第1章 三角形 专题提优1：全等模型 讲义 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦全等模型核心知识点，系统梳理平移模型、对称模型、旋转模型（含手拉手）、一线三等角（K型）模型及婆罗摩笈多模型，构建从基础模型认知到综合应用的学习支架。 资料通过模型示例直观呈现、错误证明分析引导严谨推理、变式探究（如图②位置移动）促进模型迁移，培养几何直观（数学眼光）、推理意识与创新意识（数学思维）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固全等判定与性质，弥补模型应用盲点。

专题提优1：全等模型 平移模型与对称模型 一、平移模型 1.已知：如图，在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一条直线上.下面 四个条件： ①AB=DE:②AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠DEF. (I)请选择其中的三个条件，使得△ABC兰△DEF(写出一种情况即可)， (2)在(I)的条件下，求证：△ABC兰△DEF 二、对称模型 2.如图，点D,E分别在AB,AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE,CD相交于点 0,0B=0C 求证：∠1=∠2， 小虎同学的证明过程如下： 证明：：∠ADC=∠AEB=90°， ·∠D0B+∠B=∠E0C+∠C=90°. :DOB=∠EOC, ∠B=∠C……第一步 又0A=0A,0B=0C, △AB0兰△AC0,…第二步 1/7 ·∠1=∠2.……第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 3.如图，已知Rt△ABC兰Rt△ADE,ABC=∠ADE=90,BC与DE相交于 点F,连接CD,EB, (1)图中还有几对全等三角形？请一一列举 (2)求证：CF=EF 旋转模型（含手拉手） 一、不共顶点旋转模型 1.如图，已知点B,F,C,E在直线1上，点A,D在直线1异侧，连接AE,BD且 AC//DF,AC=DF,∠ABC=∠DEF (1)证明：△ABC兰△DEF: (2)说明AE,BD的关系. 2/7 2.如图①所示，A,E,F,C在一条直线上，AE=CF,过E,F分别作 DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD. (I)请猜想线段EG,FG的数量关系，并说明理由. (2)若将△DEC的边EC沿CA方向移动，变为图②时，其余条件不变，上述结 论是否成立？请说明理由」 ⑦ 二、共顶，点旋转模型（手拉手模型） 3.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B,C重合），以AD为一 边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CB (I)如图①，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，那么∠BCE= (2)设∠BAC=a,∠BCE=B. ①如图②，若点D在线段BC上移动，则α，B之间有怎样的数量关系？请说明 理由。 ②若点D在直线BC上移动，画图并探究，B之间有怎样的数量关系？ 备用图1 备用图2 3/7 一线三等角(K型)模型与其他模型 一、一线三垂直模型 模型示例： 已知∠BDC=∠BCA=∠AEC=90°，BC=AC,则Rt△BDC≈Rt△CEA 1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D ,BE⊥MN于E (I)当直线MN处在图①的位置时，填空： ①△ADC和△CEB的关系是 ②线段DE,AD和BE三者之间的数量关系是 (2)当直线MN处在图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN处在图③的位置时，且BE=3,AD=1,求DE的长 M M B ② ③ 4/7 二、一线三等角模型 模型示例： B 1D2 3 B Q ② 如图①，∠ADC=∠BCA=∠BEC,BC=AC,则△BEC兰△CDA;如图②， ∠1=∠2=∠3，BC=AC,则△BEC兰△CDA. 2.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB,点D,E,F分别是AB,BC,AC边上的 点，BE=CF (I)若∠DEF=∠ABC,求证：DE=EF. (2)若∠A+2∠DEF=180°，BC=9,EC=2BE,求BD的长 (3)把(I)中的条件和结论反过来，即若DE=ER,则∠DEF=∠ABC这个命 题是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由 备用图 3.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两 点，且∠BEC=∠CFA=∠ (I)若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面问题： ①如图①，若∠BCA=90°，∠=90°，求证：BE=CF, 5/7 ②如图②，若∠a十∠ACB=180°，探索三条线段EF,BE,AF的数量关系，并 证明你的结论 (2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA,题(1)②中的结论是 否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确的结论再给予证明. ③ 三、婆罗摩笈多模型 模型示例： ② 已知AB⊥AD,AC⊥AE,AB=AD,AC=AE,点F是BC中点，则 AF⊥DE,DE=2AF. 4.如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延长线交 DE于点F.求证：点F是ED的中点. 6/7 5.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (I)如图①，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作 DE⊥AC于点E由∠1+∠2=2+D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°， 可以推理得到△ABC兰△DAE进而得到AC= BC=AE.我们把这个 数学模型称为K字”模型或“一线三等角”模型 【模型应用】 (2)如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且 BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点.【深入探究】 (3)如图③，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1,△DCE 的面积为S2,则有S1----S2(填*<”或=). D B ② 7/7专题提优1：全等模型 平移模型与对称模型 一、平移模型 1.已知：如图，在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一条直线上.下面 四个条件： ①AB=DE:②AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠DEF. (I)请选择其中的三个条件，使得△ABC兰△DF(写出一种情况即可)， (2)在(I)的条件下，求证：△ABC兰△DEF 答案： (1)①②③（或①③④） (2)当选择①②③时，：BE=CF,÷BE+EC=CF+EC,即BC=ER.在△ABC (AB=DE, 和△DEF中， BC=EF,:△ABC兰△DEF(SSS)(合理即可) AC=DF, 注意： 平移模型的特征是有一组边共线或部分重合，易两组边分别平行，常利用线 段的等量代换找对应边相等，或者利用平行线的性质找对应角相等 二、对称模型 2.如图，点D,E分别在AB,AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE,CD相交于点 0,0B=0C 1/14 求证：∠1=∠2 小虎同学的证明过程如下： 证明：：∠ADC=∠AEB=90°， ·D0B+∠B=∠E0C+∠C=90°. :∠DOB=∠EOC, ∠B=∠C……第一步 又0A=0A,0B=0C, :△AB0兰△AC0,……第二步 “∠1=∠2.……第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程」 答案： (1)二 (2):∠ADC=∠AEB=90°，·∠BDC=∠CEB=90°.在△D0B和△E0C中， 1∠BD0=∠CE0, D0B=∠E0C,·△D0B兰△E0C(AAS),÷OD=OE OB=OC 在Rt△AD0和Rt△AEO （0D=0E, 中，{0A=0A, ·Rt△AD0兰Rt△AE0(HⅡ)，∠1=∠2 注意： 对称模型的图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.解题时 需要注意公共边、公共角、对顶角等隐含条件，常用到角度的等量代换 个人凶这 3.如图，已知Rt△ABC兰Rt△ADE,∠ABC=ADE=90°，BC与DE相交于 2/14 点F,连接CD,EB. (1)图中还有几对全等三角形？请一一列举」 (2)求证：CF=EP 答案： (I)图中还有2对全等三角形：△ADC兰△ABE,△CDF兰△EBF. (2)连接AF:Rt△ABC兰Rt△ADE,·AB=AD,BC=DE.又 AF=AF,ABC=ADE=90°，·Rt△ABF≌Rt△ADF(HL),·BF=DF.又 BC=DE,:BC-BF=DE-DF,RFCF=EF. 旋转模型（含手拉手） 一、不共顶点旋转模型 1.如图，已知点B,F,C,E在直线1上，点A,D在直线1异侧，连接AE,BD且 AC//DF,AC=DF,∠ABC=∠DEF (I)证明：△ABC兰△DEF; (2)说明AE,BD的关系. 答案： (I):AC//DF,∠ACB=∠DFE.在△ABC和△DEF中， (ZABC=DEF, ∠ACB=∠DFE,·△ABC≌△DEF(AAS), AC=DF, (2):△ABC兰△DEF,÷AB=DE.在△ABE和△DEB中， 3/14 AB=DE, ∠ABE=∠DEB,·△ABE≌△DEB(SAS),·AE=BD,∠AEB=∠DBE,·AE BD BE=EB, 即AE=BD,AE//BD 2.如图①所示，A,E,F,C在一条直线上，AE=CF,过E,F分别作 DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD. (I)请猜想线段EG,FG的数量关系，并说明理由， (2)若将△DEC的边EC沿CA方向移动，变为图②时，其余条件不变，上述结 论是否成立？请说明理由 答案： (I)GE=GR.理由：：DE⊥AC,BF⊥AC,·∠BFA=∠DEC=90°. :AE=CF,·AE-EF=CF-EF,即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中， (AB=CD,:Rt△ABF￥Rt△DE(H),BF=DE.在△BFG和△DEG中， AF=CE, IBGF=∠DGE, ∠BFG=∠DEG=90°，·△BFG兰△DEG(AAS),·GE=GF BF=DE, (2)结论依然成立.理由： :DE⊥AC,BF⊥AC,·∠BFA=∠DEC=90°：AE=CF,AE+EF=CP+EF,即 AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中， (A8=CD,:Rt△ABF￥Rt△CDE(L),:BF=DE在△BFG和△DBG中， AF=CE, I∠BFG=∠DEG, ∠BGF=∠DGE,·△BFG兰△DEG(AAS),,GE=GF BF=DE, 注意： 4/14 不共顶点旋转模型：两个全等图形可以看作是绕一点（非共顶点）旋转而得 二、共顶，点旋转模型（手拉手模型） 3.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B,C重合），以AD为一 边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE (I)如图①，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，那么∠BCE= (2)设∠BAC=a,∠BCE=B. ①如图②，若点D在线段BC上移动，则α，B之间有怎样的数量关系？请说明 理由 ②若点D在直线BC上移动，画图并探究，B之间有怎样的数量关系？ 备用图1 备用图2 答案： (1)90 解析：：∠BAC=DAE,·BAC-∠DAC=DAE-DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD与△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE,·△ABD兰△ACE(SAS),·∠B=∠ACE,·∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,· (AD=AE, 又：∠BAC=90°，·BCE=90° 5/14 (2)①a+B=180° 理由：：∠BAC=∠DAE,·∠BAC-DAC=∠EAD-DAC,即∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE,·△ABD≌△ACE(SAS),·∠B=ACE,·∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB AD=AE, ∠B+∠ACB=B,÷a+∠B+∠ACB=180°，：a+B=180°， ②当点D在C点右侧时，如图①，a+B=180°. 理由：：∠BAC=∠DAE,:∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,·∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE,·△ABD≌△ACE(SAS),·∠ABD=∠ACE:∠BAC+∠ABD+∠BCA=180° AD=AE, CD ① 当点D在B,点左侧时，如图②，a=阝.理由： :∠DAE=LBAC,÷∠DAB=∠EAC.在△ADB和△AEC中， (AD=AE, ∠DAB=∠EAC,△ADB兰△AEC(SAS, AB=AC, ÷∠ABD=∠ACE:ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+ACB,÷∠BAC=∠BCE, 即a=阝. 注意： 手拉手模型 如图①，△OAB和△OCD为等腰三角形，0A=0B,OC=OD,将△0CD绕 点0旋转一定角度，连接AC,BD,相交于点E,连接0E,如图②，则可得结论： ①AC=BD;②E0平分∠AED;③AC,BD所在直线的夹角与LAOB相等或互补， 6/14 一线三等角(K型)模型与其他模型 一、一线三垂直模型 模型示例： 已知∠BDC=∠BCA=∠AEC=90°，BC=AC,则Rt△BDC兰Rt△CEA 1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D ,BE⊥MN于E (I)当直线MN处在图①的位置时，填空： ①△ADC和△CEB的关系是 ②线段DE,AD和BE三者之间的数量关系是 (2)当直线MN处在图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN处在图③的位置时，且BE=3,AD=1,求DE的长. 7/14 M D B ② ③ 答案： (1)①△ADC兰△CEB解析：：∠ACB=90°， ·∠ACD+∠BCE=90°.：AD⊥MN,BE⊥MN,∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠CAD=90°，÷∠CA ADC=∠CEB, ∠CAD=∠BCE,·△ADC≌△CEB(AAS). 在△ADC和△CEB中， AC=CB, ②DE=AD十BE 解析：由①可知 △ADC兰△CEB,·CE=AD,BE=CD,·DE=DC+CE=AD十BE (2):∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，·ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中， IADC=∠CEB, ACD=∠CBE,·△ADC兰△CEB(AAS),·CE=AD,CD=BE,·DE=CE-CD=AD-BE AC=CB, (3)由(2)易知 △ACD兰△CBE,·CD=BE=3,CE=AD=1,·DE=CD-CE=3-1=2. 二、一线三等角模型 模型示例： ② 如图①，∠ADC=∠BCA=LBEC,BC=AC,则△BEC兰△CDA;如图②， 8/14 ∠1=∠2=∠3，BC=AC,则△BEC兰△CDA. 2.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB,点D,E,F分别是AB,BC,AC边上的 点，BE=CF (I)若∠DEF=∠ABC,求证：DE=EP (2)若∠A+2LDEF=180,BC=9,EC=2BE,求BD的长 (3)把(I)中的条件和结论反过来，即若DE=ER,则∠DEF=∠ABC这个命 题是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由 备用图 答案： (I):∠ABC=∠ACB,又 '∠DEC=∠ABC+∠BDE,∠DEC=∠DEF,∠CEF,∠DEF=∠ABC,·∠BDE=∠CEF |DBC=∠ECF, ∠BDE=∠CEF,÷△DBE≌△ECF(AAS),·DE=EF 在△DBE和△ECF中， BE=CF, (2):A+2∠DEF=180°，∠A+2∠B=180°，÷∠DEF=∠B.由(1)易证 △DBE兰△ECF,·DB=EC,:BC=9,EC=2BE,÷EC=6,BE=3,·BD=EC=6. (3)这个命题不成立. 理由：如图，△BDE和△CEF中，BE=CF,DE=EF,∠ABC=∠ACB(SSA), 无法判定两个三角形全等，进而无法得到LDEF=∠ABC, 0 9/14 3.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两 点，且∠BEC=∠CFA=∠ (I)若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面问题： ①如图①，若∠BCA=90°，∠a=90°，求证：BE=CF ②如图②，若∠Q十∠ACB=180°，探索三条线段EP,BE,AF的数量关系，并 证明你的结论。 (2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠=∠BCA,题(1)②中的结论是 否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明 ③ 答案： (1)① :∠BEC=∠CFA=∠a=90°，∠ACB=90°，÷∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，·∠ACF=☑ I∠EGC=FCA, BEC=LCFA,·△BCE≌△CAF(AAS),·BE=CR 在△BCE和△CAF中， BC=CA, ②EF=BE-AF 证明如下： '∠BEC=∠CFA=∠a,∠Q+∠ACB=180°，÷∠CBE=180°-∠BCE-La,LACF=∠ACB-∠BCE=18 在△BCE和△CAF中， I∠EBC=∠FCA, LBEC=∠CFA,·△BCE≌△CAF(AAS),·BE=CF,CE=AF, BC=CA, ·EF=CF-CE=BE-AF. (2)不成立.结论：EF=BE+AP 证明如下：：∠BEC=∠CFA=∠a,∠a=∠BCA,又 :∠EBC+∠BCE=∠BCC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，÷∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF,: 10/14 I∠EBC=∠FCA, 在△BCE和△CAF中， ∠BEC=∠CFA,÷△BCE兰△CAF(AAS), BC=CA, ∴.AF=CE,BE=CR.:EF=CE+CF,·EF=BE十AF. 三、婆罗摩笈多模型 模型示例： B ② 已知AB⊥AD,AC⊥AE,AB=AD,AC=AE,点F是BC中点，则 AF⊥DE,DE=2AF 4.如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延长线交 DE于点F求证：点F是ED的中点. B 答案：如图，过点E作EH⊥CB,交CB的延长线于 H,:∠C=90°，BE⊥AB,∠C=∠EBA=∠H=90°，·∠ABC+A=90°，∠ABC+∠EBH=90°，·∠ 11/14 |∠C=∠H=90°， ∠A=∠EBH,·△ABC≌△BEH(AAS), 在△ABC和△BEH中， AB=BE, :EH=BC=BD.在△BDF和△HEF中， I∠FBD=H, DFB=∠EFH,·△BDF≌△HEF(AAS), 、BD=EH, :DF=EF,·点F是ED的中点. 5.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (I)如图①，∠BAD=90°，AB=AD,过，点B作BC⊥AC于点C,过点D作 DE1AC于点E由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°， 可以推理得到△ABC兰△DAE.进而得到AC= BC=AE.我们把这个 数学模型称为“K字”模型或“一线三等角模型 【模型应用】 (2)如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且 BC⊥AP于点F,DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点.【深入探究】 (3)如图③，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1,△DCE 的面积为S2,则有S1---S2(填<”或“=)， 12/14 ② 答案： (1)DE 解析：：BC⊥AC,DE⊥AC,÷∠ACB=∠DEA=90°=∠BAD. ∠1+L2=2+D=90°，∠1=D.在△ABC和△DAE中， I∠ACB=DEA, ∠1=∠D, ·△ABC≌△DAE(AAS),·AC=DE,BC=AE AB=DA, (2)如图①，过D作DM⊥AP于M,过E作EN⊥AF于N,由K字”模型得 △ABF兰△DAM(AAS),·AF=DM.同理：AF=EN,·EN=DM, :DM⊥AF,ENLAF,÷∠GMD=∠GNE=90°.在△DMG与△NG中， ∠DGM=∠EGN, ∠DMG=∠ENG,·△DMG≌△ENG(AAS),·DG=EG,即点G 是DE的中点。 DM=EN, ② (3)= 解析：如图②，过D作PQ⊥CE于P,交AF于Q,过A作AM⊥PQ于M,过F作 FN⊥PQ于N,由四边形ABCD和四边形DEGF为正方形，易得 ∠ADC=∠DF=90°，AD=CD,DE=DF,由K字模型得 △ADM兰△DCP(AAS),△DFN≌△EDP(AAS),- S△ADN=SADP,SADEN=S△DP.由(2)得 △AMQ兰△FNQ(AAS),S△AMQ=S△FNQ,:SAADQ+S△FNQ+S△DRN=S△ADQ+SAAMQ+S△DFN= 即S1=S2 13/14 bI /tI