26.3二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027 学年人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 题型突破： 题型一：抛物线与x轴的交点情况 1．抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 2．抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 3.若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 4．抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 5.已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求此抛物线的顶点坐标． 题型二：抛物线与x轴交点上的四点问题 1.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.抛物线与x轴交于，两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为______． 题型三：由二次函数解一元二次方程 1.若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 2.若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 3.抛物线的顶点在轴上，点的坐标如图所示，则一元二次方程的根是 ． 4.已知二次函数（均为常数，且），若与的部分对应值如下表所示，则方程的根为 ． x ... -2 -1 0 1 2 3 4 ... y ... 5 0 -3 -4 -3 0 5 ... 5.已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 题型四：由二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5 2．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 3.代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 ax2+bx+c ﹣2 1 2 1 ﹣2 请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的（　　） A．x1＜0，x2＜2 B．﹣1＜x1，2＜x2 C．x1＜0，2＜x2 D．﹣1＜x1，x2＜2 4.已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　 　． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 5.如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是　 　．（精确到0.1） 题型五：由二次函数的图象解不等式 1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3.如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量x的取值范围是（    ）．    A． B． C．或 D．或 4.如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      5．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 题型六：由二次函数与一次函数交点个数求范围 1．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 2.已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 3.已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D．全体实数 4.若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 ． 5.已知二次函数的图象与交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，是以为底的等腰三角形，那么的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义）2026-2027 学年人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 题型突破： 题型一：抛物线与x轴的交点情况 1．抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 2．抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 【答案】C 3.若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 4．抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 【答案】 5.已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求此抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）当时， ∴， ∴， 将代入得： ∴ （2）∵ ∴顶点坐标是： 题型二：抛物线与x轴交点上的四点问题 1.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.抛物线与x轴交于，两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5 【答案】A． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为______． 【答案】4 题型三：由二次函数解一元二次方程 1.若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 2.若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 3.抛物线的顶点在轴上，点的坐标如图所示，则一元二次方程的根是 ． 【答案】 4.已知二次函数（均为常数，且），若与的部分对应值如下表所示，则方程的根为 ． x ... -2 -1 0 1 2 3 4 ... y ... 5 0 -3 -4 -3 0 5 ... 【答案】， 5.已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 题型四：由二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5 【答案】B． 2．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 ax2+bx+c ﹣2 1 2 1 ﹣2 请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的（　　） A．x1＜0，x2＜2 B．﹣1＜x1，2＜x2 C．x1＜0，2＜x2 D．﹣1＜x1，x2＜2 【答案】C． 4.已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　 　． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 【答案】6.18＜x＜6.19． 5.如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是　 　．（精确到0.1） 【答案】x1＝0.8，x2＝3.2合理即可． 题型五：由二次函数的图象解不等式 1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 2.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 3.如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量x的取值范围是（    ）．    A． B． C．或 D．或 【答案】A 4.如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 5．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 题型六：由二次函数与一次函数交点个数求范围 1．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 2.已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 3.已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 4.若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 ． 【答案】﹣2，2或 5.已知二次函数的图象与交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，是以为底的等腰三角形，那么的值为 ． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $