专题1.1 三角形中的线段和角【导图+知识卡片+知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦苏科版八年级上册“三角形中的线段和角”核心知识点，系统梳理三角形三边关系、边与角关系（大边对大角、大角对大边）及中线、角平分线、高的概念，通过思维导图构建知识框架，从定义到应用（如判断三角形、确定第三边范围）形成递进学习支架。 资料亮点在于14个题型讲练（含典例与变式）、中考真题及分层训练，通过图形观察培养几何直观（数学眼光），推理证明提升推理意识（数学思维），符号表达强化模型意识（数学语言），课中辅助教师突破难点，课后分层训练助学生查漏补缺。

专题1.1 三角形中的线段和角『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 三角形的三边关系 2 知识点二 三角形的边和角的关系 3 知识点三 三角形的中线、角平分线、高 4 题型讲练 5 题型一 三角形的识别与有关概念 5 题型二 三角形的个数问题 5 题型三 构成三角形的条件 6 题型四 确定第三边的取值范围 6 题型五 三角形三边关系的应用 7 题型六 大（小）边对大（小）角定理 8 题型七 根据三角形中线求长度 8 题型八 根据三角形中线求面积 9 题型九 重心的概念 10 题型十 三角形角平分线的定义 11 题型十一 画三角形的高 11 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 12 题型十三 利用网格求三角形面积 13 题型十四 垂心 14 中考真题演练 15 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 20 知识点一 三角形的三边关系 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 特别解读 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b. 知识点二 三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 知识点三 三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 特别解读 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 题型一 三角形的识别与有关概念 【典例精讲】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【变式训练】把图中的直角三角形和直角梯形相等的边拼合在一起，画出所有拼成的图形． 题型二 三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【变式训练】（23-24七年级上·福建泉州·开学考试）平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 题型三 构成三角形的条件 【典例精讲】（25-26八年级上·广东广州·期末）现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练】（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)判断的形状． (3)已知、、为三角形三边，化简：． 题型四 确定第三边的取值范围 【典例精讲】某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【变式训练】（2025八年级上·四川南充·专题练习）已知，，是的三边长，且，满足，则第三边的长可能是（    ）． A． B． C． D． 题型五 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·山东·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求，的值． 解：， ， ， ，． ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足．求周长的最大值． 题型六 大（小）边对大（小）角定理 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 题型七 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 题型八 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）有一块三角形的广告牌，广告公司需要把它分成面积相等的两块．分别喷涂两种不同的宣传图案． 小明说：作的高，就能把广告牌分成面积相等的两块， 小亮说：作的中线，就能把广告牌分成面积相等的两块，你认为谁的说法正确？请用尺规作图作出对应的线段，并说明为什么这样作图能使得被分成面积相等的两块． 【变式训练】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 题型九 重心的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆开州·期末）在工程中，物体重心的位置有重要的应用．我们可以用数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心．由于许多工程用薄板的形状是常见的平面图形或者组合图形，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置． (1)任务：认识三角形的重心．如图1，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡．此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的重心．图2是由图1中三角形匀质薄板抽象出的三角形，请你用数学作图的方法在图2中找到三角形的重心位置（利用直尺作图，保留作图痕迹），并说说你有什么发现． (2)任务：了解平面图形重心位置的分布特点．类比任务的方法，我们也可以用悬挂法确定平行四边形、矩形、正方形等常见平面图形的重心．通过实验，可以得到平行四边形、矩形、正方形匀质薄板的重心如图所示．请你观察匀质薄板的重心，说说平行四边形、矩形、正方形的重心位置有什么共同特点（写种）． 【变式训练】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 题型十 三角形角平分线的定义 【典例精讲】如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 题型十一 画三角形的高 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出的边上的高以及上的中线； (2)求出的面积． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题（作图过程用虚线，作图结果用实线）． (1)画关于轴对称的，写出的坐标为___________． (2)画出的高； (3)在轴上作点，使的和最小； (4)已知是线段上一点，画关于轴的对称点． 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)画出． (2)的面积为______． (3)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为______． 【变式训练】（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，，则边上的高为______． 题型十三 利用网格求三角形面积 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆秀山·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点． (1)作关于直线对称的； (2)求出的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出； (2)画出关于原点中心对称的； (3)直接写出的面积为______． 题型十四 垂心 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，于D，于E，与交于点F． (1)画出关于直线的对称图形； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【真题演练1】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【真题演练2】（2024·辽宁丹东·中考真题）如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 【真题演练3】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【真题演练4】（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【真题演练5】（2025·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 【基础夯实】 1．（25-26八年级下·重庆·期中）若一个三角形的两条边长度分别为2和5，则它的第三边边长可能为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 2．由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·重庆大足·期末）已知三角形的一边长为6，则它的另两边长分别可以是（    ） A．2，9 B．7， C．3， D．4，4 4．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形纸板中，，将纸板沿射线方向平移得到，与交于点．下列四个结论：①；②；③若，四边形面积为30，则平移距离的长为5；④若，则．其中正确的有________（填序号）． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 7．如图，平面直角坐标系中，，，． (1)画出点A、点B关于y轴的对称点、点，连接，，； (2)画出关于x轴对称的，点与点A为对应点，点与点B为对应点，并直接写出的面积S的值． 8．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 9．（25-26八年级下·山东济南·期中）阅读材料：若，求的值． 解：∵ ∴． ∴ ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则的值为______； (2)已知的边长是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程） (3)已知，求的值． 10．（25-26八年级上·江西上饶·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【培优拔高】 1．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 2．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（） A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高一定交于一点 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作这点到该直线的距离 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角形沿方向平移8个单位长度，得到三角形．若，三角形面积为15，则梯形的面积为 _______ ． 5．（25-26八年级下·上海·期中）如图，的重心为G，如果的面积为2，则的面积为________． 6．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 7．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 8．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，点D是边的中点，已知，． (1)作出与关于点D成中心对称的图形； (2)根据图形说明线段长的取值范围． 9．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到； (2)求出的面积； (3)与关于原点O成中心对称，画出． 10．阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.1 三角形中的线段和角『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 三角形的三边关系 2 知识点二 三角形的边和角的关系 3 知识点三 三角形的中线、角平分线、高 4 题型讲练 5 题型一 三角形的识别与有关概念 5 题型二 三角形的个数问题 6 题型三 构成三角形的条件 8 题型四 确定第三边的取值范围 9 题型五 三角形三边关系的应用 10 题型六 大（小）边对大（小）角定理 13 题型七 根据三角形中线求长度 15 题型八 根据三角形中线求面积 16 题型九 重心的概念 18 题型十 三角形角平分线的定义 20 题型十一 画三角形的高 22 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 24 题型十三 利用网格求三角形面积 26 题型十四 垂心 28 中考真题演练 30 难度分层训练 33 【基础夯实】 33 【培优拔高】 42 知识点一 三角形的三边关系 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 特别解读 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b. 知识点二 三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 知识点三 三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 特别解读 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 题型一 三角形的识别与有关概念 【典例精讲】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【规范解答】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 【变式训练】把图中的直角三角形和直角梯形相等的边拼合在一起，画出所有拼成的图形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查的是图形的拼接，根据平面图形的特点进行拼接即可． 【规范解答】解：如图，拼成的图形如下： 题型二 三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可解答． 【规范解答】解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个； 所以一共可以组成三角形的个数为个， 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级上·福建泉州·开学考试）平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 【答案】C 【思路引导】本题考查了图形规律，解决本题的关键是逐一增加三角形个数进行判断． 平面被n个三角形最多分成的区域数遵循递推规律，每新增一个三角形，其每条边与之前每个三角形的两条边相交，新增区域数等于交点数． 【规范解答】解：初始状态：平面未被分割时，区域数为1． 第1个三角形：将平面分成2部分，即新增1部分，累计区域数， 第2个三角形：每条边与第1个三角形的两条边相交，产生个交点，新增6部分，累计区域数， 第3个三角形：每条边与前2个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增12部分，累计区域数， 第4个三角形：每条边与前3个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增18部分，累计区域数， 第5个三角形：每条边与前4个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增24部分，累计区域数， 综上，5个三角形最多将平面划分成62个部分， 故选C． 题型三 构成三角形的条件 【典例精讲】（25-26八年级上·广东广州·期末）现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了构成三角形的条件，理解题意是解决本题的关键． 需从长度1至的木棍中选三根围成三角形，要求最长边为，且另两边长度差大于．通过三角形两边之和大于第三边及差的条件，列举所有可能组合进行判断即可． 【规范解答】解：设另两边为a、，需满足且， ∵a、b从1至6中取不同整数， ∴满足的有：， 其中的只有：差，差． ∴共有2个三角形：和． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)判断的形状． (3)已知、、为三角形三边，化简：． 【答案】(1)12 (2)等腰三角形 (3) 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出的值进行周长计算即可； （2），即可判断三角形形状； （3）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：． 即：． 为奇数， ． 的周长为． （2）解：， 是等腰三角形． （3）解：根据三角形的三边关系得： ． 题型四 确定第三边的取值范围 【典例精讲】某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【思路引导】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【规范解答】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 【变式训练】（2025八年级上·四川南充·专题练习）已知，，是的三边长，且，满足，则第三边的长可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先利用非负数的性质求出已知两边的长度，再根据三角形三边关系确定第三边的取值范围即可． 【规范解答】解：∵， 又∵，， ∴， 解得， 由三角形的三边关系可知， ∴， ∴选B． 题型五 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·山东·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据题意得，不等式两边都加上即可得出结论； （2）延长交于点，证明，，两式相加得，从而可得； （3）延长交于点，延长交于点，证明，，，三式相加可得结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求，的值． 解：， ， ， ，． ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足．求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了配方法的应用、非负数的性质以及三边构成三角形的判定，掌握通过配方将代数式转化为非负数的和，利用非负数的性质求解未知数是解题的关键． （1）将代数式拆分为两个完全平方项的和，利用非负数的性质求出与的值，再计算； （2）对含，的代数式进行配方，结合非负数的性质和三角形三边关系求出周长的最大值； 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，    ∵的三边长，，都是正整数， ∴， ∴的最大值为9， 则周长的最大值为； 题型六 大（小）边对大（小）角定理 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【规范解答】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【思路引导】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【规范解答】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 题型七 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【规范解答】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【规范解答】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 题型八 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）有一块三角形的广告牌，广告公司需要把它分成面积相等的两块．分别喷涂两种不同的宣传图案． 小明说：作的高，就能把广告牌分成面积相等的两块， 小亮说：作的中线，就能把广告牌分成面积相等的两块，你认为谁的说法正确？请用尺规作图作出对应的线段，并说明为什么这样作图能使得被分成面积相等的两块． 【答案】小亮的说法正确．图见解析 【思路引导】能够把三角形分成两个面积相等的小三角形的是三角形的中线．作线段的中垂线，得到的中点，进而可画出中线． 【规范解答】解：小亮的说法正确．作图如下： 理由：由作图知，点E为的中点， ， 设点A到的距离为h， 则， ． 【变式训练】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【规范解答】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 题型九 重心的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆开州·期末）在工程中，物体重心的位置有重要的应用．我们可以用数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心．由于许多工程用薄板的形状是常见的平面图形或者组合图形，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置． (1)任务：认识三角形的重心．如图1，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡．此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的重心．图2是由图1中三角形匀质薄板抽象出的三角形，请你用数学作图的方法在图2中找到三角形的重心位置（利用直尺作图，保留作图痕迹），并说说你有什么发现． (2)任务：了解平面图形重心位置的分布特点．类比任务的方法，我们也可以用悬挂法确定平行四边形、矩形、正方形等常见平面图形的重心．通过实验，可以得到平行四边形、矩形、正方形匀质薄板的重心如图所示．请你观察匀质薄板的重心，说说平行四边形、矩形、正方形的重心位置有什么共同特点（写种）． 【答案】(1)图见解析，发现见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查尺规作图、重心的性质及平行四边形、矩形、正方形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）作出三角形的三条中线，交点即为重心； （2）根据图形，结合平行四边形、矩形、正方形的性质，写出共同特点即可． 【规范解答】（1）如图，点即是三角形的重心位置． 作三角形三边的垂直平分线，得到三边的中点，连接三角形各顶点与对边中点，交点即为三角形重心位置． 发现：三角形重心在三角形内部，且交于一点． （2）解：根据图形发现：①平行四边形、矩形、正方形的重心都在对角线的交点处， ②重心平分每条对角线． 【变式训练】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 【答案】10 【思路引导】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【规范解答】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 题型十 三角形角平分线的定义 【典例精讲】如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【规范解答】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【规范解答】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 题型十一 画三角形的高 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出的边上的高以及上的中线； (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【思路引导】此题考查了网格中作图和网格中求出三角形面积． （1）根据网格的特点、三角形的高和中线的定义作图即可； （2）根据三角形面积公式和三角形中线平分三角形面积计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求．即为所求． （2）∵为的中线， ∴， ∵， ∴的面积为． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题（作图过程用虚线，作图结果用实线）． (1)画关于轴对称的，写出的坐标为___________． (2)画出的高； (3)在轴上作点，使的和最小； (4)已知是线段上一点，画关于轴的对称点． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3)图见解析 (4)图见解析 【思路引导】本题主要考查了图形的变换——轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）找到点A，B，C关于y轴的对称点，依次连接，再写出点的坐标即可； （2）取格点，连接交于点，则，即可求解； （3）取格点，连接交于轴于点，即可； （4）连接交轴于点，连接，并延长交于点，即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点P即为所求； （4）解：如图，点N即为所求； 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)画出． (2)的面积为______． (3)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)或 【思路引导】（1）根据平移方式即可作图； （2）利用割补法求解即可； （3）根据求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积； （3）解：设P点坐标为， ∵以为顶点的三角形的面积为， ∴， ∴， 解得：或， 即P点坐标为或． 【变式训练】（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，，则边上的高为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质．根据已知可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】解：∵为的中线，为的中线，的面积为， ∴ 设边上的高为 ∴ 解得： 故答案为：． 题型十三 利用网格求三角形面积 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆秀山·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点． (1)作关于直线对称的； (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积为： ； 【变式训练】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出； (2)画出关于原点中心对称的； (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）将分别向右平移1个单位，再向上平移4个单位，再顺次连接即可得到； （2）找出关于原点的对称点，顺次连接即可； （3）利用网格求三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：的面积为：． 题型十四 垂心 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，于D，于E，与交于点F． (1)画出关于直线的对称图形； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【思路引导】本题主要考查轴对称和垂心的性质， （1）根据对称的做法找到点A关于线段的对称点，连接、即可； （2）根据高线交点即为垂心，在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边即可． 【规范解答】（1）解：作A关于的对称点，连接、，如图， （2）解：，理由如下： F是高线交点（垂心），在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边． 【变式训练】（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【规范解答】（1）解：点即为所作； ； （2）解：线段即为所作； ． 【真题演练1】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【思路引导】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【规范解答】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 【真题演练2】（2024·辽宁丹东·中考真题）如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【规范解答】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 【真题演练3】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 【真题演练4】（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【规范解答】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 【真题演练5】（2025·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 【答案】C 【思路引导】根据三角形的三边关系判断即可． 【规范解答】A.∵， ∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B.∵， ∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C.∵，， ∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； D.∵， ∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：C. 【考点剖析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【基础夯实】 1．（25-26八年级下·重庆·期中）若一个三角形的两条边长度分别为2和5，则它的第三边边长可能为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【规范解答】解：设三角形第三边的长度为x， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 且已知两边长度分别为2和5， ∴， 即， 故选项中满足条件的只有B选项． 2．由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【规范解答】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 ， ∴ 即 化简得 观察选项，只有在此范围内， 故选C． 3．（23-24八年级上·重庆大足·期末）已知三角形的一边长为6，则它的另两边长分别可以是（    ） A．2，9 B．7， C．3， D．4，4 【答案】D 【思路引导】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行判断即可． 【规范解答】解：A、，，不满足两边之差小于第三边，不能构成三角形，故不符合题意； B、，，不满足两边之差小于第三边，不能构成三角形，故不符合题意； C、，，不满足两边之差小于第三边，不能构成三角形，故不符合题意； D、，，能构成三角形，故符合题意． 4．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【规范解答】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形纸板中，，将纸板沿射线方向平移得到，与交于点．下列四个结论：①；②；③若，四边形面积为30，则平移距离的长为5；④若，则．其中正确的有________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【思路引导】 利用平移的性质即可判断①②③，证明，，即可判断④． 【规范解答】解：由平移的性质得，，，故①②正确； ∵， ∴， ∵四边形面积为30， ∴，即， ∴，即平移距离的长为5，故③正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④错误． 综上，正确的结论有①②③． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【思路引导】根据题意得到，由此即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，平面直角坐标系中，，，． (1)画出点A、点B关于y轴的对称点、点，连接，，； (2)画出关于x轴对称的，点与点A为对应点，点与点B为对应点，并直接写出的面积S的值． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【规范解答】（1）解：如图， （2）解： 8．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【思路引导】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【规范解答】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 9．（25-26八年级下·山东济南·期中）阅读材料：若，求的值． 解：∵ ∴． ∴ ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则的值为______； (2)已知的边长是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程） (3)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2)4，过程见解析 (3) 【思路引导】（1）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出x、y的值，进而得到的值； （2）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系，即可求出c的值； （3）先将已知条件变形得到，将其代入，再类比材料中的解法，结合完全平方公式整理得到，接下来利用非负数的性质，即可求出n和p的值，将n的值代入，即可求出m的值，问题随之得解． 【规范解答】（1）解： ∴ ∴， ∴， ，， 解得：，， 则； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵a、b、c是的三边的长， ∴， ∵a、b、c是互不相等的正整数， ∴； （3）解：∵， ∴， 代入得：， 整理得： ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 则． 10．（25-26八年级上·江西上饶·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】根据三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心计算即可． 【规范解答】（1）解：点为的重心， 点是边的中点， 的面积为6， ； （2）解：点为的重心， 分别是边上的中点， ， ， ； （3）解：点为的重心， 是边上的中点， ， 由（2）知， ， ； （4）解：由（3）得， ， ， ， ，， 点是的重心， 点是边的中点， ， ． 【培优拔高】 1．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 【答案】B 【思路引导】令与相交于点，由折叠的性质可得，且，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【规范解答】解：如图，令与相交于点， ， 由折叠的性质可得，且， ∵在中，已知，，，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（） A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高一定交于一点 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作这点到该直线的距离 【答案】D 【思路引导】根据三角形高的性质，平行公理和点到直线的距离的定义逐一分析各选项即可得到结果． 【规范解答】解：、相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分出的两个角相等但不是对顶角，故该选项说法错误，不符合题意； 、钝角三角形的三条高本身不相交，仅三条高所在的直线交于一点，故该选项说法错误，不符合题意； 、只有过直线外一点才有且仅有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上无法作出平行线，故该选项说法错误，不符合题意； 、选项的描述完全符合点到直线的距离的定义，故该选项说法正确，符合题意． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【规范解答】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角形沿方向平移8个单位长度，得到三角形．若，三角形面积为15，则梯形的面积为 _______ ． 【答案】25 【思路引导】由平移的性质得到，进而求出，由三角形的面积公式求出h，根据梯形的面积公式即可求出结论． 【规范解答】由平移的性质得， ∵， ∴， 设的边上的高为h， ∵三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的面积． 5．（25-26八年级下·上海·期中）如图，的重心为G，如果的面积为2，则的面积为________． 【答案】3 【思路引导】根据三角形重心的定义可知为的中线，且，利用等高三角形面积比等于底边比求出的面积，再根据中线将三角形分成面积相等的两部分求解． 【规范解答】∵G为的重心，且A、G、M共线， ∴为的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【思路引导】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【规范解答】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 7．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 【答案】 【规范解答】解：延长到点，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点D，则为边上的高． 8．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，点D是边的中点，已知，． (1)作出与关于点D成中心对称的图形； (2)根据图形说明线段长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据中心对称的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据三角形的三边关系求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作图形， （2）解：由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到； (2)求出的面积； (3)与关于原点O成中心对称，画出． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积 （3）解：如图，即为所求． 10．阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1；0 (2) (3)11 【思路引导】（1）先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b的值即可解答； （2）先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得x、y的值，最后代入即可解答； （3）根据配方法和非负数的性质求出a，b的值，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴, ∴， ， ∴，； （2）解：∵， ∴， 即， 则，， 解得： ∴； （3）解：∵， ∴， ∴, 则，， 解得：，， ∵， 即，且是正整数， ∴， 即三角形三边的长分别为1，5，5， 所以，的周长为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null