精品解析：江西省赣州市蓉江新区2025-2026学年第二学期八年级下学期数学期末试题

2025—2026学年第二学期期末考试 八年级数学试题卷 （说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 已知1支冰淇淋的价格是4元，买a支冰淇淋共支付b元，则4和a分别是（ ） A. 常量，常量 B. 变量，变量 C. 常量，变量 D. 变量，常量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查常量与变量的基本概念，根据定义判断两个量的属性即可得出答案. 【详解】解：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值可以发生变化的量叫做变量. ∵本题中1支冰淇淋的价格4元固定不变，购买冰淇淋的数量可以取不同的正数值，总费用随的变化而变化. ∴4是常量，是变量. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质，加法法则，除法法则，逐一进行判断即可．熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 3. 下列三边能够组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 1，2， C. 3，5，8 D. 2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理结合三角形三边关系判断即可；先确定每个选项中最长边，计算两短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可得出结论． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长，满足，则该三角形为直角三角形，且需先满足三角形三边关系：两边之和大于第三边 选项A：三边长为，最长边为，，，，不能组成直角三角形，不符合题意； 选项B：三边长为，最长边为，，，且满足三边关系，，能组成直角三角形，符合题意； 选项C：三边长为，，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； 选项D：三边长为，最长边为，，，，不能组成直角三角形，不符合题意． 4. 从班上名排球队员中，挑选6名个头高的参加校排球比赛．若这名队员的身高各不相同，其中队员小林想知道自己能否入选，只需知道这名队员身高数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的应用，掌握中位数的概念是解本题的关键．根据题意，只要知道名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选． 【详解】解：入选规则是个头高则入选， 则需要将名队员的身高进行降序排序，取前6名进行参赛， 根据中位数的概念，知道第6名的成绩， 即中位数即可判断小林是否入选， 故选：B． 5. 已知一次函数与正比例函数（b为常数，），则两个函数的图象在同一直角坐标系中可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断正比例函数的图象得出的符号，进而判断一次函数的图象即可求解． 【详解】A．正比例函数经过二、四象限，则，一次函数经过一、二、三象限，则，故该选项不正确，不符合题意； B．正比例函数经过一、三象限，则，一次函数经过一、三、四象限，则，故该选项不正确，不符合题意； C．正比例函数经过一、三象限，则，一次函数经过一、二、四象限，则，故该选项不正确，不符合题意； D．正比例函数经过二、四象限，则，一次函数经过一、二、四象限，则，故该选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了正比例函数与一次函数图象的性质，根据函数图象判断出各系数的符号是解题的关键． 6. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 8. 直线与轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标，掌握坐标轴上点坐标特征是解题的关键． 令，求得y的值即可． 【详解】解：当时，， 所以直线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 9. 已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】按照组内离差平方和的定义，先分别计算每组的组平均数，再计算每组内数据的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：第一组： 该组的平均数为， 则第一组离差平方和为； 第二组： 该组的平均数为， 则第二组离差平方和为， 因此，总组内离差平方和为：． 10. 如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：设牙刷的长度为， ∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴的取值范围是：， 即． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和得出是等边三角形，利用勾股定理求出的长度即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，， 又∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵点到轴的距离为，，点在第一象限， ∴点的坐标为． 12. 如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：①如图1，当时，在正方形的内部，先根据直角三角形斜边中线的性质得的长，利用勾股定理得的长，从而可解答；②如图2，当时，在正方形的外部，同理可解答；③如图3，当时，证明，可得，从而可解答． 【详解】解：分三种情况： ①如图1，当时，在正方形的内部， 是的中点，且， ， 四边形是正方形， ，， ， ； ②如图2，当时，在正方形的外部， 同理可得； ③如图3，当时， ，，， ， ， ， 综上，的长是或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题，并正确画图，不要丢解． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在平行四边形中，是对角线上两点，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质： （1）先实数的混合运算，再加减运算即可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而可得，然后根据全等三角形的判定可得结论． 【详解】解：（1） ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在△与△中，， ∴． 14. 在正方形中，点为的中点，射线交的延长线于点，请判别四边形的形状，并说明理由． 【答案】解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由四边形是正方形，得，，所以，然后证明，则有，再通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】略． 15. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【小问1详解】 解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 16. 如图，经过点，的直线：与直线：相交于点，已知点的纵坐标为2． （1）求直线的表达式及点的坐标； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线经过的两个已知点建立方程组求解，可得到直线的表达式，再根据点在直线上，且纵坐标为2，求出点的坐标． （2）将转化为几何问题，即找直线在直线的下方对应的的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入：， 得方程组：， 解得 ， 故直线的表达式为， ∵点在直线上，且纵坐标为2， ∴，解得， 故点的坐标为． 【小问2详解】 解：已知直线：与直线：相交于点，且点的坐标为， 结合图像可知，当时，直线在直线的下方， 所以当时，的取值范围为． 17. 如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） （1）在图1中，作出中边上的高； （2）在图2中，作出一个菱形． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接即可； （2）延长交于点，令交于点，连接，，则四边形为所求． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即是中边上的高； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质，菱形的判定是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多，口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元，超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种粽子每个的进价为2元，则乙种粽子每个的进价为3元 （2）购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为266元 【解析】 【分析】（1）设甲种粽子每个的进价为元，则乙种粽子每个的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）根据题意得：购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，进而求得一次函数表达式，结合题意求得自变量的取值范围，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种粽子每个的进价为元，则乙种粽子每个的进价为元，根据题意得 ， 解得：， 检验：当时， 所以是原分式方程的解，且符合实际意义 答：甲种粽子每个的进价为元，则乙种粽子每个的进价为元． 【小问2详解】 根据题意得：购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个， ， 与的函数关系式为：， 甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ， 解得， （为正整数）． ，为正整数， 当时，有最大值，最大值为， 此时． 购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元． 19. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 【答案】(1)见解析；(2) OF =. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论． 【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD. ∵DF=CE， ∴DF+DE=CE+ED， 即:FE=CD. ∵点F、E在直线CD上 ∴AB=FE，AB∥FE. ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵BE⊥CD，垂足是E， ∴∠BEF=90°. ∴四边形ABEF是矩形. (2)解:∵四边形ABEF是矩形O， ∴∠AFC=90°，AB=FE. ∵AB=6，DE=2， ∴FD=4. ∵FD=CE， ∴CE=4. ∴FC=10. 在Rt△AFD中，∠AFD=90°. ∵∠ADF=45°， ∴AF=FD=4. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°. ∴. ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， ∴O为AC中点 在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF=AC=. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 20. 为深入贯彻党的二十大关于加快建设教育强国的战略部署，中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024—2025年）》．纲要明确提出，要保障中小学生每天综合体育活动时间不低于．为了更好地落实这一政策，某中学对部分学生每天综合体育活动时间进行了调查，并根据统计结果制成了如下不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题． （1）①被调查的学生人数为___________，___________，__________； ②被调查的学生每天综合体育活动时间的众数和中位数分别是___________和___________； （2）补全条形统计图； （3）若该中学共有2000名学生，试估计该校每天综合体育活动时间达到要求的学生人数． 【答案】（1）①，，；②，； （2） （3）估计该校每天综合体育活动时间达到要求的学生人数有人 【解析】 【分析】（1）①根据活动时间为的人数及对应占比求出被调查总人数，用总人数乘的占比得其人数，用总人数减去其余各组人数求出的人数，再计算人数占总人数的百分比得到的值； ②找出人数最多的活动时间即为众数，将个数据从小到大排列，取第、个数据的平均数得到中位数； （2）根据（1）中计算出的活动时间为的人数，在条形统计图中补画对应高度的直条，即可完成补全； （3）先求出每天综合体育活动时间不低于的学生占被调查人数的比例，再乘全校总人数，估计出该校达到要求的学生人数． 【小问1详解】 解：活动时间为的学生共人，占总人数的，因此被调查总人数为； 活动时间为的人数为， 因此活动时间为的人数为 ， 对应占比，即； ②活动时间为的人数最多，因此众数为； 将个数据从小到大排列，中位数为第、个数据的平均数， 前个数据为，第至个数据均为，因此第、个数据都是，中位数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校每天综合体育活动时间达到要求的学生人数有人． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现 思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 知识应用 （2）如图2，在中，对角线和相交于点． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若与的数量关系为________． 【答案】 （1）证明：方法一：四边形是平行四边形， ， 又，垂足为O， 是的垂直平分线， ， 是菱形； 方法二：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得≌，则， 又 四边形是菱形； （2）①证明：四边形是平行四边形，，， ，， 在中，，， ， ∴是直角三角形，且， ， 四边形是菱形； ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定AC是BD的垂直平分线，推出后利用菱形的定义即可判定▱ABCD是菱形； （2）①根据平行四边形的性质求出的长，然后根据勾股定理逆定理判定，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证；②根据菱形的性质，平行线的性质以及等腰三角形性质即可得到结论． 本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）①略 ②四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 即 故答案为： 22. 阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时， ；，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_________； （2）当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）2 （2）当时，最小值为4 （3）25 【解析】 【分析】（1）利用不等式结论，当，时，，当且仅当时取等号，将和分别对应和，即可得出最小值． （2）先对表达式进行化简，得到，运用不等式结论，再根据条件，得出最小值． （3）根据已知条件，设的面积为，找出、、、四个三角形的面积关系，得出的面积，再运用不等式结论，即可求出四边形面积的最小值． 【小问1详解】 解：当时，当且仅当时，即时取等号， ． 【小问2详解】 解：， ， 而， 当时， ， 解得：或， ， 当时，有最小值为4． 【小问3详解】 解：四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9， 设， 与同高，与同高， ， 由题知，， ， ， ， ， ， 四边形面积的最小值为25． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践： 【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 【探究实践】 陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长． 【答案】（1）小莹的结论正确，见解析；（2）小明的结论正确，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质推出，进而证明，结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接，由折叠得：，，进而得出，再根据平行线的性质和对顶角相等得，根据中点定义得到，结合中位线定理推出，利用等角的余角相等得，进而可得，即可证明N是的中点； （3）根据折叠的性质和线段中点定义得到，利用勾股定理推出，进而得到，设，则，利用勾股定理求出，再同理可求出． 【详解】解：（1）小莹的结论正确； 理由如下：∵将沿翻折，点C的对应点为H， ∴， ∴． ∵折痕与夹角为， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）小明的结论正确； 理由如下： 如图，连接，由折叠得：，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴N是的中点； （3）解：∵，， ∴． 由折叠得， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，解得， ∴． 在中，，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，中位线性质，勾股定理，熟练运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试 八年级数学试题卷 （说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 已知1支冰淇淋的价格是4元，买a支冰淇淋共支付b元，则4和a分别是（ ） A. 常量，常量 B. 变量，变量 C. 常量，变量 D. 变量，常量 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列三边能够组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 1，2， C. 3，5，8 D. 2，3，4 4. 从班上名排球队员中，挑选6名个头高的参加校排球比赛．若这名队员的身高各不相同，其中队员小林想知道自己能否入选，只需知道这名队员身高数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 已知一次函数与正比例函数（b为常数，），则两个函数的图象在同一直角坐标系中可能是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 8. 直线与轴的交点坐标是______． 9. 已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 10. 如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为________． 12. 如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在平行四边形中，是对角线上两点，且，求证：． 14. 在正方形中，点为的中点，射线交的延长线于点，请判别四边形的形状，并说明理由． 15. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 16. 如图，经过点，的直线：与直线：相交于点，已知点的纵坐标为2． （1）求直线的表达式及点的坐标； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 17. 如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） （1）在图1中，作出中边上的高； （2）在图2中，作出一个菱形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多，口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元，超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 19. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 20. 为深入贯彻党的二十大关于加快建设教育强国的战略部署，中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024—2025年）》．纲要明确提出，要保障中小学生每天综合体育活动时间不低于．为了更好地落实这一政策，某中学对部分学生每天综合体育活动时间进行了调查，并根据统计结果制成了如下不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题． （1）①被调查的学生人数为___________，___________，__________； ②被调查的学生每天综合体育活动时间的众数和中位数分别是___________和___________； （2）补全条形统计图； （3）若该中学共有2000名学生，试估计该校每天综合体育活动时间达到要求的学生人数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现 思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 知识应用 （2）如图2，在中，对角线和相交于点． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若与的数量关系为________． 22. 阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时， ；，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_________； （2）当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践： 【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 【探究实践】 陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $