江苏省通州高级中学2025-2026学年高二下学期数学综合训练（2）

通州高级中学2024级高二（下）数学综合训练（二) 命题： 一、单选题-十8-i￡^元一i5￡，t40· 1.一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内t秒时的位移（单位：米）为s(t)=t+ln(2t+1), 则汽车在第1秒时的瞬时速度为() 4 5 8 A.3m/s B.m/s C. m/s D. m/s 3 【答案】D 【分析】根据导数的物理意义，结合导数的计算，可得答案 【详解】由s0=子+h21+山，得0)=2士)，则汽车在第1秒时的瞬时速度为 5(0)=2x1+。2=8 2×1+1-3 故选：D 2.已知函数f)=nx-x,则1im2)-f(2-2A9三（) △x A.In2-4 B.-3 C.-7 D.2ln2-8 【答案】c 【分析】利用导数的定义，把吗2)-f化-2△转化为2②)，利用导数的四则运算求出了，代 Ar 入即可求解 【详解1由)-x可得f倒=士2，了2)=号4=子 m2)2-29-2四3=2-249-3- △x 2△x 故选：C 3.己知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x3456 y2.5344.5 其回归直线方程是少=0.7x+à，据此计算，则样本点在(4,3)处的残差为() A.0.15 B.-0.15 C.-0.35 D.0.35 【答案】B 【分析】根据样本中心点（区，）在回归直线方程上，可得à的值，然后计算样本估计值，从而得到残差， 【详解】根据题意，x=4.5,=3.5, 又(，)在回归直线方程上，所以à=下-0.7x=3.5-0.7×4.5=0.35,所以回归直线方程为y=0.7x+0.35, x=4时，得到预估值为3.15，所以样本点在(4,3)处的残差为-0.15 故选：B 4.已知1-2x)”的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为() A.128 B.256 C.512 D.1024 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为C,第7项的二项式系数为C, 当C=C时，可知n=3+6=9;可得1-2x),则奇数项的二项式系数和为2-1=23=256 故选：B 5.在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为 ，则每次射击击中目标的概率是() 64 A.1 8 B. C. D.3 4 【答案】C 【分析】本题可利用独立重复试验的概率公式，通过“至少有一次击中目标”的对立事件三次都未击中目标” 试卷第1页，共11页 来求解每次射击击中目标的概率 【详解】设每次射击击中目标的概率为卫，因为至少有一次击中目标的概率为 64 所以三次都未击中目标的概率为1-3”27 1 4=p,即1-p=,解得pe 故选：C 6.某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点(7,12)，增加 点(7,12)后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比() A.相关系数r变大 B.决定系数R变小 ·(67) ·(5,6) C.残差平方和变小 D.元不变 【答案】B ·(3,4) 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由平均数，相关系数， ·(2,2) 决定系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可 (1,1) 【详解】增加点(7,12)，从散点图中可以看出拟合效果变差： O 越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小：故A错误： 决定系数R越接近1，拟合效果越好，所以决定系数变小，故B正确： 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大：故C错误； 增加点（3,12)前的x的为数为42+5：6-号箱加点（仅12后的*的子约数为12-345+674， 5 所以x变大，故D错误 故选：B .已知随机变量X,2均服从两点分布，若X-)写PV=-》子P心Y=0)-子则P0-1X-0=() A.月 B. P c D.3 8 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得X=0的概率，再由P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+PX=1,Y=1)求出 P(X=0,Y=1),由条件概率公式计算P(Y=1X=0) 【详解】因为随机变量X,Y均服从两点分布，所以 Px01P(X-)Px1-)-=Pw-0-1-PT-0-子 因为==PK=Q7=+P(K=Lr=)=Px=0Y=+专所以PK-07= 12 由条件概率公式P仅=1X=0)= P(X=0,Y=1)12_ P(X=0) 2 8 故选：B 8.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌 1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重 复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则 P(X=4)=() B. 32 C.s D.1 64 64 【答案】D 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论， 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率A=2x3x31 6x6=2 若甲胜，则结果有(2,1)、(3,2)、(4,1)、(4,3)、(5,2)、(5,4)、(6,1)、(6,3)、(6,5)，共9种 试卷第2页，共11页 所以甲胜的概率为P,=9 1 6×64 同理乙胜的概率也为 4 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为)16 1)41 12 若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为C 11 22 32 1 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为C×二× 44 所以P(X=4)=1+3+111 16'326464 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准， 二、多选题-十3一1￡i一i6￡十18· 9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数(1张卡片上标1个数)，从中不放回 的依次抽取卡片，每次抽1张.“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A,“前两次抽取的卡片号之和为偶 数”记为事件B,则() A.P(B)=4 B.P(AB)=P(A)P(B) 1 C.P(B|)= 2 D.P(A+A川B)=1 【答案】ACD 【分析】利用全概率公式来判断A,利用条件概率乘法公式来判断B,利用条件概率除法公式来判断C, 利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：P(B)= 5、4,43324 由P4-写P-54 98g*82)故A正确： 9818 8’T而P少PB)S×号-，故B错误： 由P(B|A)= P(AB=18-1, P(A) 5= ,故C正确： 0 5 由P(A+A①IB)=P(A|B)+P(①B= 8 4 (A)BD_59×4名-1，故D正确： 4 8498 9 故选：ACD 10.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌为了解学生对“天宫课 堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则() 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 n(ad-be) 参考公式及数据：X= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d. A.从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课登的概率为 B。用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为9 64 C.根据小概率值=0.05(x5=3.841)的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联 D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参 加测试的学生成绩的均值为85 【答案】BC 试卷第3页，共11页 【解析】【分析】 本题考查了古典概型、独立重复试验的概率公式和独立性检验，属于中档题. 根据古典概型的概率公式判断A,首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式 判断B,计算出卡方，即可判断C,根据平均公式判断D. 【解答】 解：对于A:从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率P= 804 80+2051 故A错误； 对于B:样本中喜欢天宫课堂的频率80+70_3 从全校学生中任选3人， 2004 恰有2人不喜欢天宫课堂的概率R=CQ-×39 4 44'故B正确： 对于C:因为x=20030×30-70×202_8 ≈2.667<3.841， 100×100×150×503 所以根据小概率值=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确； 对于D:抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80、70， 又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为80×80+70×90_254 80+70 3 故D错误 故选：BC 11.如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A,B,C,D,E, F,O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1 个单位长度，则() A.移动两次后位于点A的概率为二 6 B.移动两次后位于点0的概率为 3 C.移动三次后位于点F的概率为54 D.移动n次后位于点0的概率为R,=上× 44(3 【答案】BCD 【分析】根据移动过程，结合独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算概率判断ABC,设移动次后位 于点O的概率为Pn,找到Pn与P-1的关系后再利用数列知识求解后判断D 111 【详解】对A,移动两次后位于点A,需要第一次移动到B或F,然后再移动到A,概率为2x二× 639 A错； 对B,移动两次后位于点0，第一次移出去，第二次再移回来，概率为6×二×}} 633,B正确， 对C,移动三次后位于点卫，前两次移动到0或A或B,因此概率为2×片×+×}2 933654'C正确： 对D,设移动n次后位于点O的概率为P,则前一次一定在非O点，概率为1-P-1, 所以B0-2.从面R子：宁， 1 又A=0,房所以R子((，所以g(”,D正确 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对D,在求Pn时，关键是找到P与P-1的关系，第n-1次必须在非O点（概率为1-Pn), 第次才能移动到O点，由此得出关系式，其次关键点是凑配出等比数列，利用等比数列通项公式求解. 三、填空题-十3一1￡^一i5￡十15。· 12.已知随机变量X,Y分别满足X~B(n,p),Y~N(5,4),且均值E(X)=E(Y),方差D(X)=D(Y), 则卫= 试卷第4页，共11页 【俗案】 【解析】【分析】 本题考查二项分布、正态分布的期望、方差，属于基础题， 根据二项分布、正态分布的性质列出方程组求出卫的值 【解答】 解：由题意得E(X)=E)=5,D(X)=D(Y)=4, 所以 p=5 w0-p)=4'解得p=5 1 故答案为) 13.已知曲线y=x sin x在点 径处的切线与=次函数)=am+(2a-动+1的图象只有个公共点，则 所有实数a的可能取值之和为 【答案】5 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程，再联立切线与二 △=0 次函数解析式，消元，由 a≠0计算可得 【详解】因为y=x sin x, c0L=1, 则V=sinx+X COSX,则y三1n云+cos子 22 2 所以曲线y=x sinx在点 元π 22 处的切线为y〔 ,即y=x, 由y=a+(2a-3r+1,则心+2a-0x+1=0,则△=(2a-4-4a=0,解得a=1或a=4 y=x a≠0 故答案为：5 14.从集合U=1,2,3,4,…,川的子集中选出2个不同的子集A,B,且AB,则选法有 种. 【答案】3”-2” 【解析】【分析】 本题考查集合的化简与运算及集合子集的个数的求法，二项展开式及其通项，属于较难题. 因为A三B,故不妨设元素少的为A,元素多的为B,A为B的真子集；讨论A,B所含集合个数，利用 二项式定理和分组求和求解， 【解答】 解：当A为空集时，B可以包含1,2,3，，n个元素， 所以共有C%×(C+C+…+C)=C9×(2”-1)种选法； 当A只含有1个元素时，B可以包含2,3,4，，n个元素， 所以共有C×(C-1+C号-1+…+C)=C×(2-1)种选法： 当A只含有2个元素时，B可以包含3,4，，n个元素， 所以共有C号×(C以-2+C-2+…+Cm)=C×(2-1)种选法： 当A只含有3个元素时，B包含4,5，，n个元素， 所以共有C%×(C-3+C-3+…+Cm-)=C×(2-1)种选法； 当A只含有个元素时，B可以包含(m+1),(m+2),,n个元素， 所以共有Cm×(C-m+Cm+…+Cmm)=Cm×(2"-1)种选法； 当A有(n-2)个元素时，B包含(m-1),n个元素， 所以共有C”-2×(2-1)种选法； 当A有(n-1)个元素时，B包含有n个元素， 所以共有Cm-1×(21-1)种选法： 试卷第5页，共11页 故共有C0×(2”-1)+C×(2-1)+C%×(22-1)+ +C"×(2m-1)+…+CW-2×(2-1)+C1×(2-1) =C92”+C.21++C7-2.2+Cm-1.2-(C9+C+C2+…+Cm-) =(1+2)”-1-(2”-n)=3m-2”+n-1. 故答案为：3”-2”+n-1. 四、解答题”-t5-1￡，t77￡1513￡16,1715￡17,1817￡ 15.己知曲线f(x)=x(x-3m). (1)若f(x)在点(1,1-3m处的切线与直线3x-y=0平行，求实数m的值： (2)若由线了()与曲线8()-六在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数m的值。 【答案】(1)0 i 【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可； 1 (2)设公共点为（伍，%），>0，%>0，由题设可得(3-6m) 2 =-1,可得元=6,2>0，再 将公共点（伍，6）代入两曲线方程化简可得103=，进而求解即可。 12m 【详解】(1)由f(x)=x2(x-3m=-3x2,则f'(x)=3x2-6nx, 而直线3x-y=0的斜率为3，所以∫'(1)=3-6m=3,解得m=0 (2)由题意，f(y=3x-6,g(y)=- 2x2 设公共点为(66)5≥0，%>0，则f)=3G-6,g(6)=- 2 由于曲线f()与曲线8()-左在第一象限的公共点处的切线互相垂直， %=号-3 所以(3x-6x)× 1 =-1,则=6m,m>0,又 1 2.x 2 %=x号-3x=216m3-108m23=108m23 则.11 62x12m 所以1082= 12m 解得m 6 6.已知1-号=4+4c+ae+…+aueN),且马=7 (1)求二项式系数最大的项： (2)求立2na)的值 k=1 【答案】(1)8；(2) ,8 【分析】(1)由二项展开式通项公式得出a,,然后由4，=7求出，根据二项式系数的性质得出最大项的 项数，再求出该项即可； (2)在展开式中令x=0可得，令x=2再结合4可得结论， 【详解1少展开式通项为工。C(》c(￥。 令r=2, 8 试卷第6页，共11页 项式系数最大的项为第5项=C(习》- P (2) 在1-=4+ax+a++a中=8 分别令x=0得.a。=1, 令x=2,则，+2%+24，+.+23a购=0，所以24+2a42++2”a,=-1: 17.“爱国、敬业、诚信、友善是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育， 倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水， 便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量x(单位：箱) 76656 收益y(单位：元) 165142148125150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特 困生考入年级前200名，获一等奖学金500元：考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300 2 元：考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为亏，获二等 1 4 奖学金的概率均为？，不获得奖学金的概率均为 5 如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相 互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： -商 b=过 - a=y-bxx=y- 20,∑，2=182 【答案】(1))=20x+26,186 (2)分布列见解析，600 【分析】(1)求出b、à，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可： (2)计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可。 详解10)6盗可 4420-5x6x14620,a=万-i=146-20×6=26,)=20x+26, ∑号-52 182-5×62 当x=8时，少=20×8+26=186（元），即某天售出8箱水的预计收益是186元. (2)X的取值可能为0,300,500,600,800,1000， Px=0-青音点x=30)=c音是 Px-m=专1gx-o0-得-号 121 5^15-75 124 P(X=800)=C×2 Px=100)==25 4 3515 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 16 P 16 1 4 4 225 45 75 9 15 25 X的数学期望 16 8 E(X)=0× +300× 16 +500× 60x+80 4 4 +1000× 225 45 9 25 =600(元). 18.某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需 要回答3个题目，可以从6个A组题目和若干个B组题目中，共选择3个题目作答A组题目每正确回答1 试卷第7页，共11页 个得10分，B组题目每正确回答1个得a(a>0)分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个 题目得分之和，己知小王恰能正确回答A组慰中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为}，且能否 3 正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的 数量的策略； (2)记小王总得分为X ()若选择的3个题目均为A组题目，求X的分布列及数学期望E(X): (i)试确定a,使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分X保持期望稳定， 并说明理由.（参考公式：E(X+X)=E(X)+E(X2),其中X、X,为随机变量） 【答案】(1)小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 (2)(i)分布列见解析；E(X)=20;(i)当a=20时，无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分 X的期望均为20分：理由见解析 【分析】(1)小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个 B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为？，，求得？，乃，可得结论： (2)记小王所选题目中A组题目得分为X,B组题目得分为X,X=X+X,()由于选择的三个题 目均有A组题目，其得分为X=10,20,30,利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；(i)设小王选择 的3个题目中A组题日数量为x,B组题目数量为3-x,其中x=0,12,3,则服从超几何分布， 10 X~B3-,3 计算数学期望可得结论， a 【详解】(1)小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为？，乃， C1-1 因为兰8器行所以卫< 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 (2)记小王所选题目中A组题目得分为X,B组题目得分为X,,X=X,+X,, (i)由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为X,=10,20,30, 则=0-答-r比-刘-器-P=0-答-5 C8 故X1的分布列为： X 10 20 30 3 5 5 故E(X)=E(K)=10×+20×2+30x=20, 3 5 (i)设小王选择的3个题目中A组题目数量为x,B组题目数量为3-x,其中x=0,1,2,3, a a B(0(x+)=A0+A)2+41哥-a20r 3 当a=20时，E(X)的值与a无关，即当a=20时，无论小王如何调整A,B组题目数量，其总得分X的期 试卷第8页，共11页 望均为20分。 19.箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共N个，其中红球的个数为(>1)，现从箱子中不放 回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1,2,3，·，N,直到箱子中的球被摸完为止. (1)求2号球为红球的概率（用N与n表示）： (2)若N=11,=5,记随机变量X为最后一个红球被摸出时的编号，求E(X); (3)若箱子中白球、黑球的个数分别为，2，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和 黑球都有剩余)的概率. 方法一： 【答案】解：I)记2号球为红球为事件A, 将个红球的编号情况作为样本空间，则样本点总数为C%, 事件A表示第2次被摸出的是红球，其它n-1个红球在其余W-1次被随机摸出， 则事件A包含的样本点数为CwC, (N-1)! 所以PA=C然C_n-DN-0 n CN NI N n!(N-n)! 所以2号球为红球的概率为 N (2)随机变量X的取值为5,6，，11， 则随机变量X的分布列为心x=)-C台 C,=5,6,、11 所以随机变量X的期望E(X)=丁k 共C=1费kC 台CC =月总k-135x州 -Σc 名4k-5列C台5k-5)C =5 CCCC+GC 所以随机变量X的期望E(X)=10. (3)箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，n,21,记“最后被摸出的球为白球'为事件B, 记“最后被摸出的球为黑球”为事件C,事件B,C互斥. 记“红球先于白球和黑球被摸完'为事件D,则D=BD+CD 当事件B发生时，只需考虑红球、黑球两种球中最后被摸出的是黑球， 则P(BD)=P(B)P(D1B)=”x2=1 4n3n6 当事件C发生时，只需考虑红球、白球两种球中最后被摸出的是白球， 则P(CD)=P(C)P(D1C=2x”=1 4n2n4 所以PD)=P(BD)+P(CD)=L+1- 一十一 6412 所以红球先于白球和黑球被摸完的概率为」 12 【解析】本题考查古典概型及其计算，考查离散型随机变量的均值及条件概率的计算，属于较难题 I)记“2号球为红球”为事件A,将个红球的编号情况作为样本空间，则样本点总数为C%,事件A表示 第2次被摸出的是红球，其它n-1个红球在其余N-1次被随机摸出，则事件A包含的样本点数为CwC, 结合古典概型概率计算即可求得； (②随机变量x的分布列为P(X==C会，k=5,6,，11,计算相关概率，再求均值即可： 试卷第9页，共11页 (3)箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，n,2,记“最后被摸出的球为白球”为事件B,记“最后被摸 出的球为黑球为事件C,事件B,C互斥.记红球先于白球和黑球被摸完为事件D,则D=BD+CD,再 结合条件概率计算即可. 方法二： 【小问1详解】设事件A:第i号球为红球， P(4)=P(44)+P(44=P(4)P(44)+P(4P(44) =”.n-l+N-”.nn N N-1'N N-1N 【小问2详解】 根据题意，随机变量X的取值为5,6,7,8,9,10,11， 从袋中5个红球和6个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有C!种情况： 则P(X=5)= A 1 A462 P(Y=6)=CiCiA 5 A462 P(X=7= CCiA_5 ,P(X=8= A]_5 154 A 66 P(X=9)= CCiA5 P(X=10)= CCA_ 3 PX=11)=CCA8_5 A 33 A911 A111 所以X的分布列为： X 5 6 7 P 9 10 11 1 5 5 5 5 3 5 P 462 462 154 66 33 11 11 因此其数学期望为： E(X)=- 30 35,4045,30,55 =10: 462462154 66331111 【小问3详解】 解法一：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球 问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完， 此时的概率为 AiAL1 A4 同理可得，最后一球为白球的概率为 A纵 4 最后一球为黑球的概率为 A折2 将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为n,n,2n, 按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查 问题2：发现最后一球是红的概率为 AA1 AA1 A44 ，最后一球是白球的概率为 A441 最后一球是黑的概率为 ,所以问题1与问题2等价 不妨令红球为α，白球为b,黑球为c,d,则全排列作为概率公式分母，即A:=24 记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A, 现在对事件A进行分析： 第一类：a在首位时，b,c,d全排列，有A=6种可能： 试卷第10页，共11页 第二类：α在第二位时，b必须在第三或第四位，c,d全排列，有A,A=4种可能； 共6+4=10种可能. 所以P(4)=242 105 解法二：考虑最后一个球的颜色情况： ①最后一个球是白球： )将全部黑球放入白球前面，共1种方法： ⅱ)再将全部红球一个一个放入，确保最后一个红球后面有黑球和白球：有 (2m(2n+1)·(2n+2)-(3n-1)种方法： ii最后将剩余的(n-1)个白球放入：有(3n+1)·(3n+2).(4n-1)种方法： 所以情况0共有(20-(Cn+)-(2n+2)(6n-13n+1-(Bn+2-（4r-D-A种 3n ②最后一个球是黑球： 过程类似于情况①。共有A种 2n AiLe 综上所述： 5 P=3n 2n= C×Cn12 【点睛】关键点点睛：将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为n,n,2,按照比例转化为，红球1 个、白球1个、黑球2个进行考查. 试卷第11页，共11页通州高级中学2024级高二（下）数学综合训练（二) 命题： 一、单选题-十8一i￡^i一i5￡，t40· 1.一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内t秒时的位移（单位：米）为s(t)=t+n(2t+1), 则汽车在第1秒时的瞬时速度为() A. 3/s B.m/s 8 3 C.3m/s D. m/s 2.己知函数f)=1nx-x,则1imf(2)-f(2-2A9_（) Ax △x A.1n2-4 B.-3 C.-7 D.2ln2-8 3.已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x3456 y2.5344.5 其回归直线方程是)=0.7x+à，据此计算，则样本点在(4,3)处的残差为() A.0.15 B.-0.15 C.-0.35 D.0.35 4.已知1-2x)”的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为() A.128 B.256 C.512 D.1024 5.在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为3 ，则每次射击击中目标的概率是() 64 4日 B. C. 6.某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点(7,12)，增加 点(7,12)后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比() A.相关系数r变大 B.决定系数R2变小 (6,7) (5,6) C.残差平方和变小 D.x不变 7.已知随机变量X,Y均服从两点分布，若 ·(3,4) P0X=)-Pr-)-号P6w=0-}则Pg=1X=0=() (2,2) 1,1) A.司 D.3 o 8 8 8.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌 1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重 复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则 P(X=4)=() A.1 C. 64 D 二、多选题-m十3—1￡i—16t18 9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数(1张卡片上标1个数)，从中不放回 的依次抽取卡片，每次抽1张.“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A,“前两次抽取的卡片号之和为偶 数”记为事件B,则() A.P(B)=4 B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(BI4)=1 D.P(A+A①川B)=1 2 10.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌为了解学生对“天宫课 堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则() 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 试卷第1页，共4页 参考公式及数据：X= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(ato)id n=a+b+c+d. A,从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课室的橙率为} B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为9 64 C.根据小概率值a=0.05(5=3.841)的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联 D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参 加测试的学生成绩的均值为85 11.如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A,B,C,D,E, F,O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1 个单位长度，则() E D A.移动两次后位于点A的概率为 6 B.移动两次后位于点O的概率为} C.移动三次后位于点F的概率为 54 D.移动n次后位于点O的概率为2，=1× 三、填空题-mt3一1^一15t15。· 12.已知随机变量X,Y分别满足X~B(n,p),Y~N(5,4),且均值E(X)=E(),方差D(X)=D(Y), 则P= 3.已知曲线y=xsin在点无，处的切线与二次函数y=a+(2a-3)x+1的图象只有一个公共点，厕 所有实数4的可能取值之和为 14.从集合U=1,2,3,4,…,川的子集中选出2个不同的子集A,B,且A三B,则选法有 种. 四、解答题-十5-i￡十77：￡1513￡16,171517,1817 15.已知曲线f(x)=x(x-3m) (1)若f(x)在点(1,1-3m)处的切线与直线3x-y=0平行，求实数m的值： (2)若曲线f(x)与曲线g(x)=在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数m的值. 2x 16已如--4a*a+aaeN).a7. (1)求二项式系数最大的项： (2)求∑(2-"a,)的值. 试卷第2页，共4页 17.“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则某学校为加强对学生的教育， 倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水， 便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量x(单位：箱) 766 56 收益y(单位：元) 165142148125150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特 困生考入年级前200名，获一等奖学金500元：考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300 元：考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为了，获二等 2 奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为5如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相 互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 时，会一@ a=y-bxx=y- 2,20,2182 18.某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程校史知识竞赛活动，每位参赛者均需 要回答3个题目，可以从6个A组题目和若干个B组题目中，共选择3个题目作答A组题目每正确回答1 个得10分，B组题目每正确回答1个得a(a>0)分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个 题目得分之和已知小王拾能正确回答4组爱中的4个避日，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否 正确回答A组和B组题目互不影响 (1)己知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的 数量的策略： (2)记小王总得分为X. (i)若选择的3个题目均为A组题目，求X的分布列及数学期望E(X): (ⅱ)试确定a,使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分X保持期望稳定， 并说明理由.（参考公式：E(X+X)=E(X)+E(X),其中X、X2为随机变量） 试卷第3页，共4页 19.箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共N个，其中红球的个数为(n>1),现从箱子中不放 回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1,2,3，…，N,直到箱子中的球被摸完为止 (1)求2号球为红球的概率（用N与n表示）； (2)若W=11,n=5,记随机变量X为最后一个红球被摸出时的编号，求E(X); (3)若箱子中白球、黑球的个数分别为，2，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和 黑球都有剩余)的概率. 试卷第4页，共4页