精品解析：江苏省泰州市姜堰区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C.     D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法、积的乘方、平方差和完全平方公式分别计算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 3. 下列算式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特征是解题的关键； 根据平方差公式的结构特征，逐一分析各选项是否符合两数和与两数差的乘积形式． 【详解】A．第二个括号可提取负号，得，不符合平方差公式，故不符合题意； B．第一个括号可写为，第二个括号为，原式，不符合平方差公式，故不符合题意； C．第二个括号可写为，原式变为，即，符合平方差公式结构，结果为，符合条件，故符合题意； D．直接为，不符合平方差公式，故不符合题意； 故选：C． 4. 下列四对数值，是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 将各选项的x和y值代入方程，验证等式是否成立． 【详解】A． 当时，左边，不满足方程； B． 当时，左边，不满足方程； C． 当时，左边，满足方程； D． 当时，左边，不满足方程． 故选：C． 5. 在中，，则边的长度可以是（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据三边关系求出的取值范围，再结合选项即可解答． 【详解】解：设的长度为． ∵ ， ∴ ，代入得 ，即． 观察选项，只有B选项的满足． 6. 如图，是的高，的平分线交于点E，过点B作，垂足为点F，交于点G．若，则下列结论中：①；②；③．所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明，然后利用角平分线的定义得出相等角，利用①的结论得出相等角，然后利用等角对等边证明即可； ③延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ③如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴为钝角， ∴在中，， ∴， ∴ 故③错误，不符合题意； 综上，正确选项为①②． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 若，，则________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：24． 9. “y的三分之一与4的和是非负数” 用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将文字描述转化为代数式，再根据非负数的定义确定不等关系，据此列出不等式即可． 【详解】解：y的三分之一表示为，y的三分之一与4的和为． 由和是非负数，可得不等式． 10. 命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意可知，命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，该命题是真命题， 故答案为：真． 11. 若，的周长为12，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出中的长，再利用全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：∵，的周长为， 的周长为，， ，， ， ． 12. 用反证法证明命题 “已知a，b，c是三条不同的直线，如果，，那么”时，第一步应假设______． 【答案】a与c不平行 【解析】 【详解】解：由题意，第一步应假设a与c不平行. 13. 如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】由点为的中点得出，再由点为的中点，得出，，结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴． 14. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将等式右边利用完全平方公式展开，根据多项式相等时对应项系数相等，推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 已知关于x的不等式组若该不等式组无解，则常数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再结合不等式组无解的条件，得到关于参数的不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 该不等式组无解，两个解集没有公共部分， ，解得． 16. 如图，中，，点E是边上一点，连接并延长至点D，连接，使得，若和都是锐角，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，求出，，根据和都是锐角，推出，根据对顶角和三角形的内角和定理得到，即可得出结论. 【详解】解：设，， 在中，由三角形的内角和得； 在中，由三角形的内角和得； ∴，， ∵和都是锐角， ∴，， 整理得：，， 两式相加得， ∴， 在中：， ∴. 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）逆用积的乘方法则计算即可得出结果； （2）根据多项式乘以单项式的运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法计算即可得出结果； （2）分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 由可得， 解得， 将代入①可得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ； 当时， 原式. 20. 已知关于x，y的二元一次方程． （1）若是该二元一次方程的一个解，求a的值； （2）当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）把代入方程进行求解即可； （2）把代入方程，用含的代数式表示，进而得到关于的不等式，进行求解即可. 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得． 【小问2详解】 解：把，代入，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 又∵关于x，y的二元一次方程， ∴； 综上：且. 21. 端午食粽，是节日习俗之一．某商店准备购进甲、乙两种品牌的粽子，已知乙品牌粽子每盒的进价比甲品牌粽子每盒的进价低15元，购进3盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共290元． （1）求甲品牌粽子每盒的进价； （2）某商店计划用不超过4400元购进甲、乙两种品牌的粽子共100盒，则最少购买多少盒乙品牌粽子？ 【答案】（1）甲品牌粽子每盒的进价为50元 （2）最少购买乙种品牌粽子40盒 【解析】 【分析】（1）设甲品牌粽子每盒的进价为x元，根据题意，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设购买乙种品牌粽子y盒，根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可. 【小问1详解】 解：设甲品牌粽子每盒的进价为x元， 根据题意得， 解得； 答：甲品牌粽子每盒的进价为50元； 【小问2详解】 解：设购买乙种品牌粽子y盒，由（1）知乙品牌粽子每盒的进价为元， 根据题意得， 解得 答：最少购买乙种品牌粽子40盒. 22. 已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵是的外角（已知）， ∴ （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵（已知）， ∴， 即（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】角平分线的定义；；等式性质；等量代换；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义，结合平行线的判定证明即可． 【详解】略 23. 如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， （1）四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； （2）若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【答案】（1） （2） ， ∵ ，可以被3整除， 又可以被9整除，9可以被3整除， ∴可以被3整除， ∴可以被3整除. 【解析】 【分析】（1）根据四位数字的表示方法列出代数式即可； （2）根据，结合可以被9整除，进行说明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 探究问题：已知，， ，，那么与有怎样的数量关系？ （1）【发现】与有两种位置关系：如图1与图2所示． 图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ． （2）【应用】若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，且这个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． （3）【拓展】若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这个角比另一个角的倍少，这个角为 （直接写出结果）． 【答案】（1） ， （2）两个角都为；或一个角为，另一个角为 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别由图1，图2根据平行线的性质推理得出答案； （2）设两个角分别为和，根据（1）中结论列方程即可解决问题． （3）两个角的两边两两互相垂直，则这两个角相等或互补，再结合其中一个角比另一个角的倍少列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图2中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设两个角分别为和， 由（1）可知：或， 解得或， ∴或； 综上：两个角都为；或一个角为，另一个角为； 【小问3详解】 解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补． 设这个角为，另一个角为， 根据题意得，， ①当时，即， 解得； ②当时，即， 解得，则， ∴这个角的度数为或． 25. 探究解题 （1）如图1，与相交于点O，连接，，，点E为边上一点，连接并延长交边于点F，求证：； （2）如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q； （3）如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q． 【答案】（1）证明：∵ ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）点如图所示： （3）点如图所示： 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心，连接并延长与图形另一边的交点即为点； （3）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心，连接并延长，交左上角小正方形的边于点，连接并延长交右下角小正方形的边于点，连接，连接并延长与的交点即为点． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 26. 综合与实践 2026年是我国探月工程实施20周年，学校数学兴趣小组对未来月球科研站展开设想：如图所示，月球基地舱先由若干舱段拼接成不同多边形，再通过几个多边形拼接组合搭建整体舱体．在其主舱段的中点P处设有机器人充电端，机器人需沿各舱段绕行一周进行巡检，每当抵达舱段连接处，机器人调整行进方向驶入下一舱段，从原行进路线转至新行进路线所转过的最小夹角，定义为“转向角”．机器人从点P出发，沿各舱段绕行一周后回到点P，所有“转向角”的总和称为“转向角和”．如图1，当机器人沿方向转向方向时，即为“转向角”． （1）【问题1】如图1，机器人从点P出发沿等边三角形的边逆时针行走，走完一周回到起点P，“转向角和”等于 度； （2）【问题2】如图2，科研站由两个相同的正方形舱段搭建而成，两个正方形仅有一个公共顶点D，无其他交点，且．机器人从点P出发，无重复地走过两个正方形的所有舱段后回到起点P． ①当时，机器人沿方向行至点D，调整机身驶向下一舱段，求机器人在该位置“转向角”的度数（用含α的代数式表示）； ②当“转向角和”最小时，求α的度数； （3）【问题3】如图3，科研站由正方形和正六边形搭建而成，除公共顶点D外，每个正多边形均位于另一个正多边形的外部．机器人从点P出发，无重复地走过两个多边形的所有舱段后回到起点P．当的度数发生变化时，机器人的“转向角和”是否存在最小值？若存在，请直接写出“转向角和”的最小值及此时的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）360 （2）①机器人在该位置“转向角”的度数为或；② （3）存在，“转向角和”最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合等边三角形的性质和补角的性质得出结果； （2）①结合已知条件利用补角的性质得出结果； ②根据题意分情况讨论，根据不同的线路情况进行计算即可得出最终结果； （3）结合多边形外角和和正多边形内角的性质进行分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意知，，，为“转向角”， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即“转向角和”等于360度． 【小问2详解】 解：①由题意知，机器人沿方向行至点D，调整机身驶向下一舱段， ∴机器人有两条线路可选：，， ∴的“转向角”为，的“转向角”为； ②由题意知，分情况讨论： （i）若机器人路线中存在或， 则“转向角和”为； （ii）若机器人路线中存在或， 当时，“转向角和”为， 当时，“转向角和”为， 当时，“转向角和”为 综上所述，当“转向角和”最小为时，此时． 【小问3详解】 解：存在， 理由：由题意知，正方形和正六边形除公共顶点D外，其他顶点的转向角均为对应正多边形的外角， ∵正方形的外角为：， 而正方形有3个非D顶点， ∴转向角和为：， ∵正六边形的外角为：， 而正六边形有5个非D顶点， ∴转向角和为：， ∴非D点的转向角和固定为：， ∵机器人在D点有两次转向，一次从正方形到正六边形，一次从正六边形到正方形， 又∵正方形内角，正六边形内角， 设，需保证转向角为最小夹角，即转向角， 当从转向时，转向角取值范围为，解得：， 当从转向时，转向角取值范围为，解得：， ∴当时，“转向角和”的最小值为， 此时的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C.     D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四对数值，是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则边的长度可以是（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，是的高，的平分线交于点E，过点B作，垂足为点F，交于点G．若，则下列结论中：①；②；③．所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：_______． 8. 若，，则________． 9. “y的三分之一与4的和是非负数” 用不等式表示为______． 10. 命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 11. 若，的周长为12，，则的长为______． 12. 用反证法证明命题 “已知a，b，c是三条不同的直线，如果，，那么”时，第一步应假设______． 13. 如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 14. 若，则的值为______． 15. 已知关于x的不等式组若该不等式组无解，则常数m的取值范围为______． 16. 如图，中，，点E是边上一点，连接并延长至点D，连接，使得，若和都是锐角，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 已知关于x，y的二元一次方程． （1）若是该二元一次方程的一个解，求a的值； （2）当时，，求a的取值范围． 21. 端午食粽，是节日习俗之一．某商店准备购进甲、乙两种品牌的粽子，已知乙品牌粽子每盒的进价比甲品牌粽子每盒的进价低15元，购进3盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共290元． （1）求甲品牌粽子每盒的进价； （2）某商店计划用不超过4400元购进甲、乙两种品牌的粽子共100盒，则最少购买多少盒乙品牌粽子？ 22. 已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵是的外角（已知）， ∴ （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵（已知）， ∴， 即（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 23. 如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， （1）四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； （2）若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 24. 探究问题：已知，， ，，那么与有怎样的数量关系？ （1）【发现】与有两种位置关系：如图1与图2所示． 图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ． （2）【应用】若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，且这个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． （3）【拓展】若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这个角比另一个角的倍少，这个角为 （直接写出结果）． 25. 探究解题 （1）如图1，与相交于点O，连接，，，点E为边上一点，连接并延长交边于点F，求证：； （2）如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q； （3）如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q． 26. 综合与实践 2026年是我国探月工程实施20周年，学校数学兴趣小组对未来月球科研站展开设想：如图所示，月球基地舱先由若干舱段拼接成不同多边形，再通过几个多边形拼接组合搭建整体舱体．在其主舱段的中点P处设有机器人充电端，机器人需沿各舱段绕行一周进行巡检，每当抵达舱段连接处，机器人调整行进方向驶入下一舱段，从原行进路线转至新行进路线所转过的最小夹角，定义为“转向角”．机器人从点P出发，沿各舱段绕行一周后回到点P，所有“转向角”的总和称为“转向角和”．如图1，当机器人沿方向转向方向时，即为“转向角”． （1）【问题1】如图1，机器人从点P出发沿等边三角形的边逆时针行走，走完一周回到起点P，“转向角和”等于 度； （2）【问题2】如图2，科研站由两个相同的正方形舱段搭建而成，两个正方形仅有一个公共顶点D，无其他交点，且．机器人从点P出发，无重复地走过两个正方形的所有舱段后回到起点P． ①当时，机器人沿方向行至点D，调整机身驶向下一舱段，求机器人在该位置“转向角”的度数（用含α的代数式表示）； ②当“转向角和”最小时，求α的度数； （3）【问题3】如图3，科研站由正方形和正六边形搭建而成，除公共顶点D外，每个正多边形均位于另一个正多边形的外部．机器人从点P出发，无重复地走过两个多边形的所有舱段后回到起点P．当的度数发生变化时，机器人的“转向角和”是否存在最小值？若存在，请直接写出“转向角和”的最小值及此时的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $