精品解析：江西省赣州市蓉江新区赣州市第十三中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试 八年级数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a=3a2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐项分析即可． 【详解】A．a+2a=3a,该选项错误; B．,该选项正确; C．,该选项错误; D．,该选项错误; 故选B． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 3. 如果是完全平方式，那么的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ， 故选：D． 4. 一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形三个内角的度数之比，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可． 【详解】解：三角形三个内角度数之比是， ∴三角形的三个内角依次为：，，， ∴该三角形一定是锐角三角形． 故选：A． 5. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图：作角平分线及作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握基本尺规作图是解题的关键． 利用基本作图得到平分，利用基本作图可得到D点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，D点为的垂直平分线与的交点， ∴，所以B选项不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∴， ∴， 所以A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， 所以C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，可以通过识别题目中的两个平方项，利用平方差公式，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个， 所以0.000000007=7×10-9． 故答案为：7×10-9． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 9. 一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正 _______ 边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的外角和定理以及内角和定理，正确掌握相关性质和定理是解题的关键． 先设正多边形的边数是，因为一个正多边形的内角和等于它的外角和的2倍，所以列式，进行计算，即可作答． 【详解】设正多边形的边数是， 根据题意得，， 解得， 这个多边形为六边形． 故答案为：六． 10. 如图，在中，，，点，分别在边，上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折问题，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， 由折叠可知， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11. 如图，等边中，E是边的中点，是边上的中线，P是上的动点，若，则的最小值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，轴对称求线段的最值问题，作点E关于的对称点F，由加对称的性质可知就是的最小值，由此可解． 【详解】解：作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E关于的对应点为点F， ∴就是最小值． ∵是等边三角形，E是边的中点， ∴F是的中点， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为6， 故答案为：6． 12. 如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为_____． 【答案】9°、51°、129° 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当时，②当于F时，③当时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：①如图1，当时， ，， ， 平分， ， ； ②如图2，当于F时， ， ； ③如图3，当时， 平分， ， ， ． 综上所述，的度数为9°、51°、129°． 故答案为：9°、51°、129°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，点是线段的中点，．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了含有指数的实数混合运算与全等三角形的证明，解题的关键是熟知相关运算法则与三角形全等的判定定理． （）根据负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的相关运算法则进行计算即可； （）根据平行线的性质与“角边角”判定三角形全等的定理进行证明即可． 【详解】解：（）原式； （）证明：点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ≌． 14. 解方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，关键在于通过去分母转化为整式方程，再检验根的有效性； 本题先通过去分母将分式方程化为整式方程：求解，但必须检验所得的根：是否使原分式方程的分母为0，若使分母为0，则为增根，原方程无解，这一检验步骤是分式方程求解的关键，体现了分式方程与整式方程的区别，确保求解过程的严谨性． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的增根． 原分式方程无解． 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则去括号后，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了整式混合运算，涉及的知识有平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式以及合并同类项法则，熟练掌握法则及公式是解本题的关键． 16. 如图，在中，于点，点分别在与上，连接．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，在上画点，使点与点关于对称； （2）在图2中，在上画点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）连接交于点，由等腰三角形三线合一的性质可知，，则，连接并延长交于点，可证，则进而得出，即点即为所作； （2）连接并延长交于点，由（1）可得，，再结合对顶角相等得，则，即点即为所作． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所作； 【小问2详解】 解：如图2所示，点即为所作． 17. 先化简，再求值：，请在范围内选择一个合适的整数a的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 要使原式有意义，，， 即，，， 故从的整数解中只能取2， 将代入到得，原式． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【猜想证明】 （1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； 【探究应用】 （2）过点作交于点，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． （）由，，根据全等三角形的判定定理“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明； （）由，得，而，所以，则，即可解答； 【小问1详解】 解：， 证明：在和中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ，且， ， ， ， ． 19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆． （1）型和型汽车的进价分别为每辆多少万元； （2）该公司决定用不多于1200万元购进型和型汽车共100辆，最多可以购买多少辆型汽车？ 【答案】（1）A型汽车的进价为每辆15万元，B型汽车的进价为每辆10万元 （2）最多可以购买40辆A型汽车 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆，列出方程求解即可． （2）设购买m辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据购进A型和B型汽车共100辆的总价是不多于1200万元，列出不等式，求解即可． 小问1详解】 解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，依题意得： ， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意，此时， 答：A型汽车的进价为每辆15万元，B型汽车的进价为每辆10万元； 【小问2详解】 解：设购买m辆A型汽车，则购买辆B型汽车，依题意得： ， 解得：， 答：最多可以购买40辆A型汽车． 20. 阅读理解：我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，求的值． 解： 问题解决： （1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，求的值； 【答案】（1）52 （2）34 （3）7 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据完全平方公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可； （3）令，，根据完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：令，， ， ， ， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 探索发现： ＝1－ ＝－ ＝－ 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝__________；＝__________； （2）利用发现的规律计算： ＋＋＋···＋ （3）利用以上规律解方程： ＋＋···＋＝ 【答案】（1），；（2）；（3）x=25. 【解析】 【分析】（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解即可； （2）利用前面的运算规律得到原式=，然后合并后通分即可； （3）利用运算规律方程化为 ， 合并后解分式方程即可． 【详解】（1），； （2）原式=； （3）原方程可化为 ， 即， 解得x=25, 经检验x=25是原方程的解. 【点睛】本题考查了分式的运算和解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：是解答本题的关键． 22. 如图，等边△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．点M以3cm/s的速度运动． （1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动、它们同时出发，若点N的速度与点M的速度相等； ①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由． ②当M，N两点的运动时间为多少秒时，△BMN恰好是一个直角三角形？ （2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M按原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s时，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是 cm/s．（请直接写出答案） 【答案】（1）①△BMN和△CDM全等，理由见解析；②秒或秒； （2）或 【解析】 【分析】（1）①由题意求出CM＝BN ，BM＝CD，然后利用SAS可证明△BMN≌△CDM； ②分两种情形讨论解答：①当∠BNM＝90°时；②当∠BMN＝90°时，设两点的运动时为t秒，分别表示出BM，BN的长度，根据含30°角的直角三角形的性质列方程即可求出对应的时间； （2）分两种情况解答：①当点N的速度小于点M的速度时；②当点N的速度大于点M的速度时，设点N速度为s厘米/秒，利用点M与点N第一次相遇时的路程的差列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：①△BMN和△CDM全等． 理由：∵点N的运动速度与点M的运动速度相等，点M以3厘米/秒的速度运动， ∴点N的速度是3厘米/秒， ∴经过2秒后，CM＝6厘米，BN＝6厘米， ∴CM＝BN， ∴BM＝BC−CM＝10−6＝4（厘米）， ∵DC＝4厘米， ∴BM＝CD， ∵在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60°， ∴△BMN≌△CDM（SAS）； ②设两点的运动时间为t秒，则CM＝BN＝3t厘米， ∴BM＝BC−CM＝（10−3t）厘米． ①当∠BNM＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BMN＝30°， ∴BN＝BM， ∴3t＝（10−3t）， 解得：t＝； ②当∠BMN＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BNM＝30°， ∴BM＝BN， ∴10−3t＝×3t． 解得：t＝， 综上，当运动时间为秒或秒时，△BMN是一个直角三角形； 【小问2详解】 设点N速度为s厘米/秒，则点N25秒运动的距离为25s厘米， ①当点N的速度小于点M的速度时， 由题意得：25×3−25s＝10， 解得：s＝， ②当点N的速度大于点M的速度时， 由题意得：25s−25×3＝20， 解得：s＝， 综上，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒或厘米/秒， 故答案为：或． 【点睛】本题是几何动点的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， ∴的周长为：． （1）【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．如图1，若，，求的面积； （2）如图2，求证：平分； （3）【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．若，，，直接写出长； （4）若，求证． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，从而可以计算得解； （2）过点分别作、、边的垂线，垂足分别为点、、，利用全等性质，通过等量代换即可得到，通过角平分线性质即可得证； （3）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，利用关系即可得解； （4）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，然后将整理化简，最后等量代换即可得证． 【小问1详解】 解：由题可知，，，， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点分别作、、边的垂线垂足分别为点、、， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 则平分； 小问3详解】 如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， 即， 解得； 【小问4详解】 证明：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接， 由（2）可知，， ∵， ∴， ，，， ，，， ，，，，， ， ， ， 即， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末考试 八年级数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a=3a2 B. C. D. 3. 如果是完全平方式，那么的值是（ ） A. 0 B. C. D. 4. 一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 5. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 8. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 9. 一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正 _______ 边形． 10. 如图，中，，，点，分别在边，上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则______． 11. 如图，等边中，E是边的中点，是边上的中线，P是上的动点，若，则的最小值为_____． 12. 如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，点是线段中点，．求证：． 14. 解方程： 15 化简：． 16. 如图，在中，于点，点分别在与上，连接．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，在上画点，使点与点关于对称； （2）图2中，在上画点，使． 17. 先化简，再求值：，请在范围内选择一个合适的整数a的值代入求值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【猜想证明】 （1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； 【探究应用】 （2）过点作交于点，若，求的度数． 19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆． （1）型和型汽车的进价分别为每辆多少万元； （2）该公司决定用不多于1200万元购进型和型汽车共100辆，最多可以购买多少辆型汽车？ 20. 阅读理解：我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，求的值． 解： 问题解决： （1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，求的值； 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 探索发现： ＝1－ ＝－ ＝－ 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝__________；＝__________； （2）利用发现的规律计算： ＋＋＋···＋ （3）利用以上规律解方程： ＋＋···＋＝ 22. 如图，等边△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．点M以3cm/s的速度运动． （1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动、它们同时出发，若点N的速度与点M的速度相等； ①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由． ②当M，N两点的运动时间为多少秒时，△BMN恰好是一个直角三角形？ （2）若点N运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M按原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s时，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是 cm/s．（请直接写出答案） 六、解答题（本大题共12分） 23. 【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， ∴的周长为：． （1）【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．如图1，若，，求的面积； （2）如图2，求证：平分； （3）【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．若，，，直接写出长； （4）若，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $