精品解析：江苏省通州高级中学2025-2026学年高二下学期数学综合训练（1）

通州高级中学2024级高二（下）数学综合训练（一） 命题： 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，，则等于（ ） A. 0.08 B. 0.12 C. 0.32 D. 0.48 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. 15 D. 35 5. 现有4人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3的倍数的人去参加乙游戏．用X，Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中，的系数为（ ） A. 51 B. 50 C. －51 D. －50 8. 泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布.若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知事件A，B，且，，，则 B. 设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则 C. 若从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为 D. 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.7，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强； B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好； C. 对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大； D. 对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是. 11. 设，为曲线的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有（ ） A. A，B两点的横坐标之和为定值 B. A，B两点的横坐标之积为定值 C. 直线AB的斜率为定值 D. P点横坐标的取值范围为（0，1） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂为研究某种产品的产量（单位：吨）与所需某种原材料（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如下表所示 x 3 4 6 7 y 2.5 3.5 4 根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为，据此计算出样本处的残差为0.25，则________，表中________． 13. 已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则________. 14. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分，16，17题15分，17，18题17分） 15. 已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项； （3）求的值. 16. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 （1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01） 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量. （1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在（单位：百件）件产品中，得到次品数量（单位：件）的情况汇总如下表所示，且（单位：件）与（单位：百件）线性相关： （百件） （件） 根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产件的任务？ （2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过分钟，如果有人分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有个人可派，工作人员各自在分钟内能完成任务的概率分别依次为，且，，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为，的数学期望为，证明：. （参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 ;.） （参考数据：，.） 18. 已知函数，． （1）设曲线在处的切线为l，若l与曲线相切，求a； （2）设函数， （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）若在区间单调递减，求a的取值范围． 19. 某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． （1）已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； （2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州高级中学2024级高二（下）数学综合训练（一） 命题： 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果. 【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”， ，，， 由全概率公式可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算. 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再利用导数的定义可得，进而代入求解即可 【详解】因为，则，所以，故，故，解得 故选：B. 3. 设，，则等于（ ） A. 0.08 B. 0.12 C. 0.32 D. 0.48 【答案】A 【解析】 【详解】，，则，， 所以． 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. 15 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值，再利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】令，可得，解得， ， 展开式中的系数为. 故选：A. 5. 现有4人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3的倍数的人去参加乙游戏．用X，Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设描述确定的可能组合，进而确定可能值，判断对应的组合，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求目标概率. 【详解】由题意的可能组合为， 则的可能值为， 而参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为， 所以. 故选：A 6. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 7. 的展开式中，的系数为（ ） A. 51 B. 50 C. －51 D. －50 【答案】C 【解析】 【分析】根据三项的二项式展开的通项，令，即可求出的值，进而可求解. 【详解】的展开式通项为： ，且， 令，则，或者，或者； 故的系数为：， 故选：C 8. 泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布.若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助所给泊松分布的概率分布列计算可得，再计算出及即可得 【详解】由题可知，即，解得， 则，，， 故两个站台共有2个乘客候车的概率为. 故选：D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知事件A，B，且，，，则 B. 设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则 C. 若从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为 D. 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.7，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，由条件概率公式知，则，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，至少有一名女生的概率，故C错误； 对于D，设事件“甲正点到达目的地”，事件“甲乘动车前往目的地”，事件“甲乘汽车前往目的地”， 由题意知，，，， 由全概率公式得，故D错误． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强； B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好； C. 对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大； D. 对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.通过比较两数据的相关系数的绝对值可得该选项正确；B.残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；C. 值越小，判断“x与y有关系”的把握性越小，所以该选项错误；D.求出样本中心点，再求出，得该选项正确. 【详解】A. 因为乙数据的相关系数的绝对值为，比甲数据的相关系数的绝对值0.66大 ，所以乙组数据的线性相关性更强，所以该选项正确； B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确； C. 对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越小，所以该选项错误； D. 由题得，所以样本中心点满足方程，所以，所以该选项正确. 故选：ABD 11. 设，为曲线的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有（ ） A. A，B两点的横坐标之和为定值 B. A，B两点的横坐标之积为定值 C. 直线AB的斜率为定值 D. P点横坐标的取值范围为（0，1） 【答案】BCD 【解析】 【分析】设A、B坐标，求导可得，由得可判断B；由斜率公式可得AB的斜率可判断C；由方程解得P点横坐标，结合基本不等式可判断D；由C可知A错误. 【详解】记，， 由函数图象可知，不妨设与相切于点，与相切于点，则. 因为，，所以， 因为，所以，即，B正确； 的方程为，的方程为 联立方程组可求得点P横坐标 因为，所以，所以，D正确； ，C正确； 由C易知，A错误. 故选：BCD 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂为研究某种产品的产量（单位：吨）与所需某种原材料（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如下表所示 x 3 4 6 7 y 2.5 3.5 4 根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为，据此计算出样本处的残差为0.25，则________，表中________． 【答案】 ①. 0.25 ②. 6 【解析】 【分析】由残差的定义得到回归直线方程，进而根据回归直线过样本的中心点，得到的值即可求解． 【详解】根据样本处的残差为0.25，得，可得， 即回归直线的方程为． 又，， 所以，解得 13. 已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义列方程即可求出． 【详解】， ， ，是直线与函数相切的切点， ，， ， ， 即直线的方程为， ， ， 设与的切点坐标为，， ， 切线方程为， 即， ，， 解得， ， ． 故答案为：． 14. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分，16，17题15分，17，18题17分） 15. 已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项； （3）求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出的值，代入二项展开式的通项公式即可求解； （2）利用两边夹定理，设第项系数的绝对值最大，列出关于的不等式即可求解； （3）利用二项式定理求解即可. 【详解】（1）由，得， 通项， 令，解得， 展开式中的系数为. （2）设第项系数的绝对值最大， 则，所以， 系数绝对值最大的项为. （3）原式. 【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 16. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 （1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01） 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 5 45 未上场 2 3 5 合计 42 8 50 有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可求解； （2）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，结合全概率公式，即可求解； （ii）根据题意，利用条件概率的计算公式和贝叶斯公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 5 45 未上场 2 3 5 合计 42 8 50 零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关 此时， 所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关. 【小问2详解】 解：由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球， 则, 所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率： . （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 甲球员打中锋的概率为. 17. 探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量. （1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在（单位：百件）件产品中，得到次品数量（单位：件）的情况汇总如下表所示，且（单位：件）与（单位：百件）线性相关： （百件） （件） 根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产件的任务？ （2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过分钟，如果有人分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有个人可派，工作人员各自在分钟内能完成任务的概率分别依次为，且，，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为，的数学期望为，证明：. （参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 ;.） （参考数据：，.） 【答案】（1）可以安排一小时试生产件的任务；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，分别求得：，利用公式求得，写出回归直线方程，然后将 代入求值与90比较即可. （2）根据题意，随机变量的可能取值为，且，；，由期望公式得到，然后利用数列的错位相减法求解即可. 【详解】（1）由已知可得：； ； 又因为； ； 由回归直线的系数公式知： 所以 当（百件）时，,符合有关要求 所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时试生产件的任务. （2）由题意知：， ，； 所以 两式相减得： 故 【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，离散型随机变量的期望的求法以及独立重复实验的应用数列的错位相减法求和的方法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 已知函数，． （1）设曲线在处的切线为l，若l与曲线相切，求a； （2）设函数， （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）若在区间单调递减，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先利用导数的几何意义求直线的方程，再结合二次方程解的个数求的值. （2）（ⅰ）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间； （ⅱ）利用（ⅰ）的结论，可求a的取值范围. 【小问1详解】 因为，，所以. 所以，， 所以曲线在处的切线：. 因为直线：与相切，所以方程只有1解. 若，则方程可化为，无解； 若，由. 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，，. 所以，. 当时，由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，由或. 若即，则或，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 若即，在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，则或，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，在上单调递减； 当时，要想在上单调递减，须有. 综上，在区间单调递减，可得. 19. 某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． （1）已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； （2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 【答案】（1）①；② （2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同， 理由如下： 设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为， 则， ∵， ， ∴， 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同． 【解析】 【分析】（1）①利用进行求解；②求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算数学期望； （2）分解计算出甲先出场成功概率，乙先出场成功概率，比较后得到结论. 【小问1详解】 ①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P， 则． ②依题可知，X的可能取值为0，1，2， 则由①知， ， ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $