精品解析：江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2025年春学期期末学情调查 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 用不等式表示图中的解集，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和相交于点，若，用“”证明还需（ ） A. B. C. D. 4. 在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克） 邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 5. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，为的中线，将沿翻折，使点B落在点E处，与边交于点F．记的面积为，的面积为，要想求的值，只要知道（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 四边形的面积 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 用科学记数法表示为______． 8. “a的一半与3的和小于2”用不等式表示为___________． 9. 若三角形两边分别为5和7，则第三边的长可能是______．（写出一个符合条件的值即可） 10. 用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设______． 11. 若，则m为______． 12. 如图，表1的每对，的值都是二元一次方程的解，表2的每对，的值都是二元一次方程的解，则方程组的解为_______． 表1 x 0 1 y 0 表2 x 0 1 y 1 13. 如图，中，点D，E分别在边，上，若，则的度数为______． 14. 关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 15. 若的解集中的最大整数解为5，则a的取值范围是______． 16. 在中，，E，F分别为直线和直线上的点，直线交边于点D，，，则______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或化简： （1） （2） 18 计算或化简： （1） （2） 19. 解方程组或不等式组 （1）解方程组： （2）解不等式组： 20. 正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． （1）画出平移后的； （2）在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 21. 我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． （1）二元一次方程伴随数是__________ （2）已知关于x、y二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 22. 如图，、为两条线段，E为线段上方一点，连结交AB于F，过点E作直线交，于G，H，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示（两次进货时，两种水果的进价保持不变）： 进货批次 甲种水果（单位：千克） 乙种水果（单位：千克） 总费用（单位：元） 第一次 80 50 2500 第二次 40 70 2420 （1）求甲、乙两种水果的进价； （2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，在两种水果进价不变的情况下，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元，则第三次购进的甲种水果至少为多少千克？ 24. 已知代数式，，其中，为常数． （1）若与的乘积化简后不含的一次项，求的值（用含的代数式表示）； （2）在（）条件下，是不等式的解，不是不等式的解，求整数的值． 25. 如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． （1）求证：； （2）若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 26. 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务： 如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454． 小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题； 命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明； 设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除． 证明：∵两位数能被3整除， ∴设（k为正整数）．．． ．整数．可以被3整除． 由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题． 结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断． 小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题； 命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍． 任务1：证明命题 （1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 任务2：写逆命题 （2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题； 任务3：应用结论 （3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______． （4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期期末学情调查 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂相乘、合并同类项、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据的乘方、同底数幂相乘、合并同类项、同底数幂相除运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A.，计算正确，故此选项符合题意； B.，计算错误，故此选项不符合题意； C.，计算错误，故此选项不符合题意； D.，计算错误，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 用不等式表示图中的解集，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式解集在数轴上的表示方法，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．据此即可求解． 【详解】解：由数轴可得：， 故选：B． 3. 如图，和相交于点，若，用“”证明还需（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 故选：． 4. 在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克） 邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 5. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， ∴命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6. 如图，为的中线，将沿翻折，使点B落在点E处，与边交于点F．记的面积为，的面积为，要想求的值，只要知道（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 四边形的面积 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线性质、折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由中线的性质得，再由折叠的性质得出，即可得出结果． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴想求的值，只要知道的面积即可， 故选：C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案：． 8. “a的一半与3的和小于2”用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】a的一半为，与3的和为，小于即，据此列不等式． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出不等式． 9. 若三角形两边分别为5和7，则第三边的长可能是______．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的长的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为x，则 ， ∴， ∴第三边的长可能是3． 故答案为：3（答案不唯一） 10. 用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键． 根据反证法证明命题的步骤求解即可． 【详解】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论， 所以先假设． 故答案为：． 11. 若，则m为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是多项式乘多项式的法则，掌握知识点是解答此题的关键． 先把等式的左边化为的形式，再求出m的值即可． 详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 12. 如图，表1的每对，的值都是二元一次方程的解，表2的每对，的值都是二元一次方程的解，则方程组的解为_______． 表1 x 0 1 y 0 表2 x 0 1 y 1 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程解，熟练掌握二元一次方程的解的意义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的意义，即可解答． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 故答案为：． 13. 如图，中，点D，E分别在边，上，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 先由全等三角形的性质得到，进而由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 14. 关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 若的解集中的最大整数解为5，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最大整数解的意义. 根据最大整数解的意义即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵的解集中的最大整数解为5， ∴， 故答案为． 16. 在中，，E，F分别为直线和直线上的点，直线交边于点D，，，则______． 【答案】或##36或24 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，解题重点是对此类题型，需看清题目中的描述，如字眼“直线，射线，线段”，考虑问题要全面，多注意分类讨论思想的使用． 由先求出，再根据E，F的位置，及直线交边于点D，画图分类讨论，每类情况下根据的取值，以及三角形内角和，即可求解． 【详解】解：∵， ∴由三角形内角和知 由题意直线交边于点D， 则分以下两大类情况： ①当是钝角三角形时，如图1和图2， 在中，由， 则， 又，， ∴， ∴． ②当是锐角三角形时，如图3和图4， 在中，由， 则， 则， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含负整数指数幂的运算，单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和负整数指数幂，以及有理数的乘方，再进行加减计算； （2）利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算或化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式． （1）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项即可； （2）添括号后运用平方差公式，完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程组或不等式组 （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键． （1）根据加减消元法计算即可； （2）分别解两不等式，进而可求出不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 得， 解得：， 将代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为． 20. 正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． （1）画出平移后的； （2）在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 【答案】（1）画图见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，掌握平移的性质是解题的关键． （）根据点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接即可； （）利用长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接； ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接， 扫过的面积是 ， 故答案为：． 21. 我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． （1）二元一次方程的伴随数是__________ （2）已知关于x、y的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法，理解新定义的含义是解题的关键． （1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可； （2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出m，n的值； 【小问1详解】 解∶ 二元一次方程变形为， ∴二元一次方程的伴随数是， 故答案为∶ ； 【小问2详解】 解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是， ∴原方程为， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得． 22. 如图，、为两条线段，E为线段上方一点，连结交AB于F，过点E作直线交，于G，H，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据题意，得到，即可证明； （2）由平行线的性质可知，利用，求得的度数． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 23. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果情况如表所示（两次进货时，两种水果的进价保持不变）： 进货批次 甲种水果（单位：千克） 乙种水果（单位：千克） 总费用（单位：元） 第一次 80 50 2500 第二次 40 70 2420 （1）求甲、乙两种水果的进价； （2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，在两种水果进价不变的情况下，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元，则第三次购进的甲种水果至少为多少千克？ 【答案】（1）甲水果进价为15元/千克；乙水果进价为26元/千克 （2）购进的甲种水果至少为60千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲种水果的进价是每千克x元，乙种水果的进价是每千克y元，根据表中信息列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设第三次购进的甲种水果为m千克，则乙种水果为千克，根据购买的资金不超过3240元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种水果的进价是每千克x元，乙种水果的进价是每千克y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲水果进价为15元/千克；乙水果进价为26元/千克； 【小问2详解】 设第三次购进的甲种水果为m千克，则乙种水果为千克， 由题意得： ， 解得：， 答：第三次购进的甲种水果至少为60千克． 24. 已知代数式，，其中，为常数． （1）若与的乘积化简后不含的一次项，求的值（用含的代数式表示）； （2）在（）的条件下，是不等式的解，不是不等式的解，求整数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，一元一次不等式组解法是解题的关键． （）先计算与的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有项即可求解； （）由，，则，解得，然后通过题意列出，然后解得，从而求解． 【小问1详解】 解： ， ∵的结果不含的一次项， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵是不等式的解，不是不等式的解， ∴， ∴， ∴整数的值为． 25. 如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． （1）求证：； （2）若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 【答案】（1）见解析 （2）①9；②小亮说法正确，见解析 【解析】 【分析】（1）根据，结合，得到即可得证； （2）①证明，结合，，得到解答即可； ②根据三角形全等的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的互余性质，三角形全等的判定和性质，轴对称，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握性质和轴对称性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：设的交点为点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ②解：作的垂直平分线，将沿着第一次轴对称，得到； 连接，过作的垂线，由，则为的垂直平分线，将沿着第二次轴对称，得到，如图，则直线，即为所求． 26. 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务： 如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454． 小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题； 命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明； 设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除． 证明：∵两位数能被3整除， ∴设（k为正整数）．．． ．为整数．可以被3整除． 由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题． 结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断． 小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题； 命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍． 任务1：证明命题 （1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 任务2：写逆命题 （2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题； 任务3：应用结论 （3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______． （4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）假命题，逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除；（3）1203；（4）15或39 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，判断命题真假，写出一个命题的逆命题，正确理解题意是解题的关键． （1）设（k为正整数），则，根据为整数，即可得可以被3整除， （2）根据能被3整除，但是可判断命题真假；把原命题的结论与条件互换写出对应的逆命题即可； （3）根据题意可得能被3整除，则可推出能被3整除；设（k为正整数），则可得到，要使这个四位数最小，首先要满足a最小，其次要保证b最小，再要保证c最小，据此求解即可； （4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为，设（k为正整数），根据可以被3整除得到可以被3整除；可求出汽车的速度为，则可推出，则一定是大于等于0的偶数，当时，，则，当时，，则，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵可以被3整除， ∴设（k为正整数） ∴， ∵为整数， ∴可以被3整除， （2）命题2是假命题，理由如下： 例如能被3整除，但是； 逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除； （3）∵四位数能被3整除， ∴能被3整除， ∴能被3整除， ∵能被3整除， ∴能被3整除； 设（k为正整数）， ∵， ∴， ∴， ∵要使这个四位数最小， ∴首先要满足a最小， 当的同时，要满足b最小，则此时， ∴， ∴当，时，这个四位数最小，最小为1203； （4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为 ∵可以被3整除， ∴设（k为正整数） ∵可以被3整除 ∴可以被3整除， ∵后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置， ∴汽车的速度为， ∵再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数， ∴， ∴， ∵m为整数且， ∴一定是大于等于0的偶数， 当时，，则， ∵， ∴， ∴a一定是3的倍数， ∴， ∴， ∴； 当时，，则， ∵， ∴， ∴一定是3的倍数， ∴， ∴， ∴； 综上所述，第一次看到的里程碑上的两位数是15或39． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $