下列判断：①800名学生是总体；②我校八年级每名学生的视力情况是个体；③50名学生是总体的一个样本；④50是样本容量．其中正确的是_________．（填序号） 【变式3】某农户在山下种了44棵红枣树，收获时先随意采摘5棵红枣树上的红枣，称得每棵树上红枣的质量（单位：）分别为35，35，34，39，37． (1)本题是利用什么调查方式得到的数据？ (2)本题的总体、样本、样本容量分别是什么？ 题型4 扇形统计图 例4．对某校七（1）班和七（2）班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，分别绘制了扇形统计图如图，下列说法正确的是（　） A．七（1）班中最喜欢足球的人数比七（2）班中最喜欢足球的人数少 B．七（1）班中最喜欢篮球的人数和七（2）班中最喜欢篮球的人数一样多 C．七（2）班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多 D．七（2）班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多 【变式1】某校对学生上学的交通方式进行调查，如图为收集数据后绘制的扇形统计图．已知骑自行车的人数为400人，根据图中提供的信息，本次调查的对象中选择乘私家车上学的人数是（   ） A．200 B．220 C．360 D．1000 【变式2】在下午课外活动期间，某班45名学生参加排球、足球、篮球三个项目的运动，每人参加一个项目，其中参加足球运动的学生占总人数的，另外有20人参加排球运动，其余的学生都参加篮球运动，绘制成扇形统计图，则参加篮球运动的圆心角度数为_____． 【变式3】如图是实验小学六年级同学喜欢的运动项目统计图． （1）若300人参加调查，那么喜欢篮球与足球的一共有 ________ 人． （2）若喜欢跳绳的有60人，那么喜欢踢毽子的有 _______ 人． （3）若喜欢篮球的比足球的多50人，那么喜欢跳绳的有 _______ 人． 题型5 条形统计图 例5．某校随机调查了若干名学生和家长对中学生带手机进校园的态度，并将调查结果绘制成如图的不完整的统计图．已知调查家长的人数与调查学生的人数相等，则家长反对学生带手机进校园的人数为_____． 学生及家长对中学生带手机进校园的态度统计图 ‍ 【变式1】年月日是第个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形统计图，则的值为____ 【变式2】世界地球日（月日）是专为环境保护设立的全球性节日，旨在呼吁公众关注生态问题、践行绿色生活．某校针对学生的“日常环保行为”抽取了一部分学生进行问卷调查，并设计了如下调查问卷： “日常环保行为”调查问卷 请在下列选项中选择您的日常环保行为，在其后“[    ]”内打“√”，非常感谢您的合作（可多选）： ．垃圾分类[    ]                            ．节约用水用电[    ] ．减少塑料使用[    ]                        ．绿色出行[     ] 所有问卷全部收回且有效，并将统计结果绘制成不完整的统计图表： “日常环保行为”调查统计表 类别 占调查总人数的百分比 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)填空：参与本次问卷调查的总人数为 ，统计表中的值为 ． (2)请补全条形统计图． (3)根据上述调查结果，估计该校名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数． 【变式3】学校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了次测试，每次各跳远次，统计成绩如下表（单位：）．注：表示犯规．将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”，及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． 第次测试 第次测试 第次测试 甲 乙 (1)补全条形统计图． (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 题型6 折线统计图 例6．A、B两种品牌牛奶销售增长率折线统计图如图．则下列三种说法： ①B品牌的牛奶销售量逐年在增加 ②A品牌的牛奶销售量在2023年到2024年呈下降趋势 ③2022年到2025年，B品牌的牛奶销售量都比A品牌多，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【变式1】下图是我国某省会城市的生产总值的统计图，地区生产总值等于第一产业增加值、第二产业增加值、第三产业增加值之和．下列说法错误的是（     ） A．2015年年期间，第一产业增长平缓，第三产业增幅最大 B．2024年，第三产业增加值在当年生产总值中占比超过 C．2015年年期间，第二产业增加值呈现先增加再减少的趋势 D．2017年该市生产总值首次突破10000亿元 【变式2】某种预防病虫害的农药需在3月1日～3月15日喷洒，且连续三天完成．又知当最低温度不低于0℃，且昼夜温差不大于10℃时药物效果最佳，为此工作人员查看了3月1日～3月15日的天气预报情况（如图）．由图可知，药物喷洒可以安排在____________日开始进行． 【变式3】国家统计局发布了2026年1~2月份能源生产情况.数据显示：1~2月份，规模以上工业（以下简称规上工业）原煤生产保持稳定，原油生产由降转增，天然气生产稳定增长，电力生产增速加快； 下图是2025年1月至2026年2月规上工业原油产量月度走势数据： （注：“当月增速”指的是与上年同月相比的增长率） (1)2025年全年（1~12月）中，原油日均产量最高的是哪个月份? (2)有人认为“图中数据显示，2025年全年中，当月增速最大的那个月份原油日均产量并不是最高的，数据有误”.你同意这种说法吗?为什么? (3)若计划2026年5月当月增速达，计算2026年5月日均的目标产量（结果精确到0.1万吨）． 题型7 条形统计图、扇形统计图信息关联的问题 例7．某中学对延时服务选课意向进行了随机抽样调查，要求被调查者只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（    ） A．这次调查的样本容量是200 B．全校1200名学生中，估计选篮球课大约有400人 C．扇形统计图中，科技课所对应的圆心角是 D．被调查的学生中，选绘画课人数占比为 【易错警示】 不会联动两类统计图信息解题，误用单一图表数据计算。易混淆频数与百分比，扇形圆心角计算出错，漏找图表隐藏总数，数据对应错位，最终导致补图、计算结果错误。 【变式1】某校学生会主席竞选中，参与投票的学生必须从进入决赛的四名选手（甲、乙、丙、丁）中选1名，且只能选1名进行投票，根据投票结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，条形统计图（柱的高度从高到低排列）被墨迹遮盖了一部分，下列推断不正确的是（    ）    A．参与投票的学生有400人 B．的值为30 C．条形统计图中“（）”应填的选手是甲 D．乙的票数为120票 【变式2】小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图，已知条形统计图中代表丙的小长方形的高度比代表乙的小长方形的高度高，由于不小心，小明弄脏了条形统计图中的一部分，若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则乙代表的颜色是______色． 【变式3】为了解本校学生课外阅读情况，某学校随机抽取了部分学生，对他们3月份课外阅读时间进行调查，按阅读时长进行分类：平均每天课外阅读时间不超过20分钟的学生记为A类；平均每天课外阅读时间大于20分钟且不超过40分钟记为B类；平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟记为C类；平均每天课外阅读时间超过60分钟记为D类，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图 请解答下列问题： (1)这次共抽取了 名学生进行调查； (2)补全条形统计图； (3)如果该学校共有2000名学生，请你估计，该校3月份平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟的学生大约有多少人？ 题型8 选择合适的统计图 例8．佛山市三水区下辖个镇，各镇面积是：乐平镇平方公里，芦苞镇平方公里，大塘镇平方公里，南山镇平方公里，白坭镇平方公里，为直观地表示出各镇面积所占比例，最合适的统计图是（    ）． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布直方图 【变式1】下表是某林场工作人员统计的一棵树的生长情况，最好选用（   ）统计图描述． 生长年份/年 0 1 2 3 4 5 高度/米 0 1 A．条形 B．折线 C．扇形 D．雷达 【变式2】小明在体育新闻中看到，2026年4月11日江苏城市足球联赛（“苏超”）首个比赛日的四场比赛观众人数如下：常州队南通队：40832人；无锡队镇江队：28000人；苏州队扬州队：27000人；连云港队盐城队：28432人．为了更清楚地表示这四场比赛的观众人数多少，他打算绘制一个统计图．那么最适宜采用的统计图是____统计图．（填“折线”、“条形”、“扇形”） 【变式3】日常生活中有各种统计图，我们要学会分辨绘制．第次全国人口普查城乡人口数据如上表（单位：万人），你认为选用___________统计图能用于描述城乡人口变化过程和趋势（填“扇形”、“折线”或“条形”）． 年份 1990 2000 2010 2020 城镇人口数 30195 45906 66978 90220 乡村人口数 84138 80837 67113 50992 题型9 由样本所占百分比估计总体的数量 例9．为了估计塘中鱼的数量，老李先从鱼塘中捞出100条鱼，做上标记后放回．待有标记的鱼完全混合后，再捞出200条鱼，发现其中有5条有标记．那么估计塘中约有鱼______条． 【变式1】为了解某校学生最喜欢的课余活动，数学兴趣小组从该校抽取了部分学生进行调查，调查问卷分为“阅读”“娱乐”“运动”和“其他”四个大项，每个大项又分为若干小项，根据调查结果绘制了如下统计图． 若该校有学生1200名，估计喜欢阅读科普类书籍的人数是______名． 【变式2】为了解社区居民对环保手作的喜爱情况，社区准备给2000户居民每户各发放一份手作材料包，志愿者随机选取80户居民的材料包查看，发现有16户的材料包是多肉种植手作．据此估计，社区准备的多肉种植手作材料包的总数约为______件． 【变式3】某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图、图两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：       (1)该校九年级接受调查的人数为 ，并补全条形统计图． (2)扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数为 ． (3)若该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． 题型10 借助调查做决策 例10．为迎接端午节，某餐厅推出四种新款粽子（分别以表示），请顾客免费试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下： 通过以上数据，你能获得的信息是（   ） A．喜欢两款粽子的人加起来占样本的一半 B．款粽子比款粽子更受欢迎 C．喜欢款粽子的人只占样本的五分之一 D．款粽子最受欢迎 【变式1】目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有位员工（编号分别为），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论： ①超额完成了目标任务； ②目标与实际完成相差最多的是； ③的目标达成度为100%； ④月度达成率超过且实际销售额大于万元的有三个人． 其中正确的结论是：______． 【变式2】“身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． (1)随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； (2)估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； (3)基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 【变式3】同学们计划在数学周开展“八年级同学最喜爱的球类运动”调查活动，号召同学们重视身体健康，热爱运动．九（1）班同学负责这项工作，并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，以便更直观地了解八年级同学最喜欢的球类运动情况． (1)以下是他们调查方案的步骤，请你按照合理的统计工作顺序，将这些步骤进行正确排序填序号 正确顺序是：__________________④ ①以班为单位，调查每位同学最喜欢的球类运动，将各班数据进行整理，并汇总填入统计表． ②根据统计表中的数据绘制条形统计图和扇形统计图． ③设计一个包含“球类运动名称”和“喜欢人数”的统计表． ④根据统计图了解八年级同学最喜欢的球类运动情况，为后续组建球类社团提供依据． (2)请根据统计图中的信息可以算出参加本次调查的总人数是______人，并把条形统计图补充完整． (3)学校打算组建球类社团，请你结合数据提出合理建议． 题型11 频数与频率 例11．为了解青少年每日使用数字设备时长，某机构绘制了频数分布直方图．已知样本容量为400，其中每日使用时长在1到1.5小时的小组频率为0.35，则这一小组的频数为（   ） A．140 B．120 C．160 D．180 【变式1】学校组织植树活动，七年级共4个班参加．已知本次活动共植树100棵，其中一班植树20棵，二班植树25棵，三班植树的频率为，则四班植树的频率为______． 【变式2】为了监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 尺寸 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 尺寸（单位：cm） 产品等次      特等品      优等品      合格品 或 非合格品 按照生产标准，产品等级规定如上表：（特别说明：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格个数时，将优等品（含特等品）算在内）． (1)本次调查属于_____，样本容量为_____． (2)在本次检测中，优等品的频率是_____ (3)已知此次抽检的合格率为，请求出编号为15的产品的尺寸b应满足的条件？ 【变式3】周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 题型12 频数分布表 例12．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 14 16 8 10 2 则通话时间不超过的频率是（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式1】劳动教育是连接德、智、体、美的桥梁．为了解同学们周末在家的劳动情况，某校随机抽取了名学生调查周末劳动时间，进行整理、分析，得出如下统计表． 时长（单位：小时） 人数（单位：人） 根据上面的信息可知，表格中的值等于______． 【变式2】为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 请根据图表信息回答下列问题： (1)求出频数分布表中的________，________； (2)该频数分布直方图的组距是_________；并将频数分布直方图补充完整； (3)学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 【变式3】泰州高港区某中学为推进“书香校园”建设，对九年级500名学生的月均课外阅读量进行了抽样调查，按以下四个等级进行统计：A．本（含1本）；B．本（不含1本，含3本）；C．本（不含3本，含5本）；D．5本以上（不含5本）．随机抽取了部分学生进行问卷调查，得到如下不完整的统计图表： 月均课外阅读量频数分布表 等级 阅读量（本） 频数 频率 A 4 0.08 B 18 C 0.40 D 5本以上 8 0.16 (1)本次调查共抽取了______名学生，表中C等级的频数为______； (2)将上述频数分布表补充完整； (3)请估计该校九年级学生中，月均课外阅读量不超过3本的学生人数； (4)为鼓励学生多读书、读好书，学校决定为月均阅读量在D等级的学生颁发“阅读之星”奖品．根据以上调查数据，请你对“阅读之星”评选标准的设置提出一条合理建议． 题型13 频数分布直方图 例13．某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供学生选修，规定每名学生必须并且只能选修其中一门，为了了解学生的选修意向，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，已知该校学生人数为2000人，由此估计选修A课程的学生有（   ） A．800人 B．600人 C．200人 D．100人 【变式1】为了解我市某学校“书香静校”的落实情况情况，校领导组在该校随机抽取40名学生，调查了他们一周阅读名著的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课内阅读不少于40分钟的人数占全校人数的百分数约等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】体育老师统计本班同学的身高，并对统计到的数据进行整理分析．已知班内身高最高的是，最低的是，在绘制频数分布直方图时要求组距为5，则组数为____． 【变式3】某校为了解七年级560名学生的体重情况，开展了一次调查． 【确定调查方式】 (1)计划从七年级里抽取140名学生，将抽取的这140名学生的体重作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号） ①抽取体重最轻的140名学生的体重作为样本； ②抽取体重最重的140名学生的体重作为样本； ③随机抽取140名学生的体重作为样本． 【整理分析数据】 (2)采用合理的调查方式获得该140名学生的体重（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 140名学生体重频率分布表 体重 频率 a 合计 1 140名学生体重频数分布直方图 根据以上图表信息，解答下列问题： 频率分布表中的 ，并将频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 (3)该校计划为所有体重不低于的七年级学生设计针对性锻炼方案，请估计参加学生的人数为多少． 题型14 用样本的频数估计总体的频数 例14．某鞋店在一周内销售了50双沙滩鞋，各种鞋号销售情况见下表．若要再购进200双沙滩鞋，根据表中数据，则需求量最多的沙滩鞋应购进的数量约为（    ） 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 售量/双 1 3 8 10 15 6 4 2 1 A．39双 B．60双 C．120双 D．156双 【变式1】一个瓶子中装有一些豆子，从瓶子中取出50粒豆子，给这些豆子做记号，把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀，从瓶子中再取出30粒豆子，其中有记号的有2粒，则瓶子中的豆子总数约为______粒． 【变式2】在1000个数据中，用适当的方法抽取50个作为标本进行统计，频数分布表中，这一组的频率为0.16，则估计总体数据落在的约有______个． 【变式3】2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．我校计划开展“春晚机器人•科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： ．机器人控制；B．人工智能； ．智能算法；．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，小鸣随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且只能选择其中一项），根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图如下． “春晚机器人•科技向未来”主题日学生研学意向调查结果统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查所抽取的学生人数为 人，并补全条形统计图； (2)学校有800名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下表可知，、、三场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排、两场讲座，在①②处补全此次活动日程表，并通过计算说明理由． “春晚机器人•科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C ② ①       设备检修暂停使用 题型15 数据的收集、整理与描述大题专训 例15．为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“文学欣赏”“球类运动”“动漫制作”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)求m的值，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“动漫制作”选项所对应的扇形圆心角的大小为多少？ (3)若该校共有3000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“球类运动”的学生人数． 【变式1】继去年以“草根赛事”火热出圈后，2026赛季的“苏超”如约重返江湖，对于“苏超”的成功，某自媒体对小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点话题，分别为A．以城为名——强化归属感；B．社交传媒——网络玩爆梗；C．赛事升级——城市嘉年华；D．票根经济——驱文旅消费；E．商业赞助——引体系创新．每人只能从中选一个热点话题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： (1)本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； (2)热议话题E所在扇形的圆心角度数为 °； (3)若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中热点话题是“社交传媒——网络玩爆梗”的大约有多少人？ 【变式2】青少年体质指数（）是评估青少年营养状况、胖瘦与健康的一种衡量指标．体质指数（）计算公式：（），其中G表示体重（）身高（），《国家学生体质健康标准》将学生体质指数（）分成四个等级（如表）． 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体质指数分布情况，数学综合实践小组开展了一次调查，并做了如下工作：①整理数据并绘制统计图：②在全校范围内抽取名具有代表性的学生；③结合统计图分析数据并得出结论：④收集名学生的体重和身高数据． (1)请按数据统计的步骤对以上工作进行正确排序 ； 【数据处理】调查小组根据收集的数据，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： (2)补全条形统计图； (3)求扇形统计图中C所对应的圆心角度数； (4)学校准备制定健身减肥计划（超重和肥胖都需要参加），若该校总人数1500人，估计需要健身减肥的有多少人？ 【变式3】无锡市体育中考分四个项目，某中学为了给学弟学妹在选择球类项目有更好的参考，根据初三学生测试情况随机抽取部分学生，对抽取的学生就选择球类的满分率进行调查，汇总发现：其中选择足球运球射门的学生有10位，三类球类满分人数总共63人，其中篮球满分30人，排球满分率为，并将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： (1)本次抽样一共抽取了 名学生，并补全条形统计图； (2)扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为 °； (3)已知该校初三年级共有800名学生，根据抽样结果估计该校初三学生这次测试中选择“足球运球射门”满分的学生人数； (4)根据上述统计分析情况，作为该校的体育教研组长就三球类选择上给出一条合理建议． 题型16 随机事件 例16．给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【变式1】下列事件中是确定事件的是______（填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【变式2】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 【变式3】指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．（填序号） 题型17 概率 例17．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【变式1】事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 【变式3】（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 题型18 求事件的概率 例18．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【变式1】为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【变式2】小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是_____． 【变式3】年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 题型19 由频率估计概率 例19．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 【变式1】如表记录了小明做摸球实验，若他从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 124 190 325 538 670 2004 摸到白球的频率 a 【变式2】在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到） 【变式3】“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 2949 3932 合格品频率 (1)求出表中__________，__________； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）； (3)如果生产50000顶头盔，估计有多少顶头盔是合格品？ 题型20 用频率估计概率的综合应用 例20．苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． (1)估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； (2)如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 【变式1】在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【变式2】（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【变式3】无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 1．某校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法错误的是（     ） A．得95分的人数最多 B．参赛学生人数为8人 C．最低分为85分 D．最高分与最低分的差是15分 2．某品牌空调今年1-6月份的月销售量折线统计图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．从2月份开始，月销售量逐渐增长，于是可以预测，今后该品牌空调的月销售量一定会越来越高 B．4月份的销售量与3月份的销售量相比，增长了 C．6月份的销售量与3月份的销售量相比，增长了2倍 D．环比（即与上月相比）增长速度最大的是5月份 3．某超市去年8月月，每月总销售额的条形统计图和每月牛奶类销售额占总销售额百分比的折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．8月份总销售额比11月份多 B．月销售总额与牛奶类销售额变化不一致 C．10月份牛奶类销售额比11月份少 D．四个月中8月份牛奶类销售额最高 4．体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　） A．一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多 B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的 C．一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多 D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多 5．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（    ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 6．将个数分成组并列出频数分布表．若第一组与第五组的频数分别为和，第二组和第三组的频率之和是，则第四组的频数是___________． 7．有50个数据，共分成6组，前4个小组的频数分别为5，9，10，6，第5组的频率为0.2，若将这50个数据绘制成扇形统计图，则第6组数据所对应的扇形的圆心角度数为______． 8．某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是______．（填写序号） ①共有500名学生参加模拟测试； ②从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增加； ③第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多； ④第4月测试成绩“优秀”的学生人数为100． 9．为迎接学校艺术节，七年级某班进行班级歌词征集活动，作品上交时间为星期一至星期五．班委会把同学们上交作品件数按每天一组分组统计，绘制了频数分布直方图如下．已知从左至右各长方形的高的比为，第二组的频数为9，则全班上交的作品有_______件． 10．近年来，太湖区域环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为监测太湖某湿地过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了30只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地约有灰鹤________只．    11．为深化课程改革，提高延时服务的多样性，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取八年级部分学生进行调查，从A：书法，B：美食，C：话剧，D：编程与机器人四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的总人数为多少人，扇形统计图中A部分的圆心角是多少度． (2)请补全条形统计图． (3)根据本次调查，该校八年级720名学生中，估计最喜欢“编程与机器人”的学生人数为多少？ 12．某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校2000名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在分钟）分为5个等级（A：；B：；C：；D：；E：），并随机抽取了部分学生的调查问卷进行了分析，根据分析结果绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了_______名学生的调查问卷，“A”对应扇形圆心角的度数为_______； (2)补全频数分布直方图； (3)请你估计全校2000名学生中，完成作业的时间少于70分钟的学生人数． 13．在贯彻落实“五育并举”的工作中，我集团校为八年级开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，其中扇形统计图中D所对应的圆心角度数为，请根据统计图提供的信息，解决下列问题： (1)本次调查的学生共有_________人；_________； (2)将条形统计图补充完整； (3)若集团校八年级共有3300名学生，请估算本学期参加传统国学（A）活动的学生人数． 14．某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： (1)该校九年级接受调查的人数为________，并补全条形统计图． (2)计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数． (3)若该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数，并根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议． 15．某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 频率 合计 请根据图表，解答下面的问题： (1) ________， ________， ________， ________． (2)补全频数分布直方图． (3)如果阅读书籍数量在本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 16．某校七年级个班的名学生即将参加学校举行的研究旅行活动，学校提出以下个活动主题：．运河文化考察；．无锡饮食文化考察；．无锡革命红色文化考察；．无锡新兴科技考察，为了解学生喜欢的活动主题．学生会开展了一次调查研究，请将下面的过程补全． (1)收集数据：学生会计划调查学生喜欢的活动主题情况，下面抽样调查的对象选择合理的是______．（填序号） ①选择七年级班、班、班学生作为调查对象 ②选择学校旅游摄影社团的学生作为调查对象 ③选择各班学号为的倍数的学生作为调查对象 (2)整理、描述数据：通过调查后，学生会同学绘制了如下两幅不完整的统计图，请把统计图补充完整． (3)分析数据、推断结论：请你根据上述调查结果向学校推荐本次活动的主题，你的推荐是______（填到的字母代号），估算全年级大约有多少名学生喜欢这个主题活动． 17．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 18．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 18．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 19．某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为________元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 20．植树节为每年月日，某单位买了一批树苗组织员工去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 成活的棵数 成活的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)这种树苗成活的概率估计值为___________（精确到）． 21．综合与实践：气象谚语是人们观察自然现象的经验总结，蕴含着概率的数学思想，请以“朝霞不出门，晚霞行千里”为例，完成以下实践任务． 任务一：数据收集 通过气象软件收集某地区近10年“朝霞出现后当天是否下雨”和“晚霞出现后次日是否晴天”的数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 朝霞是否出现 是 否 否 是 否 是 是 否 是 是 当天是否下雨 是 否 否 是 否 是 否 否 是 是 晚霞是否出现 是 否 是 否 是 否 是 否 是 否 次日是否晴天 是 否 否 是 是 是 是 否 是 是 任务二：数据整理与分析 (1)统计频数（由上表发现近10年来的数据） ①朝霞出现的年份数：__________，朝霞出现后当天下雨的年份数：_________； ②晚霞出现的年份数：__________，晚霞出现后次日晴天的年份数：_________． (2)解释概率思想：“朝霞不出门，晚霞行千里”是经验性的概率总结，而非绝对规律，从数据看，朝霞后下雨的频率约为_________，晚霞后次日晴天的频率约_________，说明“朝霞下雨，晚霞晴天”是大概率事件，但不是必然发生，这体现了随机现象的特点：单次结果不确定，但大量观察后频率会具有__________．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率__________概率． 拓展辨析： (3)从以下谚语中选择一句，判断它描述的是不可能事件，必然事件还是随机事件，并说明理由． ①竹篮打水一场空；②种瓜得瓜，种豆得豆；③瑞雪兆丰年． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $