专题 1.1（2） 三角形中的线段和角 讲义- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形中的线段和角，系统梳理三角形内角和定理、直角三角形性质与判定、三角形外角性质等核心知识点，构建从基础证明到与平行线、角平分线综合应用，再到直角三角形判定及外角性质运用的递进式学习支架。 资料亮点在于分层设计题型，基础题型巩固知识，综合培优题型（如折叠问题、内外角综合）培养几何直观与推理能力，例题结合生活情境（如轮船航行、手推车）体现应用意识，同步检测助力学生课后查漏补缺，提升数学思维与问题解决能力。

专题 1.1（2） 三角形中的线段和角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形的内角 1 【题型 1】三角形内角和定理的证明 1 【题型 2】三角形内角和与平行线综合 5 【题型 3】三角形内角和与角平分线综合 8 【知识点二】直角三角形的性质与判定 11 【题型 4】利用直角三角形两锐角互余求值 12 【题型 5】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形进行判断 15 【知识点三】三角形的外角 17 【题型 6】利用三角形外角性质求值 18 【题型 7】利用三角形外角性质证明 21 二.综合培优题型精析 25 【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 25 【题型 9】三角形内角和与外角性质综合 30 三.同步检测 37 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 37 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 42 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 46 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形的内角 1、 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 图一 如图一：在中， 【题型 1】三角形内角和定理的证明 【例题1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见分析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点拨】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． （1）任务一：补全小颖的说理过程； （2）任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】（1）、；（2）见分析 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意，得，证明，所以，即； （2）理解题意，由得，，又因为，得，即可作答． 解：（1）解： ， 即． （2）解：∵， ，， ∵， ． 【题型 2】三角形内角和与平行线综合 【例题2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，三角形内角和问题，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行，即可判断与的位置关系； （2）结合（1）根据角平分线定义可得，再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 解：（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2），， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为_____． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 解： 如图： 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，经过点的直线交于点，且，． （1）试说明； （2）的平分线与的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据可得，再根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义可求得，，再根据三角形内角和定理即得答案． 解：（1）， , ， ， ； （2）， ，, 平分， , ，平分， ， ， ． 【题型 3】三角形内角和与角平分线综合 【例题3】（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的边上的高，是的一条角平分线，与相交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得出，求出，即可得出结果． 解：∵，， ∴． ∵是的一条角平分线， ∴． ∵是的边上的高， ∴． ∴． ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求出的度数． 解：在中，，， , 是的平分线， ， 在中，． 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 【答案】20 【分析】先根据已知条件得，，再根据三角形内角和定理求出，然后求出，最后根据得出答案． 解：∵分别是的高和角平分线， ∴于点D，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． （1）若，求的度数； （2）把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 解：（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 【知识点二】直角三角形的性质与判定 1、直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余. 图二 如图二：在中， 2、直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 图三 如图三：在中，，则是直角三角形. 【题型 4】利用直角三角形两锐角互余求值 【例题4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． （1）如图1，，，则与之间的数量关系是___________． （2）如图2，，，则与之间的数量关系是___________． （3）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3），或， 【分析】（1）根据垂直可得，由直角三角形的两锐角互余可得，，再结合对顶角相等等量代换即可得解； （2）根据垂直可得，由四边形的内角和列式计算即可得解； （3）设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为，根据这两个角相等或者互补列方程计算即可． 解：（1）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ， ． （3）解：设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为． 根据题意，得或， 解得或． 当时，； 当时，， 这两个角的度数为，或，． 【变式1】（2026·河南信阳·模拟预测）如图，，交于点E，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，由垂直的定义求出，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，较大的锐角的度数为 _____． 【答案】 【分析】设较小锐角的度数为，根据题意表示出所求锐角，利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可． 解：设较小锐角的度数是度，则较大的锐角的度数是， 根据直角三角形两锐角互余，可得 ， 解得， 将代入，得， 即较大的锐角的度数为． 【变式3】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，中，，，平分，于D，于F，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角的平分线的定义求得的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，根据角的和差求出，进而在直角中求出． 解：， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 【题型 5】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形进行判断 【例题5】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见分析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 解：证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 【变式1】（22-23七年级下·山西太原·阶段检测）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定． 利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角度关系判断三角形的类型． 解：在中，． ，， 则． 是直角三角形． 故答案为：，直角． 【变式3】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【知识点三】三角形的外角 1、三角形外角定义：如图四，把的一边延长，得到.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 图四 2、三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 图五 如图五：、、是三个外角，则有：、、 【特别说明】三角形外角和等于。 【题型 6】利用三角形外角性质求值 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． （1）当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ （2）轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ （3）根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 【答案】（1）；（2）当轮船行驶到点C的正南方时距离灯塔最近，因为垂线段最短；（3）当轮船行驶到距离灯塔最近的位置时，的度数是多少？（答案不唯一） 【分析】（1）根据三角形外角的性质计算即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）再提出一个问题即可． 解：（1）解： ， ∴当轮船从点行驶到点时，的度数是． （2）略 （3）略 【变式1】（2026·福建三明·二模）工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，求出邻补角的定义，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______ 【答案】180 【分析】根据三角形外角的性质可得，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得答案． 解：∵和分别是和的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线于点，点在直线上，点是线段上的一点（点不与点、重合），，交直线、于点、， （1）求证：； （2）请在图中画出和的角平分线、，猜想与的位置关系并证明． 【答案】（1）见分析；（2）与的位置为，证明见分析，图见分析 【分析】（1）根据题意得，推出，，即可得证； （2）设交于点，根据角平分线的定义得到，，由，，推出，得到，推出，，得到，即可判定． 解：（1）证明：直线于点，， ，， ，， ； （2）如图，、即为所求， 与的位置为，证明如下： 设交于点， 、分别平分和， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【题型 7】利用三角形外角性质证明 【例题7】（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1， 试说明的理由； （2）如图2， 过点B作，垂足为点E，与相交于点F ． ①试说明的理由； ②如果，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；② 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①过点A作，垂足为H，利用等腰三角形的三线合一性质得出，利用余角的性质证明，即可得证； ②根据三角形的外角性质可得，然后利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据即可求解． 解：（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：①过点A作，垂足为H． ∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 即； ②∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·河北邢台·二模）下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质进行判断即可． 解：∵是的外角， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 【答案】 【分析】由三角形的外角和定理得，结合的内角和求出的值，从而求出的值． 解：， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，中，、是角平分线，它们相交于点．（）， （1）试说明； （2）当是高，判断与、的关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出，再运用三角形外角性质求出是解决问题的关键． （1）先利用三角形内角和定理和角平分线的定义求得，以及，即可得出结论； （2）根据角平分线定义可求，然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出即可． 解：（1）解：∵中，、是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：．理由如下： ∵，是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 二.综合培优题型精析 【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 【例题8】（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）探究： （1）如图①与有什么关系？为什么？ （2）把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． （3）如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【答案】（1），理由如下；（2）；（3）， 【分析】（1）由题意知，，进而可得； （2）由题意知，，进而可得； （3）由，，可得，由折叠与平角的性质，可知，，则，进而可求三个角存在的等量关系． 解：（1）解： ，理由如下： 由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 由折叠与平角的性质，可知，， ∴， 故答案为：； 由题意知，， ∴三个角存在的等量关系为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【变式1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识．根据折叠的性质，得到，再根据平行线的性质，得到，过点作，根据平行线的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，求得，进而得到，即可求出的度数． 解： 由折叠的性质可知，，，，，， ， ， ， ， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． （1）若，判断与的位置关系并说明理由； （2）若与不平行，，则______． 【答案】（1），理由见分析；（2）100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 解：（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 【题型 9】三角形内角和与外角性质综合 【例题9】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． （2）已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 （4）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）；（4） 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 解：（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 【变式1】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在《光的反射》实践课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光线（入射光线）射到平面镜上，若激光笔与天花板（直线）的夹角，则反射光线与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，如）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，分别利用平行线的性质求解即可． 解：当时， 延长交于， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 当时， ， ， 当时，如图2所示，过点C作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 不可能取到的度数为． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）折叠纸片，使点，均与点重合，折痕交直线于点，．若，则______． 【答案】105或75或15 【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理，外角的性质，分三种情况讨论，即可求出的度数． 解：设． 分三种情况讨论： 当为锐角时， 若点D，E在边， 根据折叠的性质，可得，， ∴， 由三角形内角和定理得， 因为，代入得， 解得； 若点E在边的延长线上， 此时， ∴，， ∴， 解得：； 当为钝角时， ， 同理可得， 代入得， 解得． 综上所述，的度数为或或． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： （1）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． （2）【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． （3）【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【答案】（1）证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴． （2）180 （3） 【分析】（1）延长交于点，由三角形外角性质得，，由此即可得出结论； （2）设与相交于点，由（1）得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； （3）延长与的延长线相交于点，则，，进而得，由（2）得，则． 解：（1）略 （2）解：如图，设与相交于点， 由（1）得， ∴． 在中，， ∴． （3）解：如图，延长与的延长线相交于点， ，， ． 在中，， ． 由（2）得，， 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，由折叠的性质得，然后，根据平角的定义及，得，进而得，最后，根据三角形的内角和定理得． 解：如图， ∵把的一角折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余即可计算出的度数． 解：∵在中，是直角， ∴，， 又∵， ∴． 4．（2026·福建厦门·三模）如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系，两直线平行，同旁内角互补，以及三角形的外角的性质，进行求解即可. 解：由图和题意，可知： ∵， ∴， ∴， ∴. 5．（2026·吉林长春·一模）如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·河南驻马店·三模）已知直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置，点，在直线上，点，在直线上，．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是含有角的直角三角尺，可得，平分，则，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解． 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 7．（2026·河南周口·模拟预测）将一副三角板按如图所示的方式摆放，使，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的定义及三角形外角的性质，根据垂直定义得出，再利用三角形外角的性质即可求解． 解：∵， ∴． 由三角形外角的性质得 ． ∵， ∴． 8．（2026·安徽·模拟预测）用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点，，，在同一条直线上，，，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出和的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后根据三角形的外角性质即可求出的大小． 解： 在Rt中，， ， ∴ ， ∵， ∴ ， 在Rt中，， ， ， 是的外角 ， ， ． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24七年级上·全国·课前预习）三角形内角和定理：三角形内角和等于_______． 【答案】180° 【解析】略 10．（25-26七年级下·广东河源·期中）在中，，则该三角形的形状是_________三角形． 【答案】钝角 【分析】根据三角形内角和定理求出最大内角的度数，再根据三角形按角分类的规则判断三角形的形状． 解：设，，， 根据三角形内角和定理，得， 解得， 因此最大角， 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此该三角形是钝角三角形． 11．（25-26七年级下·全国·期末）一个三角形三个内角的比是，这个三角形是________，最大内角是________． 【答案】 直角三角形 【分析】先计算三个内角的总份数，再根据三角形内角和为，按比例分配求出各内角的度数，根据最大内角的度数判断三角形类型． 解：计算总份数： ∵三角形内角和为， ∴计算每份对应角度： 分别计算三个内角度数： ∵最大内角为， ∴该三角形为直角三角形． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 【答案】/125度 【分析】首先由三角形内角和定理求出，然后结合角平分线求出，然后证明，即可得到． 解：∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 13．（2026·重庆·二模）如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形外角的性质可得的度数． 解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若，则________． 【答案】/105度 【分析】由三角板可得，，，设与交于点，在中利用三角形内角和定理求出，利用对顶角相等求出，再在中利用三角形内角和定理求出，最后利用平角的定义即可求． 解：如图，设与交于点 由三角板得：，，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵点在上， ∴． 15．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 【答案】 【分析】起吊物体前，设，求出，增大，再求出此时，即可得到答案． 解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ， 物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，， ， 增大， ， ， 故增加． 16．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）叙述“三角形的内角和定理”内容，请画出图形，写出已知、求证和证明． 【答案】见详解 【分析】本题考查三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 解：三角形的内角和定理：三角形内角和为， 已知：如图， 求证： 证明：过点作，如图， ， ， . 三角形内角和． 18．（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，相交于点．求的大小． 【答案】 【分析】利用题目已知角度和三角形内角和，计算和的度数，再用即可求解． 解：， ， ． 19．（25-26七年级下·四川绵阳·期中） 如图①，点E在直线之间，点A为上一点，且，． （1）求证：； （2）如图②，直线交于平，平分．求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）延长交于F，先证，再根据线线平行的判定证明即可； （2）由角平分线的性质可得，再由可得，进而得到． 解：（1）证明：如图，延长交于F， ∵， ∴， 根据三角形的外角性质，， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样． （1）探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： （2）探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． （3）拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键. （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理即可得解； （3）①延长交于点Q，由（2）可知，，则，又由即可得到；②根据α的值的情况，得到的取值范围，即可得到结论． 解：（1）∵， ∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴. 故答案为： （2）. 理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴在中，. （3）如图， ①， 延长交于点Q， 由（2）可知，， ∴， ∴. ∴. ②当时，则，则是钝角三角形; 当时，则，则是直角三角形; 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴ ∴是锐角三角形. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1（2） 三角形中的线段和角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形的内角 1 【题型 1】三角形内角和定理的证明 2 【题型 2】三角形内角和与平行线综合 3 【题型 3】三角形内角和与角平分线综合 4 【知识点二】直角三角形的性质与判定 5 【题型 4】利用直角三角形两锐角互余求值 6 【题型 5】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形进行判断 7 【知识点三】三角形的外角 8 【题型 6】利用三角形外角性质求值 8 【题型 7】利用三角形外角性质证明 9 二.综合培优题型精析 11 【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 11 【题型 9】三角形内角和与外角性质综合 12 三.同步检测 14 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形的内角 1、 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 图一 如图一：在中， 【题型 1】三角形内角和定理的证明 【例题1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． （1）任务一：补全小颖的说理过程； （2）任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【题型 2】三角形内角和与平行线综合 【例题2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若是的平分线，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【变式2】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为_____． 【变式3】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，经过点的直线交于点，且，． （1）试说明； （2）的平分线与的平分线交于点，若，，求的度数． 【题型 3】三角形内角和与角平分线综合 【例题3】（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的边上的高，是的一条角平分线，与相交于点，，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 【变式3】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． （1）若，求的度数； （2）把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【知识点二】直角三角形的性质与判定 1、直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余. 图二 如图二：在中， 2、直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 图三 如图三：在中，，则是直角三角形. 【题型 4】利用直角三角形两锐角互余求值 【例题4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． （1）如图1，，，则与之间的数量关系是___________． （2）如图2，，，则与之间的数量关系是___________． （3）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 【变式1】（2026·河南信阳·模拟预测）如图，，交于点E，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，较大的锐角的度数为 _____． 【变式3】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，中，，，平分，于D，于F，求的度数． 【题型 5】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形进行判断 【例题5】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【变式1】（22-23七年级下·山西太原·阶段检测）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则___________，是___________三角形． 【变式3】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【知识点三】三角形的外角 1、三角形外角定义：如图四，把的一边延长，得到.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 图四 2、三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 图五 如图五：、、是三个外角，则有：、、 【特别说明】三角形外角和等于。 【题型 6】利用三角形外角性质求值 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． （1）当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ （2）轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ （3）根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 【变式1】（2026·福建三明·二模）工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______ 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线于点，点在直线上，点是线段上的一点（点不与点、重合），，交直线、于点、， （1）求证：； （2）请在图中画出和的角平分线、，猜想与的位置关系并证明． 【题型 7】利用三角形外角性质证明 【例题7】（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1， 试说明的理由； （2）如图2， 过点B作，垂足为点E，与相交于点F ． ①试说明的理由； ②如果，求的度数． 【变式1】（2026·河北邢台·二模）下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 【变式3】（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，中，、是角平分线，它们相交于点．（）， （1）试说明； （2）当是高，判断与、的关系，并说明理由． 二.综合培优题型精析 【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 【例题8】（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）探究： （1）如图①与有什么关系？为什么？ （2）把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． （3）如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【变式1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． （1）若，判断与的位置关系并说明理由； （2）若与不平行，，则______． 【题型 9】三角形内角和与外角性质综合 【例题9】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． （2）已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 （4）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【变式1】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在《光的反射》实践课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光线（入射光线）射到平面镜上，若激光笔与天花板（直线）的夹角，则反射光线与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，如）（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）折叠纸片，使点，均与点重合，折痕交直线于点，．若，则______． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： （1）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． （2）【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． （3）【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·福建厦门·三模）如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·吉林长春·一模）如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南驻马店·三模）已知直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置，点，在直线上，点，在直线上，．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南周口·模拟预测）将一副三角板按如图所示的方式摆放，使，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽·模拟预测）用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点，，，在同一条直线上，，，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级上·全国·课前预习）三角形内角和定理：三角形内角和等于_______． 10．（25-26七年级下·广东河源·期中）在中，，则该三角形的形状是_________三角形． 11．（25-26七年级下·全国·期末）一个三角形三个内角的比是，这个三角形是________，最大内角是________． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 13．（2026·重庆·二模）如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 14．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若，则________． 15．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 16．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）叙述“三角形的内角和定理”内容，请画出图形，写出已知、求证和证明． 18．（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，相交于点．求的大小． 19．（25-26七年级下·四川绵阳·期中） 如图①，点E在直线之间，点A为上一点，且，． （1）求证：； （2）如图②，直线交于平，平分．求证： 20．（23-24七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样． （1）探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： （2）探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． （3）拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $