专题 1.1（3） 三角形中的几何模型 基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中三角形几何模型核心知识点，系统梳理“8”字、燕尾、双内角平分线等六大模型，通过基本模型、拓展模型、证明思路及例题变式构建学习支架，形成从理解到应用的完整脉络。 资料以模型为载体，培养学生用数学眼光观察几何结构，通过多方法证明（如燕尾模型三种证法）发展推理思维，结合帆布折椅等实例提升应用意识。同步检测分层设计，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题 1.1（3） 三角形中的几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【模型一】“8”字模型 1 （1）基本模型 1 （2）拓展模型 2 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 2 【模型二】燕尾模型 3 （1）基本模型 3 （2）模型证明 3 【题型 2】应用燕尾模型证明与求值 4 【模型三】双内角平分线模型 5 （1）基本模型 5 （2）模型证明 5 【题型 3】应用“双内角”平分线模型证明与求值 6 【模型四】内外角平分线模型 8 （1）基本模型 8 （2）模型证明 8 【题型 4】应用“内外角”平分线模型证明与求值 8 【模型五】双外角平分线模型 9 （1）基本模型 9 （2）模型证明 10 【题型 5】应用“双外角”平分线模型证明与求值 10 【模型六】三角形高+角平分线模型 11 （1）基本模型 11 （2）拓展模型 11 【题型 6】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 11 二.同步检测 13 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17 一.知识梳理与基础题型精析 【模型一】“8”字模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 （1） ； （2） 。 （1） 利用三角形内外角关系或对顶角相等 （2） 利用三角形三边关系 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 通过两个8字模型关系即可 利用三个8字模型结论即可 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 【例题1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（8字模型）阅读材料：如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，求的度数．    【变式1】（25-26八年级上·北京怀柔·期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·阶段检测）如图①，与相交于点，得到一个“字”． （1）求证：. （2）如图②，其中共有几个“字” （3）如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【模型二】燕尾模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 凹四边形 （2）模型证明 角的关系证明 方法1 方法2 方法3 利用三角形外角性质即可 利用三角形外角性质即可 利用三角形内角和定理即可 边的关系证明 图示 简要证明 证明：延长BD交AC于点E 在三角形ABE中，AB+AE>BE， 在三角形CDE中，DE+CE>CD， 又AC=AE+CE 所以AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD. 【题型 2】应用燕尾模型证明与求值 【例题2】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【变式3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段检测）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： （1）用图①证明：； （2）在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； （3）如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【模型三】双内角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 方法1 方法2 方法3 利用两个三角形内角和与角平分线定义即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 【题型 3】应用“双内角”平分线模型证明与求值 【例题3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）【提出问题】已知如图1，是、的角平分线的交点，你能找到、的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的： 先赋予几个特殊值： 当时，计算出； 当时，计算出； 当时，计算出； 由以上特例猜想与的关系为：．再证明这一结论： 证明：点是、的角平分线的交点． ； 又 【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： （1）如图2，若点是、的三等分线的交点，即，，猜测与的关系为________，证明你的结论． （2）若点是、的四等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） （3）若点是、的等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，在中，，的角平分线和的角平分线交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法计算 【变式2】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，的和的角平分线和相交于点O，，则____度． 【变式3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，的角平分线和交于点I，记． （1）当时，则_______； （2）求的度数（用含的式子表示）； （3）如图2，若和的角平分线交于点G，则_______（用含的式子表示）． 【模型四】内外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 证明 【题型 4】应用“内外角”平分线模型证明与求值 【例题4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，是的外角的角平分线，求的度数及的度数． 【变式1】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，________；图2，的角平分线与的角平分线交于的角平分线与的角平分线交于________． 【变式2】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，与交于点D． （1）若，则______； （2）若，则______； （3）若，则______． （4）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的正确性． 【模型五】双外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 简要证明 由“”模型可得： 【题型 5】应用“双外角”平分线模型证明与求值 【例题5】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则________． 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点P．则_________． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，M是两个内角平分线的交点，N是两个外角平分线的交点，设，，则__________ 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在中， （1）如图1，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？ （2）如图2，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？ （3）如图3，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？（请选择其中一道小题写出详细过程） 【模型六】三角形高+角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 平分 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 过点A作BC垂线转化 【题型 6】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 【例题6】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）是的角平分线，与交于点．求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（       ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 【变式3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）在中，，，是的角平分线． （1）如图1，若是的高，则的度数为______． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为______． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·天津·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，已知中，分别是的角平分线交于点O，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，在中，，角平分线相交于点F，则的度数是（    ） A．130° B．135° C．140° D．145° 7．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，且，和的角平分线相交于点D．以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有________个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，相交于点，，则________． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，的角平分线、交于点．延长至，与的延长线相交于点，且，，若的面积为6，，则线段的长度为__________． 12．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图， 中，的角平分线与的角平分线交于点，直线与相交于点，于点，，，则____度，______度． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点．则=___． 14．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知在中，，角平分线交于点P，则______． 15．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则___________．    16．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线…，的角平分线，其中点B，，，…，都在射线上，则_______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别是的角平分线和高． （1）已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ （2）与有怎样的关系？为什么？ 18．（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： （1）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． （2）【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． （3）【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 19．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． （2）已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 （4）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 20．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知在中，平分，． 【特例探究】 （1）如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________； 【一般推导】 （2）如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________ 【拓展应用】 （3）如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1（3） 三角形中的几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【模型一】“8”字模型 2 （1）基本模型 2 （2）拓展模型 2 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 2 【模型二】燕尾模型 6 （1）基本模型 6 （2）模型证明 6 【题型 2】应用燕尾模型证明与求值 7 【模型三】双内角平分线模型 12 （1）基本模型 12 （2）模型证明 12 【题型 3】应用“双内角”平分线模型证明与求值 12 【模型四】内外角平分线模型 17 （1）基本模型 17 （2）模型证明 17 【题型 4】应用“内外角”平分线模型证明与求值 17 【模型五】双外角平分线模型 21 （1）基本模型 21 （2）模型证明 21 【题型 5】应用“双外角”平分线模型证明与求值 22 【模型六】三角形高+角平分线模型 26 （1）基本模型 26 （2）拓展模型 26 【题型 6】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 26 二.同步检测 30 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 30 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 37 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 44 一.知识梳理与基础题型精析 【模型一】“8”字模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 （1） ； （2） 。 （1） 利用三角形内外角关系或对顶角相等 （2） 利用三角形三边关系 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 通过两个8字模型关系即可 利用三个8字模型结论即可 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 【例题1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（8字模型）阅读材料：如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，求的度数．    【答案】97° 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据“对顶三角形”的性质，得出，，则得到，即可求解． 解：如题图2，和的平分线和相交于点， ，， ，， 得：， 即， ，， ． 【点拨】本题考查三角形内角和定理、角平分线定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为． 【变式1】（25-26八年级上·北京怀柔·期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点拨】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·阶段检测）如图①，与相交于点，得到一个“字”． （1）求证：. （2）如图②，其中共有几个“字” （3）如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 解：（1）证明：在中，． 在中，． ， ； （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）解：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 【模型二】燕尾模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 凹四边形 （2）模型证明 角的关系证明 方法1 方法2 方法3 利用三角形外角性质即可 利用三角形外角性质即可 利用三角形内角和定理即可 边的关系证明 图示 简要证明 证明：延长BD交AC于点E 在三角形ABE中，AB+AE>BE， 在三角形CDE中，DE+CE>CD， 又AC=AE+CE 所以AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD. 【题型 2】应用燕尾模型证明与求值 【例题2】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 解：（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的内角和定理进行求解即可． 解：在中，， ， 三角尺的两条直角边，分别经过点，， ， 在中，， ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 【变式3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段检测）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： （1）用图①证明：； （2）在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； （3）如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 解：（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【模型三】双内角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 方法1 方法2 方法3 利用两个三角形内角和与角平分线定义即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 【题型 3】应用“双内角”平分线模型证明与求值 【例题3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）【提出问题】已知如图1，是、的角平分线的交点，你能找到、的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的： 先赋予几个特殊值： 当时，计算出； 当时，计算出； 当时，计算出； 由以上特例猜想与的关系为：．再证明这一结论： 证明：点是、的角平分线的交点． ； 又 【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： （1）如图2，若点是、的三等分线的交点，即，，猜测与的关系为________，证明你的结论． （2）若点是、的四等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） （3）若点是、的等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义． （1）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）同（1）可得出结论； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可． 解：（1）解：猜测：； 由示例得， 、分别是、的三等分线， ， ， 即． 故答案为：； （2）解：由示例得， 、分别是、的四等分线， ， ， 即． 故答案为：； （3）解：，、分别是、的等分线， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，在中，，的角平分线和的角平分线交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 解：在中，， ∴， 在中，． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，的和的角平分线和相交于点O，，则____度． 【答案】120 【分析】本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理．根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∵和的角平分线和相交于点O， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120 【变式3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，的角平分线和交于点I，记． （1）当时，则_______； （2）求的度数（用含的式子表示）； （3）如图2，若和的角平分线交于点G，则_______（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了与角平分线有关系的三角形内角和问题： （1）根据三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得，据此根据三角形内角和定理求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）由角平分线的定义得到，进而根据角平分线的定义得到，则可推出，再同（1）求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵的角平分线和交于点I， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵的角平分线和交于点I， ∴， ∴， ∴； （3）解；∵， ∴， ∵的角平分线和交于点I， ∴， ∵和的角平分线交于点G， ∴， ∴ ∴， ∴． 【模型四】内外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 证明 【题型 4】应用“内外角”平分线模型证明与求值 【例题4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，是的外角的角平分线，求的度数及的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，算出，再结合三角形外角性质进行列式计算，即可作答． 解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴ ∵是的外角的角平分线， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，________；图2，的角平分线与的角平分线交于的角平分线与的角平分线交于________． 【答案】 40 10 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，根据角平分线的定义和三角形的外角定理得出，再根据三角形的内角和定理得出，即可推出，同理可得，，即可解答．掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，是解题的关键． 解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∵， ∴； 同理可得：，， 故答案为：40，10． 【变式2】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类，三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出①，②，由②得，求出③，由①和③得出，求出，同理得出，，再根据求出的规律得出答案即可． 解：平分，平分， ，， ①，②， 由②得：， ③， 由①和③得：， ， ， 同理， ， ， 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，与交于点D． （1）若，则______； （2）若，则______； （3）若，则______． （4）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的正确性． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），证明见分析 【分析】本题考查了外角的性质，根据外角的性质求得与的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据外角的性质求解即可． （2）根据角平分线的定义可得，再根据外角的性质求解即可． （3）根据角平分线的定义可得，再根据外角的性质求解即可． （4）根据角平分线的定义可得，再根据外角的性质求解即可． 解：（1）解：是的角平分线，是的外角的平分线， ， ． （2）解：是的角平分线，是的外角的平分线， ， ． （3）解：是的角平分线，是的外角的平分线， ， ． （4）解：， 证明：是的角平分线，是的外角的平分线， ， ． 【模型五】双外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 简要证明 由“”模型可得： 【题型 5】应用“双外角”平分线模型证明与求值 【例题5】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先由三角形的内角和算出，再根据外角平分线即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点P．则_________． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵的外角平分线和的外角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，M是两个内角平分线的交点，N是两个外角平分线的交点，设，，则__________ 【答案】180 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握角平分线的应用是解题关键． 先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得， 解：点是两个内角平分线的交点， ， ， ， 点是两外角平分线的交点， ，， ，，即， ， ． 故答案为：180． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在中， （1）如图1，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？ （2）如图2，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？ （3）如图3，BP、CP为和的角平分线，求与之间的关系？（请选择其中一道小题写出详细过程） 【答案】（1）；（2）；（3）；详细过程见分析． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，求出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=90°-∠A，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据角平分线定义得出∠ACE=2∠PCE，∠ABC=2∠PBC，根据三角形外角性质得出∠PCE=∠P+∠PBC，∠ACE=∠A+∠ABC，求出∠ACE=2∠PCE=2∠P+∠ABC，即可得出答案； （3）根据角平分线定义得出∠PBC=∠DBC，∠PCB=∠ECB，求出∠DBC+∠ECB=180°+∠A，求出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB=90°+∠A，根据三角形内角和定理求出即可． 解：（1）∠P=90°+∠A， 理由是：∵BP和CP是角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A， ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（90°-∠A） =90°+∠A； （2）∠P=∠A， 理由是：∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACE， ∴∠ACE=2∠PCE，∠ABC=2∠PBC， ∵∠PCE=∠P+∠PBC，∠ACE=∠A+∠ABC， ∴∠ACE=2∠PCE=2∠P+∠ABC， ∴∠A=2∠P， 即∠P=∠A； （3）∠P=90°-∠A， 理由是：∵BP、CP分别平分∠DBC、∠ECB， ∴∠PBC=∠DBC，∠PCB=∠ECB， ∴∠DBC+∠ECB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A， ∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）=90°+∠A， ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（90°+∠A） =90°-∠A． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 【模型六】三角形高+角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 平分 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 过点A作BC垂线转化 【题型 6】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 【例题6】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，根据是边上的高， 得出，然后在中，利用直角三角形的两锐角互余求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，进而根据外角的性质求出． 解：（1）解：在中，，是的平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 即的度数为； （2）解：是的角平分线， ， ，， ， ， 即的度数为． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 本题根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由为高，，，利用外角性质求出，根据是角平分线，求出，即可求出的度数. 解：∵为高，， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴. 【变式3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）在中，，，是的角平分线． （1）如图1，若是的高，则的度数为______． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为______． 【答案】 /10度 /30度 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴ ∴； （2）∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：；． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·天津·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，三角形的角平分线，掌握以上知识点是解题的关键． 由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形外角的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 3．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，再根据平分得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 解：∵， ∴． ∵是的外角，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，已知中，分别是的角平分线交于点O，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，再根据三角形的外角得到，即可． 解：∵， ∴， ∵分别是的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； 故选C． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ， ， ， ∵的角平分线交于点， ， ，， ， 故选：B． 6．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，在中，，角平分线相交于点F，则的度数是（    ） A．130° B．135° C．140° D．145° 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形的外角的性质．根据角平分线的定义和外角的性质，得到，即可得出结果． 解：∵，角平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，且，和的角平分线相交于点D．以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有________个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．根据角平分线定义得出∠，，，根据平角得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分，， ∴，故②正确； ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， 由得：，即， ∴， ∴，故③正确； 由得： ， ∴，故④错误； ∵，， ∴， 又∵是的外角， ∴，故⑤错误； 综上分析可知，正确的答案有3个， 故选：C． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】由是中线，得到，由三角形面积公式，即可证明的面积的面积，由余角的性质推出 ，由三角形外角的性质得到 ，由角平分线定义即可证明，由角平分线的性质得到，因此． 解：∵是中线， ∴， ∵， ∴E的面积的面积， ∴的面积的面积，故①正确； ∵， ∴， ∴， 同理：， ∵平分， ∴， ∵，， 故②正确； ∵平分 ， ， 故③正确； 作于K，    ∵平分， ， ， ， 故④错误. ∴正确的是①②③. 故选：B. 【点拨】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积，三角形的外角的性质，余角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键. （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，相交于点，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形的外角的性质，根据图形理解题意是解题的关键．先根据三角形的高的定义和角平分线的定义，得到，然后再根据三角形的外角的性质即可求出的度数． 解：在中，是高， ， 是角平分线，， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【答案】56 【分析】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，得出，即可求解． 解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，的角平分线、交于点．延长至，与的延长线相交于点，且，，若的面积为6，，则线段的长度为__________． 【答案】 【分析】设，，根据三角形的外角性质及角平分线的定义得出，，可得，由平分，即可得出；根据三角形的面积得，的面积为6可得出，再由即可求解．本题考查三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的面积，主要考查学生运用三角形的面积公式求解的能力． 解：设，， 平分，， ，，， ，， ， 平分， ， ； 过点作于， ，，， ∴ 的面积为6， ， ， ， ， ． 故答案为： 12．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图， 中，的角平分线与的角平分线交于点，直线与相交于点，于点，，，则____度，______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用；根据三角形的角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求得，进而根据，即可求解． 解：∵中，分别为的角平分线，，， ∴ ∴， ∵，， ∴ 又是的角平分线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：，． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点．则=___． 【答案】115°/115度 【分析】由题意利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线定义求出度数，再利用内角和定理求出所求角度数即可． 解：∵在中，， ∴， ∵与的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：115°． 【点拨】本题考查三角形内角和定理、解平分线的定义．熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键． 14．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知在中，，角平分线交于点P，则______． 【答案】/111度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出，根据角平分线的定义求得，在中利用三角形内角和定理可求出的度数解题． 解：如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则___________．    【答案】/90度 【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意． 根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解． 解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：．    16．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线…，的角平分线，其中点B，，，…，都在射线上，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，找到规律是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而求出，等，总结规律，即可求得的度数． 解：∵，平分，， ∴，，， ∴， ， ， … ， ∴ 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别是的角平分线和高． （1）已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ （2）与有怎样的关系？为什么？ 【答案】（1）， 还可以求，，． （2）解：与的关系为． ∵在中，， ∵是角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴与的关系为：． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数． （2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可． 解：（1）解：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， ∴， 还可以求解，，的度数， 在中，， ∴， 在中，． （2）略 18．（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： （1）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． （2）【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． （3）【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【答案】（1）证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴． （2）180 （3） 【分析】（1）延长交于点，由三角形外角性质得，，由此即可得出结论； （2）设与相交于点，由（1）得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； （3）延长与的延长线相交于点，则，，进而得，由（2）得，则． 解：（1）略 （2）解：如图，设与相交于点， 由（1）得， ∴． 在中，， ∴． （3）解：如图，延长与的延长线相交于点， ，， ． 在中，， ． 由（2）得，， ． 19．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． （2）已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 （4）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）；（4） 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 解：（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 20．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知在中，平分，． 【特例探究】 （1）如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________； 【一般推导】 （2）如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________ 【拓展应用】 （3）如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解； （3）设，得到，根据角平分线的定义得到，，表示出，得到，利用列方程求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （3）解：设， ∵平分， ， ，， ∵， ∴， 、分别平分和， ，， ， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $