2.1平方根（基础篇）讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“平方根”核心知识点，系统梳理平方根（定义、表示、性质）、算术平方根（定义、表示、双重非负性）及开平方运算的知识脉络，通过思维导图构建知识框架，形成从概念理解到性质应用的学习支架。 资料以“30分提至70分”为目标，特色在于分类型练习题设计，涵盖算术平方根求解、非负性应用、取值范围估计等，强化运算能力与推理意识。思维导图辅助知识结构化，课中助力教师高效授课，课后帮助学生针对性查漏补缺，提升数学抽象能力与应用意识。

2.1平方根 (30分提至70分使用) 讲 概 览 定义 平方根 表示方法 性质 开平方 新课探索 定义 算术平方根 表示方法 性质 讲义内容 求算术平方根 算术平方根的非负性 估计取值范围 题型练习 求平方根 利用平分根解方程 新 课 探 索 具 二、平方根 1、定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方 根)。 2、表示方法：正数a的平方根记做“±石”，读作“正、负根号a”。 3、性质： (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 (2)零的平方根是零。 (3)负数没有平方根。 二、开平方 1、定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 三、算术平方根 1、定义： 一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是0。 2、表示方法： 记作“√a”,读作“根号a”。 3、性质： ①一个正数只有一个算术平方根。 ②零的算术平方根是零。 ③负数没有算术平方根。 4、注意√a的双重非负性： √a≥0.a20.。 题 型 练 ■ 求算术平方根 1.9的算术平方根是() A.81 B.±81 C.3 D.±3 2.“3的算术平方根”用符号表示为() A.±5 B.5 C.-5 D.5 3.16的平方根为() A.2 B.±2 C.4 D.±4 4.下列各式中，正确的是() A.V22=-2 B.(-V3)2=9 C.=1 D.±V9=3 5.下列计算正确的是() A.-3=-3B.-=-3C.3=3 D.√3=3 算术平方根的非负性 6.已知(a-2)2+Vb+1=0,则a+b的算术平方根为() A.1 B.3 C.7 D.-1 7.若√x-2+y+6=0,则2x-y的值为() A.8 B.10 C.-8 D.-2 8.若√x-3在实数范围内有意义，则实数x的值可以是() A.-1 B.0 C.2 D.3 9.当√a-3+b+2=0时，则b的值为() A.-9 B.-8 C.8 D.9 10.已知x、y为实数，且√x-2+3(y-1)2=0,则y的平方根是() A.2 B.±2 C.±5 D.√2 估计取值范围 11.估计7-1的值应在() A.0到1之间B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间 12.估计V47-1的值() A.在8和9之间B.在7和8之间 C.在6和7之间D.在5和6之间 13.下列整数中，最接近V19的是（) A.2 B.3 C.4 D.5 14.估算面积为7的正方形边长在() A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 15.如果一个正方形的面积为40，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间() A.5和6之间B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 求平方根 16.4的平方根是() A.√2 B.±√2 C.2 D.±2 17.下列说法正确的是() A.4的平方根是2 B.4的平方根是-2C.4的平方根是±2 D.4的平方根是± 18.已知代数式(3a-b)2的值是4，则代数式6a-2b+5的值是() A.13 B.9 C.1 D.9或1 19.V-3)2的平方根是() A.3 B.3 C.±3 D.5 20.81的平方根是() A.+3 B.±9 C.3 D.9 利用平分根解方程 21.解方程：9(x+1)2-64=0. 22.根据平方根的定义解方程：4(x+1)2-9=0. 23.解方程：2(x-3)2=18 24.求满足下列各式的未知数x: (1)16x2-49=0 (2)(x+1)2=9 25.解方程：x-52=18. 2.1平方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方根 1、定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。 2、表示方法：正数a的平方根记做，读作“正、负根号a”。 3、性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 （2）零的平方根是零。 （3）负数没有平方根。  二、开平方 1、定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。    三、算术平方根 1、定义： 一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。  2、表示方法： 记作，读作“根号a”。 3、性质： ①一个正数只有一个算术平方根。 ②零的算术平方根是零。 ③负数没有算术平方根。  4、注意的双重非负性：      型 习 练 题 求算术平方根 1．9的算术平方根是（　　） A．81 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】此题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，得出9的算术平方根是3． 【详解】解：9的算术平方根为3； 故选：C． 2．“3的算术平方根”用符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的表示，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 算术平方根是指非负数的非负平方根，因此3的算术平方根是正平方根． 【详解】解：∵ 算术平方根定义为非负平方根， ∴ 3的算术平方根为， 故选：B． 3．的平方根为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，平方根，关键是掌握算术平方根，平方根的定义． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：的平方根为． 故选：B． 4．下列各式中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念．算术平方根表示非负数，而平方根有两个值，用表示．需根据定义逐项判断． 【详解】解：对于A：∵，∴A错误． 对于B：∵，∴B错误． 对于C：∵表示算术平方根，结果为1，而非，∴C错误． 对于D：∵，∴，正确． 故选：D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求算术平方根，根据算术平方根的定义逐项分析即可得解，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 算术平方根的非负性 6．已知，则的算术平方根为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，利用平方项和算术平方根的非负性，令各项为零，求出a和b的值，再计算的算术平方根。 【详解】解：∵且，， ∴且， ∴，即，，即， ∴， ∴的算术平方根为， 故选：A． 7．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性、代数式求值，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．先根据算术平方根和绝对值的非负性可得，，则可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 8．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（  ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方根有意义的条件，即被开方数大于等于零． 根据平方根在实数范围内有意义的条件，被开方数必须非负，即，解得．结合选项，只有D选项满足条件． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 选项中，只有满足条件． 故选：D． 9．当时，则的值为（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零则每个都必须为零，求出的值，再利用乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵且，且， ∴=0且=0， ∴， ∴． 故选B． 10．已知、为实数，且，则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】∵ ，，且， ∴，， ∴，即，，即， ∴， ∴ 的平方根为； 故选B． 估计取值范围 11．估计的值应在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的估计，掌握知识点是解题的关键． 通过比较算术平方根估算的范围，进而得到的区间即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． ∴，即． ∴在3到4之间． 故选D． 12．估计 的值（    ） A．在8和9之间 B．在7和8之间 C．在6和7之间 D．在5和6之间 【答案】D 【分析】本题重点考查了算术平方根取值范围的估计，解题关键是掌握估值方法． 通过比较平方数确定的范围，再减去得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此 在和之间， 故选：D． 13．下列整数中，最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的性质． 根据无理数的估算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是4． 故选C． 14．估算面积为7的正方形边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了估算算术平方根的取值范围．首先求出正方形的边长，进而估算其边长的取值范围． 【详解】解：∵一个正方形的面积为7， ∴正方形的边长为：， ∵， 估计它的边长大小为：， 故选：B． 15．如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的估算，掌握估算方式是解题的关键．根据正方形面积公式求出边长后进行估算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， 故选：B． 求平方根 16．4的平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是． 故选D． 17．下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．4的平方根是 C．4的平方根是 D．4的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根的概念．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴4的平方根是， 故选：C 18．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 19．的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的平方，解题的关键是逐步计算． 先计算根号内的平方，得到算术平方根，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 20．81的平方根是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】此题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数．81是正数，其平方根为． 【详解】∵，且， ∴ 81的平方根是． 故选：B． 利用平分根解方程 21．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：或． 22．根据平方根的定义解方程：． 【答案】 【分析】本题考查利用平方根的定义求解一元二次方程．整理方程，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解： 根据平方根的定义，， 当时，； 当时，． 综上，方程的解为． 23．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，由题意得，推出，即可求解. 【详解】解： 或 或 所以原方程的解为或. 24．求满足下列各式的未知数x： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）方程整理后根据平方根的定义求解可得； （2）根据平方根的定义求解可得． 【详解】（1）解：， 方程整理得， 开方得； （2）解：， 开方得：， 解得或． 25．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根的定义，利用平方根的定义解方程即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $