2.1 第1课时 一元二次方程（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式、转化步骤及实际应用，通过复习方程与一元一次方程，结合幼儿园地毯铺设、梯子滑动等实际问题导入，引导学生从已学知识自然过渡到新知，搭建清晰的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过定义三要素辨析和步骤模板发展数学思维，用例题与易错点汇总强化数学语言表达。如用五个连续整数平方和问题抽象方程，助学生理解建模过程，既提升学生探究与运算能力，又为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 2.1 第1课时 一元二次方程 第二章 一元二次方程 2.1 第1课时 一元二次方程 精讲讲义（含知识点+例题+习题） 本课时为九年级一元二次方程开篇基础课，重点掌握一元二次方程的定义、一般形式、各项系数识别、方程辨析与简单列方程，是后续解方程、根的判别式、实际应用的基础，知识点简单但易错，是考试填空、选择必考内容。 一、一元二次方程的定义（核心考点） 1. 严格定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且是整式方程，叫做一元二次方程。 2. 定义三要素（缺一不可，考试判断依据） ① 一元：只含1个未知数（常见为x）； ② 二次：未知数最高次数为2，不含x的三次、一次以外次数，不含根号x、分母含x； ③ 整式方程：分母不含未知数、根号不含未知数、不是分式方程、不是无理方程。 3. 常见排除易错方程（快速辨析） ❌ $$\frac{1}{x^2}+x=0$$：分式方程，不是整式方程； ❌ $$x^3+x^2=1$$：最高次数3，是三次方程； ❌ $$xy+2x=3$$：含两个未知数，不是一元； ❌ $$\sqrt{x^2+1}=2$$：无理方程，非整式方程。 二、一元二次方程的一般形式（必考） 1. 标准一般形式 $$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a eq0)}$$ 2. 各项名称与系数定义 ① $$ax^2$$：二次项，$$a$$ 为二次项系数； ② $$bx$$：一次项，$$b$$ 为一次项系数； ③ $$c$$：常数项。 3. 关键限制条件 a≠0：若$$a=0$$，二次项消失，方程变为$$bx+c=0$$，是一元一次方程，不再是二次方程； b、c可以为0，不影响方程为一元二次方程。 4. 三种特殊形式（仍属于一元二次方程） ① $$ax^2+c=0$$（缺一次项，$$b=0$$） ② $$ax^2+bx=0$$（缺常数项，$$c=0$$） ③ $$ax^2=0$$（一次项、常数项均为0） 三、方程化为一般形式步骤（满分模板） 1. 去分母、去括号； 2. 移项：将所有项移至等式左边，右边化为0； 3. 合并同类项； 4. 整理为 $$x^2$$ 在前、$$x$$ 居中、常数项最后的标准形式。 例题：将$$2x(x-1)=3x+2$$化为一般形式，并写出各项系数 解：去括号：$$2x^2-2x=3x+2$$ 移项合并：$$2x^2-5x-2=0$$ 二次项系数：2，一次项系数：-5，常数项：-2 易错提醒：系数包含前面的正负号，不可漏写负号！ 四、一元二次方程的解（根） 1. 定义 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 2. 考点题型 已知方程的根，将根代入方程，可求参数的值。 例题：已知$$x=2$$是方程$$x^2+ax-4=0$$的根，求a的值。 解：代入$$x=2$$得：$$4+2a-4=0$$，解得$$a=0$$。 五、根据实际问题列一元二次方程 1. 列方程步骤 ① 审题，设未知数；② 找等量关系；③ 列整式方程；④ 整理为一般形式。 2. 基础例题 一个正方形面积为25，若边长增加x，面积变为36，列方程。 解：原边长5，新边长$$5+x$$，得 $$(x+5)^2=36$$， 整理一般形式：$$x^2+10x-11=0$$。 六、本节高频易错点汇总 1. 判断一元二次方程必须满足：整式、一元、二次、二次项系数不为0； 2. 系数识别带符号，负数系数不要漏掉负号； 3. $$b=0、c=0$$仍是一元二次方程，只要$$a eq0$$； 4. 分式、根式方程一定不是一元二次方程。 七、同步基础习题（含答案） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. $$x+2=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$\frac{1}{x^2}=1$$ D. $$x^3+x=2$$ 答案：B 2. 方程$$3x^2-4x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为____。 答案：3、-4、1 3. 将$$x(x+2)=5(x-1)$$化为一般形式：____。 答案：$$x^2-3x+5=0$$ 4. 已知$$x=1$$是方程$$x^2+mx+2=0$$的根，则m=____。 答案：-3 1. 理解一元二次方程的概念.（重点） 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点） 学习目标 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫作一元一次方程. 想一想：什么是一元二次方程呢？ 探究点：一元二次方程的相关概念 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 思考：问题中有哪些等量关系？ 地毯的长×宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 m，宽为　　　 m，根据题意，可得方程： (8 - 2x) (5 - 2x) x x (8 – 2x) x x (5 – 2x) ( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.① 探究点：一元二次方程的相关概念 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果将这五个连续整数中的第一个数设为 x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. ② 探究点：一元二次方程的相关概念 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m.如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m， 根据题意，可得方程： 问题3：如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 6 (x + 6) (x + 6)2 + 72 = 102. ③ 10 m 8 m 1 m x m 探究点：一元二次方程的相关概念 2x2 - 13x + 11 = 0 ① x2 - 8x - 20＝0 ② x2 + 12 x - 15 = 0 ③ 1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是 2； 3.整式方程． 方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点： ( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18 ① x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 ② (x + 6)2 + 72 = 102 ③ 【议一议】 探究点：一元二次方程的相关概念 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫作一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0). 其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 探究点：一元二次方程的相关概念 想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0， 当 a ≠ 0， b = 0 时， ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0， c = 0 时， ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时， ax2 = 0， 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 探究点：一元二次方程的相关概念 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简为 x2 - 3x + 2 = 0 化简为 -1 = 12x + 9 探究点：一元二次方程的相关概念 是否为整式方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 不是一元二次方程 是否满足“一元”和“二次” 是一元二次方程 不是一元二次方程 是 否 识别一元二次方程的方法： 是 否 探究点：一元二次方程的相关概念 (8) 2 - - 6 = 0. 1.判断下列方程是否为一元二次方程：  × × × ×  × × (1) x² + x = 36； (3) x + 3y =36； (5) x + 1 = 0； (7) ax² + bx + c = 0； (2) x3 + x² = 36； (4) - = 0； (6) = 6； 【练一练】 探究点：一元二次方程的相关概念 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 13 例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2； (2) (a－1)x | a |+1－2x－7 = 0. 解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时， 原方程是关于 x 的一元二次方程. 方法总结：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解． 探究点：一元二次方程的相关概念 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax + b = 0 (a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 都是整式方程，且只含有一个未知数 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2 探究点：一元二次方程的相关概念 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 探究点：一元二次方程的相关概念 一元二次方程一般式 点击视频开始播放 探究点：一元二次方程的相关概念 知识点1 一元二次方程的定义 1. 下列方程中，①；② ；③ ；④；⑤ ， 是一元二次方程的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知关于的方程当 ______时，是一元二次方程；当 ______时，是一元一次方程. 返回 考试考法 18 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程 化成一般式， 则 的值是( ) D A. B. C. 2 D. 5 4. 若关于的一元二次方程 化为 一般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 3 D. 返回 考试考法 19 知识点3 建立一元二次方程模型 5. [2026杭州期中] 某足球训练基地，组织了一次单循环的足 球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛， 设该基地这次有 支队伍参加了比赛，依题意可列方程为 ( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 20 6. 一个两位数比它的十位上的数字与个位上的 数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，设 个位数字为 ，依题意可列方程为_______________________ ______. 返回 考试考法 21 7. 如图所示，在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四 周镶一条金色纸边，制成一幅矩形 挂图，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ， 求满足 的方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系 数和常数项. 考试考法 22 【解】由题意得挂图长为 ，宽为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 其中二次项系数为1，一次项系数为 65，常数项为 . 返回 考试考法 23 8. 若关于的方程 是一 元二次方程，则 的值是( ) B A. 3 B. C. 3或 D. 解题支架 返回 考试考法 24 9. 《算法统宗》是中国古代数学 名著，作者是明代数学家程大位.书中记载了 一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一 尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记； 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素 好奇，算出索长有几？”这道题的意思是:“秋千静止的时候， 踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步 尺）时，此时 考试考法 25 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2. 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二次方程的前提条件 课堂小结 $