2.2 第3课时 公式法（教学设计）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦公式法解一元二次方程及根的判别式，通过知识链接回顾配方法步骤并求解2x²+4x+1=0，搭建新旧知识支架，引导学生从特殊到一般推导求根公式。 特色在于以配方法推导求根公式培养代数推理能力，结合根的判别式实例（如判断方程根的情况、确定参数取值范围）提升运算能力与应用意识，任务链设计促进主动探究，帮助学生理解降次化归思想，助力教师高效教学，夯实方程求解基础。

第3课时　公式法 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程和根的判别式． 2.能运用公式法求解数字系数的一元二次方程，并能正确进行根的判别式的应用． 3.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，培养学生的代数推理能力和运算能力，体会由特殊到一般和由一般到特殊以及降次化归的思想． 重点：用公式法解一元二次方程． 难点：推导一元二次方程求根公式的过程． 知识链接 　　用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？如何用配方法解方程2x2＋4x＋1=0？ 　探究点一：用公式法解一元二次方程 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．你能用配方法解方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）吗？ 方程两边都除以a，得x2＋x＋=0. 配方，得x2＋x＋（）2－（）2＋=0.（x＋）2－=0. 移项，得（x＋）2=． 问题1：接下来能用直接开平方解吗？ 要先确定b2－4ac≥0，才能直接开平方，否则方程无解．当b2－4ac≥0时，x＋=±．∴x=．即x1=，x2=． 概念引入：上面这个式子x=称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 例1（教材P42例3）归纳总结：公式法解一元二次方程的一般步骤： ①变形：化已知方程为一般形式ax2＋bx＋c=0；②确定系数：用a，b，c写出各项系数；③计算：b2－4ac的值；④判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式得解；⑤若b2－4ac＜0，则方程没有实数根． 　探究点二：一元二次方程根的判别式 问题2：你能解一元二次方程x2－2x＋3=0吗？你是怎么想的？ 配方（x－1）2=－2，原方程无实数根． 问题3：对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），当b2－4ac＜0时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流． 当b2－4ac＜0时，方程无实数根． 概念引入：一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式．通常用希腊字母“Δ”表示． 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程没有实数根． 填一填： 3x2－4x＋=0 －x2＋x－1=0 x2＋x=1 Δ 0 － 5 根的情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不等的实数根  若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（B） A．k＞－1　　B．k＞－1且k≠0 C．k＜1　　D．k＜1且k≠0  不解方程，判断下列方程根的情况． （1）3x2＋4x－3=0；　（2）7y=5（y2＋1）． 解：（1）3x2＋4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=16－4×3×（－3）=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为5y2－7y＋5=0，∴b2－4ac=（－7）2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根． 1.一元二次方程x2－5x＋4＝0根的判别式的值是(　C　) A.21 B.16 C.9 D.1 2.一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是(　B　) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是(　D　) A.2x2－6x＋1＝0 B.3x2－x－5＝0 C.x2＋x＝0 D.x2－4x＋4＝0 　　 　　 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $